Лабораторная работа № 1*

Маятник Максвелла

Цель работы : Определить момент инерции маятника Максвелл дина­мическим способен и сравнить его с теоретическим значением.

Приборы и материалы: маятник Максвелла, электронный секундомер, сменные кольца.

Лабораторный прибор

Маятник Максвелла представляет собой небольшой диск (маховичок) насажанный туго на ось. Под действием силы тяжести он опускается на двух нитях, предварительно намотанных на ось маховичка (рис. 1). Нить во время движения диска вниз разматывается до полной дли­ны, раскрутившийся маховичок продолжает вращательное дви­жение в том же направлении и наматывает нити на ось, вследствие чего он поднима­ется вверх, замедляя при этом свое вращение. Дойдя до верхней точки, диск опять будет опускаться вниз и т.д. Маховичок будет колебаться вниз и вверх, поэтому такое устройство и называется маят­ником.

Лабораторная установка

В лабораторной установке маятник Максвелла укреплен на кронштейнах, позволяющих регулировать длину подвески и ее параллельность. К верхнему и нижнему кронштейнам прикреплены фотоэлектрические датчики, связанные функционально с электронным секундомером, измеряющим время движения маятника. На маховичск накладываются сменные кольца, изменяв­шие момент инерции маятника. На верхнем кронштейне находится

электромагнит, фиксирующий начальное положение маховичка с кольцом при отжатой клавише "ПУСК".

Теоретическое описание работы и вывод рабочей формулы

Маятник в процессе колебаний совершает поступательное и вращательное движения, которые описываются соответствующими уравнениями. Для составления уравнений движения рассмотрим силы и моменты сил, действующих на маховичок (рис. I). Пусть
- сила тяжести,- сила натяжения одной нити.
- радиус оси маятника.
10 мм - диаметр оси маятника,
- масса маятника.- момент инерции маховичка. Тогда уравнение поступательного движения, согласно второму закону Ньютона, запишется так:

. (1)

В уравнении (1) стоит удвоенное значение силы , так как на ось маховичка намотаны две нити, в каждой из которых возникает сила натяже­ния .

Под действием сил натяжения диск совершает вращательное движение. Момент этих сил равен:

. (2)

Плечом силы является радиусоси маятника, диаметром нити пренебрегаем.

Тогда уравнение вращательного движения маховичка можно записать так:

, (3)

где - угловое ускорение вращения диска.

Угловое ускорение и ускорение центра масс связаны соот­ношением:

. (4)

Ускорение , центра масс можно найти, зная длину пути и время дви­жения маховичка от верхней до нижней точки (с учетом нулевой начальной скорости):

. (5)

. (6)

Подставив (6) в (4), получим:

. (7)

С учетом (6) и (7) уравнения (1) и (3) примут вид:

. (8)

. (9)

Решая совместно уравнения (8) и (9), получим рабочую формулу для опреде­ления момента инерции маятника Максвелла экспериментальным путем:

. (10)

В формуле (10) масса
является общей массой маятника, включающей в себя массу оси маятника, диска и кольца.-?-?

-?
-?
-?

Порядок выполнения работы

1. Включить установку в сеть.

2. На маховичок наложить произвольно выбранное кольцо, прижимая его до упора.

3. На ось маятника намотать нить подвески, обращая внимание на то. чтобы она наматывалась равномерно, виток к витку.

4. Зафиксировать маятник в верхнем кронштейне отжатием клавиши "ПУСК" секундомера.

5. Нажать клавишу "СБРОС" секундомера.

6. Нажать клавишу "ПУСК", при этом электронный секундомер начнет отсчет времени движения маятника до нижнего кронштейна. Измерения повторить 5 раз и занести в соответствующую колонку табли­цы.

7. По шкале на вертикальной колонке определить длину маятника.

8. Измерения времени (пункт 6) повторить для разных насадных колец и занести в таблицу.

9. Определить общую массу маятника. Значения масс отдельных элементов указаны на них.

10.По формуле (10) вычислить момент инерции - маятника для всех

серий измерений.

11.Вычислить относительную и абсолютную погрешности определения момента

инерции по полученным самостоятельно формулам. Формула дифференциала имеет вид

12.Вычислить теоретические значения моментов инерции маятника но формулам (11) и сравнить с вычисленным по формулам (10):

, (11)

где
- момент инерции оси маятника.

- масса оси маятника, = 10 мм - диаметр оси

- момент инерции диска.

- масса диска,
86 мм - внешний диаметр диска

- момент инерции насадного кольца.

- масса кольца,
105 мм - внешний диаметр кольца.

13.Окончательные результаты определения моментов инерции маятника представить в следующем виде:

,
.

14.По полученным результатам сделать выводы.

Таблица результатов

№,

с

, с

, с

, кг

, кг

, кг

, кг

, кг

, м

, м

, м

, м

Ср. знач.

, с

, кг

, м

, м

Контрольные вопросы

1. Дайте определение момента инерции материальной точки и твердого тела.

2. Как записывается основное уравнение динамики вращательного движения?

3. Какой физический прибор называется маятником Максвелла? Назовите основные его элементы и объясните принцип его работы.

