Потенциальная. Потенциальная функция и потенциал

Представим себе, что имеем плоский фильтрационный поток любой жидкости или газа, подчиняющийся закону Дарси. При рассмотрении одномерных течений было показано, что если фильтрация протекает по закону Дарси, существует потенциальная функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа. Но если существует потенциальная функция, то наряду с ней существует функция, также удовлетворяющая уравнению Лапласа. Зная функцию, всегда можно определить функцию путем интегрирования уравнения (8.4).

Потенциальная функция течения определяется зависимостью основных параметров жидкости (или газа) и пористой среды от давления. Допустим, что эта зависимость однозначная; тогда можно заключить, что в основной плоскости течения линии равного давления (изобары) совпадают с эквипотенциальными линиями (х, у) = С. Но кривые (х, у)=С* взаимно ортогональны с эквипотенциальными линиями. Следовательно, направление векторов скорости фильтрации будет совпадать в любой данной точке М с направлением касательной к кривой семейства (х, у)=С*, то есть кривые этого семейства можно считать линиями тока. (При установившемся движении линии тока и траектории частиц жидкости совпадают). Функция (х, у) называется функцией тока.

Потенциальную функцию течения и функцию тока всегда можно принять за действительную и мнимую части некоторой функции F(z) комплексного переменного z (8.1).

Функция F (z) называется характеристической функцией течения (комплексным потенциалом).

Исследование любого плоского течения жидкости или газа в пористой среде должно начинаться с определения характеристической функции, соответствующей данной задаче. Найдя ее, мы можем считать задачу решенной. В самом деле, отделив в характеристической функции действительную часть от мнимой, т. е. представив ее в виде, показанном формулой (8.1), можно определить потенциальную функцию (х, у) и функцию тока (х, у). В результате можно представить полную картину потока: принимая различные значения функции, получим уравнения семейства эквипотенциальных линий (х, у) = С, а придавая различные значения, найдем уравнения семейства линий тока (х, у) = С*. По эквипотенциальным линиям определяется распределение давлений в пласте, по линиям тока - направление движения и характер поля скоростей фильтрации.

Проекции вектора массовой скорости фильтрации на оси координат можно записать в виде:

Примечание. Функции тока может быть дан следующий смысл. Фиксируем некоторую линию тока (х, у) = 0 и вообразим канал, ограниченный цилиндрическими поверхностями с образующими, перпендикулярными плоскости течения, проведенными через линию тока = 0 и другую линию тока (х, у) = С* и двумя плоскостями - плоскостью движения и ей параллельной, отстоящей от первой плоскости на расстояние, равное единице (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Распределение потока между двумя параллельными плоскостями 1 и 2

При рассмотрении двух произвольных поперечных сечения канала щ1 и щ2 видно, что количество массы жидкости, протекающей через эти сечения в единицу времени (расход) будет одно и то же; внутри такого канала количество массы жидкости при установившемся движении измениться не может; через боковые стенки канала, образованные линиями тока = 0 и (х, у) = С*1, и через плоскости движения жидкость не протекает, следовательно, втекает жидкости в единицу времени через щ1 столько, сколько вытекает через щ2.

Функцией тока можно назвать функцию, принимающую на линии тока (х, у) = С* значение, равное массе жидкости (газа), протекающей в единицу времени через поперечное сечение канала, построенного на линиях = 0 и (х, у) = С*1 . Функция тока определена с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора начальной линии тока = 0.

Массовую скорость фильтрации можно очень просто определить в любой точке пласта, найдя производную от характеристической функции по комплексному аргументу z. Чтобы это показать, составим полный дифференциал от характеристической функции F (z):

Вынося во второй скобке множитель i за знак скобки и воспользовавшись затем уравнениями Коши - Римана (8.4) получим:

Учитывая (8.5), перепишем (8.7) в виде

Из (8.7) и (8.8) следует, что производная dF/dz есть комплексное число, модуль которого равен модулю массовой скорости фильтрации:

Таким образом, модуль производной от характеристической функции течения равен модулю массовой скорости фильтрации.

Для однородной несжимаемой жидкости функция тока будет иметь значение объемного (а не массового) расхода жидкости через поперечное сечение канала, построенного на линиях тока =0 и =С*. Модуль же производной от характеристической функции течения будет равен скорости (а не массовой скорости) фильтрации жидкости u.

Потенциальная функция и потенциал

В статьях Гамильтоново начало (см.), Механика (см.) и в некоторых других упоминалось о силах, имеющих потенциал или потенциальную функцию. Под силой, приложенной к материальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию, подразумевается такая сила, проекции которой X, У, Z на оси координат выражаются производными от некоторой функции U (от координит x, у, z точки) по соответственным координатам, т. е.

X = dU/(dx), Y = (dU)/(dy), Z = (dU)/(dz).

