Неравенства. Виды неравенств

решение неравенства в режиме онлайн решение почти любого заданного неравенства онлайн . Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических неравенства онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн , тригонометрические неравенства онлайн , трансцендентные неравенства онлайн , а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое неравенство , тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн , тригонометрических неравенств онлайн , а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами.

Для начала — немного лирики, чтобы почувствовать проблему, которую решает метод интервалов. Допустим, нам надо решить вот такое неравенство:

(x − 5)(x + 3) > 0

Какие есть варианты? Первое, что приходит в голову большинству учеников — это правила «плюс на плюс дает плюс» и «минус на минус дает плюс». Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе скобки положительны: x − 5 > 0 и x + 3 > 0. Затем также рассмотрим случай, когда обе скобки отрицательны: x − 5 < 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Более продвинутые ученики вспомнят (может быть), что слева стоит квадратичная функция, график которой — парабола. Причем эта парабола пересекает ось OX в точках x = 5 и x = −3. Для дальнейшей работы надо раскрыть скобки. Имеем:

x 2 − 2x − 15 > 0

Теперь понятно, что ветви параболы направлены вверх, т.к. коэффициент a = 1 > 0. Попробуем нарисовать схему этой параболы:

Функция больше нуля там, где она проходит выше оси OX . В нашем случае это интервалы (−∞ −3) и (5; +∞) — это и есть ответ.

Обратите внимание: на рисунке изображена именно схема функции , а не ее график. Потому что для настоящего графика надо считать координаты, рассчитывать смещения и прочую хрень, которая нам сейчас совершенно ни к чему.

Почему эти методы неэффективны?

Итак, мы рассмотрели два решения одного и того же неравенства. Оба они оказались весьма громоздкими. В первом решении возникает — вы только вдумайтесь! — совокупность систем неравенств. Второе решение тоже не особо легкое: нужно помнить график параболы и еще кучу мелких фактов.

Это было очень простое неравенство. В нем всего 2 множителя. А теперь представьте, что множителей будет не 2, а хотя бы 4. Например:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9) < 0

Как решать такое неравенство? Перебирать все возможные комбинации плюсов и минусов? Да мы уснем быстрее, чем найдем решение. Рисовать график — тоже не вариант, поскольку непонятно, как ведет себя такая функция на координатной плоскости.

Для таких неравенств нужен специальный алгоритм решения, который мы сегодня и рассмотрим.

Что такое метод интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f (x ) > 0 и f (x ) < 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Решить уравнение f (x ) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
3. Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x ) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x ) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
4. Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.

Вот и все! После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f (x ) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f (x ) < 0.

На первый взгляд может показаться, что метод интервалов — это какая-то жесть. Но на практике все будет очень просто. Стоит чуть-чуть потренироваться — и все станет понятно. Взгляните на примеры — и убедитесь в этом сами:

Задача. Решите неравенство:

(x − 2)(x + 7) < 0

Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

(x − 2)(x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:

f (x ) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;

Получаем, что f (3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.

Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x − 2)(x + 7) < 0

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

Задача. Решите неравенство:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) < 0

Шаг 1: приравниваем левую часть к нулю:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Именно поэтому мы вправе приравнять к нулю каждую отдельную скобку.

Шаг 2: отмечаем все корни на координатной прямой:

Шаг 3: выясняем знак самого правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x = 1. Например, можно взять x = 10. Имеем:

f (x ) = (x + 9)(x − 3)(1 − x );
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197 < 0.

Шаг 4: расставляем остальные знаки. Помним, что при переходе через каждый корень знак меняется. В итоге наша картинка будет выглядеть следующим образом:

Вот и все. Осталось лишь выписать ответ. Взгляните еще раз на исходное неравенство:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) < 0

Это неравенство вида f (x ) < 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Это и есть ответ.

Замечание по поводу знаков функции

Практика показывает, что наибольшие трудности в методе интервалов возникают на последних двух шагах, т.е. при расстановке знаков. Многие ученики начинают путаться: какие надо брать числа и где ставить знаки.

