Главная
Краткие содержания
Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия, среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия, среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D (X ) = npq.

Доказательство. Рассмотрим случайную величину X - число появлений события А в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях:

X = Х 1 + X 2 + …+ Х п,

где Х 1 - число наступлений события в первом испытании, Х 2 - во втором, ..., Х п - в п- м.

Величины Х 1 , Х 2 , ..., Х п взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием 1 (см. § 5):

D (X ) = D (X 1) + D (X 2)+ ...+D (Х п ). (*)

Вычислим дисперсию X 1 по формуле

D (X 1)=M ( )- [M (X 1)] 2 . (**)

Величина Х 1 -число появлений события А в первом испытании, поэтому (см. гл. VII, § 2, пример 2) М (Х 1)=р .

Найдем математическое ожидание величины , которая может принимать только два значения, а именно: 1 2 c вероятностью р и О 2 с вероятностью q:

M ( )= 1 2 *p+ 0 2 *q=p.

Подставляя найденные результаты в соотношение (**), имеем

D (X 1)=p-p 2 =p (1-p )=pq

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq. Заменив каждое слагаемое правой части (*) через pq, окончательно получим

D (X ) = npq.

Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами п и р равна произведению npq.

Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X -числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. По условию, n =10, р = 0,6. Очевидно, вероятность непоявления события

q = 1- 0, 6 = 0, 4.

Искомая дисперсия

D (X ) = npq = 10 0, 6 0, 4 = 2, 4.

Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность s(X )совпадает сразмерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается влинейных метрах, то а (X )будет выражаться также влинейных метрах, a D (X )- в квадратных метрах.

Пример. Случайная величина X задана законом распределения

X
p 0, 1 0, 4 0, 5

Найти среднее квадратическое отклонение s(X ).

Решение. Найдем математическое ожидание X:

М (Х ) = 2* 0, 1 + 3* 0, 4+ 10* 0, 5 = 6, 4.

Найдем математическое ожидание X 2 :

М (Х 2) = 2 2 * 0, 1+ 3 2 * 0, 4+ 10 2 * 0, 5 = 54.

Найдем дисперсию:

D (X )= М (X 2) - [М (X )] 2 = 54 - 6, 4 2 = 13, 04.

Искомое среднее квадратическое отклонение

s(X)= =

Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

https://pandia.ru/text/78/381/images/image002_82.jpg" width="192 height=55" height="55"> 0 Значение полигона, построенного по данному выборочному распределению, в точке 1280 и моды равны

DX = 1.5. Используя свойства дисперсии , найдите D(2X+5).

MX = 1.5. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X+5).

MX = 5, MY = 2. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X - 3Y).

x – стандартная нормальная случайная величина. Случайная величина x 2 имеет распределение

X и Y – независимы. DX = 5, DY = 2. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y).

Бросается 5 монет. Какова вероятность того, что три раза выпадет герб?

Бросается 6 монет. Вероятность того, что герб выпадет более четырех раз равна:

Гистограмма" href="/text/category/gistogramma/" rel="bookmark">гистограмму . Она имеет вид

DIV_ADBLOCK234">

В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Выборочная средняя результатов измерений, выборочная и исправленная дисперсии ошибок прибора равны соответственно

В круг радиусом 10 помещен меньший круг радиусом 5. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональ­на площади круга и не зависит от его расположения.

В круг радиусом 20 см помещен меньший круг радиусом 10 см так, что их центры совпадают. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0.95, из обычной винтовки – 0.7. Стрелок наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

В среднем каждое сотое изделие, производимое предприятием, дефектное. Если взять два изделия, какова вероятность, что оба окажутся исправными?

В таблице статистического распределения, построенного по выборке, на одно число попала клякса Это число

Эта цифра

В таблице статистического распределения, построенного по выборке, одна цифра написана неразборчиво Эта цифра

В ящике в 5 раз больше красных шаров, чем черных. Найти вероятность p того, что вынутый наугад шар окажется красным.

Вариационный ряд выборки: -7, 2, 4, 0, 3, 2, 1, -5 имеет вид

–7, -5, 0, 1, 2, 2, 3, 4

Величина x имеет распределение N(a, s ). Вероятность p{| x -a|<2 s } равна

Величина x имеет распределение N(a, s ). Вероятность p{ x s }равна

Величина x имеет распределение N(a, s ). Вероятность p{ x s } равна

Вероятность выиграть в кости равна 1/6. Игрок делает 120 ставок. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что число выигрышей не будет меньше 15?

Вероятность выиграть в рулетку равна 1/38. Игрок делает 190 ставок. С по­мощью какой таблицы можно найти вероятность того, что он выиграет не менее 5 раз?

распределения Пуассона

Вероятность выиграть, играя в рулетку, 1/37. Сделав ставку 100 раз, мы ни разу не выиграли. Заподозрив, что игра ведется не честно, мы решили проверить свою гипотезу, построив 95%-ый доверительный интервал для вероятности выигрыша. По какой формуле строится интервал и что дала проверке в нашем случае?

DIV_ADBLOCK236">

Вероятность появления события А в испытании равна 0.1. Чему равно среднеквадратическое отклонение числа появлений события А в одном испыта­нии?

Вероятность суммы любых случайных событий A и B вычисляется по форму­ле:

р(A+B)=р(A)+р(B)-р(AB)

Вероятность того, что дом может сгореть в течение года, равна 0.01. Застраховано 500 домов. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что сгорит не более 5 домов?

распределением Пуассона

Вероятность того, что размеры детали, выпускаемой станком-автоматом, окажутся в пределах заданных допусков, равна 0.96. Каков процент брака q? Какое количество негодных деталей в среднем (назовем это число M) будет со­держаться в каждой партии объемом 500 штук?

Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2, x2 = 5, x3 = 8. Известны вероятности: р(X = 2) = 0.4; р(X = 5) = 0.15. Найдите р(X = 8).