4. Выведите рабочую формулу для определения момента инерции маятника Максвелла.

5. Объясните формулу (11) для теоретических значений моментов инерции маятника.

6. Выведите формулу для относительной и абсолютной погрешностей определения моментов инерции.

доцент

Лабораторная работа № 1-3

Маятник Максвелла

студент_______________________________________________________________________ группа:______________

Допуск ____________________________________Выполнение ________________________Защита ______________

Кинематика" href="/text/category/kinematika/" rel="bookmark">кинематики и динамики поступательного и вращательного

движения. Экспериментально определить угловое ускорение и момент инерции маятника.

Приборы и принадлежности: маятник Максвелла, набор металлических накладных колец, втулки.

Описание экспериментальной установки.

Данная установка называется маятником Максвелла . Она служит для определения момента инерции тела. Небольшой диск (маховичок), туго надетый на ось опускается под действием силы тяжести на двух нитях, предварительно намотанных на ось маховичка. Нити во время движения разматываются до полной длины. Раскрутившийся маховичок по инерции продолжает вращательное движение в том же направлении и наматывает нити на ось, вследствие чего он поднимается вверх, замедляя при этом вращение. Дойдя до верхней точки, диск опять опускается вниз и т. д. Маховичок будет совершать колебания вверх - вниз, поэтому данное устройство и называют маятником.

Общий вид маятника Максвелла приведён на рис. 1.

На основании 1 закреплена стойка 2, к которой прикреплены неподвижный верхний кронштейн 3 и подвижный кронштейн 4. На верхнем кронштейне находится электромагнит 5, фотоэлектрический датчик №1 6 и вороток с фиксатором 7 для закрепления и регулировки длины маятника.

Нижний кронштейн 4 с фотодатчиком № 2 8 можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в выбранном положении. Маятник 9 - это диск, закрепленный на оси и подвешенный на двух нитях к неподвижному кронштейну. На диск накладываются сменные металлические кольца 10, изменяющие момент инерции системы. Маятник с наложенным кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина маятника определяется по миллиметровой шкале стойки прибора. Сигналы с фотодатчиков служат для автоматического пуска и остановки миллисекундомера 11.

Основные теоретические сведения

Основы кинематики поступательного и вращательного движения тела.

Поступательным называется движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся параллельной сама себе при движении тела.

Основными особенностями такого вида движения являются следующие обстоятельства:

- при поступательном движении все точки тела движутся совершенно одинаково, то есть имеют одну и ту же скорость, ускорение, траектории движения, совершают одинаковые перемещения и проходят одинаковый путь.

- в этом случае при описании движения тела его можно рассматривать как материальную точку.

Для описания поступательного движения тел вводят в рассмотрение следующие понятия:

Для характеристики быстроты перемещения тела в пространстве вводят понятие скорости :

https://pandia.ru/text/79/267/images/image004_28.gif" width="56" height="41">, метр в секунду.

Физический смысл скорости: она показывает, какое перемещение совершает тело за единицу времени при равномерном движении.

(пример: DIV_ADBLOCK104">

Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения материальной точки.

Для характеристики быстроты изменения скорости по величине и направлению вводят понятие ускорения :

https://pandia.ru/text/79/267/images/image008_12.gif" width="59" height="41">, метр на секунду в квадрате.

Таким образом, ускорением называется векторная величина, равная первой производной по времени от мгновенной скорости тела.

Физический смысл ускорения: оно показывает, на сколько изменяется скорость тела за единицу времени при равнопеременном движении.

(например: означает, что скорость тела изменяется на font-size:10.0pt">Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора.

При прямолинейном движении тела ускорение сонаправлено с вектором font-size:10.0pt">.gif" width="13" height="19">некоторый угол .

Вращательным называется движение, при котором все точки тела описываю окружности, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения тела .

Основной особенностью такого вида движения является следующее обстоятельство:

при вращательном движении все точки абсолютно твёрдого тела движутся с одной и той же угловой скоростью и угловым ускорением и совершают одинаковые угловые перемещения.

Для описания вращательного движения тела вводят в рассмотрение следующие понятия:

Угол поворота - это угол, на который поворачивается радиус-вектор любой точки тела при его вращении.

font-size:10.0pt"> , радиан.

Элементарное угловое перемещение можно рассматривать как вектор DIV_ADBLOCK105">

если рукоятку буравчика вращать по направлению вращения тела, то поступательное движение буравчика будет совпадать с направлением вектора (см. рис. 3).

Удобство такого введения в следующем:

- модуль вектора однозначно определяет величину элементарного поворота тела ,

- направление вектора через правило буравчика определяет направление вращения тела,

- положение вектора в пространстве определяет

Ось вращения тела.

Для характеристики быстроты вращения тела в пространстве вводится понятие угловой скорости .

https://pandia.ru/text/79/267/images/image021_6.gif" width="72" height="41 src=">, радиан в секунду.

Угловая скорость есть первая производная по времени от угла поворота.

Физический смысл угловой скорости: она показывает, на какой угол поворачивается радиус-вектор любой точки тела за единицу времени при равномерном вращении.

