Направление момента импульса при вращательном движении. Динамика вращательного движения

Из всех видов вращательного движения будем рассматривать только вращение тела вокруг неподвижной оси.

Момент силы

Момент силы, величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии её на твёрдое тело; является одним из основных понятий механики. Различают момент силы относительно центра (точки –полюса) и относительно оси.

Моментом силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент ) относительно неподвижной точки 0 (полюса ) называется векторная величина равная векторному произведению радиус – вектора проведённого из точки 0 (полюса ) в точку А приложения силы, на вектор силы : .

Модуль момента силы: , где: – момент силы, – приложенная сила, – расстояние от центра вращения до места приложения силы, . – плечо силы, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы , – угол, между вектором силы и вектором положения . Т.е. численно момент силы равен произведению модуля силы на плечо .

Направление момента силы можно также определить по правилу левой руки: четыре пальца левой руки поставить по направлению первого сомножителя , второй сомножитель входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец укажет направления момента силы . Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .

Рис. 68.

Моментом силы относительно неподвижной оси называется скалярная величина равнаяпроекции на эту ось вектора момента силы , определённого относительно произвольной точки данной оси (рис. 68). Момент силы относительно оси величина алгебраическая.

Пользуясь понятием момента силы можно по-новому сформулировать условия равновесия тела, закрепленного на оси. Это условие называется правилом моментов:если на тело, закрепленное на оси, действует много сил, то для равновесия тела, закрепленного на оси, алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, должна быть равна нулю :

Рис. 69.

Считают момент силы положительным , если эта сила, действуя в отдельности, вращала бы тело по часовой стрелке, и отрицательным в противоположном случае (при этом нужно заранее условиться, с какой стороны мы будем смотреть на тело). Например, согласно рис.69, силам и следует приписать положительный момент, а силе – отрицательный.

Примеры:

1). Гаечный ключ

Рис. 70.

2). Пусть на тело, в плоскости перпендикулярной оси вращения действует сила . Разложим эту силу на две составляющие: и .(рис. 70).

Сила пересекает ось вращения и, следовательно, не влияет на вращение тела. Под действием составляющей тело будет совершать вращательное движение вокруг оси . Расстояние от оси вращения до линии вдоль которой действует сила ,называется плечом силы . Моментом силы относительно точки 0 называется произведение модуля силы на плечо : .

С учетом, что ,момент силы С точки зрения векторной алгебры это выражение представляет векторное произведение радиуса-вектора проведенного в точку приложения силы на эту силу.

Таким образом, момент силы относительно точки 0 является векторной величиной и равен: .

Вектор момента силы направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы и , и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от к происходит против часовой стрелки).

Примеры:

1). Рычаги

Рычагом называют имеющее неподвижную ось вращения твердое тело, на которое действуют силы, стремящиеся повернуть его вокруг этой оси.

Примерами рычагов являются гаечные ключи, различные педали, щипцы для раскалывания орехов, двери и т. д.

Согласно правилу моментов, рычаг (любого рода) уравновешен только тогда, когда . Поскольку и , получаем . Из последней формулы следует, что:

т. е., при равновесии рычага под действием двух сил модули этих сил обратно пропорциональны их плечам. Т.е. с помощью рычага можно получить выигрыш в силе тем больший, чем больше соотношение плеч. Это широко используют на практике.

2). Пара сил

Рис. 71.

Две равные по модулю антипараллельные силы, приложенные к телу в разных точках, называют парой сил. Примерами пары сил могут служить силы, которые приложены к рулевому колесу автомобиля (рис.71а ), электрические силы, действующие на диполь (рис.71б ), магнитные силы, действующие на магнитную стрелку (рис. 71в ) и т. д.

Пара сил не имеет равнодействующей, т. е. совместное действие этих сил нельзя заменить действием одной силы. Поэтому пара сил не может вызвать поступательное движение тела, а вызывает только его вращение.

Если при повороте тела под действием пары сил направления этих сил не изменяются (рис.71б, в ), то поворот тела происходит до тех пор, пока обе силы не окажутся действующими противоположно друг другу вдоль прямой, проходящей через ось вращения тела.

Пусть на тело, имеющее закрепленную ось вращения О, действует пара сил и . Моменты этих сил и (рис. 72). Сумма моментов , следовательно, тело не находится в равновесии.

Рис. 72.

Кратчайшее расстояние между параллельными прямыми, вдоль которых действуют силы, образующие пару сил, называют плечом пары сил : –это момент пары сил. Следовательно, момент пары сил равен произведению модуля одной из сил этой пары на плечо пары независимо от положения оси вращения тела при условии, что эта ось перпендикулярна плоскости, в которой находится пара сил.