Вратарь парирует в среднем 30 % всех одиннадцатиметровых штрафных ударов. Какова вероятность того, что он возьмет ровно два из четырех мячей?

Всегда ли верна формула M(X+Y)=M(X)+M(Y)

да, всегда

Выпущено 100 лотерейных билетов, причем установлены призы, из которых 8 по 1 руб., 2 – по 5 руб. и 1 – 10 руб. Найдите вероятности p0 (билет не выиграл), p1 (билет выиграл 1 руб.), p5 (билет выиграл 5 руб.) и p10 (билет вы­играл 10 руб.) событий.

p0=0.89; p1=0.08; p5=0.02; p10=0.01

Дан вариационный ряд выборки объема n = 7: -5, -3, 0, 1, 1, 4, 16. Выборочная медиана d и выборочное среднее для этого ряда равны

Дан вариационный ряд выборки объема n = 8: -2, 0, 3, 4, 6, 9, 12, 16. Выборочная медиана d и выборочное среднее для этого ряда равны

Дан вариационный ряд выборки объема n = 9: -2, 0, 3, 3, 4, 5, 9, 11, 12. Выборочная медиана для этого ряда – d равна

Дана выборка объема n = 10..jpg" width="13 height=21" height="21"> для этой выборки равно

https://pandia.ru/text/78/381/images/image011_24.jpg" width="49" height="32 src=">

Дана выборка объема n = 5: -2, -1, 1, 3, 4..jpg" width="107" height="24 src=">

Дана выборка объема n = 5: 2, 3, 5, 7, 8..jpg" width="108" height="24 src=">

Дана выборка объема n = 5: -3, -2, 0, 2, 3..jpg" width="115" height="24 src=">

Дана выборка объема n = 5: -4, -2, 2, 6, 8..jpg" width="13" height="21 src="> = 2, S2 = 20,8

Дана выборка объема n = 5: -6, -4, 0, 4, 6..jpg" width="13" height="21 src="> = 0, S2 = 20,8

Дана выборка объема n = 7: 3, 5, -2, 1, 0, 4, 3. Вариационный ряд для этой выборки и размах вариационного ряда

–2, 0, 1, 3, 3, 4, 5; размах равен 7

Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn..jpg" width="141" height="45 src=">

Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Если каждый элемент выборки увеличить на 5 единиц, то

выборочное среднее увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 не изменится

Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Если каждый элемент выборки увеличить в 5 раз, то выборочное среднее

возрастет в 5 раз, а выборочная дисперсия S2 увеличится в 25 раз

Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Статистический (или эмпирический) начальный момент k-го порядка находится по формуле

ak = https://pandia.ru/text/78/381/images/image017_13.jpg" width="83" height="47 src=">

Дана выборка объема n: х1, х2, х3, …, хn..jpg" width="140" height="45 src=">

Дана выборка: 0, 5, 2, 8, 2, 6, 1, 5. Вариационный ряд для этой выборки и его размах

0, 1, 2, 2, 5, 5, 6, 8; размах выборки 8

Дана конкретная выборка объема n = 10: 2, 2, 5, 5, 4, 3, 4, 2, 2, 5. Статистическое распределение этой выборки имеет вид

https://pandia.ru/text/78/381/images/image021_11.jpg" width="203" height="51"> С помощью метода наименьших квадратов по этим точкам строится прямая регрессии . Эта прямая для прибыли в марте дает значение (Указание. Определить это значение без построения прямой регрессии)

Дано статистическое распределение выборки

https://pandia.ru/text/78/381/images/image023_9.jpg" width="200" height="71"> Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны

https://pandia.ru/text/78/381/images/image024_6.jpg" width="200" height="69"> График эмпирической функции распределения для этой выборки имеет вид

https://pandia.ru/text/78/381/images/image026_4.jpg" width="192" height="69 src="> Эмпирическая функция распределения для этого ряда имеет вид

https://pandia.ru/text/78/381/images/image028_4.jpg" width="144" height="78 src=">

Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m: https://pandia.ru/text/78/381/images/image030_6.jpg" width="87" height="47 src=">

Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m: https://pandia.ru/text/78/381/images/image032_3.jpg" width="13 height=23" height="23"> . Тогда статистический центральный момент k-го порядка находится по формуле:

https://pandia.ru/text/78/381/images/image034_2.jpg" width="185" height="71 src="> Выборочная средняя равна . Тогда выборочная дисперсия S2 находится по формуле

https://pandia.ru/text/78/381/images/image036_2.jpg" width="201" height="71 src="> Статистический (или эмпирический) начальный момент k-го порядка находится по формуле

https://pandia.ru/text/78/381/images/image038_2.jpg" width="193" height="71"> Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны

https://pandia.ru/text/78/381/images/image039_2.jpg" width="185" height="71"> Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны

https://pandia.ru/text/78/381/images/image040_2.jpg" width="245" height="28 src="> . При уровне значимости a =0,05 проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних m x= m y (конкурирующая гипотеза m x≠ m y). Опытное значение статистики Т, применяемой для проверки гипотезы Н0, равно 4,17. Гипотеза Мх = Му

проходит

Для 2-х нормальных независимых величин с одинаковыми дисперсиями получены выборки объема nх=42 и ny=20 с такими характеристиками: https://pandia.ru/text/78/381/images/image041_2.jpg" width="16" height="20 src="> и таблиц нормального распределения строится доверительный интервал. Если увеличить объем выборки в 100 раз, длина доверительного интервала примерно

уменьшится в 10 раз

Для выборки объема n=9 рассчитали выборочную дисперсию S2=3,86. Исправленная дисперсия равна

Для контроля качества продукции завода из каждой партии готовых изде­лий выбирают для проверки 1000 деталей. Проверку не выдерживают в среднем 80 изделий. Равной чему можно принять вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным? Сколько примерно бракованных изделий (назовем это число M) будет в партии из 10000 единиц?

p = 0.92; M = 800

Для обработки наблюдений методом наименьших квадратов построена прямая. Ее график:

https://pandia.ru/text/78/381/images/image043_3.jpg" width="20" height="24">)

Для построения доверительного интервала для оценки вероятности надо пользоваться таблицами

нормального распределения

Для проверки гипотезы о равенстве 2-х генеральных средних надо пользоваться таблицами

распределения Стьюдента

Для проверки на всхожесть было посеяно 2000 семян, из которых 1700 проросло. Равной чему можно принять вероятность p прорастания отдельного семени в этой партии? Сколько семян в среднем (назовем это число M) взойдет из каждой тысячи посеянных?