Такая функция U называется П. функцией этой силы. Сколько известно, первым, указавшим на существование такой функции, и именно у сил тяготения, был Лаплас ("Mécanique célesie"), a самый термин П. функция встречается в сочинении Грина (см.): "An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism", напечатанном в 1828-м г.; но нельзя поручиться за то, что Грин первый ввел это название. Если система материальных точек подвержена только таким силам, проекции которых на оси координат суть производные по соответственным координатам от некоторой функции U от координат точек системы, то эту функцию U называют потенциалом сил этой системы. То обстоятельство, что все силы природы принадлежат именно к числу таких сил, дает весьма важное значение потенциалу и П. функции в механике и физике. Прежде всего следует указать, как изменяется общий закон изменения живой силы (см.) материальной системы, если силы, действующие на нее, имеют потенциал. Дело в том, что сумма элементарных работ таких сил при бесконечно малом перемещении системы равняется дифференциалу или бесконечно малому изменению dU потенциала, а так как та же сумма, по общему закону изменения живой силы, равняется бесконечно малому измнению dT живой силы Т системы, то dT = dU и отсюда Т - U = h, где h величина постоянная на всем движении системы. Обыкновенно называют живую силу системы ее кинетической энергией, а отрицательно взятую функцию - потенцильной энергией. Равенство Т - U = h выражает, что сумма обеих энергий остается постоянной при движении, или, как говорят: полная энергия системы остается при движения постоянной. К числу сил, имеющих потенциал, принадлежат силы взаимного притяжения или отталкивания между двумя материальными точками, если эти силы равны и противоположны, направлены по линии, проходящей через обе точки и величины их равны какой-либо функции f (r) расстояния r точек. Потенциал таких взаимнодействующих сил есть , где верхний знак (плюс) должен быть поставлен в случае сил отталкивания, а нижний (минус) - в случае сил притяжения. Например, для сил тяготения, подчиняющихся закону Ньютона, величина сил притяжения между материальными точками масс т и М равна отношению εтМ к r 2 , поэтому потенциал этих двух сил будет ε[(mM)/r], здесь ε множитель, точная величина которого может быть определена при полном знании вида поверхности земли, внутреннего строения ее и величин ускорения силы тяжести в разных местах ее поверхности. Если имеется сплошное тело. частицы которого притягивают материальную точку по закону Ньютона, то равнодействующую сил притяжения можно будет определить, если определим П. функцию этих сил. Лаплас, Пуассон и Гаусс ("Allgemeine Lehrsätze in Beziehung aut die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte"; "C. F. Gauss Werke", т. 5) доказали, что П. функция таких сил обладает следующими свойствами, если размеры тела не бесконечно велики и если плотность его нигде не имеет бесконечно большой величины: a) П. функция V сил притяжения телом точки есть функция ее координат х, у, z, сплошная и конечная, b) производные ее (dV)/(dx), (dV)/(dy), (dV)/(dz) тоже сплошны и конечны, с) Сумма трех производных второго порядка:

Δ 2 V = (d 2 V)/(dx 2) + (d 2 V)/(dy 2) + (d 2 V)/(dz 2) = 0

при положении точки вне тела и d) эта сумма Δ 2 V равна - 4πεσm при положении точки внутри тела; здесь σ означает плотность тела в том месте, где находится притягиваемая точка, т - массу ее. Свойство с доказано Лапласом, свойство d - Пуассоном. П. функция однородного шара плотности σ, радиуса R и массы

на точку массы равной единице выражается отношением εM к r (где r есть расстояние точки от центра шара), если точка находится вне шара; поэтому сила притяжения, действующая на точку, направлена к центру шара, обратно пропорциональна квадрату расстояния r и такова, как будто бы вся масса шара была сосредоточена в его центре. Если точка находится в массе шара на расстоянии r от центра, то П. функция выражается так: 2πεσ(R 2 - r 2) и сила притяжения опять направлена к центру шара, но имеет величину (4/3)πεσr, или ε(4/3)πσ(r 3 /r 2) т. е. равна отношению εМ 1 к r 2 , где

М 1 = (4/3)πσr 3 есть масса той части шара, которая находится внутри сферы радиуса r. Отсюда следует, что тот слой шара, который заключается между сферами радиусов R и r, не оказывает притяжения на точку. Если определять притяжение, оказываемое однородным сферическим слоем, заключающимся между концентрическими сферами, или однородным слоем, заключающимся между двумя концентрическими и подобными эллипсоидами, на точку, находящуюся внутри пустых полостей которого-либо из этих тел, то окажется, что действия сил внутри полости нет.

