Монотонные функции, определение. Достаточное условие монотонности функции
Моното́нная фу́нкция - это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной . Монотонная функция - это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Пусть дана функция Тогда
(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.
Определение экстремума
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f "(x) > 0
(f " (x) < 0).
Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Точки экстремума
Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f "(xо) = 0, либо f (xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f " (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f " (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f " (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .
7. Интервалы выпуклости, вогнутости функции .Точки перегиба.
|
График функции y =f(x) называется выпуклым на интервале (a; b) , если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y =f(x) называется вогнутым на интервале (a; b) , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c) . Примеры. Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема . Пусть y =f(x) дифференцируема на (a; b) . Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ""(x ) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f ""(x ) > 0 – вогнутый. Доказательство . Предположим для определенности, что f ""(x ) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M 0 с абсциссой x 0 (a ; b ) и проведем через точку M 0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной. |
|
Точка перегиба функции
У этого термина существуют и другие значения, см. Точка перегиба .
Точка перегиба функции внутренняя точкаобласти определения , такая чтонепрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, иявляется одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.
Неофициальное
В этом случае точка являетсяточкой перегиба графика функции, то есть график функции в точке«перегибается» черезкасательную к нему в этой точке: при касательная лежит под графиком, а при- над графиком(или наоборот)
Условия существования
Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки , имеет вточку перегиба, то.
Достаточное условие существования точки перегиба: если функция в некоторой окрестности точкираз непрерывно дифференцируема, причемнечётно и, ипри, а, то функцияимеет вточку перегиба.
Числовое множество X считается симметричным относительно нуля, если для любого x ЄX значение -х также принадлежит множеству X .
Функция y = f (х X , считается четной X x ЄX , f (х ) = f (-х ).
У четной функции график симметричен относительно оси Оу.
Функция y = f (х ), которая задана на множестве X , считается нечетной , если выполняются следующие условия: а) множество X симметрично относительно нуля; б) для любого x ЄX , f (х ) = -f (-х ).
У нечетной функции график симметричен относительно начала координат.
Функция у = f (x ), x ЄX , называется периодической на X , если найдется число Т (Т ≠ 0) (период функции), что выполняются следующие условия:
- х - Т и х + Т из множества X для любого х ЄX ;
- для любого х ЄX , f (х + T ) = f (х - T ) = f (х).
В случае, когда Т - это период функции, то любое число вида mТ , где m ЄZ , m ≠ 0, это также период этой функции. Наименьший из положительных периодов данной функции (если он существует) называется ее главным периодом.
В случае, когда Т - основной период функции, то для построения ее графика можно построить часть графика на любом из промежутков области определения длины Т , а затем сделать параллельный перенос этого участка графика вдоль оси Ох на ±Т , ±2T , ....
Функция y = f (х ), ограниченна снизу на множестве Х А , что для любого х ЄX , А ≤ f (х ). График функции, который ограничен снизу на множестве X , полностью располагается выше прямой у = А (это горизонтальная прямая).
Функция у = f (x ), ограниченна сверху на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если есть число В , что для любого х ЄX , f (х ) ≤ В . График функции, который ограничен сверху на множестве X, полностью располагается ниже прямой у = В (это горизонтальная линия).
Функция, считается ограниченной на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если она ограничена на этом множестве сверху и снизу, т. е. существуют такие числа А и В , что для любого х ЄX выполняются неравенства A ≤ f (x ) ≤ B . График функции, которая ограничена на множестве X , полностью располагается в промежутке между прямыми у = А и у = В (это горизонтальные прямые).
Функция у = f (х ), считается ограниченной на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если найдется число С > 0, что для любого x ЄX , │f (х )│≤ С .
Функция у = f (х ), х ЄX , называется возрастающей (неубывающей) на подмножестве М СX , когда для каждых х 1 и х 2 из М таких, что х 1 < х 2 , справедливо f (х 1) < f (х 2) (f (х 1) ≤ f (х 2)). Или функция у называется возрастающей на множестве К , если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.
Функция у = f (х ), х ЄX, называется убывающей (невозрастающей) на подмножестве М СX , когда для каждых х 1 и х 2 из М таких, что х 1 < х 2 , справедливо f (х 1) > f (х 2) (f (х 1) ≥ f (х 2)). Или функция у называется убывающей на множестве К , если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции.
Функция у = f (x ), х ЄX , называется монотонной на подмножестве М СX , если она является убывающей (невозрастающей) или возрастающей (неубывающей) на М .
Если функция у = f (х ), х ЄX , является убывающей или возрастающей на подмножестве М СX , то такая функция называется строго монотонной на множестве М .
Число М называют наибольшим значением функции у на множестве К , если это число является значением функции при определенном значении х 0 аргумента из множества К , а при других значениях аргумента из множества К значения функции у не больше числа М .
