Производная суммы равна сумме производных. Производная алгебраической суммы функций
Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx :
Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f (x ) = x 2 + (2x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.
Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.
Производные элементарных функций
Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.
Итак, производные элементарных функций:
Название | Функция | Производная |
Константа | f (x ) = C , C ∈ R | 0 (да-да, ноль!) |
Степень с рациональным показателем | f (x ) = x n | n · x n − 1 |
Синус | f (x ) = sin x | cos x |
Косинус | f (x ) = cos x | − sin x (минус синус) |
Тангенс | f (x ) = tg x | 1/cos 2 x |
Котангенс | f (x ) = ctg x | − 1/sin 2 x |
Натуральный логарифм | f (x ) = ln x | 1/x |
Произвольный логарифм | f (x ) = log a x | 1/(x · ln a ) |
Показательная функция | f (x ) = e x | e x (ничего не изменилось) |
Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:
(C · f )’ = C · f ’.
В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:
(2x 3)’ = 2 · (x 3)’ = 2 · 3x 2 = 6x 2 .
Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.
Производная суммы и разности
Пусть даны функции f (x ) и g (x ), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:
- (f + g )’ = f ’ + g ’
- (f − g )’ = f ’ − g ’
Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h )’ = f ’ + g ’ + h ’.
Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.
f (x ) = x 2 + sin x; g (x ) = x 4 + 2x 2 − 3.
Функция f (x ) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:
f ’(x ) = (x 2 + sin x )’ = (x 2)’ + (sin x )’ = 2x + cos x;
Аналогично рассуждаем для функции g (x ). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):
g ’(x ) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).
Ответ:
f
’(x
) = 2x
+ cos x;
g
’(x
) = 4x
· (x
2 + 1).
Производная произведения
Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike ">равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:
(f · g ) ’ = f ’ · g + f · g ’
Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.
Задача. Найти производные функций: f (x ) = x 3 · cos x; g (x ) = (x 2 + 7x − 7) · e x .
Функция f (x ) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:
f ’(x ) = (x 3 · cos x )’ = (x 3)’ · cos x + x 3 · (cos x )’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x )
У функции g (x ) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g (x ) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:
g ’(x ) = ((x 2 + 7x − 7) · e x )’ = (x 2 + 7x − 7)’ · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x )’ = (2x + 7) · e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x ) · e x = x (x + 9) · e x .
Ответ:
f
’(x
) = x
2 · (3cos x
− x
· sin x
);
g
’(x
) = x
(x
+ 9) · e
x
.
Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.
Если есть две функции f (x ) и g (x ), причем g (x ) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h (x ) = f (x )/g (x ). Для такой функции тоже можно найти производную:
Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.
Задача. Найти производные функций:
В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:
По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:
Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f (x ) = sin x и заменить переменную x , скажем, на x 2 + ln x . Получится f (x ) = sin (x 2 + ln x ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.
Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’, если x заменяется на t (x ).
Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.
Задача. Найти производные функций: f (x ) = e 2x + 3 ; g (x ) = sin (x 2 + ln x )
Заметим, что если в функции f (x ) вместо выражения 2x + 3 будет просто x , то получится элементарная функция f (x ) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t , f (x ) = f (t ) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (e t )’ · t ’ = e t · t ’
А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:
f ’(x ) = e t · t ’ = e 2x + 3 · (2x + 3)’ = e 2x + 3 · 2 = 2 · e 2x + 3
Теперь разберемся с функцией g (x ). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t . Имеем:
g ’(x ) = g ’(t ) · t ’ = (sin t )’ · t ’ = cos t · t ’
Обратная замена: t = x 2 + ln x . Тогда:
g ’(x ) = cos (x 2 + ln x ) · (x 2 + ln x )’ = cos (x 2 + ln x ) · (2x + 1/x ).
Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.
Ответ:
f
’(x
) = 2 · e
2x
+ 3 ;
g
’(x
) = (2x
+ 1/x
) · cos (x
2 + ln x
).
Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.
Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:
(x n )’ = n · x n − 1
Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5 . А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.
