Построение графиков с модулями 9 кл гиа. Задания с графиками функций в огэ

Главная

Лето

Графики? - Легко! (ОГЭ: задание 23) .
Довольно часто встречаются ученики, пасующие перед второй частью, и, особенно перед 23-м заданием, где нужно построить график и ответить на вопрос по нему.
Некоторые мотивируют нежелание рассматривать это задание тем, что в школе (имея ввиду обычную, не математическую) такие задания не рассматриваются вовсе - зачастую школьные учителя из второй части рассмотрениют только задание 21. Другие считают, что раз даже на "пятёрку" решать это задание не требуется (как известно, на оценку "отлично" достаточно решить правильно 21 задание - такие требования предъявляются, например, на экзаменах 2018 года), то вообще непонятно, зачем оно даётся. Третьи испытывают скорее психологический страх, полагая, что все задания второй части такие сложные, что и готовить их к успешной сдаче экзамена не следует.
Между тем, задания на построение графиков с модулями и выколотыми точками не такие уж и сложные. И, как показывает опыт, научиться строить такие графики, при его на то желании может не только ученик, претендующий на "пятёрку", но также и любой хорошист. Для этого нужно только желание научиться строить такие графики.
Действительно, задания 23 из года в год предлагаются примерно одинаковые. Существует не более десятка (в действительности несколько меньше) типовых заданий, отличающихся друг от друга только числами. Опыт показывает, что освоить эти задания может любой достаточно мотивированный ученик за 3-4 занятия с репетитором. Исходя из моего многолетнего опыта подготовки учеников к экзамену ОГЭ (ГИА), многие из них, понимая, что решать эти задания можно легко научиться, после занятий со мной успешно решают это задание и на экзамене.
Ниже приведены два примера заданий 23. Конечно, это далеко не все типы этого задания. Все типы заданий № 23 я рассматриваю на занятиях со своими учениками.

Областью определения функции являются все значения кроме x = 0.
Решим неравенства и методом интервалов определим промежутки, при которых выполняется первое условие и при которых выполняется второе условие: На участках [ - 2 ; 0) и [ 2 ; + ∞) выполняется первое условие системы, а на участках
(- ∞ ; -2] и (0 ; 2 ] выполняется второе условие системы. Значит, записать функцию можно в следующем виде: Строим график:

Прямая y = m - это прямая, параллельная оси OX. Такая прямая имеет одну обшую точку с графиком при m 1 = -1 или m 2 = 1 Запишем функцию в следующем виде:
значит, Таким образом, график функции делится на два участка, причём на каждом участке базовым графиком будут параболы. Найдём вершины каждой по формуле
Прямая y = m - это прямая или параллельная оси абсцисс, или совпадающая с ней. По графику получаются два варианта. Если прямая y = m совпадает с осью OX, то m 1 = 0. Рассмотрим случай, когда прямая проходит через точку, абсцесса которой равна -0,5 (на графике эта прямая изображена пунктиром). Для определения значени m 2 нужно найти ординату точки, абсцисса которой равна -0,5. Для этого подставим это значение в формулу функции:

учитель математики

МОУ «Колталовская СОШ»

Калининского района

Тверской области

Цели урока:

Обобщить и систематизировать знания, умения, навыки по теме урока
Продолжить работу по подготовке к ОГЭ
Развивать логическое мышление, речь, память, внимание
Воспитывать аккуратность, самостоятельность

1. График какой функции изображён на рисунке:

y=2x+4
y=-2x+4
y=x ²-4
y=-x²+4

2. Какая из следующих парабол отсутствует на рисунке?

y=(x-2) ²
y= (x+2) ²
y=x²+2
y=x²-2

3. Каждую прямую соотнесите с её формулой:

4. Каждый график соотнесите с соответствующей ему формулой:

5. Используя график функции y=f(x), определите, какое утверждение верно:

f(-1)
Функция y=f(x) возрастает на промежутке Функция убывает на промежутке [-3;∞) Наибольшее значение функции равно 1, при х=-3 " width="640"
Построить график функции и по графику выяснить ее свойства.
У = -х 2 -6х-8
Свойства функции:
у0 на промежутке
(-∞;-4)U(-2;∞)
Функция возрастает на промежутке
(-∞;-3]
Функция убывает на промежутке
[-3;∞)
Наибольшее значение функции равно
1, при х=-3

План построения
1) Построить вершину параболы
2) Построить ось симметрии x=-1
3) Найти нули функции
4) Дополнительные точки
(-4; 11) ; (3;11)
5) Построить параболу по точкам

Задание 1

Задание 2
На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию?