Чтобы окончательно разобраться в методе интервалов, рассмотрим два замечания, на которых он построен:

1. Непрерывная функция меняет знак только в тех точках, где она равна нулю . Такие точки разбивают координатную ось на куски, внутри которых знак функции никогда не меняется. Вот зачем мы решаем уравнение f (x ) = 0 и отмечаем найденные корни на прямой. Найденные числа — это «пограничные» точки, отделяющие плюсы от минусов.
2. Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала. Например, для интервала (−5; 6) мы вправе брать x = −4, x = 0, x = 4 и даже x = 1,29374, если нам захочется. Почему это важно? Да потому что многих учеников начинают грызть сомнения. Мол, что если для x = −4 мы получим плюс, а для x = 0 — минус? А ничего — такого никогда не будет. Все точки на одном интервале дают один и тот же знак. Помните об этом.

Вот и все, что нужно знать про метод интервалов. Конечно, мы разобрали его в самом простом варианте. Существуют более сложные неравенства — нестрогие, дробные и с повторяющимися корнями. Для них тоже можно применять метод интервалов, но это тема для отдельного большого урока.

Теперь хотел бы разобрать продвинутый прием, который резко упрощает метод интервалов. Точнее, упрощение затрагивает только третий шаг — вычисление знака на самом правом куске прямой. По каким-то причинам этот прием не проходят в школах (по крайней мере, мне никто такого не объяснял). А зря — ведь на самом деле этот алгоритм очень прост.

Итак, знак функции на правом куске числовой оси. Этот кусок имеет вид (a ; +∞), где a — самый большой корень уравнения f (x ) = 0. Чтобы не взрывать мозг, рассмотрим конкретный пример:

(x − 1)(2 + x )(7 − x ) < 0;
f (x ) = (x − 1)(2 + x )(7 − x );
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Мы получили 3 корня. Перечислим их в порядке возрастания: x = −2, x = 1 и x = 7. Очевидно, что наибольший корень — это x = 7.

Для тех, кому легче рассуждать графически, я отмечу эти корни на координатной прямой. Посмотрим, что получится:

Требуется найти знак функции f (x ) на самом правом интервале, т.е. на (7; +∞). Но как мы уже отмечали, для определения знака можно взять любое число из этого интервала. Например, можно взять x = 8, x = 150 и т.д. А теперь — тот самый прием, который не проходят в школах: давайте в качестве числа возьмем бесконечность. Точнее, плюс бесконечность , т.е. +∞.

«Ты че, обкурился? Как можно подставить в функцию бесконечность?» — возможно, спросите вы. Но задумайтесь: нам ведь не нужно само значение функции, нам нужен только знак. Поэтому, например, значения f (x ) = −1 и f (x ) = −938 740 576 215 значат одно и то же: функция на данном интервале отрицательна. Поэтому все, что от вас требуется — найти знак, который возникает на бесконечности, а не значение функции.

На самом деле, подставлять бесконечность очень просто. Вернемся к нашей функции:

f (x ) = (x − 1)(2 + x )(7 − x )

Представьте, что x — это очень большое число. Миллиард или даже триллион. Теперь посмотрим, что будет происходить в каждой скобке.

Первая скобка: (x − 1). Что будет, если из миллиарда вычесть единицу? Получится число, не особо отличающееся от миллиарда, и это число будет положительным. Аналогично со второй скобкой: (2 + x ). Если к двойке прибавить миллиард, по получим миллиард с копейками — это положительное число. Наконец, третья скобка: (7 − x ). Здесь будет минус миллиард, от которого «отгрызли» жалкий кусочек в виде семерки. Т.е. полученное число мало чем будет отличаться от минус миллиарда — оно будет отрицательным.

Осталось найти знак всего произведения. Поскольку в первых скобках у нас был плюс, а в последней — минус, получаем следующую конструкцию:

(+) · (+) · (−) = (−)

Итоговый знак — минус! И неважно, чему равно значение самой функции. Главное, что это значение — отрицательное, т.е. на самом правом интервале стоит знак минус. Осталось выполнить четвертый шаг метода интервалов: расставить все знаки. Имеем:

Исходное неравенство имело вид:

(x − 1)(2 + x )(7 − x ) < 0

Следовательно, нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. Выписываем ответ:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Вот и весь прием, который я хотел рассказать. В заключение — еще одно неравенство, которое решается методом интервалов с привлечением бесконечности. Чтобы визуально сократить решение, я не буду писать номера шагов и развернутые комментарии. Напишу только то, что действительно надо писать при решении реальных задач:

Задача. Решите неравенство:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Заменяем неравенство уравнением и решаем его:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Отмечаем все три корня на координатной прямой (сразу со знаками):

Справа на координатной оси стоит плюс, т.к. функция имеет вид:

f (x ) = x (2x + 8)(x − 3)

А если подставить бесконечность (например, миллиард), получим три положительных скобки. Поскольку исходное выражение должно быть больше нуля, нас интересуют только плюсы. Осталось выписать ответ:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Например, неравенством является выражение \(x>5\).

