Матрицы. Основные термины
Если верхняя треугольная матрица имеет n 2 элементов, приблизительно половина из них являются нулевыми и нет необходимости сохранять их явно. Конкретно, если мы вычитаем n диагональных элементов из суммы n 2 элементов, то половина оставшихся элементов являются нулевыми. Например, при n=25 имеется 300 элементов со значением 0:
(n 2 -n)/2 = (25 2 -25)/2=(625-25)/2 = 300
Сумма или разность двух треугольных матриц А и В получается в результате сложения или вычитания соответствующих элементов матриц. Результирующая матрица является треугольной.
Сложение С = А + В
Вычитание С = А - В
где С - это треугольная матрица с элементами C i , j = A i , j + B i , j .
Умножение С = А * В
Результирующая матрица С - это треугольная матрица с элементами C i , j , значения которых вычисляются из элементов строки i матрицы А и столбца j матрицы В:
C i , j =(A i ,0 *B 0, j)+ (A i ,1 *B 1, j)+ (A i ,2 *B 2, j)+…+ (A i , n -1 *B n -1, j)
Для общей квадратной матрицы детерминант является сложной для вычисления функцией, однако вычислить детерминант треугольной матрицы не трудно. Просто получите произведение элементов на диагонали.
Хранение треугольной матрицы
Применение для хранения верхней треугольной матрицы стандартного двумерного массива требует использования всей памяти размером n 2 , несмотря на прогнозируемые нули, расположенные ниже диагонали. Для исключения этого пространства мы сохраняем элементы из треугольной матрицы в одномерном массиве М. Все элементы ниже главной диагонали не сохраняются. Таблица 3.1 показывает количество элементов, которые сохраняются в каждой строке.
Хранение треугольной матрицы
Таблица 1
Алгоритму сохранения требуется функция доступа, которая должна определять местоположение в массиве М элемента A i , j . Для j < i элемент A i , j является равным 0 и не сохраняется в М. Для j ³ i функция доступа использует информацию о числе сохраняемых элементов в каждой строке вплоть до строки i. Эта информация может быть вычислена для каждой строки i и сохранена в массиве (rowTable) для использования функцией доступа.
Пример 4.
С учетом того, что элементы треугольной матрицы сохраняются построчно в массиве М, функция доступа для A i , j использует следующие параметры:
Индексы i и j,
Массив rowTable
Алгоритм доступа к элементу A i , j заключается в следующем:
Если j
Если j³i, то получается значение rowTable[i], являющееся количеством элементов, которые сохраняются в массиве М, для элементов до строки i. В строке i первые i элементов являются нулевыми и не сохраняются в М. Элемент A i , j помещается в M+(j-i)].
Пример 5.
Рассмотрим треугольную матрицу Х из примера 3.4:
1.Х 0,2 =M=М=М=0
2.X 1,0 не сохраняются
3.Х 1,2 =M+(2-1)]=М=М=1
Класс TriMat
Класс TriMat реализует ряд операций треугольной матрицы. Вычитание и умножение треугольной матрицы оставлены для упражнений в конце главы. Учитывая то ограничение, что мы должны использовать только статические массивы, наш класс ограничивает размер строки и столбца числом 25. При этом мы будем иметь 300=(25 2 -25)/2 нулевых элементов, поэтому массив М должен содержать 325 элементов.
Спецификация класса TriMat
ОБЪЯВЛЕНИЕ
#include
#include
// максимальное число элементов и строк
// верхней треугольной матрицы
const int ELEMENTLIMIT = 325;
const int ROWLIMIT = 25;
// закрытые данные-члены
int rowTable; // начальный индекс строки в М
int n; // размер строки/колонки
double М;
// конструктор с параметрами TriMat(int matsize);
// методы доступа к элементам матрицы
void PutElement (double item, int i, int j);
double GetElement(int i, int j) const;
// матричные арифметические операции
TriMat AddMat(const TriMat& A) const;
double DelMat(void) const;
// матричные операции ввода/вывода
void ReadMat(void);
void WriteMat(void) const;
// получить размерность матрицы
int GetDimension(void) const;
ОПИСАНИЕ
Конструктор принимает число строк и столбцов матрицы. Методы PutEle-ment и GetElement сохраняют и возвращают элементы верхней треугольной матрицы. GetElement возвращает 0 для элементов ниже диагонали. AddMat возвращает сумму матрицы А с текущим объектом. Этот метод не изменяет значение текущей матрицы. Операторы ввода/вывода ReadMat и WriteMat работают со всеми элементами матрицы n x n. Сам метод ReadMat сохраняет только верхне-треугольные элементы матрицы.