Задача. Найти производную функции:
Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:
f (x ) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8x − 7 = t . Находим производную по формуле:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (t 0,5)’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.
Делаем обратную замену: t = x 2 + 8x − 7. Имеем:
f ’(x ) = 0,5 · (x 2 + 8x − 7) −0,5 · (x 2 + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Наконец, возвращаемся к корням:
Сформулируем необходимое условие существования производной.
Теорема.
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна.
Заметим, что обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной.
Например, функция
непрерывна при
,
но не дифференцируема для этого значения,
так как в точке
графика функции
не существует касательной.
Таким образом, непрерывность функции необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции.
4.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
Нахождение производной функции непосредственно по определению (п.4.1) часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.
Теорема.
Если функции
и
дифференцируемы в точкех
,
то в этой точке дифференцируемы функции
,
,(при условии, что
)
и при этом
;
;
,
.
Следствия
1.
,
где
.
2. Если
,
то.
3.
,
где
.
4.6. Производная сложной функции
Пусть
и
,
тогда
− сложная функция с промежуточным
аргументомu
и независимым аргументом х
.
Теорема.
Если функции
имеет производную
в точке х
,
а функция
имеет производную
в соответствующей точке
,
то сложная функция
в точкех
имеет производную
,
которая находится по формуле:
или
=.
Кратко это можно сформулировать так (правило цепочки ): производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих .
Данное правило распространяется на сложные функции при любом (определенном) числе промежуточных аргументов.
Так, если
,
,
,
,
то
4.7. Производная обратной функции
Если
и
− взаимо-обратные дифференцируемые
функции и
,
то
или
,
т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции .
Записывают:
или .
Пример
Найти производную
функции
.
,
,
тогда
,
.
Имеем
.
.
Итак,
.
4.8. Таблица производных
Для удобства и упрощения процесса дифференцирования формулы производных основных элементарных функций и правила дифференцирования сведены в таблицу.
дифференцирования |
дифференцирования |
||
,
|
|||
,
| |||
,
| |||
,
| |||
, если
| |||
, если
| |||
4.9. Примеры отыскания производных сложных функций
На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Покажем на примерах, как находить производные от таких функций.
1.
,k
− число.
;
2.
.
;
3.
.
;
4.
.
;
.
5.
.
;
6.
.
;
;
.
7.
.
.
8.
.
9.
.
10.
.
.
Для случая дифференцирования сложных функций, таблицу производных можно переписать в более общем виде.
Формулы
дифференцирования основных элементарных
функций от промежуточного аргумента
(
)
4.10. Производная функции, заданной параметрически
Зависимость между переменными х и y может быть задана параметрически в виде двух уравнений:
где t − вспомогательная переменная (параметр).
Функцию
,
определяемую этими уравнениями, можно
рассматривать как сложную функцию
,
где
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Так как
,
то
.
Примеры
Найти производные функций:
1.
.
2.
.
4.11 Производная неявной функции
Если неявная
функция задана уравнением
,
то для нахождения производной оту
по х
надо продифференцировать это уравнение
по х
,
рассматривая при этом у
как функцию от х
,
и затем, полученное уравнение разрешить
относительно
,
выразивчерезх
и у
.
Пример
Найти производную
функции:
.
;
.
4.12. Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев,
когда приходится дифференцировать
произведение многих сомножителей или
частное, в котором и числитель и
знаменатель состоят из нескольких
сомножителей, а также при нахождении
производных от показательно-степенной
функции
,
применяютлогарифмическое
дифференцирование
.
Метод логарифмического дифференцирования заключается в том, что от заданной функции у сначала находится натуральный логарифм, а затем результат дифференцируется:
.
Из полученного равенства определяется :
.
Примеры
Найти производные функций:
1.
.
;
;
2.
.
;
;
;
.
4.13. Производные высших порядков
Производная
от функции
называетсяпроизводной
первого порядка
(или первой производной) и представляет
собой функцию от х
.
