Геометрические знаки и их обозначения. Символика геометрических фигур и идеограмм

Главная

Лето

Символический язык – язык универсальный. Символика не только выражает отношения между вещами, явлениями и идеями. Однако большинство людей не владеют языком символов, не умеют расшифровать его, в то время как символы чрезвычайно важны для понимания путей развития человеческой мысли, искусства, обычаев, религии и мифологии.

В прежние времена символика была тайным знанием, которое тщательно охранялось узким кругом Посвященных. Теперь же наступило время, когда доступ к символам открыт всем, и число желающих изучать их и работать с ними постоянно растет.

Всплеск интереса к символам в современном мире многие считают показателем возрождения духовных потребностей людей, их желания вырваться из тесной клетки обыденности, в которую часто превращается наша жизнь.

Символы служат указателями и помогают лучше понять окружающий мир, а значит, жить в гармонии с ним. И сейчас самое время выявить новый смысл классических символов, которые, возникнув в необозримой дали веков, сохранили свое значение до наших дней. Кто знает, сколько слоев Неведомого они еще таят в себе, какие неизвестные пока нам законы мироздания зашифрованы в них и ждут своего часа, чтобы открыться Человеку!

Книга рассчитана на широкий круг читателей, независимо от возраста, образования, уровня восприятия. Открывайте для себя древнее знание, связывающее воедино наш мир, расширяющее горизонты как прошлого, так и будущего.

Геометрические символы

Абсолютный символический язык – это язык геометрических фигур...

Геометрические фигуры – конкретное воплощение чисел. Числа принадлежат к миру принципов, и они становятся геометрическими фигурами, спускаясь в физический план.

О. М. Айванхов

Практически все геометрические символы состоят из комбинаций нескольких геометрических элементов – простых составных частей, каждая из которых имеет в то же время свое особенное значение, внося свой вклад в общую композицию.

«Геометрические фигуры подобны каркасу действительности, тогда как образы еще содержат, так сказать, немного плоти, кожи и мускулов» (О. М. Айванхов).

Геометрические символы стабильны и передаются из поколения в поколение без изменений.

Свастика прямая (левосторонняя)

Свастика как солнечный символ

Прямая (левосторонняя) свастика – это крест с концами, загнутыми влево. Вращение считается происходящим по часовой стрелке (в определении направления движения мнения иногда расходятся).

Прямая свастика – символ благословения, доброго предзнаменования, благополучия, удачи и отвращения беды, а также символ плодородия, долгожительства, здоровья и жизни. Это также символ мужского начала, духовности, тормозящей поток низших (физических) сил и позволяющей проявляться энергиям высшей, божественной природы.

Свастика обратная (правосторонняя)

Свастика на нацистской военной медали

Обратная (правосторонняя) свастика – это крест с концами, загнутыми вправо. Вращение считается происходящим против часовой стрелки.

Обратная свастика связывается обычно с женским началом. Иногда она ассоциируется с запуском негативных (физических) энергий, закрывающих проход возвышенным силам духа.

Шумерская свастика, образованная четырьмя женщинами и их волосами, символизирует женскую порождающую силу

Пентаграмма (пентакль): общее значение символа

Знак пентаграммы

Пентаграмма, написанная одной линией, – самый древний из всех символов, которыми мы владеем. Имела разные толкования в разные исторические времена человечества. Она стала шумерским и египетским знаком звезд.

Более поздняя символика: пять чувств; мужское и женское начала, выраженные пятью точками; гармония, здоровье и мистические силы. Пентаграмма также символ победы духовного над материальным, символ безопасности, охранения, благополучного возвращения домой.

Пентаграмма как магический символ

Пентаграммы Белого и Черного магов

Пентакль с одним концом вверх и двумя вниз является знаком белой магии, известным как «нога друида»; с одним концом вниз и двумя вверх он представляет так называемое «копыто козла» и рога дьявола – характерное для символики изменение знака с позитивного на негативный при его переворачивании.

Пентаграмма Белого мага – символ магического воздействия и господства дисциплинированной Воли над явлениями мира. Воля Черного мага направлена к разрушению, к отказу от выполнения духовной задачи, поэтому перевернутая пентаграмма рассматривается как символ зла.

Пентаграмма как символ совершенного человека

Пентаграмма, символизирующая совершенного человека

Пентаграмма, пятиконечная звезда, – символ совершенного человека, стоящего на двух ногах с разведенными руками. Можно сказать, что человек – живая пентаграмма. Это верно как в физическом, так и в духовном плане – человек обладает пятью добродетелями и проявляет их: любовь, мудрость, истина, справедливость и доброта.

Истина принадлежит духу, любовь – душе, мудрость – интеллекту, доброта – сердцу, справедливость – воле.

Двойная пентаграмма

Двойная пентаграмма (человек и Вселенная)

Существует также соответствие между человеческим организмом и пятью элементами (земля, вода, воздух, огонь и эфир): воля соответствует земле, сердце – воде, интеллект – воздуху, душа – огню, дух – эфиру. Таким образом, своей волей, интеллектом, сердцем, душой, духом человек связан с пятью элементами, работающими в космосе, и он может сознательно работать в гармонии с ними. Именно в этом смысл символа двойной пентаграммы, в которой малая вписана в большую: человек (микрокосм) живет и действует внутри Вселенной (макрокосма).

Гексаграмма

Изображение гексаграммы

Гексаграмма – фигура, составленная двумя полярными треугольниками, шестиконечная звезда. Это сложная и цельная симметричная форма, в которой шесть маленьких отдельных треугольников группируются вокруг большого центрального шестиугольника. В результате образуется звезда, хотя первоначальные треугольники сохраняют свою индивидуальность. Поскольку обращенный вверх треугольник – небесный символ, а обращенный вниз – символ земной, то вместе они – символ человека, объединяющего эти два мира. Это символ совершенного брака, который связывает мужчину и женщину.

Печать Соломона

Печать Соломона, или звезда Давида

Это знаменитая магическая печать Соломона, или звезда Давида. Верхний треугольник в ее изображении – белый, а нижний – черный. Она символизирует, в первую очередь, абсолютный закон аналогии, выражаемый мистической формулой: «То, что внизу, подобно тому, что вверху».

Печать Соломона – это также символ эволюции человека: надо научиться не только брать, но и давать, поглощать и излучать одновременно, излучать – для Земли, воспринимать – от Неба. Мы получаем и наполняемся, только когда отдаем другим. Это совершенный союз духа и материи в человеке – союз солнечного сплетения и мозга.