Если пара сил действует на тело, не имеющее закрепленную ось вращения, она вызывает вращение этого тела вокруг оси, проходящей через центр масс данного тела.

Момент импульса

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно – если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Рис. 73.

Момент импульса материальной точки относительно некоторого начала отсчёта (т.О – полюс) определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса (рис. 73):

,

где –радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, –импульс частицы.

Модуль момента импульса равен: , где – плечо импульса, точка 0 – полюс, точка – точка приложения вектора импульса .

Так как момент импульса определяется векторным произведением, он является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам и . Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр, знак которого зависит от направления вращения.

Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на нее можно указать ряд приемов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов:

,

Рис. 74.

где – угол между и , определяемый так, чтобы поворот от к производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения (рис. 74). Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Из определения момента импульса следует его аддитивность. Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов: , где и – радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.В случае твёрдого тела задача сводится к интегрированию: .

Пример:

Момент импульса материальной точки массой , вращающейся по окружности радиусом (рис. 75): .

Важнейшим законом природы является закон сохранения момента импульса :в инерциальной системе отсчёта момент импульса замкнутой системы частиц остаётся постоянным : .

Как доказано в современной физике (теорема Э.Нетер) закон сохранения момента импульса – следствие изотропности пространства .

Момент инерции

Известно, что твёрдое тело при вращении приобретает определённую устойчивость (катящиеся монета, обруч).

По аналогии с первым законом Ньютона можно утверждать:

Твёрдое тело, вращающееся вокруг некоторых осей, проходящих через центр масс, не испытывает действия внешних сил и сохраняет вращение неопределённо долго.

Рис. 76.

Пусть –тая материальная точка массой вращается по окружности радиуса под действием силы (рис. 76).

Тогда по второму закону Ньютона: , , где –угловое ускорение точки; отсюда следует: , где – момент силы относительно оси вращения.

Обозначим: – момент инерции вращающейся точки.

Тогда момент силы действующий на точку: .

Момент инерции тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции всех его точек: . Математически задача сводится к интегрированию.

Момент инерцииI –скалярная величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела во вращательном движении .

Одно и то же тело может иметь различные моменты инерции относительно разных осей.

При заданном относительно тела направлении оси момент инерции тела относительно этой оси будет наименьшим , если ось проходит через центр масс тела (т. С) , т.е. .

Среди осей, проходящих через центр масс тела, имеются три особые взаимно перпендикулярные оси. При равномерном вращении вокруг этих осей тело не оказывает влияния на подшипники. Эти оси называются главными осями . При произвольной форме тела нахождение их затруднительно. Но у симметричных тел положение главных осей определяется легко. Моменты инерции тела относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Главные моменты инерции тел простой формы

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1 (труба)	Ось цилиндра
	l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара

Теорема Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси определяется по теореме Штейнера:

Рис. 77.

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси , параллельной данной и проходящей через центр инерции тела , произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 77).

где - произвольная ось, – расстояние между осями.

Математическая формулировка теоремы Штейнера: ,где – масса тела.

Пример.

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

где – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс стержня.

Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тел относительно неподвижной оси

Из предыдущего параграфа (Момент инерции ) следует, что для вращающейся по окружности - той материальной точки справедливо соотношение: .

Для твёрдого тела, состоящего из материальных точек: ; ,получаем: .

Уравнение (1) – уравнение динамики вращающегося твёрдого тела (основное уравнение динамики вращательного движения):

Угловое ускорение твёрдого тела , вращающегося вокруг неподвижной оси , прямо пропорционально суммарному моменту всех внешних сил , действующих на тело , и обратно пропорционально его моменту инерции.

Представим уравнение (1) в виде:

С учётом того, что , где – момент импульса тела. Тогда: . (2)

Уравнение (2) – так же является уравнением динамики вращающегося твёрдого тела (основное уравнение динамики вращательного движения):

Скорость изменения момента импульса тела относительно некоторой оси равна результирующему моменту относительно той же оси всех внешних сил , приложенных к телу.

Из уравнений (1) и (2) следует: .

Тогда получаем: . (3)

Рис. 78.

Если система частиц замкнута, то на неё внешние силы не действуют, то момент внешних сил ,т.е. получен закон сохранения импульса. С учётом уравнения (3) получаем: . Следовательно, ,т.е.угловая скорость обратно пропорциональна моменту инерции тела(см. рис. 78).

Подобное свойство используется при исполнении фигуристами пируетов на льду, сальто акробатами.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела

Вращающееся твёрдое тело обладает энергией.