Поверхность уровня. Если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке,имеет П. функцию V 1 , то все пространство, в котором может находиться точка, можно представить себе заполненными системой бесконечного множества поверхностей, на каждой из которых V имеет одну и ту же величину. Такие поверхности называются поверхностями уровня, каждая из них имеет свой параметр, а именно ту численную величину, которую имеет V в точках этой поверхности. Сила, действующая на точку, направлена всегда по нормали к той поверхности уровня, на которой находится точка, и направлена в ту сторону, где находятся поверхности уровня с параметрами большими параметра, свойственного этой поверхности. Величина силы равняется положительно взятому корню из суммы квадратов производных от V по х, у, z; эта величина:

Учение о потенциале играет весьма большую роль в теории электрических и магнитных явлений. Электрические явления вообще происходят так, как если бы существовали два особых вещества, или флюида, действующих друг на друга по закону Кулона, т. е. с силой, пропорциональной произведению взаимодействующих количеств и обратно пропорциональной квадрату их расстояния. Эти флюиды для краткости называют положительными и отрицательным электричествами. Они находятся на поверхности наэлектризованных тел, а явление электрического тока может быть рассматриваемо как течение этих электричеств в проволоках, причем течение положительного электричества в одном направлении и течение отрицательного электричества в противоположном направлении могут быть рассматриваемы как явления между собой тождественные. Единица количества электричества есть такое количество, которое на равное ему, находящееся на единице расстояния от него, действует с силой, равной единице силы. С. G. S. - единица количества электричества - получается, когда расстояние 1 стм и сила 1 дина. Кулон = 3.10 9 C. G. S. единиц электричества. Если мы имеем наэлектризованные тела, то потенциал V в любой точке M пространства равен работе, которую производят электрические силы при переходе единицы электричества из M по произвольному пути в бсзконечность, или на весьма большое расстояние. В различных точках пространства V - различное. Если количество η электричества переходит из точки M в другую точку N, то работа ρ электрических сил равна

ρ = η(V 1 -V 2)

где v 1 и V 2 потенциалы в точках M и N. Так как работа ρ может быть только положительная, если η перемещается (течет) под влиянием электричееких сил, то ясно, что положительное электричество (η > 0) течет всегда от мест большего к местам меньшего потенциала (V 1 > V 2). Аналогично этому и теплота течет всегда от мест большей (более высокой) темп. к местам меньшей (более низкой) темп.; потенциал же аналогичен темп. (см. ниже). Другая аналогия: жидкости текут под влиянием силы тяжести от мест большей высоты к местам меньшей высоты. Внутри проводника электрическая сила должна везде равняться нулю, без чего невозможно равновесие электричества и внутри проводника появляются новые количества электричества (произойдет, как прежде говорили, разложение нейтральной смеси обоих электричеств). Если сила есть нуль, то и работа ρ, произведенная при мысленном перемещении η из M в N, тоже нуль (М и N произвольные точки внутри проводника). Отсюда следует, что V 1 = V 2 ; но ввиду произвольности положения точек M и N это равенство показывает, что все точки наэлектризованного проводника находятся при одном и том же потенциале V. Эта величина называется потенциалом самого проводника. Если соединить (длинной тонкой проволокой) два наэлектризованных тела (проводника), то + η потечет от тела, имеющего больший потенциал, к телу, имеющему меньший потенциал. Тела находятся при одинаковом потенциале, если при их соединении не происходит между ними обмена электричества. П. тела аналогичен, таким образом, температуре тела, т. е. степени нагретости. Потенциал есть мера степени электризации тела: для равновесия электричества на нескольких соединенных между собой проводниках необходимо, чтобы они все находились при одном потенциале. Единица потенциала (или разности потенциалов) равна разности V 1 -V 2 потенциалов двух точек M и N, когда при переносе η=1 из M в N совершается работа ρ = 1, или она равна потенциалу шара, радиус которого R = 1, если на его поверхности находится η=1. В C. G. S. системе V 1 -V 2 =1, когда при переносе η=1 С. G. S. совершается. работа ρ=1 эргу или когда η=1 С. G. S. находится на шаре, для которого R=1 стм. Другая единица потенциала или разности потенциалов, употребляемая на практике, называется "вольт"; вольт = 1/300 С.G.S. единицы потенциала, только что определенной. Емкость q тела определяется количеством электричества, увеличивающим потенциал тела на единицу. Заряд η, потенциал V и емкость q связаны равенством η = qV; С. G. S. единицей емкости обладает шар, для которого R = 1 стм Фарада = 9.10 11 C. G. S. единиц емкости. Энергия E заряженного проводника выражается одной из формул