Для сравнения 2-х генеральных средних совокупностей X и Y из них извлекли выборки объема n и m соответственно. Для проверки гипотезы о том, что m х= m y, надо вычислить статистику

https://pandia.ru/text/78/381/images/image045_3.jpg" width="12" height="20"> , выборочное среднеквадратическое s

Для того, чтобы вдвое сузить доверительный интервал, построенный для математического ожидания, во сколько раз надо увеличить число наблюдений

Для того, чтобы по выборке объема n= 10 построить доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения, дисперсия которого неизвестна, нужны таблицы

распределения Стьюдента.

Для того, чтобы построить 95%-ый доверительный интервал для математического ожидания m случайной величины, распределенной нормально с известной дисперсией s 2 по выборке объема n, вычисляется и используется формула

https://pandia.ru/text/78/381/images/image048_1.jpg" width="136 height=47" height="47">

Если вероятность события A есть р(A), то чему равна вероятность события, ему противоположного?

Если имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности P(A/Hi), то P(A) вычисляется по формуле

Полной вероятности

Завод в среднем дает 27% продукции высшего сорта и 70% – первого сор­та. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие не будет выс­шего или первого сорта.

Завод в среднем дает 28% продукции высшего сорта и 70% – первого сор­та. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или высшего, или первого сорта.

Задана таблица распределения случайной величины. Найти C..jpg" width="187" height="59 src=">

Значение кумуляты, построенной по таблице, в точке 170, и медианы равны https://pandia.ru/text/78/381/images/image052_1.jpg" width="204" height="50 src="> Оценка генеральной средней

Из колоды, состоящей из 36 карт, вынимают наугад две карты. Вероятость того, что попадут две карты одинаковой масти равна

https://pandia.ru/text/78/381/images/image054_1.jpg" width="43" height="41 src=">

Известно, что X~N(0,3), Y~N(0.5, 2), Х и Y независимы. S=X+2Y имеет распределение

Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Чему равна вероятность того, что из двух взятых наугад изделий окажутся неисправными оба?

Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Чему равна вероятность того, что из 200 взятых наугад изделий 2 окажутся неисправными?

Имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi, и заданы вероятности P(A/Hi). Известно, событие A произошло. Вероятность, что при этом была реализована Hi вычисляется по формуле

Количество поражений шахматиста в течение года имеет распределение Пуассона с параметром λ=6. Вероятность того, что шахматист в течение года проиграет не более двух партий равна

https://pandia.ru/text/78/381/images/image056_0.jpg" width="44" height="45 src=">

Куплено 1000 лотерейных билетов. На 80 из них упал выигрыш по 1 руб., на 20 – по 5 руб., на 10 – по 10 руб. Какая таблица описывает закон распреде­ления выигрыша?

https://pandia.ru/text/78/381/images/image058_1.jpg" width="89 height=52" height="52"> , равны

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на отрезке , равны

Медиана выборки равна

Монету бросали 100 раз. 70 раз выпал орел, для проверки гипотезы о симметричности монеты строим доверительный интервал и проверяем, попали ли мы в него. По какой формуле строится доверительный интервал, и что даст проверка в нашем конкретном случае?

I 0,95 (p) = , монета не симметричная

На некоторой фабрике машина А производит 40% продукции, а машина B – 60%. В среднем 9 из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, и 1 из 250, произведенных машиной B, оказываются бракованными. Какова вероятность, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной?

На некотором заводе было замечено, что при определенных условиях в среднем 1.6% изготовленных изделий оказываются неудовлетворяющими стандарту и идут в брак. Равной чему можно принять вероятность того, что наугад взя­тое изделие этого завода окажется качественным? Сколько примерно непригод­ных изделий (назовем это число M) будет в партии из 1000 изделий?

p = 0.984; M = 16

На отрезке длиной 20 см помещен меньший отрезок L длиной 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попа­дет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его располо­жения.

Наблюдения проводились над системой (х, у) 2-х величин. Результаты наблюдения записаны в таблицу Коэффициент корреляции равен

Наблюдения проводятся над системой (X: Y) двух случайных величин. Выборка состоит из пар чисел: (х1: y1), (х2: y2), …, (хn: yn)..jpg" width="11" height="24 src=">.jpg" width="11" height="27 src=">.jpg" width="200" height="49 src=">

Плотность распределения f(x) можно найти по функции распределения F(х) по формуле

https://pandia.ru/text/78/381/images/image069.jpg" width="161" height="83 src=">

По выборке объема 100 надо построить доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения, дисперсия которого известна. Для этого необходимо воспользоваться

таблицами нормального распределения

По выборке объема n из нормального распределения с известной дисперсией s 2 строится доверительный интервал для математического ожидания. Если объем выборки увеличить в 25 раз, длина доверительного интервала

уменьшится в 5 раз

По выборке объема n из нормального распределения с неизвестной дисперсией строится доверительный интервал для математического ожидания. Объем выборки увеличиваем в 16 раз..jpg" width="274" height="151"> Медиана равна

Медиана равна

По выборке построена гистограмма

нормальное

По выборке построена гистограмма По виду гистограммы можно предполагать, что генеральная совокупность, из которой произведена выборка, имеет распределение

равномерное

По выборке построена статистическая таблица распределения https://pandia.ru/text/78/381/images/image075.jpg" width="201" height="48 src=">

По выборке построена таблица статистического распределения выборки, имеющая вид.

https://pandia.ru/text/78/381/images/image077.jpg" width="187" height="75 src="> Построить графически моду, найти медиану

https://pandia.ru/text/78/381/images/image008_28.jpg" width="105" height="47 src="> , где DIV_ADBLOCK247">

Производится n независимых испытаний, в которых вероятность наступления события A равна p. Вероятность того, что событие A наступит m раз

вычисляется по формуле Бернулли

Производится n независимых испытаний, в которых вероятность наступления события A равна p. n велико. Вероятность того, что событие A наступит m раз, вычисляется по формуле или используются асимптотические приближения?