При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементы массы описывают окружности различных радиусов и имеют различные линейные скорости . Однако угловая скорость вращения всех точек тела одинакова:

.

Кинетическая энергия тела – сумма кинетических энергий всех его тоек:

.Т.к. , то получаем:

Учтём, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его точек: .

С учётом последнего соотношения получаем окончательное выражение для кинетической энергии вращающегося твёрдого тела:

В случае плоского движения твёрдого тела его полная кинетическая энергия равна:

.

Аналогия между поступательным и вращательным движениями

Между движением твердого тела вокруг неподвижной оси и движением отдельной материальной точки (или поступательным движением тела) существует тесная и далеко идущая аналогия. Каждой линейной величине из кинематики точки соответствует подобная величина из кинематики вращения твердого тела. Координате соответствует угол , линейной скорости , угловая скорость , линейному (касательному) ускорению – угловое ускорение .

Поступательное движение	Вращательное движение
Кинематические характеристики движения
Путь	S	м	Угол поворота	j	рад
Время	t	с	Период	Т	с
Скорость		м/с	Угловая скорость	w	рад/с
Ускорение	a	м/с 2	Угловое ускорение	e	рад/с 2
Динамические характеристики движения
Масса	m	кг	Момент инерции	J	кг× м 2
Сила	F	Н	Момент силы	M	Н× м
Импульс	P	кг×м/с	Момент импульса	L=J× w	кг× м 2 /с
Второй закон Ньютона	F=ma; F=dp/dt	Уравнение динамики вращательного движения	M=J×e; M=dL/dt
Работа	dA=F×dS	Дж	Работа	dA=M×dj	Дж
Кинетическая энергия	E K =(m 2)/2	Дж	Кинетическая энергия	E K ВР =(J w 2)/2	Дж
Мощность	N=F	Вт	Мощность	N=М× w	Вт

Поступательное движение можно рассматривать, как вращательное, с радиусом вращения, стремящимся к бесконечности, и угловой скоростью, стремящейся к нулю.

Рис. 79.

5. Механический (классический) принцип относительности

(принцип относительности Галилея)

Краткая биография Г.Галилея

ГАЛИЛЕЙ Галилео (15.II.1564 – 8.I.1642) – выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естествознания, член Академии де Линчей (1611 г.), родился в Пизе. В 1581 г. поступил в Пизанский университет, где изучал медицину. Но, увлекшись геометрией и механикой, в частности сочинениями Архимеда и Евклида, оставил университет с его схоластическими лекциями и вернулся во Флоренцию, где четыре года самостоятельно изучал математику.

С 1589 г.– профессор Пизанского ун-та, в 1592 –1610 гг.– Падуанского, в дальнейшем – придворный философ герцога Козимо II Медичи.

Оказал значительное влияние на развитие научной мысли. Именно от него берет начало физика как наука. Галилею человечество обязано двумя принципами механики, сыгравшими большую роль в развитии не только механики, но и всей физики. Это известный галилеевский принцип относительности для прямолинейного и равномерного движения и принцип постоянства ускорения силы тяжести.

Галилей установил закон инерции (1609), законы свободного падения, движения тела по наклонной плоскости (1604 – 09) и тела, брошенного под углом к горизонту, открыл закон сложения движений и закон постоянства периода колебаний маятника (явление изохронизма колебаний, 1583). От Галилея ведет свое начало динамика.

В июле 1609 г. Галилей построил свою первую подзорную трубу – оптическую систему, состоящую из выпуклой и вогнутой линз, – и начал систематические астрономические наблюдения. Это было второе рождение подзорной трубы, которая после почти 20-летней неизвестности стала мощным инструментом научного познания. Поэтому Галилея можно считать изобретателем первого телескопа. Он достаточно быстро усовершенствовал свою подзорную трубу и, как писал со временем, «построил себе прибор в такой степени чудесный, что с его помощью предметы казались почти в тысячу раз больше и более чем в тридцать раз ближе, чем при наблюдении простым глазом». В трактате «Звездный вестник», вышедшем в Венеции 12 марта 1610 г., он описал открытия, сделанные с помощью телескопа: обнаружение гор на Луне, четырех спутников у Юпитера, доказательство, что Млечный Путь состоит из множества звезд.

