Уравнение прямой проходящей через точку а. Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении
Пусть даны две точки М (Х 1 ,У 1) и N (Х 2, y 2). Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки.
Так как эта прямая проходит через точку М , то согласно формуле (1.13) ее уравнение имеет вид
У – Y 1 = K (X – x 1),
Где K – неизвестный угловой коэффициент.
Значение этого коэффициента определим из того условия, что искомая прямая проходит через точку N , а значит, ее координаты удовлетворяют уравнению (1.13)
Y 2 – Y 1 = K (X 2 – X 1),
Отсюда можно найти угловой коэффициент этой прямой:
,
Или после преобразования
(1.14)
Формула (1.14) определяет Уравнение прямой, проходящей через две точки М (X 1, Y 1) и N (X 2, Y 2).
В частном случае, когда точки M (A , 0), N (0, B ), А ¹ 0, B ¹ 0, лежат на осях координат, уравнение (1.14) примет более простой вид
Уравнение (1.15) называется Уравнением прямой в отрезках , здесь А и B обозначают отрезки, отсекаемые прямой на осях (рисунок 1.6).
Рисунок 1.6
Пример 1.10. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М (1, 2) и B (3, –1).
. Согласно (1.14) уравнение искомой прямой имеет вид
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Перенося все члены в левую часть, окончательно получаем искомое уравнение
3X + 2Y – 7 = 0.
Пример 1.11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2, 1) и точку пересечения прямых X + Y – 1 = 0, Х – у + 2 = 0.
. Координаты точки пересечения прямых найдем, решив совместно данные уравнения
Если сложить почленно эти уравнения, получим 2X + 1 = 0, откуда . Подставив найденное значение в любое уравнение, найдем значение ординаты У :
Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через точки (2, 1) и :
или .
Отсюда или –5(Y – 1) = X – 2.
Окончательно получаем уравнение искомой прямой в виде Х + 5Y – 7 = 0.
Пример 1.12. Найти уравнение прямой, проходящей через точки M (2,1) и N (2,3).
Используя формулу (1.14), получим уравнение
Оно не имеет смысла, так как второй знаменатель равен нулю. Из условия задачи видно, что абсциссы обеих точек имеют одно и то же значение. Значит, искомая прямая параллельна оси ОY и ее уравнение имеет вид: x = 2.
Замечание . Если при записи уравнения прямой по формуле (1.14) один из знаменателей окажется равным нулю, то искомое уравнение можно получить, приравняв к нулю соответствующий числитель.
Рассмотрим другие способы задания прямой на плоскости.
1. Пусть ненулевой вектор перпендикулярен данной прямой L , а точка M 0(X 0, Y 0) лежит на этой прямой (рисунок 1.7).
Рисунок 1.7
Обозначим М (X , Y ) произвольную точку на прямой L . Векторы и Ортогональны. Используя условия ортогональности этих векторов, получим или А (X – X 0) + B (Y – Y 0) = 0.
Мы получили уравнение прямой, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору . Этот вектор называется Вектором нормали к прямой L . Полученное уравнение можно переписать в виде
Ах + Ву + С = 0, где С = –(А X 0 + By 0), (1.16),
Где А и В – координаты вектора нормали.
Получим общее уравнение прямой в параметрическом виде.
2. Прямую на плоскости можно задать так: пусть ненулевой вектор параллелен данной прямой L и точка M 0(X 0, Y 0) лежит на этой прямой. Вновь возьмем произвольную точку М (Х , y) на прямой (рисунок 1.8).
Рисунок 1.8
Векторы и коллинеарны.
Запишем условие коллинеарности этих векторов: , где T – произвольное число, называемое параметром. Распишем это равенство в координатах:
Эти уравнения называются Параметрическими уравнениями Прямой . Исключим из этих уравнений параметр T :
Эти уравнения иначе можно записать в виде
. (1.18)
Полученное уравнение называют Каноническим уравнением прямой . Вектор называют Направляющим вектором прямой .
Замечание . Легко видеть, что если – вектор нормали к прямой L , то ее направляющим вектором может быть вектор , так как , т. е. .
Пример 1.13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M 0(1, 1) параллельно прямой 3Х + 2У – 8 = 0.
Решение . Вектор является вектором нормали к заданной и искомой прямым. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку M 0 с заданным вектором нормали 3(Х –1) + 2(У – 1) = 0 или 3Х + 2у – 5 = 0. Получили уравнение искомой прямой.
Прямая, проходящая через точку K(x 0 ; y 0) и параллельная прямой y = kx + a находится по формуле:
y - y 0 = k(x - x 0) (1)
Где k - угловой коэффициент прямой.
Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M 1 (x 1 ; y 1) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)
Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (-2,1) и при этом:а) параллельно прямой 2x+3y -7 = 0;
б) перпендикулярно прямой 2x+3y -7 = 0.