используются асимптотические приближения

Производится выборка объема n=100 из генеральной совокупности, имеющей распределение N (20,4)..jpg" width="184" height="73"> Эмпирическое среднее времени, затрачиваемого на обработку одной детали,

Рулетка размечается с помощью меток – 00, 0, 1, ...36. Метки при игре не имеют преимуществ друг перед другом. Игрок делает 114 попыток. Какова вероятность ни разу не выиграть?

С первого станка на сборку поступает 40% деталей, остальные 60% со второго. Вероятность изготовления бракованной детали для первого и второго станка соответственно равна 0.01 и 0.04. Найдите вероятность того, что наудачу пос­тупившая на сборку деталь окажется бракованной.

Самое маленькое значение в выборке 0, самое большое 8, медиана 2. По этой выборке построена гистограмма

DIV_ADBLOCK249">

События A и B называются несовместными, если:

События называются независимыми, если:

р(AB)=р(A)р(B)

Состоятельной, но смещенной точечной оценкой параметра является

эмпирическая дисперсия S2

Станок-автомат производит изделия трех сортов. Первого сорта – 80%, второго – 15%. Чему равна вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или второго, или третьего сорта?

Страхуется 1600 автомобилей; вероятность того, что автомобиль может попасть в аварию, равна 0.2. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что число аварий не превысит 350?

интегральной формулой Муавра-Лапласа

Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Какова вероятность, что, сделав три выстрела, он два раза попадет?

Студенту предлагают 6 вопросов и на каждый вопрос 4 ответа, из кото­рых один верный, и просят дать верные ответы. Студент не под­готовился и выбирает ответы на - угад. Какова вероятность того, что он правильно ответит ровно на половину вопросов? (С точностью до 3-х знаков после запятой)

Теннисист идет на игру. Если ему дорогу перебежит черная кошка, то вероятность победы 0,2; если не перебежит, то – 0,7. Вероятность, что кошка перебежит дорогу – 0,1; что не перебежит – 0,9. Вероятность победы:

0,1·0,2+0,9·0,7

Условной вероятностью события B при условии, что событие A с ненулевой вероятностью произошло, называется:

р(B/A)=р(AB)/р(A)

Формула D(-X)=D(X)

Функцию распределения F(х) можно найти по плотности вероятности f(х) по формуле


        1. Пусть событие А={1,2,3},а событие В={1,2,3,4,5,6}. Укажите верное высказывание.

        2. Дисперсия случайной величины Х равна 5. Чему равно значение дисперсии D (-2X)

        3. При обследовании отдельного региона фирмой , предоставляющей интернет-услуг, выявлено, что (в среднем) из каждых 100 семей, 80 имеют компьютер, подключенный к интернет. Оценить вероятность того , что из 400 семей данного микрорайона, от 300 до 360 семей имеют компьютер, поключенный к интернет.

        4. Рассматриваются две случайные величины X и Y. Их математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: М (X) =3; D (X) =2; M (Y) =2; D (Y) =1. Укажите верные соотношения.

          5. Какая из следующих формул используется для вычисления числа размещения?


        5. Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите по какой формуле вычисляется дисперсия D (X).

        6. Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите по какой формуле вычисляется математическое ожидание M (X)

          7. Брошены две игральные кости. Какая из следующих совокупностей полученного числа образует полную группу событий?

          Монета бросается 2 раза, какова вероятность P выпадения подряд двух гербов?


        7. На рисунке представлены графики нормальных распределений N1, N2, N3.Расположите эти распределения в порядке возрастания их математического ожидания.

        8. На рисунке представлены графики нормальных распределений N1, N2, N3.Расположите эти распределения в порядке возрастания их дисперсии.

        9. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной следующим законом распределения

          10. Различаются ли понятия «перестановки из трех элементов» и «размещения из трех элементов по три»?



        11. Установить последовательность ответов

        12. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, соответственно,равны М (Х) =3; D (X) =2. Расположите следующие выражения в порядке возрастания их значений.

        13. Дисперсия случайной величины Х равна 5. Чему равно значение дисперсии D (X-1)

        14. Чему равно математическое ожидание M (X-Y) разности двух случайных величин X и Y,а если известны значения математических ожиданий каждой из них: M (X) =3; M (Y) =4?

        15. Укажите названия вероятностей, входящих в формулу Байеса.

        16. Пусть событие А={1,2.3.4,5}, а событие В={5,4,3,2,1}. Укажите верное высказывание.


        18. Что значат записанные ниже формулы.

        19. Дисперсия случайной величины Х равна 5. Чему равно значение дисперсии D (3X+6)

          20. Математическое ожидание случайной величины Х равна 5: M (X) =5. Чему равно значение математического ожидания М (Х-1) ?

          Математическое ожидание случайной величины Х равна 5: M (X) =5. Чему равно значение математического ожидания М (-2Х) ?


        20. В серии из n независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли , наблюдается наступление события А. Что означают указанные ниже компоненты формулы Бернулли? Pm,n=Cmnpmqn-m, где q=1-p. Что означают в этой формуле: 1) Pm,n 2) Cmn 3) p

        21. Пусть А –случайное событие, вероятность которого отлична от нуля и 1; ? –достоверное и O – невозможное событие. События B, C, и D определены как: B=A+A; C=A+ ?; D=A* O

          22. Чему равно значение среднего квадратического отклонения числа 4?

          Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) =5. Чему равно значение дисперсии D (-2X) ?

          Математическое ожидание случайной величины Х равна 5: M (X) =5. Чему равно значение математического ожидания М (3Х+6) ?

          Понятие факториала. Какое из следующих выражений неверно?

          Сравните два числа и укажите правильный ответ. Сравните два числа. Какое из них больше? Какое из чисел больше 10! или 1010?


        22. Сравните два числа и укажите правильный ответ.

        23. Охарактеризуйте событие: 2х2=5

          24. Чему равна сумма противоположных событий?

          Чему равно произведение противоположных событий?

          Брошены две игральные кости. Какая из следующих совокупностей полученного числа очков образует полную группу событий?


        24. События образуют полную группу если они:

          25. Чему равна сумма случайных событий, образующих полную группу?


        25. Пусть событие А=1, 2, 3, а событие B=1, 2, 3, 4, 5, 6. Укажите верное высказывание.

        26. Пусть событие А=1,2,3,4,5, а событие B=5,4,3,2,1. Укажите верное высказывание.

          27. Сколько элементов содержит множество элементарных событий, описывающих результат бросания игрального кубика?

          Какая из следующих формул используется для вычисления числа размещений?


        27. Размещения и перестановки. Пусть P – число возможных перестановок из n элементов, и А- число размещений из n элементов по m (n>m). Каково соотношение между величинами P и А? Укажите верный ответ:

          28. Различаются ли понятия "перестановки из трех элементов" и "размещения из трех элементов по три" ?


        28. Свойства сочетаний. Пусть C – число сочетаний из n элементов по m

          29. Монета бросается два раза. Какова вероятность P выпадения подряд двух гербов?

          Монета бросается три раза. Какова вероятность P выпадения подряд трех гербов?


        29. Пусть А и В - случайные события. Сравните величины P (A+B) и Р (А) +Р (В) и укажите правильный ответ.

          30. Чему равна вероятность суммы противоположных событий?

          Чему равна вероятность произведения противоположных событий?

          Пусть А - случайное событие, вероятность которого - Р (А) =0,3. Чему равна вероятность события Р (А+А) ?

          Пусть А - случайное событие, вероятность которого - Р (А) =0,3. Чему равна вероятность произведения событий Р (А*А) ?


        30. Вероятность произведения достоверного и случайного событий. Пусть

        31. Вероятность суммы невозможного и случайного событий. Пусть

        32. Вероятность произведения невозможного и случайного событий. Пусть

          33. Чему равна вероятность Р суммы событий , образующих полную группу?


        33. Вероятность суммы достоверного и случайного событий. Пусть

        34. Формула Бернулли. Формула Бернулли имеет вид:

          35. Каковы причины использования асимптотических приближений формулы Бернулли?


        35. Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите, по какой формуле вычисляется дисперсия D (X):

        36. Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите, по какой формуле вычисляется математическое ожидание M (X):

          37. Что означает в этой формуле P?


        37. Законом редких явлений называют:

          38. Что означает в этой формуле P?


        38. Укажите свойство функции Гаусса. (см. ниже):

        39. Укажите критерий использования интегральной теоремы (формулы) Муавра-Лапласа. Интегральная формула Муавра-Лапласа имеет вид:

        40. Свойства функции Лапласа (см. ниже):

          41. Какая характеристика случайной величины имеет смысл ее среднего значения?


        41. Чему равно математическое ожидание M (X+Y) суммы двух случайных величин X и Y, если известны значения математических ожиданий каждой из них: M (X) = 3 и M (Y) = 4 ?

        42. Чему равно математическое ожидание M (X-Y) разности двух случайных величин X и Y, если известны значения математических ожиданий каждой из них: M (X) = 3 и M (Y) = 4 ?

          43. Математическое ожидание случайной величины X равна 5: М (X) = 5. Чему равно значение математического ожидания М (X-1) ?

          Математическое ожидание случайной величины X равна 5: М (X) = 5. Чему равно значение математического ожидания М (-2X) ?

          Математическое ожидание случайной величины X равна 5: М (X) = 5. Чему равно значение математического ожидания М (3X+6) ?

          Какая характеристика случайной величины определяет степень ее рассеяния?


        43. Чему равна дисперсия суммы D (X+Y) двух независимых случайных величин X и Y, если известны значения дисперсий каждой из них: D (X) =3 и D (Y) =4?

          44. Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) = 5. Чему равно значение дисперсии D (X-1) ?

          Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) = 5. Чему равно значение дисперсии D (-2X) ?

          Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) = 5. Чему равно значение дисперсии D (3X+6) ?

          Чему равно значение дисперсии числа 5: D (5) = ?


        44. Среднее квадратическое отклонение равно:

        45. Охарактеризуйте множество значений дискретной случайной величины (укажите наиболее полный ответ):

        46. Задача: Случайная величина X принимает три возможных значения x=2; x=5; x=8. Известны вероятности первых двух возможных значений: p=0,4 и p=0,15. Найти вероятность значения x; p=?

        47. Множество значений непрерывной случайной величины является:

          48. Какое значение непрерывной случайной величины Х определяет ее медиана Ме (Х) ?


        48. Мода Mo (X) случайной величины Х характеризует (укажите верный ответ):

          49. Функция распределения. Вероятность какого события определяет функция распределения F (X) cлучайной величины X?


        49. Наименьшее значение функции распределения. Непрерывная случайная величина X определена на всей числовой оси. Чему равно предельное значение ее функции распределения F (x) при x->

        50. Наибольшее значение функции распределения. Непрерывная случайная величина X определена на всей числовой оси. Чему равно предельное значение ее функции распределения F (x) при x->-? (укажите верный ответ среди ниже перечисленных) ?

          51. Каким из перечисленных ниже свойств обладает функция распределения случайной величины?