(например: font-size:10.0pt">Направление угловой скорости совпадает с направлением вектора , то есть она также определяется по правилу буравчика.

Для характеристики быстроты изменения угловой скорости вводится понятие углового ускорения :

https://pandia.ru/text/79/267/images/image025_6.gif" width="68" height="41 src=">, радиан на секунду в квадрате.

Физический смысл углового ускорения: оно показывает, на сколько изменяется угловая скорость тела за единицу времени при равнопеременном вращении.

(например: https://pandia.ru/text/79/267/images/image027_6.gif" width="41" height="41 src=">.)

Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора https://pandia.ru/text/79/267/images/image029_5.gif" width="16" height="19">при ускоренном вращении тела и противоположно направлено при замедленном вращении.

Векторы, направление которых связывают с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными в отличие от обычных векторов (,, DIV_ADBLOCK106">

Основы динамики поступательного и вращательного движения тела.

Для описания взаимодействия одного тела на другое вводят понятие силы font-size:10.0pt">font-size:10.0pt">где - сила, font-size:10.0pt">, Ньютон, - масса тела, , килограмм, - ускорение тела,.

Масса тела является одной из важнейших понятий динамики, характеризующая инертные и гравитационные свойства тела. Масса тела – величина аддитивная (то есть масса тела равна сумме масс всех его частей).

Опыт показывает, что при описании вращательного движения твёрдого тела, кроме величины и направления действующей на тело силы, важной характеристикой является ещё и точка приложения этой силы.

В связи с этим вводят в рассмотрение понятие момента силы .

Моментом силы https://pandia.ru/text/79/267/images/image030_5.gif" width="13" height="17">, проведённого из точки О в точку приложения силы, на саму эту силу:

Или , где, Ньютон. метр.

Вектор момента силы DIV_ADBLOCK107">

если винт вращать от первого сомножителя в векторном произведении ко второму по кратчайшему повороту, то поступательное движение винта укажет направление искомого вектора (см. рис. 4)

Следует помнить, что перед применением этого правила необходимо совместить начала перемножаемых векторов.

Можно использовать более простое правило буравчика :

если рукоятку буравчика вращать по направлению действия силы, то поступательное движение буравчика будет совпадать с направлением вектора момента силы https://pandia.ru/text/79/267/images/image045_1.jpg" align="left" width="141" height="201 src=">На рис. 4 и 5 вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа на нас.

При этом следует помнить, что начало вектора font-size:10.0pt">.gif" width="17" height="20 src=">, а его величину можно определить по формуле:

https://pandia.ru/text/79/267/images/image047_5.gif" width="57" height="19 src=">,

Где - угол между векторамии , а величина называется плечом силы , , метр.

Плечом силы https://pandia.ru/text/79/267/images/image031_5.gif" width="17" height="20"> (см. рис. 5).

Величина зависит от выбора точки О.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы относительно любой точки О, выбранной на этой оси:

Величина font-size:10.0pt">не зависит от выбора точки О на этой оси Z .

Наблюдения показывают, что при рассмотрении вращательного движения тела, основной характеристикой инертных свойств тела является не масса этого тела https://pandia.ru/text/79/267/images/image053_4.gif" width="13" height="16">.

Различают момент инерции тела относительно точки и момент инерции тела относительно оси.

Моментом инерции тела относительно точки О называется величина равная font-size:10.0pt">где - кратчайшее расстояние от точки О до элементарной массы тела font-size:10.0pt">Моментом инерции тела относительно оси Z называется величина равная ,

где - кратчайшее расстояние от оси Z до элементарной массы тела font-size:10.0pt">Основной особенностью момента инерции тела является то обстоятельство, что его величина зависит от выбора оси вращения тела и распределение массы тела относительно рассматриваемой оси..gif" width="13" height="16 src=">, в зависимости от выбора оси вращения. В общем случае момент инерции тела относительно произвольной оси можно рассчитать по формуле:

где https://pandia.ru/text/79/267/images/image060_4.gif" width="15" height="17 src=">- это функция зависимости плотности тела от координат, а сам интеграл определяется по всему объёму данного тела.

Основным уравнением динамики вращательного движения тела является закон аналогичный второму закону

Ньютона, одной из возможных формулировок которого является следующая:

В инерциальной системе отчёта алгебраическая сумма моментов всех внешних сил EN-US">Z , равна произведению момента инерции этого тела относительно этой оси , на сообщённое ему угловое ускорение e :

Выполнение работы

Уравнения для поступательного и вращательного движения маятника без учёта сил сопротивления воздуха в нашем случае имеют вид:

font-size:10.0pt">где m - полная масса маятника, кг, I - момент инерции маятника, кг. м2, g - ускорение свободного падения, м/с2,

r - радиус оси маятника, м, Т - сила натяжения нити (одной), Н, - ускорение поступательного движения центра масс маятника, м/с2, e - угловое ускорение маятника, рад/с2.