Производную от
первой производной называют производной
второго порядка
или второй производной и обозначают
,
,.
Итак, по определению
.
Вторая производная играет роль ускорения изменения функции .
Производная от
производной второго порядка называется
производной
третьего порядка
и обозначается
,
,.
Таким образом,
.
Производной n -го порядка (или n -й производной) называется производная от производной (n -1) порядка:
.
Число n , указывающее порядок производной, заключают в скобки, чтобы не путать с показателем степени.
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков .
Порядок производной,
начиная с четвертого, обозначают римскими
цифрами или арабскими цифрами в скобках,
например,
или
и т.д.
ции, в силу чего равенство (3.10) играет большую роль как в теоретических исследованиях, так и в приближенных вычислениях.
Операции нахождения производной и дифференциала функции называются дифференцированием этой функции. Общее название обеих операций объясняется их очевидной зависимостью. В силу формулы (3.8) дифференциал функции получается простым умножением ее произ-
носительную погрешности, которые возникают при замене приращения функции ее дифференциалом.
Найдём приращение и дифференциал функции
y = 3(x+ x) 2 + (x+ x) − 3 x2 − x= 6 x x+ 3(x) 2 + x= (6 x+ 1) x+ (x) 2 .
Тогда dy = (6 x + 1) x . Вычислимy иdy в точкеx = 1 , еслиx = 0 , 1 y = 7 0 , 1 + 3 0 , 01 = 0 , 73 ; dy = 7 0 , 1 = 0 , 7 .
Абсолютная погрешность y − dy = 0 , 73 − 0 , 7 = 0 , 03 , а относительная погрешность
y = 0 0 , , 03 73 ≈0 ,04 .
3.5. Производная суммы, произведения и частного функций
Напомним известные из курса средней школы правила дифференцирования, которые позволяют в некоторых случаях находить производные функций, не прибегая непосредственно к определению.
Теорема 3.3. Если функцииu = u (x ) иv = v (x )
в точке x , то в этой точке | ||||||||||
(u+ v) | ||||||||||
(uv ) | U v+ v u; |
|||||||||
u v − v u | V =v (x ) ≠0 . |
|||||||||
дифференцируемы
Умножив эти равенства почленно на dx , получим те же правила, записанные в терминах дифференциалов
d (u+ v) = du+ dv; | |
d (uv) = udv+ vdu; |
udv − vdu | |||||||
Доказательство. Так как для всех частей теоремы доказательство проводится совершенно единообразно, докажем одну из них, например, вторую.
Обозначим y = uv . Придадимx приращениеx , и пусть
u ,Δ v ,Δ y будут приращения функцийu , v , y в точке | x , соответствую- |
||||||||
щие приращению | x , аргумента. Тогда | ||||||||
y = (u+ u)(v+ v) − uv= v u+ u v+ u v. |
|||||||||
Учитывая, что u | и v - значения функций в точке | x не зависят от при- |
|||||||
ращения аргумента | x , в силу определения (3.1) и свойств предельного |
||||||||
перехода (см. формулы (2.14),(2.15) находим | |||||||||
y ′ =lim | V lim | U lim | v + lim | ||||||
x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 | |||||
Функция v = v (x ) | в рассматриваемой точке | x по условию теоремы диф- |
ференцируема, а значит, и непрерывна (теорема 3.2), следовательно
v = 0 (определение непрерывности 2.17) и предыдущее равенство |
|||||||
x→ 0 | y ′ = vu ′+ uv ′+ u ′ 0 . Подставив сюда |
||||||
дает выражение для производной: |
|||||||
y = uv , придем к формуле (3.12). | y = C (здесь |
||||||
Производная и дифференциал постоянной функции |
|||||||
С - | постоянное число при всех x X ) | равны нулю. | |||||
x X C | |||||||
dC = C dx= 0 . |
|||||||
Действительно, в любых точках множества X такая функция имеет одно |
|||||||
и то же значение, в силу чего для нее | y ≡ 0 при любых | x иx таких |
|||||
x , x + x X . Отсюда, | в силу определения производной и диффе- |
||||||
ренциала, следуют формулы (3.17). | |||||||
Формула (3.11) обобщается на случай любого конечного числа сла- |
|||||||
гаемых функций. | |||||||
При u = C , где | C − const , формулы (3.12) и (3.15), | в силу (3.17), |
|||||
d (Cv ) = Cdv . То есть, постоянный множи- |
|||||||
дают равенства: (Cv ) |
тель можно выносить за знаки производной и дифференциала.
