Сложение и вычитание модулей векторов. Векторы
Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа. Это, например, объем, масса, плотность, температура тела и др. Такие величины называются скалярными. В связи с этим числа иногда называют скалярами. Но есть и такие величины, которые определяются заданием не только числа, но и некоторого направления. Например, при движении тела следует указать не только скорость, с которой движется тело, но и направление движения. Точно так же, изучая действие какой-либо силы, необходимо указать не только значение этой силы, но и направление ее действия. Такие величины называются векторными. Для их описания было введено понятие вектора, оказавшееся полезным для математики.
Определение вектора
Любая упорядоченная пара точек А к В пространства определяет направленный отрезок , т.е. отрезок вместе с заданным на нем направлением. Если точка А первая, то ее называют началом направленного отрезка, а точку В - его концом. Направлением отрезка считают направление от начала к концу.
Определение
Направленный отрезок называется вектором.
Будем обозначать вектор символом \(\overrightarrow{AB} \), причем первая буква означает начало вектора, а вторая - его конец.
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается \(\vec{0} \) или просто 0.
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается \(|\overrightarrow{AB}| \) или \(|\vec{a}| \).
Векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \) называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.
Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.
Определение
Векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \) называются равными (\(\vec{a} = \vec{b} \)), если они коллинеарны, одинаково направлены
и их длины равны.
На рис. 1 изображены слева неравные, а справа - равные векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \). Из определения равенства векторов следует, что если данный вектор перенести параллельно самому себе, то получится вектор, равный данному. В связи с этим векторы в аналитической геометрии называют свободными.
Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве заданы ось \(u \) и некоторый вектор \(\overrightarrow{AB} \). Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные оси \(u \). Обозначим через А" и В" точки пересечения этих плоскостей с осью (см. рисунок 2).
Проекцией вектора \(\overrightarrow{AB} \) на ось \(u \) называется величина А"В" направленного отрезка А"В" на оси \(u \).
Напомним, что
\(A"B" = |\overrightarrow{A"B"}| \) , если направление \(\overrightarrow{A"B"} \) совпадает c направлением оси \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow{A"B"}| \) , если направление \(\overrightarrow{A"B"} \) противоположно направлению оси \(u \),
Обозначается проекция вектора \(\overrightarrow{AB} \) на ось \(u \) так: \(Пр_u \overrightarrow{AB} \).
Теорема
Проекция вектора \(\overrightarrow{AB} \) на ось \(u \) равна длине вектора \(\overrightarrow{AB} \) ,
умноженной на косинус угла между вектором \(\overrightarrow{AB} \) и осью \(u \) , т.е.
Замечание
Пусть \(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{A_2B_2} \) и задана какая-то ось \(u \). Применяя к каждому из этих векторов формулу теоремы, получаем
Проекции вектора на оси координат
Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный вектор \(\overrightarrow{AB} \). Пусть, далее,
\(X = Пр_u \overrightarrow{AB}, \;\; Y = Пр_u \overrightarrow{AB}, \;\; Z = Пр_u \overrightarrow{AB} \). Проекции X, Y, Z вектора
\(\overrightarrow{AB} \) на оси координат называют его координатами.
При этом пишут
\(\overrightarrow{AB} = (X;Y;Z) \)
Теорема
Каковы бы ни были две точки A(x 1 ; y 1 ; z 1) и B(x 2 ; y 2 ; z 2), координаты вектора
\(\overrightarrow{AB} \) определяются следующими формулами:
X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1
Замечание
Если вектор \(\overrightarrow{AB} \) выходит из начала координат, т.е. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, то координаты
X, Y, Z вектора \(\overrightarrow{AB} \) равны координатам его конца:
X = x, Y = y, Z = z.
Направляющие косинусы вектора
Пусть дан произвольный вектор \(\vec{a} = (X;Y;Z) \); будем считать, что \(\vec{a} \) выходит из начала координат и не лежит ни в одной координатной плоскости. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям. Вместе с координатными плоскостями они образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого служит отрезок ОА (см. рисунок).