Астрономические открытия Галилея сыграли огромную роль в развитии научного мировоззрения, они со всей очевидностью убеждали в правильности учения Коперника, ошибочности системы Аристотеля и Птолемея, способствовали победе и утверждению гелиоцентрической системы мира. В 1632 г. вышел известный «Диалог о двух главнейших системах мира», в котором Галилей отстаивал гелиоцентрическую систему Коперника. Выход книги разъярил церковников, инквизиция обвинила Галилея в ереси и, устроив процесс, заставила публично отказаться от коперниковского учения, а на «Диалог» наложила запрет. После процесса в 1633 г. Галилей был объявлен «узником святой инквизиции» и вынужден был жить сначала в Риме, а затем в Арчертри близ Флоренции. Однако научную деятельность Галилей не прекратил, до своей болезни (в 1637 г. Галилей окончательно потерял зрение) он завершил труд «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки», который подводил итог его физических исследований.

Изобрел термоскоп, являющийся прообразом термометра, сконструировал (1586 г.) гидростатические весы для определения удельного веса твердых тел, определил удельный вес воздуха. Выдвинул идею применения маятника в часах. Физические исследования посвящены также гидростатике, прочности материалов и т. п.

Сочинения:

1. Диалог о двух главнейших системах мира Птоломеевой и Коперниковой. М.–Л. ОГИЗ, 1948.

2. Пробирных дел мастер / Пер. Ю. А. Данилова. – М.: Наука, 1987. – 272 с. – (Серия «Популярныепроизведения классиков естествознания»).

3. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей наук (Сочинения. т.1). ГТТИ. М–Л. 1934.

4. Рассуждения о телах, плавающих в воде, и о тех, которые в ней движутся.В кТ: Архимед. Стэвин. Галилей. Паскаль.Начала гиростатики. Серия "Классики естествознания"» ГНТТИ. М.-Л. 1933.

Механический принцип относительности

Принцип относительности – это принцип равноправия инерциальных систем отсчёта (ИСО) в классической механике, проявляющегося в том, что законы механики во всех таких системах одинаковы, был установлен Г.Галилеем в 1636 г.

Одинаковость законов механики для инерциальных систем Галилей иллюстрировал на примере явлений, происходящих под палубой корабля, покоящегося или движущегося равномерно и прямолинейно (относительно Земли, которую можно с достаточной степенью точности считать инерциальной системой отсчёта): «Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно... Бросая какую-нибудь вещь товарищу, вы не должны будете бросать ее с большей силой, когда он будет находиться на носу, а вы на корме, чем когда ваше взаимное положение будет обратным; капли, как и ранее, будут падать в нижний сосуд, и ни одна не упадет ближе к корме, хотя, пока капля находится в воздухе, корабль пройдет много пядей» («Диалог о двух главнейших системах мира птоломеевой и коперниковой», М. – Л., 1948, с. 147).

Движение материальной точки относительно: её положение, скорость, вид траектории зависят от того, по отношению к какой системе отсчёта (телу отсчёта) это движение рассматривается. В то же время законы классической механики, т. е. соотношения, которые связывают величины, описывающие движение материальных точек и взаимодействие между ними, одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Относительность механического движения и одинаковость (безотносительность) законов механики в разных инерциальных системах отсчёта и составляют содержание принципа относительности Галилея.Сам принцип логически следует из известных преобразований Галилея.

Преобразова́ния Галиле́я – в классической механике преобразования координат и скорости при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО ) к другой .

Эти преобразования справедливы лишь при скоростях много меньше скорости света в вакууме и основываются на двух предположениях, которые принимались неявно и считались очевидными:

Ход времени одинаков во всех инерциальных системах отсчета;

Линейные размеры тела не зависят от скорости его движения относительно системы отсчета.

Рис. 80.

Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта, одну из которых, , условимся считать покоящейся; вторая система, , движется по отношению к с постоянной скоростью так, как показано на рис. 80.

Тогда преобразования Галилея имеют вид:

или, используя векторные обозначения,

(последняя формула остается верной для любого направления осей координат).

Из преобразований Галилея следуют:

Классический закон сложения скоростей: где – скорость точки М в «неподвижной» системе отсчета , ’ – скорость точки М в движущейся системе ;

Инвариантность (неизменность) ускорения точки М и сил, действующих на неё:

Из последних соотношений следует, что уравнение второго закона Ньютона не изменяется при переходе от одной ИСО к другой, т.е. законы Ньютона инвариантны к преобразованиям Галилея.

Современные формулировки классического принципа относительности:

1). Во всех ИСО при одних и тех же условиях все механические явления протекают одинаково.

2). Законы классической механики инвариантны относительно перехода их одной ИСО в другую.

В современной физике показано, что классический принцип относительности свидетельствует о том, что все ИСО равноправны, «абсолютной» системы отсчета нет.