Так как уравнение вращательного движения маховичка относительно оси вращения: font-size:10.0pt">где - результирующий момент действующих на маятник сил относительно оси вращения, то с учетом уравнения (1), момент действующих сил можно определить по формуле:

font-size:10.0pt">Упражнение 1. Определение углового ускорения маятника и его дисперсии

1. Установите при помощи подвижного кронштейна высоту падения маятника h , заданную преподавателем. При помощи воротка с фиксатором 7 отрегулируйте длину нитей маятника Максвелла. Следите за тем, чтобы ось маятника была расположена горизонтально.

2. На диск маятника наложите стальное кольцо и запишите его массу mк . Убедитесь, что край стального кольца находится примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Если нет, отрегулируйте высоту нижнего кронштейна с фотоэлектрическим датчиком. Замерьте радиус оси маятника .

3. Включите кнопку «СЕТЬ».

4. Нажмите кнопку «СБРОС» чтобы убедиться, что на табло установились нули.

5. Аккуратно вращая диск маятника, намотайте на его ось нить и зафиксируйте его в верхнем положении при помощи электромагнитов. При этом следите за тем, чтобы нити наматывались на ось виток к витку.

6. Нажмите кнопку «ПУСК» на передней панели миллисекундомера, удерживая её в течение одной секунды.

При этом маятник начнёт двигаться вниз, а таймер производить отсчет времени. В момент пересечения маятником оптиче ской оси фотодатчика отсчет времени должен прекратиться.

7. Прочитайте измеренное значение времени падения маятника и занести его в таблицу 1.

8. Нажмите кнопку «СБРОС» и приведите маятник в исходное положение (то есть зафиксируйте его в верхнем положении

при помощи электромагнита).

9. Аналогично проведите ещё четыре замера времени падения маятника с заданной высоты. Результаты занесите в таблицу 1.

h = mк = = Таблица 1

N опыта
, с

10. Угловое ускорение маятникаfont-size:10.0pt">.gif" width="12" height="13 src=">- радиус оси маятника.

11. Вычислите среднее значение углового ускорения, его дисперсию и среднеквадратичное отклонение по формулам: ; , где - число опытов.

12..gif" width="20 height=25" height="25">= 2.8 для = 0,95 и = 4.

Упражнение 2. Проверка уравнения вращательного движения и определение момента

инерции маятника

Цель упражнения 2 состоит в проверке основного уравнение вращательного движения маятника https://pandia.ru/text/79/267/images/image075_2.gif" width="13" height="15">и моментом внешних сил , действующих на него.

Момент инерции маятника относительно оси вращения определим методом наименьших квадратов для линейной зависимости MsoPageNumber">Для этого момент внешних сил и угловое ускорение маятника рассчитайте по формулам :

, ,

где – полная масса маятника и .

Искомый момент инерции маятника определим методом наименьших квадратов

Выполнение упражнения

1. Оденьте на ось маятника подвижные втулки и, изменяя с помощью них радиус оси , проведите 5 замеров

времени падения маятника . Результаты занесите в таблицу 2.

Таблица 2

№

2. Для проверки линейной зависимости определите момент инерции маятника MsoPageNumber"> и его дисперсию

По формулам:

; , где = 5 – число измерений.

3. Постройте график зависимости MsoPageNumber">, используя свои экспериментальные данные, а так же прямую , где - вычисленный момент инерции маятника и убедитесь, что экспериментальные точки лежат вблизи прямой.

4. Вычислите критерий Фишера по следующей формуле: , где дисперсию адекватности и дисперсию опыта рассчитайте по формулам:

и , где MsoPageNumber">, где MsoPageNumber">5. Проверьте равенство . Если это равенство выполняется, то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что предположение о линейной зависимости между угловым ускорением маятника и моментом внешних сил , действующим на него, является справедливым .

6. Сделайте вывод о справедливости основного уравнения вращательного движения твёрдого тела MsoPageNumber">7. Запишите окончательный ответ момента инерции маятника в виде: MsoPageNumber">

Упражнение 3. Изучение зависимости момента инерции маятника от его массы и определение

моментов инерции колец и диска держателя

Для определения искомых величин проведём совместные измерения. Возможность определения моментов инерции

колец и диска держателя основана на свойстве аддитивности момента инерции механической системы

(т. е. момент инерции системы равен сумме моментов инерции его частей).

Для нашего случая можно записать: ,

или, введя обозначения и получим: ,

где - это масса i – го кольца, а параметры и определяются, используя метод наименьших квадратов

для линейной зависимости по формулам:

; . (4)

В этих формулах https://pandia.ru/text/79/267/images/image123_1.gif" width="15" height="21">- это момент инерции всего маятника (т. е. кольца и диска держателя с осью вместе), который вычисляется по формуле:MsoPageNumber"> где – полная масса маятника (диска держателя, оси маятника и MsoPageNumber">

1. Снимите с оси маятника подвижные втулки и, одевая на диск держатель кольца разной массы , проведите пять замеров времени падения маятника с одной и той же высоты . Результаты занесите в таблицу 3.

Нижегородский Государственный Технический Университет

Выксунский Филиал

Лабораторная работа №1-4

по общей физике

Маятник Максвелла

Выполнила:

Герасимова Е. Н.