#include trimat.h // включить класс TriMat
TriMat A (10), В (10), С (10); // треугольные матрицы 10x10
A.ReadMat (); // ввести матрицы А и В
С = A. AddMat (В); // вычислить С = А + В
C.WriteMat (); // печатать С
Реализация класса TriMat
Конструктор инициализирует закрытый член n параметром matsize. Таким образом задается число строк и столбцов матрицы. Этот же параметр используется для инициализации массива rowTable, который используется для доступа к элементам матрицы. Если matsize превышает ROWLIMIT, выдается сообщение об ошибке и выполнение программы прерывается.
// инициализация n и rowTable
TriMat::TriMat (int matsize)
int storedElements = 0;
// прервать программу, если matsize больше ROWLIMIT
if (matsize > ROWLIMIT)
cerr << "Превышен размер матрицы" << ROWLIMIT << "x" << ROWLIMIT << endl;
// задать таблицу
for (int i = 0; i < n; i++)
rowTable [i] = storedElements;
storedElements += n - i;
Матричные методы доступа . Ключевым моментом при работе с треугольными матрицами является возможность эффективного хранения ненулевых элементов в линейном массиве. Чтобы достичь такой эффективности и все же использовать обычные двумерные индексы i и j для доступа к элементу матрицы, нам необходимы функции PutElement и GetElement для сохранения и возвращения элементов матрицы в массиве.
Метод GetDimension предоставляет клиенту доступ к размеру матрицы. Эта информация может использоваться для обеспечения того, чтобы методам доступа передавались параметры, соответствующие правильной строке и столбцу:
// возвратить размерность матрицы n
int TriMat::GetDimension(void) const
Метод PutElement проверяет индексы i и j. Если j ³ i, мы сохраняем значение данных в М, используя функцию доступа к матрице для треугольных матриц: Если i или j не находится в диапазоне 0 . . (n-1), то программа заканчивается:
// записать элемент матрицы в массив М
void TriMat::PutElement (double item, int i, int j)
// прервать программу, если индексы элемента вне
// индексного диапазона
if ((i < 0 || i >= n) || (j < 0 |1 j >= n))
cerr << "PutElement: индекс вне диапазона 0-"<< n-1 << endl;
// все элементы ниже диагонали игнорируются if (j >= i)
M + j-i] = item;
Для получения любого элемента метод GetElement проверяет индексы i и j. Если i или j не находится в диапазоне 0…(n - 1), программа заканчивается. Если j
// получить матричный элемент массива М
double TriMat::GetElement(int i, int j) const
// прервать программу, если индексы вне индексного диапазона
if ((i < 0 || i >= п) || (j < 0 |I j >= n))
cerr << "GetElement: индекс вне диапазона 0-"<< n-1 << endl;
// вернуть элемент, если он выше диагонали
return M + j-i];
// элемент равен 0, если он ниже диагонали
Ввод/вывод матричных объектов. Традиционно, ввод матрицы подразумевает, что данные вводятся построчно с полным набором значений строк, и столбцов. В объекте TriMat нижняя треугольная матрица является нулевой и значения не сохраняются в массиве. Тем не менее, пользователю предлагается ввести эти нулевые значения для сохранения обычного матричного ввода.