Из элементарной геометрии известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех
его измерений. Следовательно,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Но \(|OA| = |\vec{a}|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); таким образом, получаем
\(|\vec{a}|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
или
\(|\vec{a}| = \sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2} \)
Эта формула выражает длину произвольного вектора через его координаты.
Обозначим через \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) углы между вектором \(\vec{a} \) и осями координат. Из формул проекции вектора на
ось и длины вектора получаем
\(\cos \alpha = \frac{X}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} \)
\(\cos \beta = \frac{Y}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} \)
\(\cos \gamma = \frac{Z}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) называются направляющими косинусами вектора \(\vec{a} \)
.
Возводя в квадрат левую и правую части каждого из предыдущих равенств и суммируя полученные результаты, имеем
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Линейные операции над векторами и их основные свойства
Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов и умножения векторов на числа.Сложение двух векторов
Пусть даны два вектора \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \). Суммой \(\vec{a} + \vec{b} \) называется вектор, который идет из начала вектора \(\vec{a} \) в конец вектора \(\vec{b} \) при условии, что вектор \(\vec{b} \) приложен к концу вектора \(\vec{a} \) (см. рисунок).Замечание
Действие вычитания векторов обратно действию сложения, т.е. разностью \(\vec{b} - \vec{a} \) векторов \(\vec{b} \) и
\(\vec{a} \) называется вектор, который в сумме с вектором\(\vec{a} \) дает вектор \(\vec{b} \) (см. рисунок).
Замечание
Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора
\(\vec{a},\;\; \vec{b}, \;\; \vec{c} \). Сложив \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \), получим вектор \(\vec{a} + \vec{b} \).
Прибавив теперь к нему вектор \(\vec{c} \), получим вектор \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \)
Произведение вектора на число
Пусть даны вектор \(\vec{a} \neq \vec{0} \) и число \(\lambda \neq 0 \). Произведением \(\lambda \vec{a} \) называется вектор, который коллинеарен вектору \(\vec{a} \), имеет длину, равную \(|\lambda| |\vec{a}| \), и направление такое же, как и вектор \(\vec{a} \) , если \(\lambda > 0 \), и противоположное, если \(\lambda Геометрический смысл операции умножения вектора \(\vec{a} \neq \vec{0} \) на число \(\lambda \neq 0 \) можно выразить следующим образом: если \(|\lambda| >1 \), то при умножении вектора \(\vec{a} \) на число \(\lambda \) вектор \(\vec{a} \) «растягивается» в \(\lambda \) раз, а если \(|\lambda| 1 \).Если \(\lambda =0 \) или \(\vec{a} = \vec{0} \), то произведение \(\lambda \vec{a} \) считаем равным нулевому вектору.
Замечание
Используя определение умножения вектора на число нетрудно доказать, что если векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \)
коллинеарны и \(\vec{a} \neq \vec{0} \), то существует (и притом только одно) число \(\lambda \) такое, что
\(\vec{b} = \lambda \vec{a} \)
Основные свойства линейных операций
1. Переместительное свойство сложения
\(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \)
2. Сочетательное свойство сложения
\((\vec{a} + \vec{b})+ \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b}+ \vec{c}) \)
3. Сочетательное свойство умножения
\(\lambda (\mu \vec{a}) = (\lambda \mu) \vec{a} \)
4. Распределительное свойство относительно суммы чисел
\((\lambda +\mu) \vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a} \)
5. Распределительное свойство относительно суммы векторов
\(\lambda (\vec{a}+\vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b} \)
Замечание
Эти свойства линейных операций имеют фундаментальное значение, так как дают возможность производить над векторами обычные алгебраические действия.
Например, в силу свойств 4 и 5 можно выполнять умножение скалярного многочлена на векторный многочлен «почленно».
Теоремы о проекциях векторов
Теорема
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.
\(Пр_u (\vec{a} + \vec{b}) = Пр_u \vec{a} + Пр_u \vec{b} \)
Теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.