        51. Какие значения может принимать биномиально распределенная случайная величина Х? P (X=m) =Cpq, где: 0

        52. Чему равно математическое ожидание M (X) случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону: P (X=m) =Cpq, где: 0

        53. Чему равна дисперсия D (X) случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону: P (X=m) =Cpq, где: 0

          54. Какие значения может принимать случайная величина Х, описываемая законом распределения Пуассона?


        54. Математическое ожидание случайной величины X, имеющей Пуассоновский закон распределения, равно 4: M (X) = 4. Чему равна дисперсия D (X) этой случайной величины?

        55. Геометрическое распределение дискретной случайной величины. Согласно распределению: случайная дискретная величина X, имеет геометрическое распределение с параметром p, принимает бесконечное (но счетное) множество значений 1,2, …, m, … с вероятностями: P (X=m) =pq, где 0

        56. Равномерное распределение. Охарактеризуйте плотность вероятности случайной величины, равномерно распределенной на отрезке :

        57. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в произвольный момент времени. Какова вероятность - P того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты?

        58. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в произвольный момент времени. Определить математическое ожидание M (X) случайной величины X - времени ожидания поезда.

        59. Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке . Чему равно ее математическое ожидание M (X) ?

        60. Смысловое значение параметра "a" нормального закона распределения случайной величины (см. ниже) это:

        61. Смысловое значение параметра "сигма квадрат" нормального распределения (закона Гаусса).

        62. Влияние математического ожидания (параметра "a") на график плотности вероятности нормального закона (закона Гаусса) распределения случайной величины (см. ниже) характеризуется:

        63. Сравнение математических ожиданий. M (X) и М (Х) нормально распределенных случайных величин Х и Х (см. рисунок ниже).

        64. Уменьшение дисперсии (параметра "сигма квадрат") нормального закона (закона Гаусса) распределения случайной величины (см. ниже) приводит к следующему изменению графика кривой распределения:

        65. Сравнение дисперсий D (X) и D (X) нормально распределенных случайных величин X и X (см. рисунок ниже).

        66. Стандартным (нормированным) законом распределения N (0; 1) называется:

        67. Правило трех сигм.

        68. Значение закона больших чисел.

        69. Значение несобственного интеграла от плотности вероятности. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен:

          70. К чему стремится частость наблюдаемого события при неограниченном увеличении числа испытаний в схеме Бернулли?


        70. Из генеральной совокупности отобраны десять элементов по принципу: брался каждый восьмой по порядку элемент генеральной совокупности. Как называется такой способ отбора?

          71. Как называется варианта, характеризующая наибольшую частоту в выборке?

          Уровень значимости при проверке статистической гипотезы задан в 10%. Какова возможность ошибки первого рода?

          Какая из следующих числовых характеристик выборки является смещенной оценкой?

          К каким соединениям относится свойство симметрии?


        71. Укажите, какое из перечисленных ниже свойств числовых характеристик случайной величины записано неправильно (предполагая, что X и Y - независимые случайные величины) ?

          72. Чему равно значение математического ожидания числа 5: M (5) = ?


        72. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной следующим законом распределения:

        73. Чему равна дисперсия разности D (X-Y) двух независимых случайных величин X и Y, если известны значения дисперсий каждой из них: D (X) =3 и D (Y) =4?

        74. Распределение Пуассона. Математическое ожидание. Чему равно математическое ожидание M (X) случайной величины X

        75. распределенной по закону Пуассона:

        76. Распределение Пуассона. Дисперсия. Чему равно D (X) случайной величины X распределенной по закону Пуассона:

        77. Укажите какова смысловая интерпретация такой случайной величины Х:

        78. Найти моду для генеральной совокупности заданной вариационным рядом:

        79. Найти генеральную среднюю генеральной совокупности , заданной следующим вариационным рядом:

        80. Найти медиану для генеральной совокупности заданной вариационным рядом:

        81. Определить выборочную среднюю для следующей выборки:

        82. Найти выборочную среднюю следующей выборки из генеральной совокупности:

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания (если последнее существует):

D(x) = M((x-M(x)) 2).

Для дискретной случайной величины:

Если дискретная случайная величина может принимать бесконечное число значений, сумма в правой части будет представлять собой ряд.

Для чего подсчитывают дисперсию? Математическое ожидание само по себе не дает нам верного представления о характере исследуемого явления, о том, как может изменяться случайная величина. Мы узнаем только ее среднее значение при большом числе экспериментов, но не можем судить о том, каков в среднем разброс ее значений вокруг этого числа. Судить об этом позволяет дисперсия. Отклонения при ее вычислении берутся в квадрате, так как в противном случае отклонения в разные стороны (значения больше и меньше среднего) компенсировали бы друг друга. Выбор для избавления от знака именно возведения в квадрат, а не какого-либо другого действия (например, взятия по модулю) объясняется тем, что на этом факте основывается доказательство некоторых важных свойств дисперсии, изучаемых математической статистикой.

Приведенное выше выражение для дисперсии является неудобным при проведении практических вычислений, поэтому выведем другое.

Приведем без доказательства некоторые свойства дисперсии:

1) Дисперсия неотрицательна (по определению):

2) Дисперсия постоянной равна нулю:

с – const D(c) = 0

Например, если работник получает постоянную зарплату х = 30 (тыс. руб.), то ее дисперсия будет равна нулю (в самом деле, характеристика рассеяния нулевая).

3) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

с – const D(cx) = c 2 D(x)

Например, пусть дисперсия заработной платы работника равна 4 (х –заработная плата, D(х) = 4). Другой работник всегда получает на 20% больше, чем первый, т.е. заработная плата второго работника равна 1,2*х. Тогда дисперсия заработной платы второго работника равна D(1,2*х) =
= 1,2 2 *D(х) = 1,44*4 = 5,76.