E = 1 / 2 ηV = η 2 /2q = 1 / 2 qV 2

Если η, V и q выражены в С.G. S. единицах, то Е получается в эргах, если же η и q в кулонах, вольтах и фарадах, то Е в джоулях (10 7 эргах = 0,102 кг-метр. = 0,24 мал. калории). Если два проводника А и В первого класса (металлы, уголь и т. д., не подвергающиеся электролизу) соприкасаются, то между ними устанавливается разность потенциалов V 1 -V 2 , не зависящая ни от формы тел, ни от поверхности S соприкосновения, а только от рода веществ А и В и от их физического состояния, например от их температуры. Причина скачка V 1 -V 2 потенциала при переходе через S называется электродвижущей (эл. двиг.) силой е; она измеряется разностью V 1 -V 2 , т. е. принимает e=V 1 -V 2 . Следовательно, единицей электродвижущей силы можно принять вольт. Если символически изобразить е через е = А|В, то закон Вольта говорит, что А|В + В|С = А|С, где С третье тело. Для замкнутого ряда проводников первого класса, например металлов, получаем А|В + B|C + C|D +...N|M + M|A = 0, т. е. сумма скачков потенциала или сумма эл. дв. сил равна нулю. Проводники второго класса (растворы солей и кислот, вообще электролиты) не следуют закону Вольты. Если S раствор, то A|S + S|B ≠ А|В; для комбинации A, S, В, А (например, медь - кислота - цинк - медь) имеет A|S + S|B + В|А ≠ 0. Такая комбинация есть разомкнутый элемент или разомкнутая цепь; сумма действуюших в ней эл. дв. сил (сумма скачков потенциала) не равна нулю; эта сумма называется эл. дв. силой Е элемента. Она равна разности потенциалов на концах (электродах) разомкнутой цепи. В замкнутой цепи статическое состояние невозможно, если Е не нуль. Должно установиться непрерывное течение электричества, одинаковое во всех частяхт" цепи. Но + η может течь только от больших потенциалов к меньшим, а потому потенциал должен во всех частях уменьшаться или падать вдоль цепи по направлению течения + η. Если мысленно обойти всю цепь, то сумма встречающихся изменений потенциала должна равняться нулю; следоват., сумма всех падений равна сумме скачков, или сумма падений равна Е. Если J - сила тока, r сопротивление произвольного, но однородного отрезка цепи, и если V 1 - V 2 падение потенциала в этом отрезке, то J=(V 1 -V 2)/r. Так как J везде одинаковое, то падение потенциала пропорционально сопротивлению отрезка цепи, или на равные сопротивления приходятся равные падения. Если V 1 - V 2 выражено в вольтах, J в амперах (кулон электричества протекает в сек.), то r выражено в омах. Если написать подобные же выражения J для всех частей цепи, то J должно также равняться сумме числителей (сумме падений), деленной на сумму знаменателей (сопротивление R всей цепи). Но сумма падений есть Е, следовательно, J=E/R; это закон Ома. На измерении разности потенциалов на концах разомкнутой цепи основаны статические способы измерения эл. дв. сил элементов. Работа ρ, совершаемая в части цепи, равна (см. выше) ρ=η(V 1 -V 2); но η=Jt, где t время, ибо J измряется количеством электричества, протекающим во время t=1; далее V 1 -V2=rJ. Отсюда работа ρ=J 2 rt; эквивалентное ей количество теплоты выделяется в цепи. Эта формула выражает закон Ленца и Джоуля. Если J, r и t выражены в амперах, омах и секундах, то работа или теплота ρ получается в джоулях (см. выше). Для всей цепи ρ=J 2 rt=Jet. Из формулы J=(V 1 -V 2)r легко получаются законы Кирхгофа о разветвлениях тока. В термодинамике играет роль термодинамический потенциал, не отличающийся существенно от "свободной энергии" Гельмгольца, от функции Массье (Massleu) и от функции Джиббса (Gibbs; см. Энергия).

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .

Потенциальная функция, одна из характеристик векторного поля. Скалярный потенциал скалярная функция v(M).такая, что a=gradv(M).во всех точках области задания поля а (М).(иногда, напр, в физике, П. наз. величину, противоположную по знаку). Если… … Математическая энциклопедия

Потенциал, потенциальная функция, понятие, характеризующее широкий класс физических силовых полей (электрическое, гравитационное и т.п.) и вообще поля физических величин, представляемых векторами (поле скоростей в жидкости и т.п.). В… …

- (потенциальная функция) понятие, характеризующее широкий класс физических силовых полей (электрических, гравитационных и т. п.) и вообще поля физических величин, представляемых векторами (поле скоростей жидкости и т. п.). В общем случае потенциал … Большой Энциклопедический словарь

ПОТЕНЦИАЛ (потенциальная функция), понятие, характеризующее широкий класс физических силовых полей (электрических, гравитационных и т. п.) и вообще поля физических величин, представляемых векторами (поле скоростей жидкости и т. п.). В общем… … Энциклопедический словарь

- (потенциальная функция), понятие, характеризующее широкий класс физ. силовых полей (электрич., гравитац. и т.п.) и вообще поля физ. величин, представляемых векторами (поле скоростей жидкости и т.п.). В общем случае П. векторного поля а(х, у, z)… … Естествознание. Энциклопедический словарь

I Потенциал (от лат. potentia сила) в широком смысле средства, запасы, источники, имеющиеся в наличии и могущие быть мобилизованы, приведены в действие, использованы для достижения определённой цели, осуществления плана, решения какой… … Большая советская энциклопедия

Содержание 1 Биология 2 Математика 3 Физика и химия 4 Лингвистика … Википедия

- [тэ], а; м. [от лат. potentia сила] 1. Спец. Физическая величина, характеризующая силовое поле в данной точке. Электростатический п. 2. Книжн. Степень мощности в каком л. отношении, совокупность всех средств, возможностей, необходимых для чего л … Энциклопедический словарь

: Полярные сияния - Прая . Источник: т. XXIVa (1898): Полярные сияния - Прая, с. 731-733 ()

Потенциальная функция и потенциал. - В статьях Гамильтоново начало (VIII, 66), Механика (XIX, 218) и в некоторых других упоминалось о силах, имеющих потенциал или потенциальную функцию. Под силой, приложенной к материальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию, подразумевается такая сила, проекции которой X, У, Z на оси координат выражаются производными от некоторой функции U (от координит x, у, z точки) по соответственным координатам, т. е.