Пятиконечная звезда

Пятиконечная звезда

Вифлеемская звезда

Пятиконечная звезда толкуется по-разному, в том числе она символизирует радость и счастье. Это также эмблема семитской богини Иштар в ее воинственном воплощении, а кроме того, Вифлеемская звезда. У масонов пятиконечная звезда символизирует мистический центр.

Египтяне придавали огромное значение пяти– и шестиконечным звездам, как явствует из текста, сохранившегося на стене погребального храма Хатшепсут.

Семиконечная звезда

Семиконечная звезда магов

В семиконечной звезде повторяются характерные черты пятиконечной. Семь лучей имеет гностическая звезда.

Семи– и девятиконечные звезды, начерченные одной линией, – мистические звезды в астрологии и магии.

Звезда магов читается двояко: последовательно по ходу лучей (по линии начертания звезды) и по окружности. По ходу лучей расположены планеты, управляющие днями недели: Солнце – воскресенье, Луна – понедельник, Марс – вторник, Меркурий – среда, Юпитер – четверг, Венера – пятница, Сатурн – суббота.

Девятиконечная звезда

Девятиконечная звезда магов

Девятиконечные звезды, как и семиконечные, если они начерчены одной линией, – мистические звезды в астрологии и магии.

Девятиконечная звезда, составленная из трех треугольников, символизирует Святой Дух.

Монада

Четыре составные части монады

Это магический символ, названный монадой Джоном Ди (1527–1608), советником и астрологом английской королевы Елизаветы I.

Ди представляет природу магических символов в терминах геометрии и проверяет монаду в ряде теорем.

Ди проводит исследование монады на таком глубоком уровне, что находит связи своей теории с пифагорейской гармонией, библейским знанием и математическими пропорциями.

Спираль

Спиральная структура Млечного Пути

Спиральные формы встречаются в природе очень часто, начиная от спиральных галактик и до водоворотов и смерчей, от раковин моллюсков до рисунков на человеческих пальцах, и даже молекула ДНК имеет форму двойной спирали.

Спираль – весьма сложный и многозначный символ. Но прежде всего – это символ великой созидательной (жизненной) силы как на уровне космоса, так и на уровне микрокосма. Спираль является символом времени, циклических ритмов, смены сезонов года, рождения и смерти, фаз «старения» и «роста» Луны, а также самого Солнца.

Древо Жизни

Древо Жизни в человеческом существе

Древо Жизни

Древо Жизни не принадлежит ни одной культуре – даже египтянам. Оно вне рас и религий. Этот образ является неотъемлемой частью природы… Сам человек представляет собой миниатюрное Древо Жизни. Он обладал бессмертием, когда был связан с этим деревом. О Древе Жизни можно размышлять как об артериях большого космического тела. По этим артериям, как по каналам, текут живительные силы космоса, которые питают все формы существования, и в них бьется космический пульс жизни. Древо Жизни является отдельной секцией, частью схемы универсального кода жизни.

Сфера

Армиллярная сфера (гравюра из книги Тихо Браге)

Символ плодородия (как и круг), а также целостности. В Древней Греции знаком сферы был крест в круге – древняя эмблема власти. Сфера, составленная из нескольких металлических колец, иллюстрирующая космогоническую теорию Птолемея, который полагал, что Земля находится в центре Вселенной, – старинная эмблема астрономии.

Платоновы тела

Платоновы тела, вписанные в сферу

Платоновы тела – пять уникальных форм. Задолго до Платона ими пользовался Пифагор, назвав их идеальными геометрическими телами. Древние алхимики и такие великие умы, как Пифагор, считали, что эти тела связаны с определенными элементами: куб (А) – земля, тетраэдр (В) – огонь, октаэдр (С) – воздух, икосаэдр (D) – вода, додекаэдр (E)– эфир, а сфера – пустота. Эти шесть элементов являются строительными блоками Вселенной. Они создают качества Вселенной.

Символы планет

Символы планет

Планеты изображаются комбинацией простейших геометрических символов. Это круг, крест, дуга.

Рассмотрим, например, символ Венеры. Круг расположен над крестом, что олицетворяет некое «спиритуальное притяжение», которое тянет крест вверх, в принадлежащие кругу возвышенные области. Крест, подчиненный законам зарождения, увядания и смерти, обретет свое искупление, если будет вознесен внутрь этого великого круга духовности. Символ в целом представляет женское начало в мире, которое пытается одухотворить и защитить сферу материального.

Пирамида

Великие пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина

Пирамида – символ иерархии, существующей во Вселенной. В любой области символ пирамиды может помочь перейти от низшего плана множественности и раздробленности к высшему плану единства.

Считается, что посвященные избрали форму пирамиды для своих святилищ потому, что хотели, чтобы сходящиеся к вершине, устремляющиеся к Солнцу линии преподали человечеству урок единства.

Звездный тетраэдр

Звездный тетраэдр

Звездный тетраэдр – фигура, состоящая из двух взаимопересекающихся тетраэдров. Эту фигуру можно также воспринимать как трехмерную звезду Давида.

Тетраэдры проявляются как два противоположных закона: закон духа (излучение, отдача, самоотверженность, бескорыстие) и закон материи (втягивание внутрь, охлаждение, застывание, паралич). Только человек может сознательно совмещать эти два закона, так как он – связующее звено между миром духа и миром материи.

Таким образом, звездный тетраэдр представляет собой два полюса творения в полном равновесии.

Универсальные символы-образы

Вещь справедлива не потому, что этого хочет Бог, но Бог именно потому ее желает, что она справедлива.

Св. Фома

Символы-образы – зачастую предметы (вещи) или графические изображения, имитирующие форму того существа или предмета, с которым они связаны. Их значения временами неожиданны, но чаще очевидны, так как основаны на некоем качестве, которое этим предметам или существам изначально присуще: лев – храбрость, скала – стойкость и т. п.

Арка, дуга

Жертвоприношение астральному божеству (из аравийской рукописи XIII века)

Арка (дуга), в первую очередь, – символ небесного свода, бога Неба. В обрядах инициации прохождение через арку означает новое рождение после полного отказа от своей старой природы. В Древнем Риме через триумфальную арку проходила армия после победы над врагом.