ПТК-09

Проверил:

Маслов В.П.

1. Цель работы .

Определение момента инерции маятника Максвелла.

2.Краткие сведения из теории

Действие прибора основано на одном из основных законов механи­ки - законе сохранения механической анергии: полная механическая анергия системы, на которую действуют только консервативные силы, постоянна. Маятник Максвелла представляет собой твердое тело, наса­женное на ось.Ось подвешена на двух накручивающихся на нее нитях (рис.1).Под действием силы тяжести маятник совершает колебания в вертикальном направлении и вместе с тем крутильные колебания во­круг своей оси. Пренебрегая силами трения, систему можно считать консервативной. потенциальной анергии. При освобождении маятника он начинает движение под действием силы тяжести: поступательное вниз и вращательное вокруг своей оси. При этом потенциальная энер­гия переходит в кинетическую. Опустившись в крайнее нижнее положе­ние, маятник будет по инерции вращаться в том же направлении, нити намотаются на ось и маятник поднимется. Так происходят колебания маятника.

Рисунок 1

Напишем уравнения движе­ния маятника. При поступательном движении маятника по вто­рому закону Ньютона с учетом действующих ни маятник сил можно написать

,

где m - масса маятника,g -ускорениесилы тяжести,a - ускорение поступательного движения центра масс маятника,

Т-сила натяжения однойнити,

Проектируя это уравнение, получим

ma = mg - 2T . (1)

Для вращательного движения маятника запишем основной закон динами­ки вращательного движения для абсолютно твердого тела:

, где J-момент инерции маятника относительно его оси вращения, -угловое ускорение маятника, М -результирующий момент внешних сил относительно оси вращения.

Посколькумомент силы тяжести относительно оси вращения равен нулю,

, (2)

где r -радиус оси. Так как
и из (1)2Т =m(g-a), можем написать:

,

а после преобразований

.

Ускорение а может быть получено по измеренному времени движения и проходимому маятником расстоянию hиз уравнения равноускоренного движения без начальной скорости:

. Тогда

И если подставить диаметр оси D, получим основную расчетную формулу

. (3)

3.Описание экспериментальной установки

Схема лабораторного стенда изображена на рис. 1. Основным элементом стенда является диск 1, через центр которого проходит ось 2. На эту ось наматываются две симметрично расположенные нити З. В исходном положении (показано пунктиром на рис. 1) диск удерживается электромагнитами 4. При отключении электромагнитов диск начинает двигаться вниз с одновременным раскручиванием нитей.

Сложное движение диска можно представить как наложение двух независимых движений - поступательного и вращательного. Расстояние, проходимое центром инерции диска за счёт поступательного движения, отсчитывается по вертикальной шкале 5. Отсчёт времени поступательного движения производится по миллисекундомеру 6, на который подаётся сигнал от фотодатчика 7 в тот момент, когда край опускающегося диска пересекает световой луч фотодатчика.

При необходимости изменить общую двину пути, проходимого диском при поступательном движении, регулируют длину нитей при помощи винта 8. При этом платформу 9 с фотодатчиком также соответственно перемещают, освобождая винт 10, так, чтобы опускающийся диск пересекал световой луч, но не касался при этом самой платформы фотодатчика.

Величину ускорения поступательного движения диска можно изменять, добавляя на диск сменные кольца 11 .

m в =(0,0500,003)кг

m д =(0,050 0,003)кг

m к1 =(0,158 0,003)кг

m к2 =(0,370 0,003)кг

m к2 =(0,670 0,003)кг

4.Исходные данные

Таблица №1

где m в =m д - масса вала и диска,

m к - масса колец,

r– радиус вала,

R 1 – внутренний радиус колец,

R 2 - внешний радиус колец,

h– высота подъема вала.

5.Расчеты:

Рассчитаем экспериментально момент инерции маятника Максвелла по формуле:

где m 1 =m в +m д +m к I =0,05+0,05+0,158=0,258 кг

m 2 =m в +m д +m к II =0,05+0,05+0,370=0,470 кг

m 3 =m в +m д +m к III =0,05+0,05+0,670=0,770 кг

Таблица№2

№ опыта	m к ,кг	J , кг м 2

Вычисление значений – практически,

Анализ графика (график см. на миллиметровке):

Т. к. внешние радиусы колец разные, то и для каждой массы будут разные, а значит, будем иметь три графика. Для каждого графика мы имеем по одной точке
, а находим по формуле

- пересечение линии графика оси ординат,

на графике, линии графика пересекают ось ординат в значении:

- изменение расстояний,

Вычисление значений теоретически:

4.Определение натяжения нитей N и N max :

Если сравнивать силу натяжения нитей с силой тяжести, то мы увидим, что сила натяжения нити примерно равна силе тяжести маятника, а сила натяжения нити maxв 2-2,5 раза больше силы тяжести маятника.

Определение погрешностей:

масса вала+малое кольцо+диск:

масса вала+среднее кольцо+диск:

масса вала+большое кольцо+диск:

радиус вала:

погрешность радиусов диск+кольцо:

малое кольцо+диск:

среднее кольцо+диск:

большое кольцо+диск:

погрешность радиуса диска:

погрешность момента инерции:

Вывод: в ходе работы, мы познакомились с маятником Максвелла, научились определять момент инерции маятника Максвелла. Возникшие расхождения между практическими и теоретическими вычислениями объясняются действием сил сопротивления.