Задание 3
На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию?

Задание 4
На каком рисунке изображён график функции y=f(x), обладающий свойствами:f(0)=2 и функция убывает на промежутке

Параболу, построенную в координатной плоскости, соотнесите с ее уравнением
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
ПОДУМАЙ!

Напишите уравнение параболы, изображенной на рисунке.
ВЕРНО!
у=–(х–1) 2 +2
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
у=(х–1) 2 +2
ПОДУМАЙ!
у=–(х–1) 2 –2

По графику функции найдите наименьшее значение функции.
ПОДУМАЙ!
1 2 3 4 5 6 7
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!

Какая из функций является ограниченной сверху?
ПОДУМАЙ!
у=(–х–2) 2 +1
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
у=(х+2) 2 –1
ВЕРНО!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
у=–(х+2) 2 –1

0 " width="640"
Какая из функций является ограниченной снизу?
ВЕРНО!
у=(–х–1) 2 +2
ПОДУМАЙ!
у=–(х–1) 2 +2
ПОДУМАЙ!
у=–2(х–1) 2 –2
ПОДУМАЙ!
= (–(х+1)) 2 +2
у=(–х–1) 2 +2
a 0

у = х 2 – 7х + 12 с осью Оу.
у = х 2 – 7х + 12
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

Найдите координаты точки пересечения графика функции
у = х 2 – 7х + 12 с осью Оу.
у = х 2 – 7х + 12
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

По графику функции найдите промежутки ее возрастания.
ПОДУМАЙ!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

Выберите график, соответствующий функции
у = (х – 1) 2 – 1
ПОДУМАЙ!
Верно!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

Какую из функций можно назвать обратной пропорциональностью?
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

Какая линия является графиком функции
ПОДУМАЙ!
прямая, проходящая через начало координат
прямая, проходящая через II и IV координатные четверти
ПОДУМАЙ!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
гипербола
1 2 3 4 5 6 7
ВЕРНО!
парабола
ПОДУМАЙ!

График какой из приведенных ниже функций
изображен на рисунке?

Какой из графиков функций, представленных на рисунке является гиперболой?
ПОДУМАЙ!
гипербола
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

Нахождение значения коэффициента а
- 1) по графику определяем координаты вершины ( m , n )
- 2) по графику определяем координаты любой точки А (х 1 ;у 1 )
- 3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в виде:
У= a (х- m ) 2 + n
- 4) решаем полученное уравнение.
- Найдите значение а по графику функции
у=ax 2 +bx+c , изображенному на рисунке.
- Координаты вершины: (m;n)=(-1;1);
- Подставляем в формулу У=a(х-m) 2 +n:
3=а(1-(-1)) 2 +1;
3=а(1+1) 2 +1;

Нахождение коэффициента b по графику квадратичной функции
- Находим значение коэффициента a (смотри выше)
- В формулу для абсциссы вершины параболы
m= -b/2a подставляем значения m и a
- Вычисляем значение коэффициента b .
- Найдите значение b по графику функции
- Решение:
1. Находим значение коэффициента а
Координаты вершины: (m ; n)=(-1;1);
Координаты любой точки графика: (х 1 ;у 1)=(1;-3);
Подставляем в формулу У= a (х- m) 2 + n:
3=а(1-(-1)) 2 +1;
3=а(1+1) 2 +1;
- 2. подставляем значения а и m в формулу
1=- b /(2 · (-1));
b =-2

Нахождение коэффициента с по графику квадратичной функции
- Находим ординату точки пересечения графика с осью Оу, это значение равно коэффициенту с , т.е. точка (0;с) -точка пересечения параболы с осью Оу.
- Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то находим коэффициенты a ; b
- Подставляем найденные значения a , b , координаты А(х 1 ; у 1 ) в уравнение
у= ax 2 + bx + c и находим с.
- Найдите значение с по графику функции
у= ax 2 + bx + c , изображенному на рисунке.
1. Ордината точки пересечения графика с осью Оу равна 0, следовательно,
- Найдите значение коэффициентов а, b ,с по графику функции
у= ax 2 + bx + c , изображенному на рисунке.
- Находим значение коэффициента а:
1=а(3-2) 2 –3;
2 . Находим значение коэффициента b :
- Находим значение с:
3=2*4-8*2+с с=5

Найдите значение а по графику
функции у = aх 2 + bx + c ,
изображенному на рисунке.
Подсказка

Найдите значение b по графику
функции у = aх 2 + bx + c ,
изображенному на рисунке.
Подсказка
Если нажать на прямоугольник «Подсказка» - переход на следующий слайд с разбором решения задания.