Такая функция U называется П. функцией этой силы. Сколько известно, первым, указавшим на существование такой функции, и именно у сил тяготения, был Лаплас («Mécanique célesie»), a самый термин П. функция встречается в сочинении Грина (см.): «An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism», напечатанном в 1828-м г.; но нельзя поручиться за то, что Грин первый ввел это название. Если система материальных точек подвержена только таким силам, проекции которых на оси координат суть производные по соответственным координатам от некоторой функции U от координат точек системы, то эту функцию U называют потенциалом сил этой системы. То обстоятельство, что все силы природы принадлежат именно к числу таких сил, дает весьма важное значение потенциалу и П. функции в механике и физике. Прежде всего следует указать, как изменяется общий закон изменения живой силы (см.) материальной системы, если силы, действующие на нее, имеют потенциал. Дело в том, что сумма элементарных работ таких сил при бесконечно малом перемещении системы равняется дифференциалу или бесконечно малому изменению dU потенциала, а так как та же сумма, по общему закону изменения живой силы, равняется бесконечно малому измнению dT живой силы Т системы, то dT = dU и отсюда Т - U = h, где h величина постоянная на всем движении системы. Обыкновенно называют живую силу системы ее кинетической энергией, а отрицательно взятую функцию - потенцильной энергией. Равенство Т - U = h выражает, что сумма обеих энергий остается постоянной при движении, или, как говорят: полная энергия системы остается при движения постоянной. К числу сил, имеющих потенциал, принадлежат силы взаимного притяжения или отталкивания между двумя материальными точками, если эти силы равны и противоположны, направлены по линии, проходящей через обе точки и величины их равны какой-либо функции f (r) расстояния r точек. Потенциал таких взаимнодействующих сил есть

где верхний знак (плюс) должен быть поставлен в случае сил отталкивания, а нижний (минус) - в случае сил притяжения. Например, для сил тяготения, подчиняющихся закону Ньютона, величина сил притяжения между материальными точками масс т и М равна отношению εmM к r 2 , поэтому потенциал этих двух сил будет

здесь ε множитель, точная величина которого может быть определена при полном знании вида поверхности земли, внутреннего строения ее и величин ускорения силы тяжести в разных местах ее поверхности. Если имеется сплошное тело. частицы которого притягивают материальную точку по закону Ньютона, то равнодействующую сил притяжения можно будет определить, если определим П. функцию этих сил. Лаплас, Пуассон и Гаусс («Allgemeine Lehrsätze in Beziehung aut die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte»; «C. F. Gauss Werke», т. 5) доказали, что П. функция таких сил обладает следующими свойствами, если размеры тела не бесконечно велики и если плотность его нигде не имеет бесконечно большой величины: a) П. функция V сил притяжения телом точки есть функция ее координат х, у, z, сплошная и конечная, b) производные ее

тоже сплошны и конечны, с) Сумма трех производных второго порядка:

при положении точки вне тела и d) эта сумма Δ 2 V равна - 4πεσm при положении точки внутри тела; здесь σ означает плотность тела в том месте, где находится притягиваемая точка, т - массу ее. Свойство с доказано Лапласом, свойство d - Пуассоном. П. функция однородного шара плотности σ, радиуса R и массы

на точку массы равной единице выражается отношением εM к r (где r есть расстояние точки от центра шара), если точка находится вне шара; поэтому сила притяжения, действующая на точку, направлена к центру шара, обратно пропорциональна квадрату расстояния r и такова, как будто бы вся масса шара была сосредоточена в его центре. Если точка находится в массе шара на расстоянии r от центра, то П. функция выражается так:

и сила притяжения опять направлена к центру шара, но имеет величину 4 3 π ϵ σ r {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \epsilon \sigma r} , или

т. е. равна отношению εM 1 к r 2 , где M 1 = 4 3 π σ r 3 {\displaystyle M_{1}={\frac {4}{3}}\pi \sigma r^{3}} есть масса той части шара, которая находится внутри сферы радиуса r. Отсюда следует, что тот слой шара, который заключается между сферами радиусов R и r, не оказывает притяжения на точку. Если определять притяжение, оказываемое однородным сферическим слоем, заключающимся между концентрическими сферами, или однородным слоем, заключающимся между двумя концентрическими и подобными эллипсоидами, на точку, находящуюся внутри пустых полостей которого-либо из этих тел, то окажется, что действия сил внутри полости нет.

