Четырехугольная пирамида в задаче C2. В правильной четырехугольной пирамиде через вершину основания проведена плоскость, перпендикулярная к противоположному

Проводим прямую CM (рис.), изображающую перпендикуляр, опущенный из С на АЕ.

Через точку О 1 где СM встречает EO, проводим KN||BD. Четырёхугольник KCNM изображает сечение. Доказательство следует из нижеприводимого решения.

Решение. Так как плоскость KCNM перпендикулярна к ребру АЕ, то стороны МК и МN, а также диагональ СМ сечения KCNM перпендикулярны к АЕ. Так как диагональ СМ лежит в плоскости равнобедренного треугольника AЕС, то она пересекает прямую EO, являющуюся высотой этого треугольника. С другой стороны, диагональ KN, лежащая в плоскости треугольника BED (и, как сейчас будет доказано, параллельная основанию BD этого треугольника), тоже пересекает прямую ЕО, являющуюся высотой треугольника BED. А так как плоскость KCNM имеет с прямой ОЕ только одну общую точку О 1 , то в этой точке диагонали KN и МС пересекаются друг с другом.

Плоскость KCNM перпендикулярна к ребру АЕ; потому углы ЕМК и EMN - прямые. Прямоугольные треугольники ЕМК и EMN равны (доказать!); следовательно, MK=MN и EK=ЕN. Из последнего равенства вытекает, что KN||BD и что KО 1 = О 1 N. Следовательно, диагонали МС и KN взаимно перпендикулярны и, значит, S cеч. = 1 / 2 МС KN.

Диагональ МС находим из прямоугольного треугольника АМС, где
∠ CAM = φ и AC = a √2 . Получаем МС = a √2 sin φ .

Диагональ KN находим из равнобедренного треугольника KEN, где ∠ EKN = φ . Имеем КN = 2 О 1 E ctg φ , где О 1 E = ОЕ - ОО 1 . Отрезок ОЕ определяется из треугольника АОЕ (или ВОЕ); находим . Отрезок же OO 1 определяется из треугольника ОСО 1 , где ∠ OCO 1 = 90°- ^MAС = 90° - φ .

Замечание. Для того чтобы плоскость KCNM, перпендикулярная к АЕ, дала бы сечение пирамиды, нужно, чтобы точка М ее пересечения с прямой АЕ лежала на отрезке АЕ (а не на его продолжении), а для этого угол AЕС должен быть острым,
т.е. ∠ AEС= 180° - 2φ < 90°. Следовательно, φ > 45°, а поэтому cos 2φ есть величина отрицательная.

Решая задачу C2 методом координат, многие ученики сталкиваются с одной и той же проблемой. Они не могут рассчитать координаты точек , входящих в формулу скалярного произведения. Наибольшие трудности вызывают пирамиды . И если точки основания считаются более-менее нормально, то вершины - настоящий ад.

Сегодня мы займемся правильной четырехугольной пирамидой. Есть еще треугольная пирамида (она же - тетраэдр ). Это более сложная конструкция, поэтому ей будет посвящен отдельный урок.

Для начала вспомним определение:

Правильная пирамида - это такая пирамида, у которой:

1. В основании лежит правильный многоугольник: треугольник, квадрат и т.д.;
2. Высота, проведенная к основанию, проходит через его центр.

В частности, основанием четырехугольной пирамиды является квадрат . Прямо как у Хеопса, только чуть поменьше.

Ниже приведены расчеты для пирамиды, у которой все ребра равны 1. Если в вашей задаче это не так, выкладки не меняются - просто числа будут другими.

Вершины четырехугольной пирамиды

Итак, пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , где S - вершина, основание ABCD - квадрат. Все ребра равны 1. Требуется ввести систему координат и найти координаты всех точек. Имеем:

Вводим систему координат с началом в точке A :

1. Ось OX направлена параллельно ребру AB ;
2. Ось OY - параллельно AD . Поскольку ABCD - квадрат, AB ⊥ AD ;
3. Наконец, ось OZ направим вверх, перпендикулярно плоскости ABCD .