Арка и дуга – распространенные элементы в культуре ислама. Часто мечети имеют арочные входы. Считается, человек, входящий в мечеть через арочную дверь, будет защищен символическими силами духовной (высшей) сферы.

Ба-гуа

Ба-гуа и Великая монада (обаяние против злых сил, Китай)

Ба-гуа (в некоторых источниках па-куа) – восемь триграмм и пар противоположностей, обычно расположенных в виде круга, что символизирует время и пространство.

Весы

Весы перевешивающие. Легкое уступает. Тяжелое перетягивает

Весы символизируют справедливость, беспристрастие, суд, оценку достоинств и недостатков человека. Символ равновесия всех противоположностей и дополняющих друг друга факторов. Атрибут Немезиды – богини судьбы.

Диск

Солнечный крылатый диск (Египет)

Диск – многоплановый символ: символ творения, центр Пустоты, Солнце, Небеса, божество, духовное и небесное совершенство. Диск восходящего Солнца – символ обновления жизни, жизни после смерти, воскресения. Диск Солнца с рогатой Луной или с рожками означает соединение солярных и лунных божеств, единство двоих в одном.

Крылатый диск – солярное божество, огонь Небес, комбинация солнечного диска и крыльев сокола или орла, движение небесной сферы вокруг оси, преображение, бессмертие, производящая сила природы и ее двойственность (защищающий и смертоносный аспекты).

Жезл, посох, скипетр

Посох с крюком и цеп Тутанхамона

Жезл, посох и скипетр – древние эмблемы сверхъестественной силы.

Жезл – символ превращения, связанный с колдовством и таинственными существами. Посох – символ мужской силы и власти, часто связан с энергией деревьев, фаллосом, змеей, рукой (указующим перстом). Это также атрибут паломников и святых, но может означать и знание, которое является единственной опорой человека. Скипетр более богато украшен и ассоциируется с высшими божествами и правителями, с духовной властью и в то же время сострадательной мудростью.

Зеркало

Сцена гадания, изображенная на обороте бронзового зеркала (Греция)

Символизирует истину, самореализацию, мудрость, разум, душу, отражение сверхъестественного и божественного интеллекта, отображенного в Солнце, Луне и звездах, ясно сияющую поверхность божественной истины.

Считается, что зеркало имеет магические свойства и является входом в зазеркальный мир. Если зеркало висит отражающей поверхностью вниз в храме или над гробницей, оно открывает путь для восхождения души. В магии зеркала служат для развития взгляда.

Змея Оуробор (Ороборо, Уроборос)

Змея, кусающая свой хвост

Кольцеобразная фигура, изображающая змею, кусающую свой собственный хвост, – символ вечности, неделимости, цикличности времени, алхимии. Символика этой фигуры интерпретируется по-разному, так как она комбинирует созидательный символизм яйца (пространство внутри фигуры), земную символику змеи и небесную символику круга. Кроме того, змея, кусающая свой хвост, – символ закона кармы, колеса сансары – колеса Воплощения.

Кадуцей

Кадуцей

Кадуцей (греч. – «посох вестника») часто называют жезлом Гермеса (Меркурия), древнего бога мудрости. Это «волшебная» палочка с маленькими крыльями, которую обвивают две змеи, переплетенные так, что тела змей образуют две окружности вокруг жезла, символизируя слияние двух полярностей: добра – зла, правого – левого, света – тьмы и т. д., что соответствует природе мира сотворенного.

Кадуцей носят все посланники как знак мира и защиты, и он является главным их атрибутом.

Ключ

Святой Петр с ключами от ворот рая (деталь каменного изображения, Нотр-Дам, Париж, XII век)

Ключ – очень мощный символ. Это власть, сила выбора, вдох, свобода действия, знание, инициация. Перекрещенные золотой и серебряный ключи – эмблема папской власти, символические «ключи от Царствия Небесного», которые Христос передал апостолу Петру. Хотя ключи могут как запирать, так и отпирать двери, они почти всегда являются символами доступа, освобождения и (в обрядах посвящения) инициации, последовательного продвижения от одной стадии жизни к другой. В Японии ключи от хранилища риса – символ процветания.

Колесо

Колесо закона

Колесо существования (сансара)

Колесо – символ солнечной энергии. Солнце – центр, спицы колеса – лучи. Колесо – атрибут всех солнечных богов и земных правителей. Оно символизирует также жизненный цикл, перерождение и обновление, благородство, изменчивость и изменения в материальном мире (окружность – предел материального мира, а центр – «неподвижный двигатель», космический источник света и силы).

Вращающееся колесо связано с циклами проявлений (рождения, смерти и возрождения) и судьбой человека.

На обыденном уровне колесо Госпожи Удачи (колесо фортуны) – символ взлетов, падений и непредсказуемости судьбы.

Колесница

Античный герой на колеснице, символизирующей его готовность к битве

Динамичный символ власти, могущества и быстроты передвижения богов, героев или аллегорических фигур. Колесница также – символ человеческой сущности: возничий (сознание), используя вожжи (силу воли и разум), управляет лошадьми (жизненными силами), везущими повозку (тело).

Колесница (по-еврейски – Меркаба) есть также символ цепи нисхождения от Бога через человека в мир явлений и затем триумфального восхождения духа. Слово «Меркаба» означает и тело света человека.

Котел, чаша

Ритуальный котел (Китай, 800 год до н. э.)

Карл Юнг рассматривает чашу как женский символ, который принимает и отдает. С другой стороны, чаша может быть символом тяжелой судьбы («горькая чаша»). Так называемая отравленная чаша обещает надежду, но приносит беду.

Котел – более мощный символ и часто связан с ритуальными действиями и магией, олицетворяя трансформирующую силу. Котел также – символ изобилия, неистощимый источник поддержания жизни, сил оживления, репродуктивные силы земли, возрождение воинов для новой битвы.

Кровь

Деталь картины Фей Померанес «Шестой дворец Преисподней»: из бокала, напоминающего формой анкх, вытекают последние капли крови – символа жизни

Ритуальный символ жизненной силы. Во многих культурах считается, что кровь содержит часть божественной энергии или, в более общем смысле, дух личности.

Кровь – красная солярная энергия. Олицетворяет принцип жизни, душу, силу, в том числе омолаживающую. Выпить чьей-либо крови – значит породниться, но так же можно вобрать в себя силу врага и тем самым обезопасить его после смерти. Смешение крови – символ союза в народных обычаях (например, братство по крови) или соглашения между людьми, а также между человеком и Богом.