Принцип относительности Галилея справедлив лишь в классической механике, в которой рассматриваются движения со скоростями, много меньшими скорости света. При скоростях, близких к скорости света, движение тел подчиняется законам релятивистской механики Эйнштейна, которые инвариантны по отношению к другим преобразованиям координат и времени Лоренца. Одним из постулатов специальной теории стал сформулированный Эйнштейном релятивистский принцип относительности : законы физики инвариантны относительно перехода из одной ИСО в другую.

Твёрдое тело, вращающееся вокруг некоторых осей, проходящих через центр масс, если оно освобождено от внешних воздействий, сохраняет вращение неопределённо долго . (Это заключение аналогично первому закону Ньютона для поступательного движения).

Возникновение вращения твёрдого тела всегда вызывается действием внешних сил, приложенных к отдельным точкам тела. При этом неизбежно возникновение деформаций и появление внутренних сил, обеспечивающих в случае твёрдого тела практическое сохранение его формы. При прекращении действия внешних сил вращение сохраняется: внутренние силы не могут ни вызвать, ни уничтожить вращение твёрдого тела.

Результатом действия внешней силы на тело, имеющее неподвижную ось вращения, является ускоренное вращательное движение тела . (Это заключение аналогично второму закону Ньютона для поступательного движения).

Основной закон динамики вращательного движения : в инерциальной системе отсчёта угловое ускорение , приобретаемое телом, вращающимся относительно неподвижной оси, пропорционально суммарному моменту всех внешних сил , действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси:

Можно дать и более простую формулировку основному закону динамики вращательного движения (его ещё называют вторым законом Ньютона для вращательного движения ): вращающий момент равен произведению момента инерции на угловое ускорение :

Моментом импульса (моментом количества движения , угловым моментом ) тела называется произведение его момента инерции на угловую скорость :

Момент импульса – векторная величина. Его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Изменение момента импульса определяется следующим образом:

. (I.112)

Изменение момента импульса (при неизменном моменте инерции тела) может произойти, только вследствие изменения угловой скорости и всегда обусловлено действием момента силы .

Согласно формуле , а также формулам (I.110) и (I.112) изменение момента импульса можно представить в виде:

. (I.113)

Произведение в формуле (I.113) называется импульсом момента силы или движущим моментом . Он равен изменению момента импульса.

Формула (I.113) справедлива при условии, что момент силы не меняется с течением времени . Если же момент силы зависит от времени, т.е. , то

. (I.114)

Формула (I.114) показывает, что: изменение момента импульса равно интегралу по времени от момента силы . Кроме того, если эту формулу представить в виде: , то из неё будет следовать определение момента силы : мгновенный момент силы представляет собой первую производную момента импульса по времени ,

В этой статье описывается важный раздел физики - "Кинематика и динамика вращательного движения".

Основные понятия кинематики вращательного движения

Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.

Вращательное движение твердого тела - это движение, при котором по концентрическим (центры которых лежат на одной оси) окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.

Пусть произвольное твердое тело T совершает вращения вокруг оси O, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберем на данном теле точку M. При вращении эта точка будет описывать вокруг оси O круг радиусом r .

Через некоторое время радиус повернется относительно исходного положения на угол Δφ.

За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела:

φ = φ(t).

Если φ измерять в радианах (1 рад - это угол, соответствующий дуге, длиной равной ее радиусу), то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка M за время Δt, равна:

ΔS = Δφr.

Основные элементы кинематики равномерного вращательного движения

Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота dφ .

Угловая скорость материальной точки или тела - это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. Направление вектора можно определить правилом правого винта вдоль оси О. В скалярном виде:

ω = dφ/dt.

Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле

ω = φ/t.

Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости

[ω] = 1 рад/с.

Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T - физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π (полный один оборот радиуса r), то

ω = 2π/T,

поэтому период вращения определим следующим образом:

T = 2π/ω.

Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна:

ν = 1/T.

Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.

Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины:

ω = 2πν.

Основные элементы кинематики неравномерного вращательного движения

Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.

Вектор ε , характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения:

ε = dω/dt.

Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0 , вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.

Если вращательное движение замедлено - dω/dt < 0 , то векторы ε и ω противоположно направлены.

Замечание . Когда происходит неравномерное вращательное движение, вектор ω может меняться не только по величине, но и по направлению (при повороте оси вращения).

Связь величин, характеризующих поступательное и вращательное движение

Известно, что длина дуги с углом поворота радиуса и его величиной связана соотношением

ΔS = Δφ r.

Тогда линейная скорость материальной точки, выполняющей вращательное движение

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Нормальное ускорение материальной точки, что выполняет вращательно поступательное движение, определим следующим образом:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Итак, в скалярном виде

a = ω 2 r.

Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение

a = ε r.

Момент импульса материальной точки

Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой m i на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.

Момент импульса материальной точки (L i ) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через r i и υ i , и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора r i к υ i правый винт покажет направление вектора L i).

В скалярной форме

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,

sin(υ i , r i) = 1.

Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид

L = m i υ i r i .

Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку

Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.

В скалярной форме

M i = r i F i sin(r i , F i).

Считая, что r i sinα = l i , M i = l i F i .

Величина l i , равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы F i .

Динамика вращательного движения

Уравнение динамики вращательного движения записывается так:

M = dL/dt.

Формулировка закона следующая: скорость изменения момента импульса тела, которое совершает вращение вокруг неподвижной оси, равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к телу.

Момент импульса и момент инерции

Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой

L i = m i υ i r i .

Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую:

υ i = ωr i ,

то выражение для момента импульса примет вид

L i = m i r i 2 ω.

Величина I i = m i r i 2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем:

L i = I i ω.

Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело:

L = Iω.

Момент силы и момент инерции

Закон вращательного движения гласит:

M = dL/dt.

Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением

ε = dω/dt,

получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции:

M = Iε.

Замечание. Момент силы считается положительным, если угловое ускорение, которым он вызван, больше нуля, и наоборот.

Теорема Штейнера. Закон сложения моментов инерции

Если ось вращения тела через центр масс его не проходит, то относительно этой оси можно найти его момент инерции по теореме Штейнера:
I = I 0 + ma 2 ,

где I 0 - начальный момент инерции тела; m - масса тела; a - расстояние между осями.

Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих (закон сложения моментов инерции).

Допустим, что твердое тело А (рис. 1.19, а) может вращаться вокруг некоторой неподвижной оси. Для того чтобы вызвать вращение тела (изменить его угловую скорость), необходимо внешнее воздействие. Однако сила направление которой проходит через ось вращения, или сила параллельная оси, не могут изменить угловую скорость тел.

Поэтому из приложенной к телу внешней силы необходимо выделить составляющие не вызывающие вращения. Вращение может быть вызвано только силой (вращаюшей силой), лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения и направленной по касательной к окружности, которую описывает точка ее приложения.

Заметим, что при вращении тела составляющие работы не совершают, так как точка приложения этих сил перемещается перпендикулярно их направлениям. Работу совершает только вращающая сила она является проекцией действующей на тело силы на направление движения точки приложения этой силы.

Определим величину работы которую совершает вращающая сила, если точка приложения ее смещается по окружности радиуса на (рис. 1.19, б). Предположим, что величина силы при этом остается постоянной. Тогда

Произведение вращающей силы на радиус есть момент вращающей силы, или вращающий момент, действующий на данное тело, и обозначается через (напомним, что моментом данной силы относительно какой-нибудь оси называется произведение этой силы на ее плечо, т. е. на длину перпендикуляра, проведенного от указанной

оси до направления действия силы). Таким образом, в формуле (2.8)

следовательно, работа, совершаемая вращающим моментом, равна произведению этого момента на угол поворота тела:

Если вращающий момент (сила или ее плечо ) с течением времени изменяется, то совершаемая работа определяется как сумма:

Момент вращающей силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью вращения; положительную ориентировку этого вектора выбирают в том направлении, в котором перемещался бы правый винт, вращаемый этим моментом.

Вращающий момент приложенный к телу, сообщает ему некоторое угловое ускорение согласно выбранным нами направлениям векторов они ориентированы по оси вращения в одну и ту же сторону. Связь между величиной вращающего момента и величиной сообщаемого им углового ускорения можно установить двумя способами:

а) можно воспользоваться тем, что работа движущей силы равна изменению кинетической энергии тела, к которому эта сила приложена: Для вращающегося тела, согласно формулам (2.9) и (2.4), имеем

Здесь мы предполагаем, что момент инерции тела при вращении не изменяется. Разделив это уравнение на и сократив на получаем

б) можно воспользоваться тем, что момент вращающей силы равен сумме моментов сил, которые сообщают отдельным составным частям тела тангенциальные ускорения эти силы равны а их моменты -

Заменим тангенциальные ускорения на угловое ускорение, которое одинаково для всех частиц вращающегося тела (если тело при вращении не деформируется): Тогда

Формула (2.12) выражает основной закон динамики вращательного движения твердых (недеформирую-щихся) тел, для которых

угловое ускорение, приобретаемое телом под действием данного вращающего момента прямо пропорционально величине этого момента и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения:

В векторной форме этот закон записывается в виде

Если тело при вращении деформируется, то момент инерции его относительно оси вращения будет изменяться. Мысленно представим вращающееся тело состоящим из множества элементарных (точечных) частей; тогда деформация всего тела будет означать изменение расстояний от этих частей тела до оси вращения. Однако изменение расстояния данной угловой скорости вращения со будет сопровождаться изменением линейной скорости движения этой частицы следовательно, и ее кинетической энергии. Таким образом, при постоянной угловой скорости вращения тела изменение расстояний (следовательно, изменение момента инерции тела) будет сопровождаться изменением кинетической энергии вращения всего тела.