Теорема
При умножении вектора \(\vec{a} \) на число \(\lambda \) его проекция на ось также умножается на это число, т.е.
\(Пр_u \lambda \vec{a} = \lambda Пр_u \vec{a} \)
Следствие
Если \(\vec{a} = (x_1;y_1;z_1) \) и \(\vec{b} = (x_2;y_2;z_2) \), то
\(\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)
Следствие
Если \(\vec{a} = (x;y;z) \), то \(\lambda \vec{a} = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) для любого числа \(\lambda \)
Отсюда легко выводится условие коллинеарности двух векторов в координатах.
В самом деле, равенство \(\vec{b} = \lambda \vec{a} \)
равносильно равенствам \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \) или
\(\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} \)
т.е. векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \) коллинеарны в том и только в том случае, когда их координаты пропорциональны.
Разложение вектора по базису
Пусть векторы \(\vec{i}, \; \vec{j}, \; \vec{k} \) - единичные векторы осей координат, т.e. \(|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1 \), и каждый из них
одинаково направлен с соответствующей осью координат (см. рисунок). Тройка векторов \(\vec{i}, \; \vec{j}, \; \vec{k} \)
называется базисом.
Имеет место следующая теорема.
Теорема
Любой вектор \(\vec{a} \) может быть единственным образом разложен по базису \(\vec{i}, \; \vec{j}, \; \vec{k}\; \), т.е. представлен в виде
\(\vec{a} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} + \nu \vec{k} \)
где \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) - некоторые числа.
Сумма векторов. Длина вектора. Дорогие друзья, в составе типов задний экзамена присутствует группа задач с векторами. Задания довольно широкого спектра (важно знать теоретические основы). Большинство решается устно. Вопросы связаны с нахождением длины вектора, суммы (разности) векторов, скалярного произведения. Так же много заданий, при решении которых необходимо осуществить действия с координатами векторов.
Теория касающаяся темы векторов несложная, и её необходимо хорошо усвоить. В этой статье разберём задачи связанные с нахождением длины вектора, также суммы (разности) векторов. Некоторые теоретические моменты:
Понятие вектора
Вектор — это направленный отрезок.
Все векторы, имеющие одинаковое направление и равные по длине являются равными.
*Все представленные выше четыре вектора равны!
То есть, если мы будем при помощи параллельного переноса перемещать данный нам вектор, то всегда получим вектор равный исходному. Таким образом, равных векторов может быть бесчисленное множество.
Обозначение векторов
Вектор может быть обозначен латинскими заглавными буквами, например:
При данной форме записи сначала записывается буква обозначающая начало вектора, затем буква обозначающая конец вектора.
Ещё вектор обозначается одной буквой латинского алфавита (прописной):
Возможно также обозначение без стрелок:
Суммой двух векторов АВ и ВС будет являться вектор АС .
Записывается как АВ +ВС =АС .
Это правило называется – правилом треугольника .
То есть, если мы имеем два вектора – назовём их условно (1) и (2), и конец вектора (1) совпадает с началом вектора (2), то суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом вектора (1), а конец совпадает с концом вектора (2).
Вывод: если мы имеем на плоскости два вектора, то всегда сможем найти их сумму. При помощи параллельного переноса можно переместить любой из данных векторов и соединить его начало с концом другого. Например:
Перенесём вектор b , или по-другому – построим равный ему:
Как находится сумма нескольких векторов? По тому же принципу:
* * *
Правило параллелограмма
Это правило является следствием изложенного выше.
Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
Построим вектор равный вектору b так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a , и мы можем построить вектор, который будет являться их суммой:
Ещё немного важной информации, необходимой для решения задач.
Вектор, равный по длине исходному, но противоположно направленный, обозначается также но имеет противоположный знак:
Эта информация крайне полезна для решения задач, в которых стоит вопрос о нахождении разности векторов. Как видите, разность векторов это та же сумма в изменнёном виде.