Решение . Представим уравнение с угловым коэффициентом в виде y = kx + a . Для этого перенесем все значения кроме y в правую часть: 3y = -2x + 7 . Затем разделим правую часть на коэффициент 3 . Получим: y = -2/3x + 7/3
Найдем уравнение NK, проходящее через точку K(-2;1), параллельно прямой y = -2 / 3 x + 7 / 3
Подставляя x 0 = -2, k = -2 / 3 , y 0 = 1 получим:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
или
y = -2 / 3 x - 1 / 3 или 3y + 2x +1 = 0
Пример №2
. Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение
. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .
Пример №3
. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 / 7 x – 4 / 7 (здесь a = 5 / 7). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .
Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.
Пример №5
. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).
Свойства прямой в евклидовой геометрии.
Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются
параллельными (следует из предыдущего).
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
- прямые пересекаются;
- прямые параллельны;
- прямые скрещиваются.
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия
задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Общее уравнение прямой.
Определение . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим
уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:
. C = 0, А ≠0, В ≠ 0 - прямая проходит через начало координат
. А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох
. В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу
. В = С = 0, А ≠0 - прямая совпадает с осью Оу
. А = С = 0, В ≠0 - прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных
начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)
перпендикулярен прямой, заданной уравнением
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С
подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно
С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой ,
проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На
плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой .
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение . Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание
прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение . Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2) , компоненты которого удовлетворяют условию
Аα 1 + Вα 2 = 0 называется направляющим вектором прямой.
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение . Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,
коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.
при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3 , т.е. искомое уравнение:
х + у - 3 = 0
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на -С, получим:
или , где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения
прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример . Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется
нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 - нормальное уравнение прямой .
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.
р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,
а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример . Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 . Требуется написать различные типы уравнений
этой прямой.
Уравнение этой прямой в отрезках :
Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом : (делим на 5)
Уравнение прямой :
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,
параллельные осям или проходящие через начало координат.
Угол между прямыми на плоскости.
Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми
будет определяться как
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны,
если k 1 = -1/ k 2 .
Теорема .
Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты
А 1 = λА, В 1 = λВ . Если еще и С 1 = λС , то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых
находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.
Определение . Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b
представляется уравнением:
Расстояние от точки до прямой.
Теорема . Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:
Доказательство . Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную
прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1 :
(1)
Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно
заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Пусть прямая проходит через точки М 1 (х 1 ; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2). Уравнение прямой, проходящей через точку М 1 , имеет вид у- у 1 = k (х - х 1), (10.6)
где k - пока неизвестный коэффициент.
Так как прямая проходит через точку М 2 (х 2 у 2), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): у 2 -у 1 = k (х 2 -х 1).
Отсюда
находим
Подставляя найденное значениеk
в уравнение (10.6), получим уравнение
прямой, проходящей через точки М 1
и М 2:
Предполагается, что в этом уравнении х 1 ≠ х 2 , у 1 ≠ у 2
Если х 1 = х 2 , то прямая, проходящая через точки М 1 (х 1 ,у I) и М 2 (х 2 ,у 2) параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х 1 .
Если у 2 = у I , то уравнение прямой может быть записано в виде у = у 1 , прямая М 1 М 2 параллельна оси абсцисс.
Уравнение прямой в отрезках
Пусть
прямая пересекает ось Ох в точке М 1 (а;0),
а ось Оу – в точке М 2 (0;b).
Уравнение примет вид:
т.е.
.
Это уравнение называетсяуравнением
прямой в отрезках, т.к. числа а и b
указывают, какие отрезки отсекает прямая
на осях координат
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку Мо (х О; у о) перпендикулярно данному ненулевому вектор n = (А; В).
Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и рассмотрим вектор М 0 М (х - х 0 ; у - у о) (см. рис.1). Поскольку векторы n и М о М перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: то есть
А(х - хо) + В(у - уо) = 0. (10.8)
Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору .
Вектор n= (А; В), перпендикулярный прямой, называется нормальным нормальным вектором этой прямой .
Уравнение (10.8) можно переписать в виде Ах + Ву + С =0 , (10.9)
где А и В координаты нормального вектора, С = -Ах о - Ву о - свободный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. рис.2).
Рис.1 Рис.2
Канонические уравнения прямой
,
Где
- координаты точки, через которую проходит
прямая, а
- направляющий вектор.
Кривые второго порядка Окружность
Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки, которая называется центром.
Каноническое
уравнение круга радиуса
R с
центром в точке
:
В частности, если
центр кола совпадает с началом координат,
то уравнение будет иметь вид:
Эллипс
Эллипсом
называется множество точек плоскости,
сумма расстояний от каждой из которых
до двух заданных точек
и,
которые называются фокусами, есть
величина постоянная
,
большая чем расстояние между фокусами
.