Лабиринт

План средневекового танца-лабиринта на мраморном полу собора в Шартре (Франция)

Лабиринт символизирует мир, Вселенную, непостижимость, движение, сложную проблему, заколдованное место. Это символ таинственности, загадочности, имеющий множество различных толкований, часто противоречивых, иногда пугающих.

Изображения лабиринта на домах считаются амулетом для защиты от враждебных сил и злых духов.

Захоронения, погребальные пещеры и могильные курганы в форме лабиринта защищают мертвых и не позволяют им возвращаться обратно.

Лотос

Вишну и Лакшми, наблюдающие за творением: Брахма вырастает из цветка лотоса, берущего начало из пупка Вишну

Удивительное почитание лотоса в различных культурах объясняется как необыкновенной красотой цветка, так и аналогией между ним и идеализированной формой вульвы как божественного источника жизни. Поэтому лотос, в первую очередь, – символ плодовитости, рождения и возрождения. Лотос – источник космической жизни, символ богов, создавших мир, а также богов солнца. Лотос символизирует прошлое, настоящее и будущее, поскольку каждое растение имеет бутоны, цветы и семена одновременно. Это символ человека благородного, выросшего из грязи, но не запачканного ею.

Желая показать связь чисел с Пространством как живой субстанцией, Платон говорил: "Бог все время геометризирует". Смысл этого геометризирования в его соотношении с числами хорошо показала Блаватская. Излагая гностическую систему Валентина, она писала о геометрической символике следующее:

Мнения о геометрической символике

"Сперва (точка) монада, битос (Бездна), неведомый и непостижимый Отец. Затем (треугольник), битос и первая изошедшая пара или дуада, ноус (ум) и его сизигии алетейя (истина) Затем (квадрат), двойная дуада, тетрактис, или квартенарий, двое мужского, логос (слово) и антронос (человек), и двое женского пола, их сизигии, зое (жизнь) и экклесия (церковь или собрание), всего семь. Треугольник - это потенциальность Духа; квадрат - это потенциальность материи; прямая вертикальная линия - могущество материи. После этого идет пентаграмма пентада, таинственный символ манускриптов, или сынов Мудрости, которые вместе со своими сизигиями составляют число 10, или декаду; самая последняя из всех - гексальфа, или переплетенные треугольники гексады, которые вместе со своими сизигиями составляют число 12, или додекаду. Таковы составляющие плеромы, или полноты. Идеи в Божественном Разуме, в целом 28, поскольку битос или Отец, не входит в их число, ибо он есть Корень всего. Два маленьких круга внутри плеромы представляют собой сизигий Христа-Пневма (Христа и Святого Духа); они суть последующая эманация, и, как таковые, в одном аспекте олицетворяют нисхождение духа для просвещения и развития материи, которая по своей сущности происходит из того же источника; А в другом аспекте - нисхождение или воплощение кумаров или Высших Эго человечества.

Круг плеромы поддерживается и ограничивается окружностью, которая эманировала из битоса (точки) и которую называют Гор (предел), Ставр (опора, столб или крест) и Метэх (разделитель); он изолирует плерому (или полноту) от гистермы (Неполноты), больший круг от меньшего круга, непроявленное от проявленного. Внутри круга гистермы находится квадрат примордиальной (изначальной) материи, или Хаоса, созданного благодаря Софии, называемого энтромой (или недоношенной). Над ним располагается треугольник, примордиальный Дух, называемый совокупным плодом плеромы, или Иисусом, ибо для всех, кто ниже плеромы, она кажется неким единством. Обратите внимание, что треугольник и квадрат гистермы являются отражением треугольника и квадрата плеромы. И, наконец, поверхность листа бумаги, включающая в себя все и всепроникающая, есть сиге (безмолвие)."

Сходные идеи высказывал еще Диоген Лаэртский, пытавшийся воспроизвести представления пифагорейцев:

"Монада (Проявленное) есть начало всего. От Монады и неопределенной Диады (Хаоса) произошли Числа; от Чисел - Точки; от Точек - Линии; от Линий - поверхности; от Поверхностей - твердые тела; от них - твердые тела, имеющие четыре элемента - Огонь, Воду, Воздух и Землю, из всех них, притворенных (взаимодействием) и совершенно измененных, и состоит Мир".

Графическим выражением принципа единичности является точка или вертикальная прямая линия. Однако этот внешне бедный символ внутренне чрезвычайно богат неисчерпаемыми возможностями, ибо содержит себе в себе все числа и все возможные выражающие их геометрические фигуры.

Наиболее простым графическим выражением двойственности является символ, основанный на удвоении единицы (вертикальной линии) и состоящей из двух параллельных линий.

Значения геометрической символики

Треугольник представляет собой геометрическое выражение триады и числа три. Он имеет три уровня или аспекта рассмотрения. В высшем смысле он выражает идею Троицы. В своем нормальном положении, с основанием внизу, он, по представления Керлота, "символизирует огонь и стремление всех вещей к высшему единству - тягу к бегству от протяженности (обозначаемой основанием) к непротяженности (вершина), либо к Истоку или Точке, из которой исходит сияние". Интересную символическую картину треугольника описал Николай Кузанский, утверждая, что "в усеченном виде (без вершины) он служит алхимическим символом воздуха; в перевернутом виде (вершиной вниз) символизирует воду; а в перевернутом виде и с усеченной верхушкой он символизирует землю".

Геометрическая символика. Квадрат является наиболее четким геометрическим выражением принципа четверичности. Керлот отмечает, что "психологическая его форма вызывает ощущение прочности и стабильности, и это служит объяснением его использования в распространенных символах организации и конструирования... Как бы то ни было, несомненно, что в противоположность динамике нечетных чисел и их соответствующих геометрических форм (таких, как три, пять, треугольник или пятиугольник), чётные числа и формы (например, четыре, шесть, восемь, квадрат, шестиугольник, восьмиугольник) характеризуется свойствами стабильности, прочности и определенности".

Пентаграмма или пятиконечная звезда представляет собой геометрическое выражение идеи пятеричности. В своем высшем смысле она символизирует собой совершенного человека, в низшем аспекте - чёрного мага или колдуна. Она вносит в символ четверичности мощный оттенок динамичности, движения, активности. Агни Йога указывает на мощную защитную функцию пентаграммы, образующей особое духовно-энергетическое поле вокруг человека её представляющего. Это поле способно отражать оккультно-магические удары и предохранять от различных оккультно-магических воздействий.