// все (n x n) элементов
void TriMat::ReadMat (void)
for(i = 0; i for(j = 0; j //построчная выдача в поток элементов матрицы void TriMat::WriteMat (void) const // установка режима выдачи cout. setf (ios::fixed) ; cout.precision (3) ; cout.setf (ios::showpoint) ; for (i =0; i < n; i++) for (j = 0; j < n; j++) cout << setw(7) << GetElement (i,j); cout << endl; Матричные операции. Класс TriMat имеет методы для вычисления суммы двух матриц и детерминанта матрицы. Метод AddMat принимает единственный параметр, который является правым операндом в сумме. Текущий объект соответствует левому операнду. Например, сумма треугольных матриц X и Y использует метод AddMat для объекта X. Предположим, сумма сохраняется в объекте Z. Для вычисления Z = Х + Y используйте оператор Z = X.AddMat(Y) ; Алгоритм сложения двух объектов типа TriMat возвращает новую матрицу В с элементами B i , j = CurrentObjecty i , j + A i , j: // возвращает сумму текущей и матрицы А. // Текущий объект не изменяется TriMat TriMat::AddMat (const TriMat& A) const double itemCurrent, itemA; TriMat B(A.n); // в В будет искомая сумма for (i = 0; i < n; i++) // цикл по строкам for (j = i; j < n; j++) // пропускать элементы ниже диагонали itemCurrent=GetElement i, j); itemA = A.GetElement (i, j); B. PutElement (itemCurrent + itemA, i, j); Метод DetMat возвращает детерминант текущего объекта. Возвращаемое значение - это действительное число, которое является произведением элементов диагонали. Полный текст кода для реализации класса TriMat можно найти в программном приложении. Cтраница 2 Треугольной матрицей называется матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной или побочной диагонали равны нулю. Чему равен определитель треугольной матрицы.
Треугольной матрицей называется матрица, у которой все элементы, стоящие по одну сторону от главной или побочной диагонали, равны нулю. Чему равен определитель треугольной матрицы.
Операции по выполнению прямого хода метода Гаусса в соответствии с теоремами линейной алгебры не изменяют величины определителя. Очевидно, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
Это интуитивное представление находит в некоторых случаях точное количественное выражение. Например, мы знаем (см. (6) из § 1), что определитель треугольной матрицы (верхней или нижней) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Треугольные матрицы имеют много замечательных свойств, в силу которых они широко используются в построении самых различных методов решения задач алгебры. Так, например, для квадратных матриц сумма и произведение одноименных треугольных матриц есть треугольная матрица того же наименования, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, собственные значения треугольной матрицы совпадают с ее диагональными элементами, треугольная матрица легко обращается и обратная к ней также будет треугольной.
Ранее уже отмечалось, что непосредственное нахождение определителя требует большого объема вычислений. Вместе с тем легко вычисляется определитель треугольной матрицы: он равен произведению ее диагональных элементов.
Чем больше нулей среди элементов матрицы А и чем лучше они расположены, тем легче вычислять определитель det А. Это интуитивное представление находит в некоторых случаях точное количественное вьфажение. Например, мы знаем (см. (6) из § 1), что определитель треугольной матрицы (верхней или нижней) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Например, умножение определителя на скаляр эквивалентно умножению элементов любой строки или любого столбца матрицы на этот скаляр. Из уравнения (40) и из того, что разложение применимо к алгебраическому дополнению так же, как к определителю, следует, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
Эта возможность вытекает из трех основных свойств определителей. Прибавление кратного одной строки к другой не меняет определителя. Перестановка двух строк изменяет знак определителя. Определитель треугольной матрицы равен попросту произведению ее диагональных элементов. DECOMP использует последнюю компоненту вектора ведущих элементов, чтобы поместить туда значение 1, если было произведено четное число перестановок, и значение - 1, если нечетное. Чтобы получить определитель, это значение нужно умножить на произведение диагональных элементов выходной матрицы.
Верхняя треугольная матрица
Треугольная матрица
- квадратная матрица , в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю. Пример верхнетреугольной матрицы Верхнетреугольная матрица
- квадратная матрица , в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Нижнетреугольная матрица
- квадратная матрица, в которой все элементы выше главной диагонали равны нулю. Унитреугольная матрица
(верхняя или нижняя) - треугольная матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны единице. Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении линейных систем уравнений , когда матрица системы сводится к треугольному виду используя следующую теорему: Решение систем линейных уравнений с треугольной матрицей (обратный ход) не представляет сложностей. Wikimedia Foundation
.