Каноническое уравнение эллипса,
фокусы которого лежат на оси Ох, а начало
координат посредине между фокусами
имеет вид
где
a длина большой полуоси;
b– длина
малой полуоси (рис. 2).
Направляющим вектором прямой l называется всякий ненулевой вектор (m , n ), параллельный этой прямой.
Пусть заданы точка M 1 (x 1 , y 1) и направляющий вектор (m , n ), тогда уравнение прямой, проходящей через точку M 1 в направлении вектора имеет вид: . Это уравнение называется каноническим уравнением прямой.
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. Запишем каноническое уравнение прямой , преобразуем его. Получим х + у - 3 = 0
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть на плоскости заданы две точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2, y 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки имеет вид: . Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Применяя записанную выше формулу, получаем: ,
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 коэффициент С ¹ 0, то, разделив на С, получим: или , где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох , а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу .
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках. А = -1, В = 1, С = 1, тогда а = -1, b = 1. Уравнение прямой в отрезках примет вид .
Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.
Находим уравнение стороны АВ: ;
4x = 6y – 6; 2x – 3y + 3 = 0;
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b .
k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .
Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.
Наименование занятия: Кривые второго порядка.
Цель занятия: Научиться составлять кривых 2-го порядка, строить их.
Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Кривые 2-го порядка»
Литература:
- Дадаян А.А. «Математика», 2004г.
Задание на занятие:
Порядок проведения занятия:
- Получить допуск к работе
- Выполнить задания
- Ответить на контрольные вопросы.
- Наименование, цель занятия, задание;
- Выполненное задание;
- Ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы для зачета:
- Дать определение кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы, параболы), записать их канонические уравнения.
- Что называется эксцентриситетом эллипса, гиперболы? Как его найти?
- Записать уравнение равносторонней гиперболы
ПРИЛОЖЕНИЕ
Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.
Пусть центром окружности является точка О (a; b ), а расстояние до любой точки М (х;у ) окружности равно R . Тогда (x – a ) 2 + (y – b ) 2 = R 2 – каноническое уравнение окружности с центром О (a; b ) и радиусом R.
Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде: 2x 2 + 2y 2 – 8x + 5y – 4 = 0.
Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты:
x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0
x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0
(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0
(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16
Отсюда находим координаты центра О (2; -5/4); радиус R = 11/4.
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Фокусы обозначаются буквами F 1 , F с , сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов – 2а (2а > 2c ), a – большая полуось; b – малая полуось.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид: , где a , b и c связаны между собой равенствами: a 2 – b 2 = c 2 (или b 2 – a 2 = c 2).
Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к длине большей оси и называется эксцентриситетом. или .
Т.к. по определению 2а > 2c , то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е. .
Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), большая ось равна 2.
Уравнение эллипса имеет вид: .
Расстояние между фокусами: 2c = , таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = . По условию 2а = 2, следовательно, а = 1, b = Искомое уравнение эллипса примет вид: .
Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: или , где a , b и c связаны между собой равенством a 2 + b 2 = c 2 . Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат. Фокусы обозначаются буквами F 1 , F 2 , расстояние между фокусами – 2с , разность расстояний от любой точки гиперболы до фокусов – 2а (2а < 2c ). Ось 2а называется действительной осью гиперболы, ось 2b – мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси: или . Т.к. по определению 2а < 2c , то эксцентриситет гиперболы всегда выражается неправильной дробью, т.е. .
Если длина действительной оси равна длине мнимой оси, т.е. а = b , ε = , то гипербола называется равносторонней .
Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением
Находим фокусное расстояние c 2 = 25 – 9 = 16.
Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2a ; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.
Тогда - искомое уравнение гиперболы.
Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Фокус параболы обозначается буквой F , директриса – d , расстояние от фокуса до директрисы – р .
Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс, имеет вид:
y 2 = 2px или y 2 = -2px
x = -p /2, x = p /2
Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси ординат, имеет вид:
х 2 = 2pу или х 2 = -2pу
Уравнения директрис соответственно у = -p /2, у = p /2
Пример. На параболе у 2 = 8х найти точки, расстояние которой от директрисы равно 4.
Из уравнения параболы получаем, что р = 4. r = x + p /2 = 4; следовательно:
x = 2; y 2 = 16; y = ±4. Искомые точки: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).
Практическое занятие №8
Наименование занятия: Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел .
Цель занятия: Научиться выполнять действия над комплексными числами.
Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Комплексные числа».
Литература:
- Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
Задание на занятие:
- Вычислить:
1) i 145 + i 147 + i 264 + i 345 + i 117 ;
2) (i 64 + i 17 + i 13 + i 82)·(i 72 – i 34);