Теперь считаем координаты. Дополнительное построение: SH - высота, проведенная к основанию. Для удобства вынесем основание пирамиды на отдельный рисунок. Поскольку точки A , B , C и D лежат в плоскости OXY , их координата z = 0. Имеем:

1. A = (0; 0; 0) - совпадает с началом координат;
2. B = (1; 0; 0) - шаг на 1 по оси OX от начала координат;
3. C = (1; 1; 0) - шаг на 1 по оси OX и на 1 по оси OY ;
4. D = (0; 1; 0) - шаг только по оси OY .
5. H = (0,5; 0,5; 0) - центр квадрата, середина отрезка AC .

Осталось найти координаты точки S . Заметим, что координаты x и y точек S и H совпадают, поскольку они лежат на прямой, параллельной оси OZ . Осталось найти координату z для точки S .

Рассмотрим треугольники ASH и ABH :

1. AS = AB = 1 по условию;
2. Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH - высота, а AH ⊥ HB как диагонали квадрата;
3. Сторона AH - общая.

Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD . Но BD - диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:

Итого координаты точки S :

В заключение, выпишем координаты всех вершин правильной прямоугольной пирамиды:

Что делать, когда ребра разные

А что, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания? В этом случае рассмотрим треугольник AHS :

Треугольник AHS - прямоугольный , причем гипотенуза AS - это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD . Катет AH легко считается: AH = 0,5 · AC . Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора . Это и будет координата z для точки S .

Задача. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , в основании которой лежит квадрат со стороной 1. Боковое ребро BS = 3. Найдите координаты точки S .

Координаты x и y этой точки мы уже знаем: x = y = 0,5. Это следует из двух фактов:

1. Проекция точки S на плоскость OXY - это точка H ;
2. Одновременно точка H - центр квадрата ABCD , все стороны которого равны 1.

Осталось найти координату точки S . Рассмотрим треугольник AHS . Он прямоугольный, причем гипотенуза AS = BS = 3, катет AH - половина диагонали. Для дальнейших вычислений нам потребуется его длина:

Теорема Пифагора для треугольника AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Имеем:

Итак, координаты точки S :

Сборник заданий С2

№ Пирамида Ответ

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD

равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите

площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ

её основания.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания

1 равна 6. Точка L – середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 72

2. Найдите площадь поверхности пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L – середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен. Найдите площадь поверхности пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L – середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен. Найдите площадь поверхности пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 10. Точка L – середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 2. Найдите площадь поверхности пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 3. Точка L – середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен. Найдите площадь поверхности пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной S сторона основания равна 3. Точка L – середина ребра MC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен. Найдите площадь поверхности пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M сторона основания 7 равна 6. Точка L – середина ребра MC. Тангенс угла между прямыми BL и AM 72 равен 2. Найдите площадь поверхности пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M сторона основания равна 8. Точка L – середина ребра MC. Тангенс угла между прямыми BL и AM равен 2. Найдите площадь поверхности пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M сторона основания равна 4. Точка L – середина ребра MC. Тангенс угла между прямыми BL и AM равен 2. Найдите площадь поверхности пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M сторона основания равна 10. Точка L – середина ребра MC. Тангенс угла между прямыми BL и AM равен 2. Найдите площадь поверхности пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M сторона основания равна 12. Точка L – середина ребра MC. Тангенс угла между прямыми BL и AM равен. Найдите площадь поверхности пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M сторона основания равна 6. Точка L – середина ребра MC.Тангенс угла между прямыми BL и AM равен. Найдите площадь поверхности пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 3, точка M – середина ребра AB, точка O – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 2: 1, считая от вершины пирамиды. Найдите расстояние от точки B до прямой MF.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка M – середина ребра AB, точка O – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3: 1, считая от вершины пирамиды. Найдите расстояние от точки C до прямой MF.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 6, точка M – середина ребра AB, точка O – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1: 2, считая от вершины пирамиды. Найдите расстояние от точки A до прямой MF.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N – середина ребра AB, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3: 1, считая от вершины пирамиды. Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 5, точка N – середина ребра AB, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 2: 3, считая от вершины пирамиды. Найдите расстояние от точки C до прямой NP.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 3, точка N – середина ребра BC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO. Найдите расстояние от точки A до прямой NP В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 3, точка M – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 2: 1, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью ABC.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка M – середина ребра AB, точка O – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3: 1, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 6, точка M – середина ребра BС, точка O – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1: 2, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между плоскостью NCF и плоскостью ABC.

Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64, и площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ 192 её основания, тоже равна 64. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет от высоты SM 23 arctg боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её 24 боковым ребром.

Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет от высоты SM 5 arctg боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её 3 боковым ребром.

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 5 2. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен 2, L – середина ребра 5 MB.

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой 10 равны 5. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен, L – середина ребра MB.

Найдите высоту данной пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S и объёмом 48 проведена плоскость, которая параллельна медиане основания BN и пересекает боковое ребро SA в точке K, а боковое ребро SB в точке L, причём SK SA, SL SB. Найдите объём части пирамиды, лежащей ниже этой плоскости.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка K – середина ребра SB. Тангенс угла между прямыми SK и SD равен. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB 6. Точка M – середина ребра SB. Найдите угол между прямыми AM и SC, если SM 4.

В правильной треугольной пирамиде SABC c вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3: 1, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между плоскостью NCP и плоскостью ABC.

В правильной треугольной пирамиде SABC c вершиной S, все рёбра которой равны 5, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 2: 3, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между плоскостью NAP и плоскостью ABC.

В правильной треугольной пирамиде SABC c вершиной S, все рёбра которой равны 3, точка N – середина ребра BC, точка O – центр основания пирамиды, точка P – середина отрезка SO. Найдите угол между плоскостью NBP и плоскостью ABC.

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABC, все рёбра основания которой равны 7. Угол между прямыми DM и AL, где L – середина ребра MB,равен 60.

Найдите высоту данной пирамиды.

Дана правильная четырёхугольная пирамида, MABCD все рёбра основания которой равны 5 2. Угол между прямыми DM и AL, где L – середина ребра MB,равен a, где tg 2. Найдите высоту данной пирамиды.

Дана правильная четырёхугольная пирамида, MABCD все рёбра основания которой равны 5. Угол между прямыми DM и AL, где L – середина ребра MB, равен a, где tg. Найдите высоту данной пирамиды.

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, все рёбра основания которой равны 6. Угол между прямыми DM и AL, где L – середина ребра MB,равен 60.

Найдите высоту данной пирамиды.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку С и середину ребра MС параллельно BD.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку A и середину ребра MС параллельно BD.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно AС.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые рёбра равны 16. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середину ребра MB параллельно AC.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра AM параллельно прямой BD.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны, а боковые рёбра равны 4. Точка K принадлежит ребру MB, причём MK: KB 2: 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки A и K параллельно прямой BD.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 18, а боковые рёбра равны 15. Точка R принадлежит ребру, причём MR: RB 2: 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки M и R параллельно прямой BD.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN: NC 2: 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 18, а боковые рёбра равны 15. Точка N принадлежит ребру MC причём MN: NB 2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 12, а боковые рёбра равны 10. Точка W принадлежит ребру MD, причём MW: WB 2: 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки C и W параллельно прямой BD.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 12, а боковые рёбра равны 24. Точка G принадлежит ребру MA, причём MG: GA 2: 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и G параллельно прямой AC.

–  –  –

№ Тела вращения Ответ Две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно 2, пересекают шар.

Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара 5 этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.

Найдите поверхность шара, описанного около конуса, у которого радиус основания равен 3, а высота равна 4.

Радиус основания конуса равен 8, а его высота равна 15. Плоскость сечения содержит 15 вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 14. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.