2010
.
Треугольная матрица квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю. Пример верхнетреугольной матрицы Верхнетреугольная матрица … Википедия
Треугольная матрица квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю. Пример верхнетреугольной матрицы Верхнетреугольная матрица квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.… … Википедия
Треугольная матрица квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю. Пример верхнетреугольной матрицы Верхнетреугольная матрица квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.… … Википедия
Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Добавить иллюстрации … Википедия
Представление симметричной положительно определённой матрицы в виде, где нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали. Иногда разложение записывается в эквивалентной форме: , где верхняя треугольная матрица.… … Википедия
SFLASH асимметричный алгоритм цифровой подписи рекомендованный проектом NESSIE European в 2003 году. SFLASH основан на Matsumoto Imai(MI) схеме, так же называемой C*. Алгоритм принадлежит к семейству многомерных схем с открытым ключом, то… … Википедия
Процесс ортогонализации, алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V. Наиболее известным является… … Математическая энциклопедия
Коэффициент корреляции
- (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора
Ослабления м е т о д, метод итерационного решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b, элементарный шаг к рого состоит в изменении только одной компоненты вектора неизвестных, причем номера изменяемых компонент выбираются в нек ром циклич … Математическая энциклопедия
Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже или выше главной диагонали, равны нулю, называется треугольной. Треугольная матрица может быть верхнего и нижнего строения. Верхняя и нижняя формы имеют соответственно вид: , Треугольные матрицы обладают рядом важных в практическом отношении свойств: 1) Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов: Следовательно, треугольная матрица является неособенной только тогда, когда все элементы ее главной диагонали отличны от нуля. 2) Сумма и произведение треугольных матриц одинакового строения есть также треугольная матрица того же строения. 3) Неособенная треугольная матрица легко обращается, и ее обратная матрица снова имеет треугольную структуру того же строения. 4) Всякая неособенная матрица при помощи элементарных преобразований только над строками или только над столбцами может быть приведена к треугольной матрице. В качестве примера рассмотрим известную в теории устойчивости матрицу Гурвица Для перехода к верхнему треугольному виду проделаем следующие элементарные преобразования. Из каждого элемента второй строки вычтем стоящий над ним элемент первой строки, предварительно умноженный на . Вместо строки с элементами получим строку с элементами где Выполним аналогичные операции в остальных нижележащих строках. Затем вычтем из каждого элемента третьей строки преобразованной матрицы стоящие над ней элементы строки, умноженные на , и повторим аналогичные операции в остальных строках. Продолжим процесс по этой процедуре до тех пор, пока на m-м шаге не получим верхнюю треугольную матрицу Такие преобразования по существу эквивалентны умножению матрицы справа (или слева) на некоторую другую вспомогательную матрицу. Определитель матрицы Гурвица Существует теорема о разложении любой квадратной матрицы в произведение двух треугольных. Согласно этой теореме, всякая квадратная матрица может быть представлена в виде произведения нижней и верхней треугольных матриц: при условии, что ее диагональные миноры отличны от нуля: , Это разложение является единственным, если зафиксировать диагональные элементы одной из треугольных матриц (например, положить их равными единице). Разложение любой квадратной матрицы в произведение двух треугольных с предписанными диагональными элементами широко используется в вычислительных методах при решении задач с помощью ЭВМ. Однозначное представление матрицы в виде произведения двух треугольных может быть обобщено на клеточные матрицы. В таких матрицах сами элементы являются матрицами. При этом матрица может быть разложена в произведение нижней и верхней квазитреугольных матриц. Определитель квазитреугольной матрицы равен произведению ее диагональных клеток. В отличие от диагональных матриц операция умножения треугольных матриц в общем случае не коммутативна. В вычислительных методах теории управления существенную роль играют не только треугольные, но и так называемые почти треугольные матрицы. Многие методы используют