Графическим выражением принципа шестеричности является шестиконечная звезда, образованная наложением двух треугольников. Два полных треугольника, находящихся друг по отношению к другу в состоянии оппозиции (один в нормальном, другой в перевернутом виде) при наложении друг на друга образуют шестиконечную звезду ("печать Соломона"), символизирующую человеческую душу с её фундаментальным свойством свободы воли и выбора путей.

Графическим выражением принципа семеричности выступает соединение треугольника и квадрата, при котором либо квадрат вмещает в себя треугольник, либо наоборот вписывается в него. Эта семеричность нередко применяется в различных архитектурных проектах, поскольку она обладает качеством мандалы, сравнимым с понятием "квадратура круга".

Геометрическая символика чисел. Геометрическим выражением принципа восьмеричности является восьмиугольник или восьмиконечная звезда. Керлот пишет об этом символе следующее:

"Украшения, архитектурные здания и различные диспозиции, основанные на восьмиугольнике (при планировке на грунте или на возвышении, как в случае возведения строения и сооружений - таких как баптистерии, фонтаны), символизируют духовное возрождение, поскольку фигуры с восьмью сторонами связаны с идеей посредника между кругом и квадратом. Поэтому не удивительно, что большинство баптистерий имеют определенную форму октагона. Однако иногда в баптистериях двенадцать углов для купелей (сумма аспектов полумногогранника), поскольку это символизирует всю сумму целиком".

Графическим выражением принципа девятеричности является окружность.

Геометрия мироздания

Чтобы глубже разобраться в том, насколько число в его геометрическом, пространственном выражении оказывает влияние на природу планеты и мироздания вообще, полезно познакомиться с книгой двух исследователей числовой символики Р. Фардуя и Ю. Швайдана "Прелесть тайны". Они обращаются к работе американского ученого Д. Винтера, который глубоко проник в "сакральную геометрию мироздания":

"Он является проповедником идеала формы, унитарного "золотого сечения", которое подобно "золотой цепи" соединяет ген и Вселенную. Принимая концепцию икосаздрически-додекаэдрической структуры Земли, Винтер развивает её дальше. Он обращает внимание на то, что угол, описываемый осью Земли в ходе её прецессии на 26000 лет, составляет 32 градуса. Это в точности равно тому углу, под которым нужно наклонить куб, чтобы, вращая его затем вокруг оси (с пятью остановками), получить додекаэдр. По мнению этого исследователя, энергетический каркас Земли представляет собой додекаэдр, вставленный в икосаэдр, который, в свою очередь, вставлен во второй додекаэдр. Геометрические отношения между указанными многогранниками представляют собой золотое сечение, которому подчинены многие природные объекты и процессы. В частности, при такой структуре энергетического каркаса достигаются идеальные условия для сохранения внутренней энергии Земли, поскольку гармоники её колебаний не интерферируют друг с другом.

Додекаэдрическая структура, по мнению Д.Винтера, присуща не только энергетическому каркасу Земли, но и строению живого вещества. Так, в процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырёх клеток, затем октаэдр, куб, и, наконец, додекаэдрически-икосаэдрическая конструкция гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное - структура ДНК - генетического кода жизни - представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Таким образом, оказывается, что вся Вселенная от метагалактики и до живой клетки - построена по одному принципу - бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции золотого сечения. Эта пропорция проявляется и в других явлениях природы. В частности, Д.Винтер установил экспериментально, что частотный шаг гармоник колебаний сердца человека представляет собой корень квадратный из золотой пропорции. Сами эти колебания оказываются когерентными Шумановским резонансным колебаниям Земли, а те, в свою очередь, - колебаниям (биениям) Солнца. Итак, непрерывный и взаимосвязанный ряд: Солнце - Земля - человек - генетический код..."

Крайне интересный аспект, касающийся представлений пифагорейцев и Платона о мистической сущности брака и деторождения рассматривает Плутарх. Он видит в прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, и 5 треугольник жизни:

"В "Государстве" Платон представляет брак в геометрической форме. В самом деле, в прямоугольном треугольнике число три представляет одну из сторон прямого угла; число четыре - основание; число пять - гипотенузу, её квадрат равен сумме квадратов сторон, содержащих прямой угол. Таким образом, следует представлять себе сторону прямого угла как фигуранта самца, основание треугольника как фигуранта самки и гипотенузу как продукт обоих. По той же причине, должно рассматривать Озириса как первоначало, Изиду как сущность, которая получает воздействие, и Гора как следствие, которое происходит от соединения одного и второго. В самом деле, число три - это первое нечётное число и совершенно, четыре - это квадрат двойки, первого чётного числа, и пятерка, составленная из двойки и тройки, содержит в себе вместе и её отца, и её мать. Кроме того, пятерка, возведенная в квадрат, дает число, равное числу букв египетского алфавита и числу лет жизни быка Аписа".

Любопытно отметить, что священность данного пифагорейского треугольника подтверждается современными математическими научными изысканиями. Исследователь древнеегипетской символики И. П. Шмелёв пишет:

"...Священный треугольник 3:4:5 был получен не эмпирически, а извлечен аналитически на базе канонического квадрата. И в обоих случаях (как степенной инвариант числа 5, ибо 5=корень из 5^2) выполняет функцию гармонического параметра. Поэтому оба треугольника гармонически инвариантны. Вот почему Гор, формально отождествляемый с числом 5, есть символ гармонии. Миф об Изиде (тройка, т.е. структура), Озирисе (четвёрка, т.е. ритм) и их сыне Горе (пятерка, т.е. гармоническая связность) начинает приобретать научный статус с позиции числовых функций".

Как известно, математика любит точность и краткость - недаром одна-единственная формула может в словесной форме занимать абзац, а порой и целую страницу текста. Таким образом, графические элементы, используемые во всем мире в науке, призваны увеличить скорость написания и компактность представления данных. Кроме того, стандартизованные графические изображения может распознать носитель любого языка, имеющий базовые знания в соответствующей сфере.

История математических знаков и символов насчитывает много столетий - некоторые из них были придуманы случайным образом и предназначались для обозначения иных явлений; другие же стали продуктом деятельности ученых, целенаправленно формирующих искусственный язык и руководствующихся исключительно практическими соображениями.