Число m называют наименьшим значением функции у на множестве К , если это число является значением функции при определенном значении х 0 аргумента из множества К , а при других значениях аргумента х из множества К значения функции у не меньше числа m .
Основные свойства функции , с которых лучше начинать ее изучение и исследование это область ее определения и значения. Следует запомнить, как изображаются графики элементарных функций. Только потом можно переходить к построению более сложных графиков. Тема "Функции" имеет широкие приложения в экономике и других областях знания. Функции изучают на протяжении всего курса математики и продолжают изучать в высших учебных заведениях . Там функции исследуются при помощи первой и второй производных.
Увеличение и уменьшение функций в интервале
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция называется ростом в интервале \(\ (a ; b) \) , если большое значение аргумента соответствует большему значению функции, т. Е. Для любой пары \(\ x_{1}, x_{2} \in(a, b) \) , для которой \(\ x_{1}>x_{2} \) неравенство \(\ f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right) \)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция называется убывающей в интервале \(\ (a, b) \) , если большое значение аргумента соответствует меньшему значению функции, т. e. Для любой пары \(\ x_{1}, x_{2} \in(a, b) \) , для которой выполняется \(\ x_{1}>x_{2} \) , \(\ f\left(x_{1}\right) Монотонная функция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция называется монотонной на интервале, если она либо возрастает, либо убывает в этом интервале.
Достаточное условие монотонности функции. Пусть функция \(\ f(x) \) определена и дифференцируема в интервале \(\ (a ; b) \) . Для того чтобы функция возрастала в интервале \(\ (a ; b) \) , достаточно, чтобы \(\ f^{\prime}(x)>0 \) для всех \(\ x \in(a, b) \)
Чтобы уменьшить функцию, достаточно, чтобы \(\ f^{\prime}(x) Чтобы изучить функцию \(\ f(x) \) на монотонии, необходимо:
1. найти его производную \(\ f(x) \) ;
2. Найти критические точки функции в качестве решения уравнения \(\ f^{\prime}(x)=0 \)
3. определить знак производной на каждом из интервалов, в которые критические точки делят область определения функции;
4. в соответствии с достаточным условием монотонности функции для определения интервалов возрастания и убывания.
Примеры решения проблем
Чтобы найти интервалы монотонности функции \(\ f(x)=3+9 x^{2}-x^{3} \)
Эта функция определена на всей оси чисел. Найти производную от данной функции.
\(\ f^{\prime}(x)=18 x-3 x^{2} \)
Найти критические точки, для этого мы решим уравнение
\(\ 18 x-3 x^{2}=0 \Leftrightarrow 3 x(6-x)=0 \Leftrightarrow x_{1}=0 ; x_{2}=6 \)
Эти точки делят область на три интервала, помещают их в таблицу:
\(\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x&(-\infty ; 0)& (0 ; 6)& (6 ;+\infty)\\ \hline f^{\prime}(x)&-&+&-\\ \hline f(x)&убывает&возрастает&убывает\\ \hline \end{array} \)
Функция \(\ f(x)=3+9 x^{2}-x^{3} \) возрастает на интервале \(\ (0 ; 6) \) и уменьшается на отрезках \(\ (-\infty ; 0) \), \(\ (6 ;+\infty) \)
Определить интервалы увеличения и уменьшения функции
\(\ y=\frac{x^{2}+1}{x} \)
Область определения функции решения \(\ D(y) : x \in(-\infty ; 0) \cup(0 ;+\infty) \)
Вычислить производную данной функции
\(\ y^{\prime}=\frac{2 x \cdot x-1 \cdot\left(x^{2}+1\right)}{x}=\frac{x^{2}-1}{x} \)
Приравняем производную производную к нулю и найдем корни полученного уравнения
\(\ \frac{x^{2}-1}{x}=0 \Leftrightarrow \frac{(x+1)(x-1)}{x}=0 \Leftrightarrow x \neq 0 ; x_{1}=-1 ; x_{2}=1 \)
Мы получаем четыре интервала, мы привезем их в таблицу.
\(\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&(-\infty ;-1)& (-1 ; 0)& (0 ; 1)& (1 ;+\infty)\\ \hline y^{\prime}&-&+&-&+\\ \hline y&убывает&возрастает&убывает&возрастает\\ \hline \end{array} \)
Функция \(\ y=\frac{x^{2}+1}{x} \) возрастает на интервалах \(\ (-1 ; 0) \), \(\ (1 ;+\infty) \) и уменьшается на отрезках \(\ (-\infty ;-1) \), \(\ (1 ;+\infty) \)
Которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной . Монотонная функция - это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Определения
Пусть дана функция Тогда
. . . .(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.
Другая терминология
Иногда возрастающие функции называют неубыва́ющими , а убывающие функции невозраста́ющими . Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.