4) Для независимых случайных величин дисперсия их суммы равна сумме дисперсий:

D(x + y) = D(x) + D(y) (для независимых х и y)

Например, пусть дисперсия заработной платы одного работника равна 4 (х – его заработная плата, D(х) = 4), а другого – 5 (y – его заработная плата, D(y) = 5). Тогда дисперсия суммарной заработной платы составит D(x +
+ y) = D(x) + D(y) = 4 + 5 = 9. Однако, выполнить расчет таким образом можно лишь в случае, когда заработные платы этих работников не зависят друг от друга. Если они зависимы, воспользоваться формулой нельзя.

Следует отметить, что дисперсия разности двух случайных величин будет равна тоже сумме дисперсий (а не разности). Это следует из свойств (3) и (4), поскольку при возведении в квадрат сомножителя (-1) получают 1.

Свойство (4) будет верным не только для двух, но для любого конечного числа случайных величин.

5) При увеличении (уменьшении) всех значений случайной величины на константу, ее дисперсия не изменится (это следует из свойств (2) и (4):

с – const D(x - с) = D(x)

Например, если дисперсия среднемесячной зарплаты равна 4, и из зарплаты каждый месяц вычитают 800 руб. на оплату проездного билета, то дисперсия зарплаты за вычетом оплаты проездного будет все равно равна 4.

Например, рассмотрим случайную величину х – количество проданных в день автомобилей. Эта величина измерялась в течение 100 дней, и за это время принимала значения {0; 1; 2; 3; 4} соответственно 18, 15, 28, 15 и 24 число раз. Необходимо определить дисперсию вероятностного распределения х.

Будем считать, что число экспериментов – 100 - достаточно велико, чтобы можно было рассматривать относительную частоту в качестве эмпирической оценки вероятности. Поэтому чтобы определить вероятности, разделим каждую из частот на 100. Представим вероятностное распределение в виде табл.2, приписав к ней две строки для вспомогательных вычислений.

Таблица 2

6,46-2,12 2 1,97.

Использовать полученную оценку все же представляется затруднительным. Ее нельзя сравнить с математическим ожиданием, так как ее единицы измерения не имеют экономического смысла (“автомобили в квадрате”). Поэтому, чтобы определить, действительно ли разброс количества продаж вокруг величины 2,12 так велик, извлечем корень из дисперсии . Полученный результат имеет те же единицы измерения, что и рассматриваемая случайная величина (в данном случае он измеряется в количестве автомобилей, т.е. в штуках).

Эту величину называют средним квадратическим отклонением (СКО) и обозначают .

СКО = 1,4 (шт.) – много это или мало? Вероятно, если бы объем продаж составлял в среднем, например, 10 машин в день, то такая величина характеризовала бы небольшой разброс. В рассматриваемом случае
М = 2,12 (шт.). Чтобы оценить полученный результат, необходимо подсчитать относительный показатель, который позволит сравнить СКО с математическим ожиданием.

Отношение СКО к математическому ожиданию случайной величины называют коэффициентом вариации : . Он представляет собой безразмерную величину (можно перевести его в проценты, умножив на 100%).

Для рассмотренного примера коэффициент вариации равен 1,4/2,12 =
= 0,66 или 66%.

Рассмотренные выше математическое ожидание, дисперсия, СКО и коэффициент вариации представляют собой числовые характеристики случайной величины. Кроме них, существуют и другие числовые характеристики, которые пока рассматривать не будем.

Теория вероятности - особый раздел математики, который изучают только студенты высших учебных заведений. Вы любите расчёты и формулы? Вас не пугают перспективы знакомства с нормальным распределением, энтропией ансамбля, математическим ожиданием и дисперсией дискретной случайной величины? Тогда этот предмет вам будет очень интересен. Давайте познакомимся с несколькими важнейшими базовыми понятиями этого раздела науки.

Вспомним основы

Даже если вы помните самые простые понятия теории вероятности, не пренебрегайте первыми абзацами статьи. Дело в том, что без четкого понимания основ вы не сможете работать с формулами, рассматриваемыми далее.

Итак, происходит некоторое случайное событие, некий эксперимент. В результате производимых действий мы можем получить несколько исходов - одни из них встречаются чаще, другие - реже. Вероятность события - это отношение количества реально полученных исходов одного типа к общему числу возможных. Только зная классическое определение данного понятия, вы сможете приступить к изучению математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин.

Среднее арифметическое

Ещё в школе на уроках математики вы начинали работать со средним арифметическим. Это понятие широко используется в теории вероятности, и потому его нельзя обойти стороной. Главным для нас на данный момент является то, что мы столкнемся с ним в формулах математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Мы имеем последовательность чисел и хотим найти среднее арифметическое. Всё, что от нас требуется - просуммировать всё имеющееся и разделить на количество элементов в последовательности. Пусть мы имеем числа от 1 до 9. Сумма элементов будет равна 45, и это значение мы разделим на 9. Ответ: - 5.

Дисперсия

Говоря научным языком, дисперсия - это средний квадрат отклонений полученных значений признака от среднего арифметического. Обозначается одна заглавной латинской буквой D. Что нужно, чтобы её рассчитать? Для каждого элемента последовательности посчитаем разность между имеющимся числом и средним арифметическим и возведем в квадрат. Значений получится ровно столько, сколько может быть исходов у рассматриваемого нами события. Далее мы суммируем всё полученное и делим на количество элементов в последовательности. Если у нас возможны пять исходов, то делим на пять.

У дисперсии есть и свойства, которые нужно запомнить, чтобы применять при решении задач. Например, при увеличении случайной величины в X раз, дисперсия увеличивается в X в квадрате раз (т. е. X*X). Она никогда не бывает меньше нуля и не зависит от сдвига значений на равное значение в большую или меньшую сторону. Кроме того, для независимых испытаний дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

Теперь нам обязательно нужно рассмотреть примеры дисперсии дискретной случайной величины и математического ожидания.