Для случая трех сомножителей, последовательно применяя формулу
(3.12), находим
(uvw) ′ = ((uv) w) ′ = (uv) ′ w+ (uv) w′+ (u′ v+ uv′ ) w+ uvw′ = = u ′ vw + uv ′ w + uvw ′.
Аналогичное правило справедливо при дифференцировании произведения любого числа сомножителей.
В следующих пунктах будут получены производные основных элементарных функций.
3.6. Производные от тригонометрических функций
Найдем производные от тригонометрических функций, а именно
Cosx | = − sinx |
||||||||
(sin x ) | (cos x ) | ||||||||
(tgx) ′ = | (ctgx) ′ | ||||||||
cos2 x | sin2 x |
Получим первую из них. Приращение функции y = sin x в точкеx , со-
ответствующее приращение | аргумента, будет | ||||||||
y = sin(x+ | x )− sinx = 2sin | x cos(x + | x ) . |
||||||
Учитывая, что sin 2 x | 2 x при | ||||||||
x → 0 | и используя определение произ- |
||||||||
водной, находим | 2sin 2 x cos(x + | 2x ) | |||||||
y ′ =lim | y = lim | ||||||||
x→ 0 | x→ 0 | ||||||||
2 2 x cos(x + | 2x ) | Limcos(x + | x )= cosx . |
||||||
x→ 0 | x→ 0 |
Вторая формула доказывается аналогично. Третья и четвертая формулы получаются, если тангенс и котангенс выразить через синус и косинус и воспользоваться формулой (3.13).
3.7. Дифференцирование логарифмических функций
Имеют место формулы | |||||||||
loga e | |||||||||
(loga x ) | 2. (lnx ) | ||||||||
Докажем первую из них. Приращение функции y = log a x в точкеx , со-
ответствующее приращению x | аргумента, будет | ||||
y = loga (x + x )− loga x = loga | x + x | Loga (1+ | x )= loga e ln(1+ | x ) ; |
|
(мы воспользовались здесь тождеством log a A = log a e ln A ).
Так как ln(1 + x x ) x x | x → 0 | То по определению производной |
|||||||
получаем: | y = loga e lim | x )= |
|||||||
y ′ =lim | ln(1+ |
||||||||
x→ 0 | x→ 0 | ||||||||
Loga e lim | loga e . | ||||||||
x→ 0 |
3.8. Дифференцирование сложной функции.
Производные от степенной и показательной функций
Пусть сложная функция y аргументаx задана формуламиy = f (u ) ,
u = ϕ (x ) (см. пункт 1.4.3)
Теорема 3.4 (о производной сложной функции). Если функции
y = f (u ) , u = ϕ (x ) дифференцируемы | в соответствующих | друг другу |
|
точках u иx , то сложная функция | f [ ϕ (x )] тоже дифференцируема в |
||
x , причем | y ′x =y ′u u ′x . | ||
y ′ =f ′(u ) u ′или | |||
Доказательство. Независимой переменнойx придадим прираще- |
|||
x , тогда функцияu = ϕ (x ) получит приращениеu , | что вызовет |
приращение y функцииy = f (u ) . Так как функцияy = f (u ) по условию теоремы дифференцируема в рассматриваемой точкеu , то ее приращение в этой точке можно представить в виде (см.определение 3.4)
u , гдеα ( | u ) → o приu → 0 . | ||||||
y = f(u) u+ α (u) | |||||||
f (u) | x + α (u ) | ||||||
Функция u = ϕ (x ) | дифференцируема, а значит и непрерывна в точ- |
||||||
ке x , соответствующей рассмотренной выше точкеu | (теорема 3.2). |
||||||
Следовательно, | непрерывности | lim u = 0, | а поэтому |
||||
x→ 0 | |||||||
lim α (u )= 0. | |||||||
x→ 0 | |||||||
Учитывая это, | переходе в | последнем | равенстве к | пределу при |
x → 0 , придем к (3.18).