Виды неравенств:

Если \(a\) и \(b\) – это числа или , то неравенство называется числовым . Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные .

Например:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) - неверное числовое неравенство, так как \(17+3=20\), а \(20\) меньше \(115\) (а не больше или равно).

Если же \(a\) и \(b\) – это выражения, содержащие переменную, то у нас неравенство с переменной . Такие неравенства разделяют по типам в зависимости от содержимого:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Переменная только в первой степени
\(3x^2-x+5>0\)				Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.)
\(\log_{4}{(x+1)}<3\)
\(2^{x}\leq8^{5x-2}\)

... и так далее.

Что такое решение неравенства?

Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.

Если данное значение для икса превращает исходное неравенство верное числовое, то оно называется решением неравенства . Если же нет - то данное значение решением не является. И чтобы решить неравенство – нужно найти все его решения (или показать, что их нет).

Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.

Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\)... И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют Для нашего случая имеем:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми , дополнительно отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:

Ответ: \(x\in(4;+\infty)\)

Когда в неравенстве меняется знак?

В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:

При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)

Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Получилось неверное неравенство, ведь минус девять меньше, чем минус три! То есть, для того, чтобы неравенство стало верным (а значит, преобразование умножения на отрицательное было «законным»), нужно перевернуть знак сравнения, вот так: \(−9<− 3\).
С делением получится аналогично, можете проверить сами.

Записанное выше правило распространяется на все виды неравенств, а не только на числовые.

Пример: Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

\(2x+2-1<7+8x\)	Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять с «меньше» на «больше»
	Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство , поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем
	Запишем ответ в виде интервала

Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)

Неравенства и ОДЗ

Неравенства, также как и уравнения могут иметь ограничения на , то есть на значения икса. Соответственно, из промежутка решений должны быть исключены те значения, которые недопустимы по ОДЗ.

Пример: Решить неравенство \(\sqrt{x+1}<3\)

Решение: Понятно, что для того чтоб левая часть была меньше \(3\), подкоренное выражение должно быть меньше \(9\) (ведь из \(9\) как раз \(3\)). Получаем:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Все? Нам подойдет любое значение икса меньшее \(8\)? Нет! Потому что если мы возьмем, например, вроде бы подходящее под требование значение \(-5\) – оно решением исходного неравенства не будет, так как приведет нас к вычислению корня из отрицательного числа.

\(\sqrt{-5+1}<3\)
\(\sqrt{-4}<3\)

Поэтому мы должны еще учесть ограничения на значения икса – он не может быть таким, чтоб под корнем было отрицательное число. Таким образом, имеем второе требование на икс:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

И чтобы икс был окончательным решением, он должен удовлетворять сразу обоим требованиям: он должен быть меньше \(8\) (чтобы быть решением) и больше \(-1\) (чтобы быть допустимым в принципе). Нанося на числовую ось, имеем окончательный ответ:

Ответ: \(\left[-1;8\right)\)

Не все знают, как решать неравенства, которые по своей структуре имеют сходные и отличительные черты с уравнениями. Уравнение – упражнение, состоящее их двух частей, между которыми стоит знак равенства, а между частями неравенства может стоять знак «больше» или «меньше». Таким образом, прежде чем найти решение конкретного неравенства, мы должны понимать, что стоит учитывать знак числа (положительное или отрицательное), если возникает необходимость умножения обеих частей на какое-либо выражение. Этот же факт следует учитывать, если требуется для решения неравенства возводить в квадрат, поскольку возведение в квадрат проводится путем умножения.

Как решать систему неравенств

Намного сложнее решать системы неравенств, чем обычные неравенства. Как решать неравенства 9 класс, рассмотрим на конкретных примерах. Следует понимать, что перед тем, как решать квадратные неравенства (системы) или любые иные системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, после чего сопоставить их. Решением системы неравенства будет либо положительный, либо отрицательный ответ (имеет система решение или не имеет решения).

Задача - решить совокупность неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности

Строим числовую прямую, на которой изображаем множество решений

Так как совокупность - это объединение множеств решений, то это множество на числовой прямой должно быть подчеркнуто минимум одной линией.