Цель работы.

На примере маятника Максвелла познакомиться с вычислением и экспериментальным измерением момента инерции цилиндрического твердого тела относительно оси симметрии.

Оборудование.

1. Маятник Максвелла.

Темы для изучения.

В лабораторной работе на примере маятника Максвелла рассмотрены законы поступательного и вращательного движения, получена рабочая формула для расчета момента инерции маятника Максвелла, приведено описание экспериментальной установки я порядка измерения на ней момента инерции маятника.

Лабораторная работа предназначена для студентов, выполняющих общий физический практикум в лаборатории механики.

Краткая теория.

Маятник Максвелла представляет собой массивный диск, ось которого подвешена на двух накрученных на нее нитях (рис. 1).

Если маятник отпустить, то он будет совершать возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном вращении диска" вокруг оси.

Силы, действующие на маятник, указаны на рис. 2.

Для описания движения маятника Максвелла удобно выбрать систему отсчета, связанную с центром масс маятника и имеющую одну ось, направленную вниз.

Центром масс системы называют воображаемую точку, радиус-вектор которой определяется выражением

(1) (I )

где т - масса системы, - массы материальных точек, составляющих эту систему, - их радиусы векторы. Величина скорость движения этой воображаемой точки. Импульс системы с учетом (I ) записывается в виде

то есть представляет собой произведение массы системы на скорость ее центра масс, что совершенно аналогично импульсу материальной точки. Таким образом, за движением центра масс можно следить, как за движением материальной точки. Исходя из этого, движение центра масс маятника Максвелла можно описать уравнением:

(2)

где m - масса маятника, - линейное ускорение центра масс, - результирующая сила натяжения обеих нитей.

Вращательное движение маятника описывается основным уравнением динамики вращательного движения, имеющий вид:

(3)

где ℐ - момент инерции, - результирующий момент сил, действующих на маятник относительно некоторой точки, лежащей да оси вращения, - угловое ускорение. Под вектором угла понимают вектор, по модули равный углу поворота и направленный вдоль оси вращения так, чтобы с его начала поворот наблюдался происходящим по часовой стрелке.

Моментом инерции тела относительно некоторой оси вращения называют величину

, (4) (4)

где - массы материальных точек, составляющих это тело, - расстояние от этих точек до оси вращения. Следовательно, момент инерции характеризует распределение массы тела относительно оси вращения. Из (4) видно, что момент инерции - величина аддитивная, то есть момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Если вещество в ней распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

; (5) (5)

где r - расстояние от элементарной массы dm .

до оси вращения. Интегрирование должно производиться по всей массе тела. Маятник Максвелла можно представить в виде совокупности полых цилиндров и сплошного цилиндра - оси маятника. Рассчитаем, моменты инерции таких тел. Любое из этих тел можно мысленно разбить на тонкие цилиндрические слои, частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси. Разобьем цилиндр радиуса R на концентрические слои толщиной dr . Пусть радиус какого - то слоя r , тогда масса частиц, заключенных в этом слое, равна

где dV - объем слоя, h - высота цилиндра, - плотность вещества цилиндра. Все частицы слоя находятся на расстоянии r от оси, следовательно, момент инерции этого слоя

Момент инерции всего цилиндра найдется интегрированием по всем слоям:

(6)

Так как масса цилиндра , то момент инерции сплошного цилиндра будет равен

(7)

Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус , а внешний можно вычислить также по формуле (6), изменив в интеграле пределы интегрирования

Замечая, что масса полого цилиндра

, запишем момент инерции полого цилиндра следующим образом:

(8) - (8)

Однако, аналитическое вычисление интегралов (5) возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Для тел неправильной формы такие интегралы находят численно, либо используют косвенные методы определения момента инерции.

Для нахождения момента инерции маятника Максвелла относительно его оси вращения можно воспользоваться уравнениями движения,

(2), (3).

Для решения дифференциальных уравнений (2) и (3) перейдем от векторной формы к скалярной. Спроектируем уравнение (2) на ось» совпадающую с направлением движения центра масс маятника. Тогда оно примет вид:

(9)

Рассмотрим проекции векторов и на ось координат, совпадающую с осью вращения и направленную по .

Составляющая момента силы относительно точки вдоль оси, проходящей через эту точку, называется моментом силы относительно

оси.

Вектор можно записать следующим образом;

где - единичный вектор, направленный вдоль , а 5. Тогда угловое ускорение

так как направление вектора ^ при опускании маятника со временем не меняется.