Умножив равенство (3.18) почленно на dx , получим выражение для дифференциала сложной функции
dy = f′ (u) du.
Замечание. Дифференциал функцииy = f (u ) имел бы точно такой же вид и в том случае, если бы аргументu был не функцией, а независимой переменной. В этом состоит так называемоесвойство инвариантности (независимости) формы дифференциала по отношению к аргументу. Следует иметь в виду, что еслиu - независимая переменная, тоdu = u есть ее произвольное приращение, если жеu - промежуточный аргумент (то есть функция), тоdu - дифференциал этой функции, то есть величина, не совпадающая с ее приращениемu .
С помощью последней теоремы легко получить формулы дифференци-
рования степенной и показательной функции: | |||||||||||||||
α− 1 | 2). (a | ln a ; | 3). (e | ||||||||||||
1). (x | ) = α x | ||||||||||||||
Действительно, | предполагая | x > 0 , | прологарифмируем обе части |
||||||||||||
формулы y = x α ; ln y = α ln x . Здесьy | Это функция от x , в силу чего |
левая часть последнего равенства является сложной функцией отx . Продифференцировав обе части последнего равенства поx (левую - как сложную функцию), получим
1 y y ′ =a 1 x ,
y ′ =ay x =ax x a =ax a − 1 .
Легко показать, что этот результат верен и при x < 0 , если только при
этом x α имеет смысл. Ранее был получен результат для случаяα = n . Аналогично получается и вторая формула, из которой в частном случае приa = e вытекает последняя формула.
Замечание. Прием предварительного логарифмирования, который был использован при получении формулы дифференцирования степенной функции, имеет самостоятельное значение и называется в совокупности с последующим нахождением производной логарифма функции
lnx ) "= cosx lnx + sin x x .
Следовательно,
y ′ = x sin x (cosx lnx + sin x x )
Замечание. Правило дифференцирования сложной функции может быть применено и для отыскания производной функции, заданной неявно.
Действительно, если зависимость между x иy задана в формеF (x , y ) = 0 и это уравнение разрешимо относительноy , то производнуюy ′ можно найти из уравнения
(F (x , y (x ))= 0. | |||||||||
Пример 3.4. | y = f (x ) , заданной не- |
||||||||
Найти производную функции |
|||||||||
явно уравнением | arctg(y) − y+ x= 0 . | y функцией отx : |
|||||||
Дифференцируем равенство по x , считая |
|||||||||
y′ | 1 +y |
||||||||
− y ′+ 1= 0, откуда | y ′ = | ||||||||
1 +y 2 |
3.9. Дифференцирование обратной функции.
Дифференцирование обратных тригонометрических функций
Пусть даны две взаимно обратные функции y = f (x ) иx = ϕ (y )
(см.п. 1.4.8).
Теорема 3.5 (о производной обратной функции). Если функции
y = f(x) , | x = ϕ (y) | возрастают (убывают) и в точке x функцияf (x ) |
|||||||||||||
дифференцируема, | f ′ (x) ≠ 0 , то в соответствующей точке | ||||||||||||||
функция ϕ (y ) тоже дифференцируема (поy ), причем | |||||||||||||||
Доказательство. | зададим приращение | ||||||||||||||
x = ϕ (y) | возрастает | (убывает) | |||||||||||||
x = ϕ (y + y )− ϕ (y )≠ 0и | В условиях теоремы | ||||||||||||||
x = ϕ (y) | x → 0 | y → 0 | |||||||||||||
непрерывна (теорема 3.2), в силу чего |