Найдите значение c по графику
функции у = aх 2 + bx + c ,
изображенному на рисунке.

Список литературы:
1. "Алгебра. Учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений" Ю.Н. Макарычев и др., изд-во «Просвещение», 2014.;
2. "Алгебра. Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений" Ю.Н. Макарычев и др., изд-во «Просвещение», 2011.;
3. ОГЭ, Математика, 3000 задач с ответами, Часть 1, 2014. Семенов А.Л., Ященко И.В., 2013.

Дробно-рациональная функция - это функция вида , где f(x) и g(x) - некоторые функции.
График дробно-рациональной функции представляет собой гиперболу.
Функция имеет две асимптоты - вертикальную и горизонтальную.
Определение. Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность:
x=a уравнение вертикальной асимптоты
y=b уравнение горизонтальной асимптоты
y=kx+b уравнение наклонной асимптоты

Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.
Дробно-линейная функция – это такая алгебраическая дробь , у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции.
Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.
Построим график функции y=1/x:
D(y): х≠0
E(y): у≠0
y = k/x - нечетная

Построим график функции y=k/x:
При k=2 y=-2/x:
ООФ: х≠0
МЗФ: у≠0
y=k/x – нечетная

Пример1 . Построим график функции
, т.е. представим ее в виде
: выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель, мы получим:

Итак,
. Мы видим, что график этой функции может быть получен из графика функции у=5/х с помощью двух последовательных сдвигов: сдвига гиперболы у=5/х вправо на 3 единицы, а затем сдвига полученной гиперболы
вверх на 2 единицы.

При этих сдвигах асимптоты гиперболы у=5/х также переместятся: ось х на 2 единицы вверх, а ось у на 3 единицы вправо.

Для построения графика проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямую у=2 и прямую х=3. Так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения каждой из них составим две таблицы: одну для х3 (т. е. первую слева от точки пересечения асимптот, а вторую справа от нее):

Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично (используя вторую таблицу) получим вторую ветвь гиперболы. График функции
изображен на рисунке 3.

Любую дробь
можно записать аналогичным образом, выделив ее целую часть. Следовательно, графики всех дробно-линейных функций являются гиперболами, различным образом сдвинутыми параллельно координатным осям и растянутыми по оси Оу.

Пример 2.

Построим график функции
.

Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветви (асимптоты), и еще несколько точек.

Найдем сначала вертикальную асимптоту. Функция не определена там, где 2х+2=0, т.е. при х=-1. Стало быть, вертикальной асимптотой служит прямая х=-1.

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо посмотреть, к чему приближаются значения функций, когда аргумент возрастает (по абсолютной величине), вторые слагаемые в числителе и знаменателе дроби
относительно малы. Поэтому

.

Стало быть, горизонтальная асимптота – прямая у=3/2.

Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат. При х=0 имеем у=5/2. Функция равна нулю, когда 3х+5=0, т.е. при х=-5/3.

Отметив на чертеже точки (-5/3;0) и (0;5/2) и проведя найденные горизонтальную и вертикальную асимптоты, построим график (рис.4).

Вообще, чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо разделить числитель на знаменатель, тогда y=3/2+1/(x+1), y=3/2 – горизонтальная асимптота.

Алгоритм построения графика дробно-рациональной функции, содержащей квадратный трехчлен .
ЗАДАНИЕ

Построить график функции (D (y ), на графике – выколотые точки):
учитель математики МКОУ «СОШ № 8»

г. Ефремов Тульской области
Пономарева Светлана Владимировна

Урок по алгебре для 9 класса по теме:

«Построение графиков. Повторение. Подготовка к ОГЭ. Построение графика квадратичной функции, содержащей модуль».

Конспект урока

Цели урока:

Систематизировать знания учащихся по теме «Функции и графики», показать применение этих знаний при исследовании свойств и построении графиков функций на примерах заданий из второй части

Исследование расположения графика квадратичной функции в зависимости от модуля.

Развитие исследовательских умений и навыков самостоятельной работы.

Развитие умений анализировать и на основе экспериментальных данных делать выводы.

Применение графиков функций, содержащих модуль, к решению задач.

Задачи урока:

Повторить графики функции, формулы, задающие изученные функции и способы построения их графиков;

Рассмотреть построение графиков функций с модулем;

Применить графики функций в заданиях с параметрами.

Оборудование:

Компьютер учителя

Мультимедийный проектор

Экран

Карточки с заданиями для работы в группах

Электронные презентации для устной работы, выполненные в Microsoft Power Point.