Из формулы (2.4), если полагать переменным, можно получить

Первое слагаемое показывает изменение кинетической энергии вращающегося тела, которое произошло только вследствие изменения угловой скорости вращения (при данном моменте инерции тела), а второе слагаемое показывает изменение кинетической анергии, которое произошло только вследствие изменения момента инерции тела (при данной угловой скорости вращения).

Однако при изменении расстояния от точечного тела до оси вращения внутренние силы, связывающие это тело с осью вращения, будут совершать работу: отрицательную, если тело удаляется, и положительную, если тело приближается к оси вращения; эта работа может быть рассчитана, если полагать, что сила, связывающая частицу с осью вращения, численно равна центростремительной силе:

Для всего тела, состоящего из множества частиц с массами получим

В общем случае, когда на тело действует внешний вращающий момент изменение кинетической энергии должно быть приравнено сумме двух работ: внешнего вращающего момента и внутренних сил При ускоренном вращении величины будут иметь положительные знаки, - отрицательный

знак (так как частицы тела удаляются от оси вращения); тогда

Подставив сюда значение из выражения (2.15) и заменив на получим

или после сокращения

Это есть общий вид основного закона механики для тел, вращающихся относительно неподвижной оси он применим и для деформирующихся тел. При формула (2.16) переходит в формулу (2.14).

Заметим, что у деформирующихся тел изменение угловой скорости вращения возможно и при отсутствии внешнего вращающего момента. Действительно, при -из формулы (2.16) получаем:

В этом случае угловая скорость вращения со изменяется только вследствие изменения момента инерции тела, вызванного внутренними силами.

4.6 Вращательное движение твердого тела. Момент силы.

Конечно, положение одной, даже «особой», точки далеко не полностью описывает движение всей рассматриваемой системы тел, но все-таки, лучше знать положение хотя бы одной точки, чем не знать ничего. Тем не менее, рассмотрим применение законов Ньютона к описанию вращения твердого тела вокруг фиксированной оси .

Начнем с простейшего случая: пусть материальная точка массы m прикреплена с помощью невесомого жесткого стержня длиной r к неподвижной оси OO’ (рис. 46). Материальная точка может двигаться вокруг оси, оставаясь от нее на постоянном расстоянии, следовательно, ее траектория будет являться окружностью с центром на оси вращения.

Безусловно, движение точки подчиняется уравнению второго закона Ньютона \(~m \vec a = \vec F_0\). Однако, непосредственное применение этого уравнения не оправдано: во-первых, точка обладает одной степенью свободы, поэтому в качестве единственной координаты удобно использовать угол поворота, а не две декартовые координаты; во-вторых, на рассматриваемую систему действуют силы реакции в оси вращения, а непосредственно на материальную точку – сила натяжения стержня. Нахождение этих сил представляет собой отдельную проблему, решение которой излишне для описания вращения. Поэтому имеет смысл получить на основании законов Ньютона специальное уравнение, непосредственно описывающее вращательное движение.

Пусть в некоторый момент времени на материальную точку действует некоторая сила \(~\vec F\), лежащая в плоскости перпендикулярной оси вращения (рис. 47). При кинематическом описании криволинейного движения вектор полного ускорения \(~\vec a\) удобно разложить на две составляющих: нормальную \(~\vec a_n\), направленную к оси вращения, и тангенциальную \(~\vec a_{\tau}\) , направленную параллельно вектору скорости. Значение нормального ускорения для определения закона движения нам не нужно. Конечно, это ускорение также обусловлено действующими силами, одна из которых неизвестная сила натяжения стержня.