Пусть даны два вектора, найдём их разность:
Мы построили вектор противоположный вектору b, и нашли разность.
Координаты вектора
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала:
То есть, координаты вектора представляют собой пару чисел.
Если
И координаты векторов имеют вид:
То c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2
Если
То c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2
Модуль вектора
Модулем вектора называется его длина, определяется по формуле:
Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:
Рассмотрим задачи:
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов АО и ВО .
Найдём вектор, который будет являться результатом АО –ВО:
АО –ВО =АО +(–ВО )=АВ
То есть разность векторов АО и ВО будет являться вектор АВ. А его длина равна восьми.
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ +AD .
Найдём вектор, который будет являться суммой векторов AD и AB BC равен вектору AD . Значит AB +AD =AB +BC =AC
AC это длина диагонали ромба АС , она равна 16.Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО +ВО .
Найдём вектор, который будет являться суммой векторов АО и ВО ВО равен вектору OD, з начит
AD это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы в прямоугольном треугольнике AOD. Вычислим катеты:
По теореме Пифагора:
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО –ВО .
Найдём вектор, который будет являться результатом АО –ВО :
АВ это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике AOB. вычислим катеты:
По теореме Пифагора:
Стороны правильного треугольника ABC равны 3.
Найдите длину вектора АВ –АС .
Найдём результат разности векторов:
СВ равна трём, так как в условии сказано, что треугольник равносторонний и его стороны равны 3.27663. Найдите длину вектора а (6;8).
27664. Найдите квадрат длины вектора АВ .
В математике и физике студентам и школьникам зачастую попадаются задачи на векторные величины и на выполнение различных операций над ними. В чём же отличие векторных величин от привычных нам скалярных, единственная характеристика которых - это численное значение? В том, что они обладают направлением.
Максимально наглядно применение векторных величин объясняется в физике. Самыми простыми примерами являются силы (сила трения, сила упругости, вес), скорость и ускорение, поскольку помимо численных значений они также обладают направлением действия. Для сравнения приведём пример скалярных величин : это может быть расстояние между двумя точками или масса тела. Для чего же необходимо выполнять действия над векторными величинами такие как сложение или вычитание? Это нужно, чтобы было возможно определить результат действия системы векторов, состоящей из 2 или более элементов.
Определения векторной математики
Введём главные определения, используемые при выполнении линейных операций.
- Вектором называют направленный (имеющий точку начала и точку конца) отрезок.
- Длина (модуль) - это длина направленного отрезка.
- Коллинеарными называют такие два вектора, которые либо параллельны одной и той же прямой, либо одновременно лежат на ней.
- Противоположно направленными векторами называют коллинеарные и при этом направленные в разные стороны. Если же их направление совпадает, то они являются сонаправленными.
- Вектора являются равными, когда они сонаправлены и одинаковы по модулю.
- Суммой двух векторов a и b является такой вектор c , начало которого совпадает с началом первого, а конец - с концом второго при условии, что b начинается в той же точке, в которой заканчивается a .
- Разностью векторов a и b называют сумму a и (- b ), где (- b ) - противоположно направленный к вектору b . Также определение разности двух векторов может быть дано следующее: разностью c пары векторов a и b называют такой c , который при сложении с вычитаемым b образует уменьшаемое a.
Аналитический метод
Аналитический способ подразумевает получение координат разности по формуле без построения. Возможно выполнить вычисление для плоского (двухмерного), объёмного (трёхмерного) или же n-мерного пространства.
Для двухмерного пространства и векторных величин a {a₁; a₂ } и b {b₁; b₂ } расчёты будут иметь следующий вид: c {c₁; c₂ } = {a₁ – b₁; a₂ – b₂ }.
В случае с добавлением третьей координаты расчёт будет проводиться аналогично, и для a {a₁; a₂ ; a₃ } и b {b₁; b₂; b₃ } координаты разности будут также получены попарным вычитанием: c {c₁; c₂; c₃ } = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃ – b₃ }.