План урока .

Устная работа с использованием электронной презентации

Практическая работа

Отчет по практической работе. Демонстрация полученных графиков функций на экране.Выводы.

Решение задач на применение графиков функций с модулем.

Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Актуализация знаний

Учитель: Фронтальная беседа с классом:

1. Вспомним формулы, задающие линейную функцию; функцию прямой пропорциональности; функцию обратной пропорциональности; квадратичную функцию.

2. Назовите для каждой формулы соответствующий график

4. Знание свойств функций, умение работать с графиками помогает решать многие задачи, в том числе экзаменационные.

5. На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию?

2. Практическая работа.

Учитель : Каждому ряду я даю задание. Вы можете работать парами. В ходе работы необходимо исследовать расположение графика квадратичной функции в зависимости от модуля. Результатом работы должен стать вывод о поведении графика. При анализе полученных результатов, обратите внимание на следующие моменты:

Какая часть графика не изменилась?

Что произошло с оставшейся частью графика?

Начать наше исследование мне хочется словами И.Гете:

«Настоящий ученик умеет выводить известное из неизвестного и этим приближаться к учителю».

Но прежде, чем приступить к заданию ответьте на вопрос, который должен вам помочь в дальнейшей работе: Что можно сказать о симметрии графиков?

Карточки с заданиями для групп

Ряд № 1 Построение графика функции вида

Ответьте на вопросы:

Построить график функции y =….

Часть графика ……………………………………………..оставить без изменения

Часть графика, расположенную в …………………………………
отобразить в ……………………………………………………….

Ряд №2 Построение графика функции вида

Постройте на одной координатной плоскости графики функций

Ответьте на вопросы :

Какая часть графика осталась без изменений?

Что произошло с частью графика, расположенной в нижней полуплоскости?

Сформулируйте правило построения графика функции

Построить функцию………………….

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………

Ряд № 3 Построение графика функции вида y=f()

Постройте на одной координатной плоскости графики функций

y=2x-6x+4
y=2x-6+4

Ответьте на вопросы:

Какая часть графика осталась без изменений?

Часть графика, расположенную……………………………..
оставить без изменений и отобразить в …………………………

Группа № 4(индивид) Построение графика функции вида y=f()

Постройте на одной координатной плоскости графики функций

y=-2x+4x+1
y=-2x+4+1

Ответьте на вопросы :

Какая часть графика осталась без изменений?

Что произошло с частью графика, расположенной правее оси ОY?

Сформулируйте правило построения графика функции y=f()

Построить график функции y=…….

……………………………………………………………………

3. Отчет групп.

Учитель: Приступаем к обсуждению результатов.

Группы №1,№2 работали с функцией вида. Результаты работы посмотрим на экране.

(Группы делают вывод о поведении графика, формулируют правило построения графика функции.Примерные результаты работы групп см. в Презентации )

Учитель : Группы №3,№4 работали с функцией вида

(Группы №3,№4 аналогично анализируют итоги своей работы)

Пример результата работы одной из групп:

4. Применение графиков квадратичной функции с модулем к решению задач.

Учитель: С помощью графиков можно решать уравнения и системы уравнений. Свободное владение техникой построения графиков помогает решать многие нестандартные задачи и порой являются единственным или наиболее простым средством их решения. Рассмотрим некоторые такие задания .

Задачи

Задание № 1.

Найдите значение параметра «а» , при котором прямая у=а имеет а) 3 общие точки; б) 2 общие точки; в) 4 общие точки с графиком функции

y=2x -6+4

Задание № 2

Найдите наибольшее целое значение параметра «а» при котором уравнение 2x+4+1=а имеет более двух корней (при решении используйте графики функций).

Задание №3

Используя график функции y= , найдите значение а ,чтобы прямая у= а имела с функцией 3 точки пересечения.

Задание № 4

При каком значении параметра «а» уравнение = а имеет 4 корня? Решите уравнение,используя графики функций y= и y=a.

5. Разбор заданий

(Результаты работ групп демонстрируются на экране, ученики каждой группы представляют решение своих задач.

Пример решения задачи одной из групп:

6. Итог урока

Учитель : Сегодня в ходе практической работы мы выявили способы построения графика квадратичной функции, содержащей модуль, увидели красоту этих графиков, научились анализировать и делать выводы. Мы также рассмотрели некоторые задачи на применение графиков функций.

Все группы справились с поставленной задачей.

7. Домашнее задание

Построить у=(х-6)(х-2). Построить у= , у= х 2 - 8х +12

Разделы