Запишем уравнение второго закона в проекции на тангенциальное направление:

\(~m a_{\tau} = F_{\tau}\) , (1)

заметим, что сила реакции стержня не входит в это уравнение, так как она направлена вдоль стержня и перпендикулярна выбранной проекции. Изменение угла поворота φ непосредственно определяется угловой скоростью \(~\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) , изменение которой в свою очередь описывается угловым ускорением \(~\varepsilon = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\) . Угловое ускорение связано с тангенциальной составляющей ускорения соотношением a τ = rε . Если подставить это выражение в уравнение (9), то получим уравнение, пригодное для определения углового ускорения. Удобно ввести новую физическую величину, определяющую взаимодействие тел при их повороте. Для этого умножим обе части уравнения (1) на r

\(~m r^2 \varepsilon = F_{\tau} r\) . (2)

и рассмотрим выражение в его правой части F τ r , имеющего смысл произведения тангенциальной составляющей силы, на расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Это же произведение можно представить несколько иной форме (см. рис. 48)

M = F τ r = Fr cos α = Fd , здесь d - расстояние от оси вращения до линии действия силы, которое также называют плечом силы . Эта физическая величина, произведение модуля силы на расстояние от линии действия силы до оси вращения (плечо силы) M = Fd называется моментом силы . Действие силы может приводить к вращению, как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. В соответствии с выбранным положительным направлением вращения следует определять и знак момента силы. Заметьте, что момент силы определяется той составляющей силы, которая перпендикулярна радиус-вектору точки приложения. Составляющая вектора силы, направленная вдоль отрезка, соединяющего точку приложения и ось вращения, не приводит к раскручиванию тела. Эта составляющая при закрепленной оси компенсируется силой реакции в оси, поэтому она не влияет на вращение тела.

Запишем еще одно полезное выражения для момента силы. Пусть сила \(~\vec F\) приложена к точке А , декартовые координаты которой равны x ,y (рис. 49). Разложим силу \(~\vec F\) на две составляющие \(~\vec F_x, \vec F_y\) , параллельные соответствующим осям координат. Момент силы \(~\vec F\) относительно оси, проходящей через начало координат, очевидно равен сумме моментов составляющих \(~\vec F_x, \vec F_y\) , то есть M = xF y - yF x .

Аналогично, тому, как нами было введено понятие вектора угловой скорости, можно определить также и понятие вектора момента силы. Модуль этого вектора соответствует данному выше определению, направлен же он перпендикулярно плоскости, содержащей вектор силы и отрезок, соединяющий точку приложения силы с осью вращения. Вектор момента силы также может быть определен как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы

\(~\vec M = \vec r \times \vec F\) .

Заметим, что при смещении точки приложения силы вдоль линии ее действия момент силы не изменяется.

Обозначим произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения mr 2 = I (эта величина называется моментом инерции материальной точки относительно оси ). С использованием этих обозначений уравнение (2) приобретает вид, формально совпадающий с уравнением второго закона Ньютона для поступательного движения

\(~I \varepsilon = M\) . (3)

Это уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения. Итак, момент силы во вращательном движении играет такую же роль, как и сила в поступательном движении, именно он определяет изменение угловой скорости. Оказывается, (и это подтверждает наш повседневный опыт) влияние силы на скорость вращения определяет не только величина силы, но и точка его приложения. Момент инерции определяет инерционные свойства тела по отношению к вращению (говоря простым языком – показывает, легко ли раскрутить тело) - чем дальше от оси вращения находится материальная точка, тем труднее привести ее во вращение.

Уравнение (3) допускает обобщение на случай вращения произвольного тела. При вращении тела вокруг фиксированной оси угловые ускорения всех точек тела одинаковы. Поэтому, аналогично тому, как мы проделали при выводе уравнения Ньютона для поступательного движения тела, можно записать уравнения (3) для всех точек вращающегося тела и затем их просуммировать. В результате мы получим уравнение, внешне совпадающее с (3), в котором I - момент инерции всего тела, равный сумме моментов составляющих его материальных точек, M - сумма моментов внешних сил, действующих на тело.

Покажем, каким образом вычисляется момент инерции тела. Важно подчеркнуть, момент инерции тела зависит не только от массы, формы и размеров тела, но и от положения и ориентации оси вращения. Формально процедура расчета сводится к разбиению тела на малые части, которые можно считать материальными точками (рис. 51), и суммированию моментов инерций этих материальных точек, которые равны произведению массы на квадрат расстояния до оси вращения

\(~I = m_1 r^2_1 + m_2 r^2_2 + m_3 r^2_3 + \ldots\) .

Для тел простой формы такие суммы давно подсчитаны, поэтому часто достаточно вспомнить (или найти в справочнике) соответствующую формулу для нужного момента инерции. В качестве примера: момент инерции кругового однородного цилиндра массы m и радиуса R для оси вращения совпадающей с осью цилиндра равен \(~I = \frac{1}{2} m R^2\) .