Таким образом, уравнение (З) спроектируется, на ось вращения следующим образом:

(10) (10)

где - радиус оси диска, на которую намотана нить, - угловое ускорение диска. Так как центр масс опускается на столь ко, на сколько раскручивается нить, то его перемещение x связано с углом, поворота соотношением

Дифференцируя это соотношение дважды, получим

(11)

Совместное решение уравнений (9) - (11) дает следующие выражения для линейного ускорения центра масс системы и результирующей силы натяжения:

, (12)

(13)

Из (12), (13) видно, что ускорение диска и сила натяжения нити постоянны и ускорение всегда направлено вниз. Следовательно, если при опускании маятника координату его центра масс отсчитывать от точки его закрепления, то со временем координата будет меняться по закону

(14)

Подставляя (14) в (12), подучим для момента инерции маятника Максвелла следующее выражение

Где (15)

В него входят величины, которые легко экспериментально измерить: - внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной на него нитью подвески, t - время опускания маятника, x - расстояние, пройденное центром масс маятника, m . - масса маятника, которая складывается из массы оси маятника, массы диска и массы кольца, надетого на диск. Внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной на него нитью подвески

определяется по формуле

(16)

где D - диаметр оси маятника, - диаметр нити.

Механическая конструкция прибора.

Общий вид маятника Максвелла показан на рис. 3. Основание I оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют произвести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, к которой прикреплен неподвижный верхний кронштейн 4 и подвижный нижний кронштейн 5. На верхнем кронштейне находится электромагнит 6, фотоэлектрический датчик 7 и вороток 8 для закрепления и регулирования длины нити подвески маятника. Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком 9 можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в избранном положении.

Маятник 10 - это диск, закрепленный на оси, на который надеваются кольца 11, изменяя таким образом момент инерции системы.

Маятник с надетым кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина нити маятника определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора. Фотоэлектрические датчики соединены с миллисекундомером. Вид передней панели секундомера 12 представлен на рис. 4.

На лицевой панели миллисекундомера находятся следующие ручки управления

"СЕТЬ" - выключатель сети. Нажатие этой клавиши включает напряжение питания. При этом на цифровых индикаторах высвечиваются нули, и включаются лампочки фотоэлектрических датчиков.

"СБРОС" - установка нуля секундомера. Нажатие этой клавиши вызывает сброс электронных схем миллисекундомера, на цифровых индикаторах высвечиваются нули.

"ПОТ" - управление электромагнитом. При нажатии этой клавиши выключается электромагнит, в схеме миллисекундомера генерируется импульс разрешения на измерение времени.

Выполнение работы.

Нижний кронштейн прибора передвинуть и зафиксировать в крайнем нижнем положений.

На диск маятника надеть одно из колец, прижимая его до упора.

Освободить гайку воротка для регулирования длины нити подвески. Подобрать длину нити таким образом, чтобы край стального кольца после опускания маятника находился на два миллиметра ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Одновременно произвести корректировку установки маятника, обращая внимание на то, чтобы ось его была параллельной основанию прибора. Зажать вороток.

Нажать клавишу "СЕТЬ".

Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она намоталась равномерно, виток к витку.

Фиксировать маятник при помощи электромагнита, обращая внимание на т.о., чтобы нить в этом положении не была слишком скручена.

Повернуть маятник в направлении его будущего вращения на угол около 5°.

Нажать клавишу "СБРОС".

Нажать клавишу "ПУСК".*

Повторить измерения десять раз для определения среднего времени падения маятника.

По шкале на вертикальной колонке прибора определить длину нити маятника.

Измерив диаметры нити и оси маятника D в различных сечениях, найдите средние значения этих величин и по ним определите по формуле (16) диаметр оси вместе с намотанной на ней нитью. Для измерения D и можно использовать микрометр.

Определите массу маятника вместе с надетым кольцом. Значения масс отдельных элементов нанесены на них.

По формуле (15) определите момент инерции маятника Максвелла. Вычислите" момент инерции маятника теоретически, используя формулы (7), (8), и сравните полученный результат с величиной, рассчитанной по формуле (15).

Повторите измерения для двух оставшихся колец.

Доверительный интервал △ ℐ можно рассчитать по формуле

где △ D , , △ t , △ x - доверительные интервалы для прямых измерений величин D , , t и x , учитывающие как случайные, так и систематические погрешности. Способы расчета этих величин приведены в пособии Л.П.Китаевой "Рекомендации по оценке погрешностей измерений в физическом практикуме".

Техника безопасности.

При работе с прибором необходимо соблюдать правила безопасности, относящиеся к устройствам, в которых используется напряжение до 250 вольт. Эксплуатация прибора допускается только при наличии заземления.

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте теорему о движении центра масс системы материальных точек.
2. Дайте определение момента инерции одной материальной точки, системы материальных точек.
3. Запишите уравнения движения маятника Максвелла.

1. Как меняются ускорение, скорость и сила натяжения нитей при движении маятника?

Как меняется механическая энергия маятника Максвелла при его движении?

Цель работы : познакомиться с закономерностями плоского движения тел, определить момент инерции диска маятника Максвелла.

Оборудование : маятник Максвелла, секундомер.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Плоским движением твердого тела называется такое движение, при котором траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях.

Получим уравнение кинетической энергии плоского движения. Небольшая частица тела, как и положено материальной точке, движется поступательно и обладает кинетической энергией . Представим скорость частицы как сумму скорости центра масс V 0 и скорости движения U i относительно оси О , проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения (рис. 1). Суммарная кинетическая энергия всех частиц будет равна .