Предположим, что мы провели 21 эксперимент и получили 7 различных исходов. Каждый из них мы наблюдали, соответственно, 1,2,2,3,4,4 и 5 раз. Чему будет равна дисперсия?

Сначала посчитаем среднее арифметическое: сумма элементов, разумеется, равна 21. Делим её на 7, получая 3. Теперь из каждого числа исходной последовательности вычтем 3, каждое значение возведем в квадрат, а результаты сложим вместе. Получится 12. Теперь нам остается разделить число на количество элементов, и, казалось бы, всё. Но есть загвоздка! Давайте её обсудим.

Зависимость от количества экспериментов

Оказывается, при расчёте дисперсии в знаменателе может стоять одно из двух чисел: либо N, либо N-1. Здесь N - это число проведенных экспериментов или число элементов в последовательности (что, по сути, одно и то же). От чего это зависит?

Если количество испытаний измеряется сотнями, то мы должны ставить в знаменатель N. Если единицами, то N-1. Границу ученые решили провести достаточно символически: на сегодняшний день она проходит по цифре 30. Если экспериментов мы провели менее 30, то делить сумму будем на N-1, а если более - то на N.

Задача

Давайте вернемся к нашему примеру решения задачи на дисперсию и математическое ожидание. Мы получили промежуточное число 12, которое нужно было разделить на N или N-1. Поскольку экспериментов мы провели 21, что меньше 30, выберем второй вариант. Итак, ответ: дисперсия равна 12 / 2 = 2.

Математическое ожидание

Перейдем ко второму понятию, которое мы обязательно должны рассмотреть данной статье. Математическое ожидание - это результат сложения всех возможных исходов, помноженных на соответствующие вероятности. Важно понимать, что полученное значение, как и результат расчёта дисперсии, получается всего один раз для целой задачи, сколько бы исходов в ней не рассматривалось.

Формула математического ожидания достаточно проста: берем исход, умножаем на его вероятность, прибавляем то же самое для второго, третьего результата и т. д. Всё, связанное с этим понятием, рассчитывается несложно. Например, сумма матожиданий равна матожиданию суммы. Для произведения актуально то же самое. Такие простые операции позволяет с собой выполнять далеко не каждая величина в теории вероятности. Давайте возьмем задачу и посчитаем значение сразу двух изученных нами понятий. Кроме того, мы отвлекались на теорию - пришло время попрактиковаться.

Ещё один пример

Мы провели 50 испытаний и получили 10 видов исходов - цифры от 0 до 9 - появляющихся в различном процентном отношении. Это, соответственно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Напомним, что для получения вероятностей требуется разделить значения в процентах на 100. Таким образом, получим 0,02; 0,1 и т.д. Представим для дисперсии случайной величины и математического ожидания пример решения задачи.

Среднее арифметическое рассчитаем по формуле, которую помним с младшей школы: 50/10 = 5.

Теперь переведем вероятности в количество исходов «в штуках», чтобы было удобнее считать. Получим 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Из каждого полученного значения вычтем среднее арифметическое, после чего каждый из полученных результатов возведем в квадрат. Посмотрите, как это сделать, на примере первого элемента: 1 - 5 = (-4). Далее: (-4) * (-4) = 16. Для остальных значений проделайте эти операции самостоятельно. Если вы всё сделали правильно, то после сложения всех вы получите 90.

Продолжим расчёт дисперсии и математического ожидания, разделив 90 на N. Почему мы выбираем N, а не N-1? Правильно, потому что количество проведенных экспериментов превышает 30. Итак: 90/10 = 9. Дисперсию мы получили. Если у вас вышло другое число, не отчаивайтесь. Скорее всего, вы допустили банальную ошибку при расчётах. Перепроверьте написанное, и наверняка всё встанет на свои места.

Наконец, вспомним формулу математического ожидания. Не будем приводить всех расчётов, напишем лишь ответ, с которым вы сможете свериться, закончив все требуемые процедуры. Матожидание будет равно 5,48. Напомним лишь, как осуществлять операции, на примере первых элементов: 0*0,02 + 1*0,1… и так далее. Как видите, мы просто умножаем значение исхода на его вероятность.

Отклонение

Ещё одно понятие, тесно связанное с дисперсией и математическим ожиданием - среднее квадратичное отклонение. Обозначается оно либо латинскими буквами sd, либо греческой строчной «сигмой». Данное понятие показывает, насколько в среднем отклоняются значения от центрального признака. Чтобы найти её значение, требуется рассчитать квадратный корень из дисперсии.

Если вы построите график нормального распределения и захотите увидеть непосредственно на нём квадратичного отклонения, это можно сделать в несколько этапов. Возьмите половину изображения слева или справа от моды (центрального значения), проведите перпендикуляр к горизонтальной оси так, чтобы площади получившихся фигур были равны. Величина отрезка между серединой распределения и получившейся проекцией на горизонтальную ось и будет представлять собой среднее квадратичное отклонение.

Программное обеспечение

Как видно из описаний формул и представленных примеров, расчеты дисперсии и математического ожидания - не самая простая процедура с арифметической точки зрения. Чтобы не тратить время, имеет смысл воспользоваться программой, используемой в высших учебных заведениях - она называется «R». В ней есть функции, позволяющие рассчитывать значения для многих понятий из статистики и теории вероятности.

Например, вы задаете вектор значений. Делается это следующим образом: vector <-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

В заключение

Дисперсия и математическое ожидание - это без которых сложно в дальнейшем что-либо рассчитать. В основном курсе лекций в вузах они рассматриваются уже в первые месяцы изучения предмета. Именно из-за непонимания этих простейших понятий и неумения их рассчитать многие студенты сразу начинают отставать по программе и позже получают плохие отметки по результатам сессии, что лишает их стипендии.

Потренируйтесь хотя бы одну неделю по полчаса в день, решая задания, схожие с представленными в данной статье. Тогда на любой контрольной по теории вероятности вы справитесь с примерами без посторонних подсказок и шпаргалок.

Разделы