Решение неравенств с модулем

Данный пример покажет, как решать неравенства с модулем. Итак, у нас имеется определение:

Нам необходимо решить неравенство:

Прежде чем решить такое неравенство, необходимо избавиться от модуля (знака)

Запишем, основываясь данными определения:

Теперь следует решать каждую из систем по отдельности.

Построим одну числовую прямую, на которой изобразим множества решений.

В результате у нас получилась совокупность, объединяющая множество решений.

Решение квадратичных неравенств

Используя числовую прямую рассмотрим на примере решение квадратичных неравенств. У нас есть неравенство:

Нам известно, что графиком квадратного трехчлена является парабола. Так же нам известно, что ветви параболы направленные вверх, если а>0.

x 2 -3x-4 < 0

Пользуясь теоремой Виета находим корни х 1 = - 1; х 2 = 4

Изобразим параболу, вернее, ее эскиз.

Таким образом, мы выяснили, что значения квадратного трехчлена будут меньше 0 на отрезке от – 1 до 4.

У многих возникают вопросы при решении двойных неравенств типа g(x) < f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

На самом деле, методов решения неравенств несколько, поэтому вы можете использовать для решения сложных неравенств графический способ.

Решение дробных неравенств

Более тщательного подхода требуют к себе дробные неравенства. Это обусловлено тем, что в процессе решения некоторых дробных неравенств может измениться знак. Перед тем, как решать дробные неравенства, необходимо знать, что для их решения используется метод интервалов. Дробное неравенство необходимо представить таким образом, чтобы одна сторона от знака выглядела, как дробно-рациональное выражение, а вторая – «- 0». Преобразуя неравенство таким образом, мы получим в результате f(x)/g(x) > (.

Решение неравенств методом интервалов

Методика интервалов основана на методе полной индукции, то есть, необходимо для нахождения решения неравенства перебрать все возможные варианты. Данный метод решения, возможно, и не потребуется ученикам 8-х классов, поскольку они должны знать, как решать неравенства 8 класс, которые представляют собой простейшие упражнения. А вот для более старших классов этот метод незаменим, так как помогает решить дробные неравенства. Решение неравенств с помощью данной методики основано и на таком свойстве непрерывной функции, как сохранение знака между значениями, в которых она обращается в 0.

Построим график многочлена. Это непрерывная функция, приобретающая значение 0 3 раза, то есть, f(x) будет равен 0 в точках x 1 , x 2 и x 3 , корнях многочлена. В промежутках между этими точками, знак функции сохраняется.

Так как для решения неравенства f(x)>0 нам необходим знак функции, переходим к координатной прямой, оставив график.

f(x)>0 при x(x 1 ; x 2) и при x(x 3 ;)

f(x)x(- ; x 1) и при х (x 2 ; x 3)

На графике наглядно показаны решения неравенств f(x)f(x)>0 (синим цветом решение для первого неравенства, а красным – для второго). Чтобы определить Для определения знак функции на интервале, достаточно того, чтобы вам был известен знак функции в одной из точек. Данная методика позволяет быстро решать неравенства, в которых левая часть разложена на множители, потому что в таких неравенствах достаточно просто найти корни.

Неравенство это выражение с, ≤, или ≥. Например, 3x - 5 Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно. Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений . Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами .

Линейные неравенства

Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

Принципы решения неравенств
Для любых вещественных чисел a, b, и c :
Принцип прибавления неравенств : Если a Принцип умножения для неравенств : Если a 0 верно, тогда ac Если a bc также верно.
Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.

Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами .

Пример 1 Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Решение
Любое число, меньше чем 11/5, является решением.
Множество решений есть {x|x
Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y 1 = 3x - 5 и y 2 = 6 - 2x. Тогда отсюда видно, что для x
Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже.

Двойные неравенства

Когда два неравенства соединены словом и , или , тогда формируется двойное неравенство . Двойное неравенство, как
-3 и 2x + 5 ≤ 7
называется соединённым , потому что в нём использовано и . Запись -3 Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

Пример 2 Решите -3 Решение У нас есть

Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Для проверки, нарисуем y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, и y 3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y 1 ≤ y 2 или y 1 > y 3 .

Неравенства с абсолютным значением (модулем)

Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x| |x| > a эквивалентно x или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

Например,
|x| |y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Решение
a) |3x + 2|

Множеством решением есть {x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] }