Потребуем, чтобы средний член, то есть сумма импульсов частиц относительно оси О, был бы равен нулю. Так будет, если относительное движение будет вращательным, , с угловой скоростью ω. (Если подставить относительную скорость в средний член, то получим формулу для расчета центра масс тела ).

В итоге кинетическая энергия плоского движения может быть представлена как сумма энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс

. (1)

Здесь m – масса тела, – момент инерции тела относительно оси О, проходящей через центр масс.

Рассмотрим другой способ представления плоского движения, как только вращение вокруг так называемой мгновенной оси. Сложим эпюры скоростей в поступательном и вращательном движении для точек тела, лежащих на перпендикуляре к вектору V 0 , (рис. 2).

Есть в пространстве такая точка С, результирующая скорость которой равна нулю. Через неё проходит так называемая мгновенная ось вращения, относительно которой тело совершает только вращательное движение. Расстояние между центром масс и мгновенной осью можно определить из соотношения между угловой и линейной скоростью центра масс .

Уравнение кинетической энергии вращательного движения относительно мгновенной оси имеет вид

Здесь J с – момент инерции тела относительно мгновенной оси. Сопоставив уравнения (1) и (2), при , получим

. (3)

Это выражение называется теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно данной оси С равен сумме момента инерции относительно оси О , проходящей через центр масс и параллельной данной и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рассмотрим закономерности плоского движения на примере маятника Максвелла (рис. 3). Маятник представляет собой диск, может быть с надетым кольцом, на оси которого закреплен круглый стержень небольшого радиуса r . На концах стержня намотаны две нити, на которых маятник подвешен. Если маятник отпустить, то он падает, одновременно вращаясь. Траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях, поэтому это плоское движение. Центр масс расположен на оси симметрии, а мгновенная ось вращения совпадает с образующей стержня и проходит через точки касания нитей на расстоянии r от центра масс. В нижней точке движения маятник, продолжая по инерции вращаться, наматывает нити на стержень и начинает подниматься. В идеальном случае, при отсутствии сопротивления, он поднялся бы до исходного положения.

Система тел маятник – Земля является замкнутой, а внутренние силы тяжести и натяжения нитей консервативные. Если в первом приближении можно пренебречь действием сил сопротивления, то можно применить закон сохранения энергии: потенциальная энергия маятника в верхнем исходном положении превращается в нижней точке в кинетическую энергию плоского движения (1):

. (4)

Подставим в это уравнение угловую скорость вращения , и скорость поступательного движения по формуле кинематики равноускоренного движения . После преобразований получим расчетную формулу для момента инерции относительно оси симметрии

. (5)

Время падения измеряется секундомером. При нажатии на кнопку «Пуск» отключается электромагнит, удерживающий маятник и начинается счет времени. При пересечении маятником луча фотоэлемента счет прекращается. Высота падения измеряется по шкале на стойке по положению луча фотоэлемента (рис. 3)

Момент инерции относительно оси симметрии для маятника можно рассчитать теоретически как сумму моментов инерции стержня, диска и кольца:

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Установить фотоэлемент в нижнем положении так, чтобы маятник при опускании перекрывал луч фотоэлемента. Длина нитей подвеса регулируется винтом с контргайкой на кронштейне стойки. Измерить высоту падения как координату луча по шкале на стойке.

Включить установку в сеть 220 В, нажать кнопку «Сеть».

2. Вращая стержень, намотать нить на стержень, подняв диск до электромагнита. Произойдет примагничивание диска. Нажать кнопку «Пуск». Магнит отпустит маятник, и он начнет опускаться, начнется счет времени секундомером. Записать в табл. 1 высоту падения и время падения.

Таблица 1

Высота Н, см
Время t, с
Момент инерции J, кг∙м 2

3. Изменить высоту падения, регулируя длину нитей и поднимая фотоэлемент. Нажать кнопку «Сброс» для обнуления индикаторов и включения магнита. Поднять диск к электромагниту, нажать кнопку «Пуск». Опыт повторить не менее пяти раз, в интервале от предельной, до трети предельной высоты. Записать в табл. 1 высоты и время падения диска.

Выключить установку.

4. Измерить и записать в табл. 2 размеры и массы частей маятника. Таблица 2

5. Произвести расчеты в системе СИ. Определить по формуле (5) момент инерции в каждом опыте. Определить его среднее значение <J >.

6. Оценить случайную погрешность измерения по формуле

. (7)

7. Записать результат работы , Р =0,90.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение плоского движения. Каким образом можно представить плоское движение?

2. Дайте определение мгновенной оси вращения и способ ее нахождения.

3. Выведите расчетную формулу кинетической энергии плоского движения.

4. Выведите и сформулируйте теорему Штейнера.

5. Запишите закон сохранения энергии для падения маятника Максвелла с некоторой высоты. Объясните правомерность применения закона.

6. Выведите формулу для теоретического расчета момента инерции маятника Максвелла по известным размерам и массам частей маятника.