разложение матрицы в виде произведения двух матриц, одна из которых имеет треугольное строение. Матрица А называется правой (левой) почти треугольной или матрицей Хессенберга, если для ее элементов а ij выполняются соотношения: Например, матрица Хессенберга правой почти треугольной формы размерности (4x4) имеет вид Отметим полезные особенности рассматриваемых матриц, которые используются в вычислительных методах: а) сумма почти треугольных матриц одинакового строения будет треугольной матрицей того же строения, а произведение - нет; б) построение характеристического полинома почти треугольных матриц экономично, так как требует гораздо меньшего объема вычислений, чем при произвольной форме матрицы. Число операций умножений составляет в) почти треугольная матрица может быть разложена в произведение двух треугольных, причем в разложении одна из матриц будет иметь более простую структуру, а именно, будет двухдиагональной. В современных инженерных методах, заложенных в системы автоматизированного проектирования, широко используется мультипликативное представление матриц, например, QR-представление. Его сущность состоит в том, что любую квадратную матрицу А можно представить в виде произведения ортогональной и почти треугольной форм Или , (4.4) где Q - ортогональная матрица; R - правая (верхняя) треугольная форма; L - левая (нижняя) треугольная форма матрицы. Представление (4.4) называется QR-разложением (в случае нижней треугольной матрицы QL-разложением) и для матрицы А является единственным. QR- и QL-алгоритмы принципиально мало различаются. Их использование зависит от того, как расположены элементы матрицы. Если они сосредоточены в нижнем правом углу, эффективнее использовать QL-алгоритм. Если элементы матрицы сосредоточены в левой верхней части, то целесообразнее использовать QR-алгоритм. При правильной реализации на ЭВМ ошибки округления во многих случаях не оказывают большого влияния на точность вычисления. 1. Пусть дана матрица ранга . Введем следующие
обозначения для последовательных главных миноров этой матрицы: Допустим, что имеют место условия
выполнимости алгоритма Гаусса: Обозначим через матрицу
коэффициентов системы уравнений (18), к которой приводится система уравнений методом исключения Гаусса.
Матрица имеет
верхнюю треугольную форму, причем элементы ее первыхrг строк
определяются формулами (13), а элементы последних строк все равны нулю: Переход от матрицы к матрице совершался
при помощи некоторого числа операций следующего типа: к -й строке матрицы
прибавлялась -я
() строка,
предварительно помноженная на некоторое число . Такая операция равносильна умножению
преобразуемой матрицы слева на матрицу В этой матрице на главной
диагонали стоят единицы, а все остальные элементы, за исключением элемента , равны нулю. Таким образом где каждая из матриц имеет вид (31) и,
следовательно, является нижней треугольной матрицей с диагональными элементами,
равными 1. Матрицу будем называть преобразующей
матрицей для матрицы в методе исключения Гаусса. Обе
матрицы, и
,
однозначно определяются заданием матрицы . Из (32) следует, что -
нижняя треугольная матрица с диагональными элементами, равными 1 (см. стр. 28). Поскольку - неособенная
матрица, то из (33) находим: Мы представили матрицу в виде
произведения нижней треугольной матрицы на верхнюю треугольную матрицу . Вопрос о
разложении матрицы на множители такого типа полностью
выясняется следующей теоремой: Теорема 1. Всякую матрицу ранга , у которой первые последовательных
глазных миноров отличны от нуля, можно
представить в виде произведения нижней треугольной матрицы на верхнюю треугольную
матрицу Первым диагональным
элементам матриц и
можно
дать произвольные значения, удовлетворяющие условиям (36). Задание первых диагональных
элементов матриц и
определяет
однозначно элементы первых столбцов матрицы и первых r строк матрицы . Для этих
элементов имеют место формулы В случае в последних столбцах матрицы можно все элементы
положить разными нулю, а в последних строках матрицы всем элементам дать
произвольные значения, либо наоборот, последние строк матрицы заполнить нулями, а
последние столбцов
матрицы взять
произвольными. Доказательство. Возможность
представления матрицы, удовлетворяющей условию (34), в виде произведения (35)
была доказана выше [см. (33")] Пусть теперь и - произвольные нижняя и
верхняя треугольные матрицы, произведение которых равно . Пользуясь формулой для
миноров произведения двух матриц, найдем: Поскольку - верхняя
треугольная матрица, то первые столбцов матрицы содержат только один
отличный от нуля минор -го порядка Положим сначала
здесь .