Поверхность уровня. Если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке,имеет П. функцию V 1 , то все пространство, в котором может находиться точка, можно представить себе заполненными системой бесконечного множества поверхностей, на каждой из которых V имеет одну и ту же величину. Такие поверхности называются поверхностями уровня, каждая из них имеет свой параметр, а именно ту численную величину, которую имеет V в точках этой поверхности. Сила, действующая на точку, направлена всегда по нормали к той поверхности уровня, на которой находится точка, и направлена в ту сторону, где находятся поверхности уровня с параметрами большими параметра, свойственного этой поверхности. Величина силы равняется положительно взятому корню из суммы квадратов производных от V по х, у, z; эта величина:

называется дифференциальным параметром поверхности уровня в рассматриваемой точке. В гидростатике (см.) доказывается, что жидкость, капельная или упругая, может быть в равновсии только под влиянием сил, имеющих П., и что при таком состоянии поверхности уровня, где потенциал имеет одну и ту же величину, суть вместе с тем и поверхности одинакового гидростатического давления (см.), а при равновесии газообразных масс или упругих жидкостей поверхности уровня суть поверхности равной плотности и равного давления.

Учение о потенциале играет весьма большую роль в теории электрических и магнитных явлений. Электрические явления вообще происходят так, как если бы существовали два особых вещества, или флюида, действующих друг на друга по закону Кулона, т. е. с силой, пропорциональной произведению взаимодействующих количеств и обратно пропорциональной квадрату их расстояния. Эти флюиды для краткости называют положительными и отрицательным электричествами. Они находятся на поверхности наэлектризованных тел, а явление электрического тока может быть рассматриваемо как течение этих электричеств в проволоках, причем течение положительного электричества в одном направлении и течение отрицательного электричества в противоположном направлении могут быть рассматриваемы как явления между собой тождественные. Единица количества электричества есть такое количество, которое на равное ему, находящееся на единице расстояния от него, действует с силой, равной единице силы. C. G. S. - единица количества электричества - получается, когда расстояние 1 стм и сила 1 дина. Кулон = 3.10 9 C. G. S. единиц электричества. Если мы имеем наэлектризованные тела, то потенциал V в любой точке M пространства равен работе, которую производят электрические силы при переходе единицы электричества из M по произвольному пути в бсзконечность, или на весьма большое расстояние. В различных точках пространства V - различное. Если количество η электричества переходит из точки M в другую точку N , то работа ρ электрических сил равна ρ = η(V 1 - V 2), где v 1 и V 2 потенциалы в точках M и N . Так как работа ρ может быть только положительная, если η перемещается (течет) под влиянием электричееких сил, то ясно, что положительное электричество (η > 0) течет всегда от мест большего к местам меньшего потенциала (V 1 > V 2). Аналогично этому и теплота течет всегда от мест большей (более высокой) темп. к местам меньшей (более низкой) темп.; потенциал же аналогичен темп. (см. ниже). Другая аналогия: жидкости текут под влиянием силы тяжести от мест большей высоты к местам меньшей высоты. Внутри проводника электрическая сила должна везде равняться нулю, без чего невозможно равновесие электричества и внутри проводника появляются новые количества электричества (произойдет, как прежде говорили, разложение нейтральной смеси обоих электричеств). Если сила есть нуль, то и работа ρ, произведенная при мысленном перемещении η из M в N , тоже нуль (M и N произвольные точки внутри проводника). Отсюда следует, что V 1 = V 2 ; но ввиду произвольности положения точек M и N это равенство показывает, что все точки наэлектризованного проводника находятся при одном и том же потенциале V . Эта величина называется потенциалом самого проводника. Если соединить (длинной тонкой проволокой) два наэлектризованных тела (проводника), то + η потечет от тела, имеющего больший потенциал, к телу, имеющему меньший потенциал. Тела находятся при одинаковом потенциале, если при их соединении не происходит между ними обмена электричества. П. тела аналогичен, таким образом, температуре тела, т. е. степени нагретости. Потенциал есть мера степени электризации тела: для равновесия электричества на нескольких соединенных между собой проводниках необходимо, чтобы они все находились при одном потенциале. Единица потенциала (или разности потенциалов) равна разности V 1 -V 2 потенциалов двух точек M и N, когда при переносе η=1 из M в N совершается работа ρ = 1, или она равна потенциалу шара, радиус которого R = 1, если на его поверхности находится η=1. В C. G. S. системе V 1 -V 2 =1, когда при переносе η=1 C. G. S. совершается. работа ρ=1 эргу или когда η=1 С. G. S. находится на шаре, для которого R=1 стм. Другая единица потенциала или разности потенциалов, употребляемая на практике, называется «вольт»; вольт = 1/300 C. G. S. единицы потенциала, только что определенной. Емкость q тела определяется количеством электричества, увеличивающим потенциал тела на единицу. Заряд η, потенциал V и емкость q связаны равенством η = qV ; С. G. S. единицей емкости обладает шар, для которого R = 1 стм Фарада = 9.10 11 C. G. S. единиц емкости. Энергия E заряженного проводника выражается одной из формул E = 1 2 η V = η 2 2 q = 1 2 q V 2 {\displaystyle E={\frac {1}{2}}\eta V={\frac {\eta ^{2}}{2q}}={\frac {1}{2}}qV^{2}} . Если η, V и q выражены в C. G. S. единицах, то Е получается в эргах, если же η и q в кулонах, вольтах и фарадах, то Е в джоулях (10 7 эргах = 0,102 кг-метр. = 0,24 мал. калории). Если два проводника А и В первого класса (металлы, уголь и т. д., не подвергающиеся электролизу) соприкасаются, то между ними устанавливается разность потенциалов V 1 -V 2 , не зависящая ни от формы тел, ни от поверхности S соприкосновения, а только от рода веществ A и B и от их физического состояния, например от их температуры. Причина скачка V 1 -V 2 потенциала при переходе через S называется электродвижущей (эл. двиг.) силой е; она измеряется разностью V 1 -V 2 , т. е. принимает e = V 1 -V 2 . Следовательно, единицей электродвижущей силы можно принять вольт. Если символически изобразить е через е = A |B , то закон Вольта говорит, что A |B + B |C = A |C , где C третье тело. Для замкнутого ряда проводников первого класса, например металлов, получаем A |B + B |C + C |D + … N |M + M |A = 0, т. е. сумма скачков потенциала или сумма эл. дв. сил равна нулю. Проводники второго класса (растворы солей и кислот, вообще электролиты) не следуют закону Вольты. Если S раствор, то A |S + S |B ≠ A |B ; для комбинации A , S , B , A (например, медь - кислота - цинк - медь) имеет A |S + S |B + B |A ≠ 0. Такая комбинация есть разомкнутый элемент или разомкнутая цепь; сумма действуюших в ней эл. дв. сил (сумма скачков потенциала) не равна нулю; эта сумма называется эл. дв. силой E элемента. Она равна разности потенциалов на концах (электродах) разомкнутой цепи. В замкнутой цепи статическое состояние невозможно, если E не нуль. Должно установиться непрерывное течение электричества, одинаковое во всех частях цепи. Но + η может течь только от больших потенциалов к меньшим, а потому потенциал должен во всех частях уменьшаться или падать вдоль цепи по направлению течения + η. Если мысленно обойти всю цепь, то сумма встречающихся изменений потенциала должна равняться нулю; следоват., сумма всех падений равна сумме скачков, или сумма падений равна E . Если J - сила тока, r сопротивление произвольного, но однородного отрезка цепи, и если V 1 - V 2 падение потенциала в этом отрезке, то