Плюс и минус

История происхождения символов, обозначающих простейшие арифметические операции, доподлинно неизвестна. Однако существует достаточно вероятная гипотеза происхождения знака «плюс», имеющего вид перекрещенных горизонтальной и вертикальной черт. В соответствии с ней символ сложения берет начало в латинском союзе et, который переводится на русский язык как «и». Постепенно, с целью ускорения процесса записи, слово было сокращено до вертикально ориентированного креста, напоминающего букву t. Самый ранний достоверный пример подобного сокращения датируется XIV веком.

Общепринятый знак «минус» появился, по всей видимости, позже. В XIV и даже XV веке в научной литературе использовался целый ряд символов, обозначающих операцию вычитания, и лишь к XVI веку «плюс» и «минус» в их современном виде стали встречаться в математических трудах вместе.

Умножение и деление

Как ни странно, математические знаки и символы для этих двух арифметических действий не полностью стандартизованы и сегодня. Популярным обозначением умножения является предложенный математиком Отредом в XVII веке диагональный крестик, который можно увидеть, например, на калькуляторах. На уроках математики в школе ту же операцию обычно представляют в виде точки - данный способ предложил в том же веке Лейбниц. Ещё один способ представления - звёздочка, которая наиболее часто используется при компьютерном представлении различных расчётов. Использовать её предложил всё в том же XVII веке Иоганн Ран.

Для операции деления предусмотрены знак наклонной черты (предложен Отредом) и горизонтальная линия с точками сверху и снизу (символ ввел Иоганн Ран). Первый вариант обозначения является более популярным, однако второй также достаточно распространен.

Математические знаки и символы и их значения порой изменяются во времени. Однако все три способа графического представления умножения, а также оба способа для деления являются в той или иной степени состоятельными и актуальными на сегодняшний день.

Равенство, тождество, эквивалентность

Как и в случае многих других математических знаков и символов, обозначение равенства изначально было словесным. Достаточно продолжительное время общепринятым обозначением служило сокращение ae от латинского aequalis («равны»). Однако в XVI веке математик из Уэльса по имени Роберт Рекорд предложил в качестве символа две горизонтальные прямые, расположенные друг под другом. Как утверждал ученый, нельзя придумать ничего более равного между собой, чем два параллельных отрезка.

Несмотря на то что аналогичный знак использовался для обозначения параллельности прямых, новый символ равенства постепенно получил распространение. К слову, такие знаки как «больше» и «меньше», изображающие развернутые в разные стороны галочки, появились лишь в XVII-XVIII веке. Сегодня же они кажутся интуитивно понятными любому школьнику.

Несколько более сложные знаки эквивалентности (две волнистые линии) и тождества (три горизонтальные параллельные прямые) вошли в обиход лишь во второй половине XIX века.

Знак неизвестного - «Икс»

История возникновения математических знаков и символов знает и весьма интересные случаи переосмысления графики по мере развития науки. Знак обозначения неизвестного, именуемый сегодня «иксом», берет своё начало на Ближнем Востоке на заре прошлого тысячелетия.

Ещё в X веке в арабском мире, славящемся в тот исторический период своими учеными, понятие неизвестного обозначалось словом, буквально переводящимся как «нечто» и начинающимся со звука «Ш». С целью экономии материалов и времени слово в трактатах стало сокращаться до первой буквы.

Спустя многие десятилетия письменные труды арабских ученых оказались в городах Пиренейского полуострова, на территории современной Испании. Научные трактаты стали переводиться на национальный язык, но возникла трудность - в испанском отсутствует фонема «Ш». Заимствованные арабские слова, начинающиеся с неё, записывались по особому правилу и предварялись буквой X. Научным языком того времени была латынь, в которой соответствующий знак имеет название «Икс».

Таким образом, знак, на первый взгляд являющийся лишь случайно выбранным символом, имеет глубокую историю и изначально является сокращением арабского слова «нечто».

Обозначение других неизвестных

В отличие от «Икса», знакомые нам со школьной скамьи Y и Z, а также a, b, c имеют гораздо более прозаичную историю происхождения.

В XVII веке была издана книга Декарта под названием «Геометрия». В этой книге автор предлагал стандартизировать символы в уравнениях: в соответствии с его идеей, последние три буквы латинского алфавита (начиная от «Икса») стали обозначать неизвестные, а три первые - известные значения.

Тригонометрические термины

По-настоящему необычна история такого слова, как «синус».

Первоначально соответствующие тригонометрические функции получили название в Индии. Слово, соответствующее понятию синуса, буквально означало «тетива». В эпоху расцвета арабской науки индийские трактаты были переведены, а понятие, аналога которому не оказалось в арабском языке, транскрибировано. По стечению обстоятельств, то, что получилось на письме, напоминало реально существующее слово «впадина», семантика которого не имела никакого отношения к исходному термину. В результате, когда в 12 веке арабские тексты были переведены на латынь, возникло слово «синус», означающее «впадина» и закрепившееся в качестве нового математического понятия.

А вот математические знаки и символы для тангенса и котангенса до сих пор не стандартизованы - в одних странах их принято писать как tg, а в других - как tan.

Некоторые другие знаки

Как видно из примеров, описанных выше, возникновение математических знаков и символов в значительной мере пришлось на XVI-XVII века. На этот же период пришлось возникновение привычных сегодня форм записи таких понятий, как процент, квадратный корень, степень.

Процент, т. е. сотая доля, долгое время обозначался как cto (сокращение от лат. cento). Считается, что общепринятый на сегодняшний день знак появился в результате опечатки около четырехсот лет назад. Получившееся изображение было воспринято как удачный способ сокращения и прижилось.

Знак корня изначально представлял собой стилизованную букву R (сокращение от латинского слова radix - «корень»). Верхняя черта, под которую сегодня записывается выражение, выполняла функцию скобок и являлась отдельным символом, обособленным от корня. Круглые скобки были придуманы позже - в повсеместное обращение они вошли благодаря деятельности Лейбница (1646-1716). Благодаря его же трудам был введен в науку и символ интеграла, выглядящий как вытянутая буква S - сокращение от слова «сумма».

Наконец, знак операции возведения в степень был придуман Декартом и доработан Ньютоном во второй половине XVII века.