Свойства монотонных функций
Условия монотонности функции
Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль . Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале Точнее имеет место
Аналогично, строго убывает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
Примеры
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Слюна
- Горьковская железная дорога
Смотреть что такое "Монотонная функция" в других словарях:
Монотонная функция - — функция f(x), которая может быть либо возрастающей на некотором промежутке (то есть, чем больше любое значение аргумента на этом промежутке, тем больше значение функции), либо убывающей (в противоположном случае).… …
МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ - функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает) … Большой Энциклопедический словарь
МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ - (monotonie function) Функция, в которой по мере роста значения аргумента значение функции всегда изменяется в том же направлении. Следовательно, если у=f(x), то либо dy/dx > 0 для всех значений х, и в этом случае у является возрастающей… … Экономический словарь
Монотонная функция - (от греч. monótonos однотонный) функция, приращения которой Δf(x) = f(x’) f(x) при Δx = x’ x > 0 не меняют знака, т. е. либо всегда неотрицательны, либо всегда неположительны. Выражаясь не совсем точно, М. ф. это функции, меняющиеся в… … Большая советская энциклопедия
монотонная функция - функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает). * * * МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ, функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или… … Энциклопедический словарь
МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ - функция одного переменного, определенная на нек ром подмножестве действительных чисел, приращение к рой при не меняет знака, т. е. либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если строго больше (меньше) нуля, когда то М. ф. наз.… … Математическая энциклопедия
МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ - функция, к рая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает) … Естествознание. Энциклопедический словарь
Монотонная последовательность - это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств.… … Википедия
функция - Команда или группа людей, а также инструментарий или другие ресурсы, которые они используют для выполнения одного или нескольких процессов или деятельности. Например, служба поддержки пользователей. Этот термин также имеет другое значение:… … Справочник технического переводчика
Функция - 1. Зависимая переменная величина; 2. Соответствие y=f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение… … Экономико-математический словарь
Функция y=f(x)
называется возрастающей
на интервале (a;b)
, если для любых x 1
и x 2
x 1
График возрастающей функции
· Функция y = f(x)
называется убывающей
на интервале (a;b), если для любых x 1
и x 2
из этого интервала таких, что x 1
График убывающей функции
· Убывающие и возрастающие функции вместе образуют класс монотонных функций. Монотонные функции обладают рядом специальных свойств.
Функция f(х), монотонная на отрезке [а,b ], ограничена на этом отрезке;
· сумма возрастающих (убывающих) функций является возрастающей (убывающей) функцией;
· если функция f возрастает (убывает) и n – нечетное число, то также возрастает (убывает);
· если f"(x)>0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является возрастающей на интервале (a,b);
· если f"(x)<0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является убывающей на интервале (a,b);
· если f(x) – непрерывная и монотонная функция на множестве Х , то уравнение f(x)=C , где С – данная константа, может иметь на Х не более одного решения;
· если на области определения уравнения f(x)=g(x) функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает, то уравнение не может иметь более одного решения.
Теорема. (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b ] функция у = f (х ) в каждой точке интервала (а, b ) имеет положительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b ].
Доказательство. Пусть >0 для всех хÎ (а,b ). Рассмотрим два произвольных значения x 2 > x 1 , принадлежащих [а, b ]. По формуле Лагранжа х 1 <с < х 2 . (с ) > 0 и х 2 – х 1 > 0, поэтому >0, откуда > , то есть функция f(х) возрастает на отрезке [а, b ]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Теорема 3. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке c функция у = f (х ) имеет в этой точке экстремум, то .
Доказательство. Пусть, например, функция у = f (х ) имеет в точке c максимум. Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки c, что для всех точек x этой окрестности выполняется f (x ) < f (c ), то есть f (c ) – наибольшее значение функции в этой окрестности. Тогда по теореме Ферма .
Аналогично доказывается случай минимума в точке c.
Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, в которой ее производная не существует. Например, функция имеет минимум в точке x = 0, хотя не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. Однако не во всех критических точках функция имеет экстремум. Например, функция у = x 3 не имеет экстремумов, хотя ее производная =0.
Теорема 4. (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f (x ) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку С (за исключением, может быть, самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку С меняет знак с плюса на минус, то функция в точке С имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.
Доказательство. Пусть c – критическая точка и пусть, например, при переходе аргумента через точку c меняет знак с плюса на минус. Это означает, что на некотором интервале(c–e; c) функция возрастает, а на интервале (c; c+e) – убывает (при e >0). Следовательно, в точке с функция имеет максимум. Аналогично доказывается случай минимума.
Замечание. Если производная не меняет знака при переходе аргумента через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума.
Так как определения предела и непрерывности для функции нескольких переменных практически совпадает с соответствующими определениями для функции одной переменной, то для функций нескольких переменных сохраняются все свойства пределов и непрерывных функций