Так как J везде одинаковое, то падение потенциала пропорционально сопротивлению отрезка цепи, или на равные сопротивления приходятся равные падения. Если V 1 - V 2 выражено в вольтах, J в амперах (кулон электричества протекает в сек.), то r выражено в омах. Если написать подобные же выражения J для всех частей цепи, то J должно также равняться сумме числителей (сумме падений), деленной на сумму знаменателей (сопротивление R всей цепи). Но сумма падений есть Е, следовательно, J =E :R ; это закон Ома. На измерении разности потенциалов на концах разомкнутой цепи основаны статические способы измерения эл. дв. сил элементов. Работа ρ, совершаемая в части цепи, равна (см. выше) ρ=η(V 1 -V 2); но η=Jt , где t время, ибо J измряется количеством электричества, протекающим во время t =1; далее V 1 -V 2 =rJ . Отсюда работа ρ=J 2 rt ; эквивалентное ей количество теплоты выделяется в цепи. Эта формула выражает закон Ленца и Джоуля. Если J, r и t выражены в амперах, омах и секундах, то работа или теплота ρ получается в джоулях (см. выше). Для всей цепи ρ=J 2 rt =Jet . Из формулы J =(V 1 -V 2)r легко получаются законы Кирхгофа о разветвлениях тока. В термодинамике играет роль термодинамический потенциал, не отличающийся существенно от «свободной энергии» Гельмгольца, от функции Массье (Massleu) и от функции Джиббса (Gibbs; см. Энергия).

(магнитный поток) через произвольную поверхность S, которая опирается на контур L:

$\overrightarrow{n\ }$ - положительная нормаль к S, которая образует с направлением тока правовинтовую систему. Этот поток зависит только от расположения контура L, но не зависит от формы поверхности S. Используя определение векторного потенциала:

поток можно записать как:

Так мы получили, что магнитный поток Ф через контур L равен циркуляции векторного потенциала по заданному контуру. Если перемещать контур элементарная механическая работа $\delta А\ \ $сил $магнитного$ поля может быть представлена как:

где $\delta Ф$ -- увеличение магнитного потока через поверхность, связанную с контуром с током.