Более поздние обозначения

Учитывая, что знакомые нам графические изображения «плюса» и «минуса» были введены в обращение всего несколько столетий назад, не кажется удивительным, что математические знаки и символы, обозначающие сложные явления, стали использоваться лишь в позапрошлом веке.

Так, факториал, имеющий вид восклицательного знака после числа или переменной, появился лишь в начале XIX века. Приблизительно тогда же появились заглавная «П» для обозначения произведения и символ предела.

Несколько странно, что знаки для числа Пи и алгебраической суммы появились лишь в XVIII веке - позже, чем, например, символ интеграла, хотя интуитивно кажется, что они являются более употребительными. Графическое изображение отношения длины окружности к диаметру происходит от первой буквы греческих слов, означающих «окружность» и «периметр». А знак «сигма» для алгебраической суммы был предложен Эйлером в последней четверти XVIII столетия.

Названия символов на разных языках

Как известно, языком науки в Европе на протяжении многих веков была латынь. Физические, медицинские и многие другие термины часто заимствовались в виде транскрипций, значительно реже - в виде кальки. Таким образом, многие математические знаки и символы на английском называются почти так же, как на русском, французском или немецком. Чем сложнее суть явления, тем выше вероятность, что в разных языках оно будет иметь одинаковое название.

Компьютерная запись математических знаков

Простейшие математические знаки и символы в "Ворде" обозначаются обычной комбинацией клавиш Shift+цифра от 0 до 9 в русской или английской раскладке. Отдельные клавиши отведены под некоторые широкоупотребительные знаки: плюс, минус, равенство, наклонная черта.

Если же требуется использовать графические изображения интеграла, алгебраической суммы или произведения, числа Пи и т. д., требуется открыть в «Ворде» вкладку «Вставка» и найти одну из двух кнопок: «Формула» или «Символ». В первом случае откроется конструктор, позволяющий выстроить целую формулу в рамках одного поля, а во втором - таблица символов, где можно найти любые математические знаки.

Как запомнить математические символы

В отличие от химии и физики, где количество символов для запоминания может превосходить сотню единиц, математика оперирует относительно небольшим числом знаков. Простейшие из них мы усваиваем ещё в глубоком детстве, учась складывать и вычитать, и только в университете на определенных специальностях знакомимся с немногочисленными сложными математическими знаками и символами. Картинки для детей помогают за считанные недели достичь мгновенного узнавания графического изображения требуемой операции, гораздо больше времени может понадобиться для овладения навыком самого осуществления этих операций и понимания их сущности.

Таким образом, процесс запоминания знаков происходит автоматически и не требует особых усилий.

В заключение

Ценность математических знаков и символов заключается в том, что их без труда понимают люди, говорящие на разных языках и являющиеся носителями различных культур. По этой причине крайне полезно понимать и уметь воспроизводить графические изображения различных явлений и операций.

Высокий уровень стандартизации этих знаков обуславливает их использование в самых различных сферах: в области финансов, информационных технологий, инженерном деле и др. Для каждого, кто хочет заниматься делом, связанным с числами и расчетами, знание математических знаков и символов и их значений становится жизненной необходимостью.

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык , составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

группа I - обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

Группа I

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается - Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

А, В, С, D, ... , L, М, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

а, b, с, d, ... , l, m, n, ...

Линии уровня обозначаются: h - горизонталь; f- фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) - прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) - луч с началом в точке А;

[АВ] - отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α(а || b) - плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

β(d 1 d 2 gα) - поверхность β определяется направляющими d 1 и d 2 , образующей g и плоскостью параллелизма α.

5. Углы обозначаются:

∠ABC - угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

Величина угла АВС;

Величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками - ||.

Например:

|АВ| - расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| - расстояние от точки А до линии a;

|Аα| - расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| - расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π 1 и π 2 , где π 1 - горизонтальная плоскость проекций;

π 2 -фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π 3 , π 4 и т. д.

9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х - ось абсцисс; у - ось ординат; z - ось аппликат.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:

А", В", С", D", ... , L", М", N", горизонтальные проекции точек; А", В", С", D", ... , L", М", N", ... фронтальные проекции точек; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - горизонтальные проекции линий; а" ,b" , с" , d" , ... , l" , m" , n" , ... фронтальные проекции линий; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... горизонтальные проекции поверхностей; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... фронтальные проекции поверхностей.

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса 0α , подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

Так: h 0α - горизонтальный след плоскости (поверхности) α;

f 0α - фронтальный след плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: H a - горизонтальный след прямой (линии) а;

F a - фронтальный след прямой (линии) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами 1,2,3,..., n:

А 1 , А 2 , А 3 ,...,А n ;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

Ф 1 , Ф 2 , Ф 3 ,...,Ф n и т. д.

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом 0:

A 0 , B 0 , С 0 , D 0 , ...

Аксонометрические проекции

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0:

А 0 , В 0 , С 0 , D 0 , ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1:

А 1 0 , В 1 0 , С 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.

Б. Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи
1	≡	Совпадают	(АВ)≡(CD) - прямая, проходящая через точки А и В, совпадает с прямой, проходящей через точки С и D
2	≅	Конгруентны	∠ABC≅∠MNK - угол АВС конгруентен углу MNK
3	∼	Подобны	ΔАВС∼ΔMNK - треугольники АВС и MNK подобны
4	\|\|	Параллельны	α\|\|β - плоскость α параллельна плоскости β
5	⊥	Перпендикулярны	а⊥b - прямые а и b перпендикулярны
6		Скрещиваются	с d - прямые с и d скрещиваются
7		Касательные	t l - прямая t является касательной к линии l. βα - плоскость β касательная к поверхности α
8	→	Отображаются	Ф 1 →Ф 2 - фигура Ф 1 отображается на фигуру Ф 2
9	S	Центр проецирования. Если центр проецирования несобственная точка, то его положение обозначается стрелкой, указывающей направление проецирования	-
10	s	Направление проецирования	-
11	P	Параллельное проецирование	р s α Параллельное проецирование - параллельное проецирование на плоскость α в направлении s