Вычисление разности графически
Для того чтобы построить разность графическим способом, следует воспользоваться правилом треугольника. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:
- По заданным координатам построить векторы, для которых нужно найти разность.
- Совместить их концы (т. е. построить два направленных отрезка, равных заданным, которые будут оканчиваться в одной и той же точке).
- Соединить начала обоих направленных отрезков и указать направление; результирующий будет начинаться в той же точке, где начинался вектор, являющийся уменьшаемым, и заканчиваться в точке начала вычитаемого.
Результат операции вычитания показан на рисунке ниже .
Также существует метод построения разности, незначительно отличающийся от предыдущего. Его суть заключается в применении теоремы о разности векторов, которая формулируется следующим образом: для того чтобы найти разность пары направленных отрезков, достаточно найти сумму первого из них с отрезком, противоположно направленным ко второму. Алгоритм построения будет иметь следующий вид:
- Построить исходные направленные отрезки.
- Тот, что является вычитаемым, необходимо отразить, т. е. построить противоположно направленный и равный ему отрезок; затем совместить его начало с уменьшаемым.
- Построить сумму: соединить начало первого отрезка с концом второго.
Результат такого решения изображён на рисунке:
Решение задач
Для закрепления навыка разберём несколько заданий, в которых требуется рассчитать разность аналитически или графически.
Задача 1 . На плоскости заданы 4 точки: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Определить координаты вектора q = AB - CD, а также рассчитать его длину.
Решение . Вначале следует найти координаты AB и CD . Для этого из координат конечных точек вычтем координаты начальных. Для AB началом является A (1; -3), а концом – B (0; 4). Рассчитаем координаты направленного отрезка:
AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}
Аналогичный расчёт выполняется для CD :
CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}
Теперь, зная координаты, можно найти разность векторов. Формула для аналитического решения плоских задач была рассмотрена ранее: для c = a - b координаты имеют вид {c₁; c₂ } = {a₁ – b₁; a₂ – b₂ }. Для конкретного случая можно записать:
q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}
Чтобы найти длину q , воспользуемся формулой | q | = √(q₁² + q ₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.
Задача 2 . На рисунке изображены векторы m, n и p.
Необходимо построить для них разности: p - n; m - n; m - n - p. Выяснить, какая из них обладает наименьшим модулем.
Решение . В задаче требуется выполнить три построения. Рассмотрим каждую часть задания более подробно.
Часть 1. Для того чтобы изобразить p - n, воспользуемся правилом треугольника. Для этого при помощи параллельного переноса соединим отрезки так, чтобы совпала их конечная точка. Теперь соединим начальные точки и определим направление. В нашем случае вектор разности начинается там же, где и вычитаемый n.
Часть 2. Изобразим m - n . Теперь для решения воспользуемся теоремой о разности векторов. Для этого следует построить вектор, противоположный n, а затем найти его сумму с m. Полученный результат будет выглядеть так:
Часть 3. Для того чтобы найти разность m - n - p, следует разбить выражение на два действия. Поскольку в векторной алгебре действуют законы аналогичные законам арифметики, то возможны варианты:
- m - (n + p) : в этом случае вначале строится сумма n + p , которая затем вычитается из m ;
- (m - n) - p : здесь сначала нужно найти m - n , а затем отнять от этой разности p ;
- (m - p) - n : первым действием определяется m - p , после чего из полученного результата нужно вычесть n .
Так как в предыдущей части задачи мы уже нашли разность m - n , нам остаётся лишь вычесть из неё p . Построим разность двух данных векторов при помощи теоремы о разности. Ответ показан на изображении ниже (красным цветом обозначен промежуточный результат, а зелёным - окончательный).
Остаётся определить, модуль какого из отрезков является наименьшим. Вспомним, что понятия длины и модуля в векторной математике являются идентичными. Оценим визуально длины p - n, m - n и m - n - p . Очевидно, что самым коротким и обладающим наименьшим модулем является ответ в последней части задачи, а именно m - n - p .