Формула (4) показывает, что работа пондемоторных сил магнитного поля при любом перемещении тока равна произведению изменения магнитного потока на силу тока. Следовательно, перемещения, при которых магнитный поток через контур не изменяется, не связаны с работой магнитного поля.

Введем обозначение:

В таком случае уравнение (4) примет вид:

где индекс I обозначает, что при определении приращения функции U силу тока считаем постоянной. В данном случае функция U выступает в роли потенциальной или силовой функции тока в магнитном поле. Следовательно, формула (6) значит, что работа пондемоторных сил магнитного поля равна убыли потенциальной функции тока.

Если функция U выражена в зависимости от «обобщенных» координат $q_i$, которые характеризуют положение контура с током, «обобщенная» пондемоторная сила ${\theta }_i$, которая действует на контур с током в направлении любой из координат $q_i,$ может быть представлена как:

Свойство (7) силовой функции U однако, не дает права отождествлять ее с потенциальной энергией магнитного поля. Так как при перемещении проводника с током в магнитном поле не только пондемоторные силы совершают работу, также выполняют работу электродвижущие силы. Значит, изменение энергии магнитного поля при перемещении проводника нельзя приравнять к работе пондемоторных сил поля.

Введение потенциальной функции тока облегчает рассмотрение пондемоторных сил, которые действуют на токи в магнитном поле, так как это позволяет исключить сложное суммирование сил, которые действуют на отдельные элементы тока.

Так, например, из уравнения (6) и (7) следует, что устойчивое равновесие контура с постоянным током соответствует минимуму потенциальной функции U или по (5) максимуму магнитного потока Ф.

Потенциальная функция тока для объемных токов

В том случае, когда нельзя не учитывать изменением магнитной индукции по сечению тока от линейных токов переходят к объемным токам. Для этого в уравнение (5) подставим вместо магнитного потока правую часть уравнения (3), получим:

Затем перейдем к объемным токам, тогда потенциальную функцию тока определяют как:

Пример 1

Задание: Рамка находится в однородном магнитном поле с индукцией B и закреплена так, что может вращаться вокруг своей оси (рис.1). Ее площадь равна S. По ней течет ток силы I. Угол $\alpha $ -- между положительной нормалью к рамке и вектором $\overrightarrow{B}.$ В каком положении рамка находится в состоянии устойчивого равновесия?

Магнитный поток (Ф) через рамку равен:

\[Ф=BScos\alpha \ \left(1.1\right).\]

тогда потенциальная функция тока будет иметь вид:

Момент сил, приложенных к рамке сил, который стремится повернуть рамку, равен:

Положения равновесия рамки соответствует M=0. То есть $\alpha =0,\ \alpha =\pi .$ Первый угол соответствует минимуму потенциальной функции, второй угол максимуму потенциальной функции. Следовательно, только первый угол соответствует устойчивому равновесию.

Ответ: Пондемоторные силы магнитного поля стремятся повернуть рамку с током так, чтобы положительная нормаль совпадала с линиями поля.

Пример 2

Задание: Рассмотрим взаимодействие двух замкнутых линейных токов $I_1\ и\ I_2$, которые обтекают контуры $L_1\ и\ L_2$ соответственно. Магнитный поток, который второй ток образует через контур первого тока, равен $Ф_{21}=I_2L_{21}$, $Ф_{12}=I_1L_{12}$- магнитный поток, первого тока через контур второго тока, здесь $L_{21}=L_{12}$ -- называют коэффициентами взаимной индукции контуров $L_1\ и\ L_2$. Коэффициенты взаимной индукции зависят от конфигурации, взаимного расположения контуров и направления их обхода. Силы токов в контурах постоянны. Запишите выражения для пондемоторных сил, которые действуют на токи и выражение для соответствующей им работы.

Запишем выражения для потенциальных функций токов. Для тока $I_1$ в поле тока $I_2\ $получим:

Для тока $I_2$ в поле тока $I_1\ $имеем:

Так как$\ L_{12}$=$L_{12}$, следовательно, $U_{21}=U_{12}$. Обобщенные пондемоторные силы ${\theta }_i$ равны:

\[{\theta }_i=-\frac{{\left(\partial U\right)}_I}{\partial q_i}={I_1I}_2\frac{\partial L_{12}}{\partial q_i}\left(2.3\right).\]

Так как токи постоянны, то получаем:

\[\theta ={I_1I}_2\frac{\partial L_{12}}{\partial q_i}\left(2.4\right).\]

Работа механических сил равна:

\[\delta A=-{\left(\delta U_{12}\right)}_I={I_1I}_2\delta L_{12}\left(2.5\right).\]

Механическое взаимодействие замкнутых токов удовлетворяет принципу «действие равно противодействию», так как силы, которые испытывают каждый ток, определены одинаковыми функциями $U_{12}=U_{21}$, которые зависят только от относительного расположения контуров.

Ответ: $\theta ={I_1I}_2\frac{\partial L_{12}}{\partial q_i}.\ \ \delta A={I_1I}_2\delta L_{12}.$