В. Обозначения теоретико-множественные

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи	Пример символической записи в геометрии
1	M,N	Множества	-	-
2	A,B,C,...	Элементы множества	-	-
3	{ ... }	Состоит из...	Ф{A, B, C,... }	Ф{A, B, C,... } - фигура Ф состоит из точек А, В,С, ...
4	∅	Пустое множество	L - ∅ - множество L пустое (не содержит элементов)	-
5	∈	Принадлежит, является элементом	2∈N (где N - множество натуральных чисел) - число 2 принадлежит множеству N	А ∈ а - точка А принадлежит прямой а (точка А лежит на прямой а)
6	⊂	Включает, cодержит	N⊂М - множество N является частью (подмножеством) множества М всех рациональных чисел	а⊂α - прямая а принадлежит плоскости α (понимается в смысле: множество точек прямой а является подмножеством точек плоскости α)
7	∪	Объединение	С = A U В - множество С есть объединение множеств A и В; {1, 2. 3, 4,5} = {1,2,3}∪{4,5}	ABCD = ∪ [ВС] ∪ - ломаная линия, ABCD есть объединение отрезков [АВ], [ВС],
8	∩	Пересечение множеств	М=К∩L - множество М есть пересечение множеств К и L (содержит в себе элементы, принадлежащие как множеству К, так и множеству L). М ∩ N = ∅- пересечение множеств М и N есть пустое множество (множества М и N не имеют общих элементов)	а = α ∩ β - прямая а есть пересечение плоскостей α и β а ∩ b = ∅ - прямые а и b не пересекаются (не имеют общих точек)

Группа II СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи
1	∧	Конъюнкция предложений; соответствует союзу "и". Предложение (р∧q) истинно тогда и только тогда,когда р и q оба истинны	α∩β = { К:K∈α∧K∈β} Пересечение поверхностей α и β есть множество точек (линия), состоящее из всех тех и только тех точек К, которые принадлежат как поверхности α, так и поверхности β
2	∨	Дизъюнкция предложений; соответствует союзу "или". Предложение (p∨q) истинно, когда истинно хотя бы одно из предложений р или q (т. е. или р, или q, или оба).	-
3	⇒	Импликация - логическое следствие. Предложение р⇒q означает: "если р, то и q"	(а\|\|с∧b\|\|с)⇒a\|\|b. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой
4	⇔	Предложение (р⇔q) понимается в смысле: "если р, то и q; если q, то и р"	А∈α⇔А∈l⊂α. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит некоторой линии, принадлежащей этой плоскости. Справедливо также и обратное утверждение: если точка принадлежит некоторой линии, принадлежащей плоскости, то она принадлежит и самой плоскости
5	∀	Квантор общности, читается: для всякого, для всех, для любого. Выражение ∀(x)P(x) означает: "для всякого x: имеет место свойство Р(х) "	∀(ΔАВС)( = 180°) Для всякого (для любого) треугольника сумма величин его углов при вершинах равна 180°
6	∃	Квантор существования, читается: существует. Выражение ∃(х)P(х) означает: "существует х, обладающее свойством Р(х)"	(∀α)(∃a).Для любой плоскости α существует прямая а, не принадлежащая плоскости α и параллельная плоскости α
7	∃1	Квантор единственности существования, читается: существует единственное (-я, -й)... Выражение ∃1(x)(Рх) означает: "существует единственное (только одно) х, обладающее свойством Рх"	(∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для любых двух различных точек А и В существует единственная прямая a, проходящая через эти точки.
8	(Px)	Отрицание высказывания P(x)	аb(∃α )(α⊃а, Ь).Если прямые а и b скрещиваются, то не существует плоскости а, которая содержит их
9	\	Отрицание знака	≠ -отрезок [АВ] не равен отрезку .а?b - линия а не параллельна линии b

Геометрические символы

Абсолютный символический язык – это язык геометрических фигур...

О. М. Айванхов

Геометрические символы стабильны и передаются из поколения в поколение без изменений.

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ГЕ) автора БСЭ

Из книги Большая Советская Энциклопедия (СИ) автора БСЭ

Из книги Бразилия автора Сигалова Мария

Из книги Италия. Калабрия автора Кунявский Л. М.

Символы Бразилии ФлагГосударственный флаг Бразилии представляет собой зеленое полотнище с желтым ромбом в центре. Внутри ромба находится темно-синий круг с 27 белыми звездами. Круг пересечен лентой с девизом Ordem e Progresso (порт. – Порядок и прогресс). Проект флага был

Из книги Италия. Сардиния автора Кунявский Л. М.

Из книги Италия. Умбрия автора Кунявский Л. М.

Символы ФлагЕго цвета были приняты в 1797 г., когда утверждался флаг Циспаданской республики. Триколор (белый, красный и зеленый) выражает идеалы граждан Италии – братство, равенство и правосудие.Итальянский «сапог»Возможно, проживая на территории, похожей на сапог, можно

Из книги Главные спортивные события – 2012 автора Яременко Николай Николаевич

Из книги 100 знаменитых символов Украины автора Хорошевский Андрей Юрьевич

Символы и талисманы Уэнлок и Мандевиль. Имя одного из героев происходит от городка Стоук Мандевиль в английском графстве Бакингемшир, в больнице которого зародились Паралимпиады. А второй унаследовал название деревни Мач Уэнлок в графстве Шропшир, в которой спортивные

Из книги Полная современная энциклопедия этикета автора Южин Владимир Иванович

Государственные символы

Из книги Афины: история города автора Ллевеллин Смит Майкл

Исторические символы

Из книги Гравировальные работы [Техники, приемы, изделия] автора Подольский Юрий Федорович

Символы цветов Поэты всегда воспевали прелесть цветов, являющихся символом короткой, но наполненной радостью, нежностью и красотой жизни.Уродливых цветов не существует. Каждый из них вызывает лишь симпатию своим ароматом и утонченностью. И к тому же цветок - это солнце

Из книги Резьба по дереву [Техники, приемы, изделия] автора Подольский Юрий Федорович

Из книги Дерзкая книга для девочек автора Фетисова Мария Сергеевна

Из книги Что делать в экстремальных ситуациях автора Ситников Виталий Павлович

Из книги автора

Символы цветов Кроме определённых знаков, символическую нагрузку очень часто несут на себе и цвета. Среди всего цветового спектра наиболее часто и постоянно у всех народов используется три цвета: белый, красный и чёрный. Для нас, скажем, белый - это цвет чистоты и

Из книги автора

Символы на упаковке Покупая импортную продукцию, прежде всего внимательно изучите символы, нанесенные на упаковку. Известно, что одна и та же компания может производить три категории одного и того же продукта:1-я – для внутреннего потребителя;2-я – для экспорта

Разделы