Тогда получим: откуда уже
вытекают соотношения (36). Не нарушая неравенства (35), мы
можем в нем умножить матрицу справа на произвольную особенную
диагональную матрицу , одновременно умножая матрицу слева на т. е. первые формулы (37).
Совершенно аналогично устанавливаются вторые формулы (37) для элементов матрицы
. Обратим внимание на то, что при
перемножении матриц и элементы последних столбцов матрицы и элементы последних строк матрицы перемножаются
между собой. Мы видели, что все элементы последних строк матрицы можно выбрать
равными нулю. Тогда элементы последних столбцов матрицы можно выбрать
произвольными. Ясно, что произведение матриц и не изменится, если мы последние столбцов матрицы возьмем нулевыми,
а элементы последних строк матрицы произвольными. Теорема доказана. Из доказанной теоремы вытекает
ряд интересных следствий. Следствие 1. Элементы первых столбцов матрицы и первых строк матрицы связаны с
элементами матрицы рекуррентными соотношениями: Соотношения (41) непосредственно
следуют из матричного равенства (35) ими удобно пользоваться для фактического
вычисления элементов матриц и . Следствие 2. Если - неособенная
матрица ,
удовлетворяющая условию (34), то в представлении (35) матрицы и определяются
однозначно, как только диагональные элементы этих матриц выбраны в соответствии
с условиями (36). Следствие 3. Если -
симметрическая матрица ранга и где - нижняя
треугольная матрица, в которой 2. Пусть в
представлении (35) у матрицы элементы последних столбцов равны
нулю. Тогда можно положить: где - нижняя, а - верхняя треугольная
матрица; при этом первые диагональных элементов у матриц и равны 1, а
элементы последних столбцов матрицы и последних строк матрицы выбраны совершенно
произвольно. Подставляя в (35) выражения (43) для и и используя равенства (36), придем к
следующей теореме: Теорема 2. Всякая матрица ранга , у которой Представим в
виде произведения нижней треугольной матрицы , диагональной и верхней треугольной : а , произвольны при ; . 3. Метод исключения Гаусса,
будучи применен к матрице ранга
, для
которой Для конкретного вычисления
элементов матрицы можно рекомендовать
следующий прием. Мы получим матрицу , если к единичной
матрице применим
все те преобразования (задаваемые матрицами ), которые мы в алгоритме Гаусса
делали над матрицей (в этом случае вместо произведения , равного , мы будем иметь
произведение ,
равное ).
Поэтому к матрице приписываем справа единичную матрицу : Применяя к этой прямоугольной
матрице все преобразования алгоритма Гаусса, получим прямоугольную матрицу,
состоящую из двух квадратных матриц и : Таким образом, применение
алгоритма Гаусса к матрице (46) дает одновременно и матрицу и матрицу . Если - неособенная матрица, т.
е. , то и
. В этом
случае из (33) следует . Поскольку матрицы и определены при
помощи алгоритма Гаусса, то нахождение обратной матрицы сводится к определению и
умножению на
., т. е. столбцов матрицы, матрица совпадает с , а матрица - с
матрицей ,
и потому формулы (53) и (54) принимают видСвойства
См. также
Смотреть что такое "Верхняя треугольная матрица" в других словарях:
Треугольные матрицы и характеристическое уравнение
.
.
,
,
, ... и т. д.
.
.
,
, .
, сложений - ;
.
.
. (31)
,
.
(32)
,
(34)
.
(35)
,
(37)
. Поэтому равенство (38)
может быть записано так:
. Это равносильно
умножению столбцов матрицы соответственно на и строк матрицы на
. Поэтому
диагональным элементам , , можно придать любые значения
удовлетворяющие условиям (36).
,
(41)
,
,
, (43)
,
(44)
,
(45)
, дает нам две
матрицы: нижнюю треугольную матрицу с диагональными элементами 1 и
верхнюю треугольную матрицу , у которой первые диагональных элементов
равны
, а
последние строк
заполнены нулями. - гауссова форма матрицы , - преобразующая
матрица.
.
(46)