Главная
Про природу
Плоскость - Начертательная геометрия. Плоскость - Начертательная геометрия Какие точки принадлежат плоскости а

Плоскость - Начертательная геометрия. Плоскость - Начертательная геометрия Какие точки принадлежат плоскости а

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости.

Эти два вполне очевидных предложения часто называют условиями принадлежности точки и прямой плоскости.

На рис. 3.6 плоскость общего положения задана треугольником АВС. Точки А, В, С принадлежат этой плоскости, так как являются вершинами треугольника из этой плоскости. Прямые (АВ), (ВС), (АС) принадлежат плоскости, так как по две их точки принадлежат плоскости. Точка N принадлежит (AC), D принадлежит (AB), E принадлежит (CD) и, значит, точки N и E принадлежат плоскости (DABC), тогда прямая (NE) принадлежит плоскости (DABC).

Если задана одна проекция точки L, например L 2 , и известно, что точка L принадлежит плоскости (DABC), то для нахождения второй проекции L 1 последовательно находим (A 2 L 2), K 2 , (A 1 K 1), L 1 .

Если условие принадлежности точки плоскости нарушено, то точка не принадлежит плоскости. На рис. 3.6 точка R не принадлежит плоскости (DABC), так как R 2 принадлежит (F 2 K 2), а R 1 не принадлежит (A 1 K 1).

На рис. 3.7 приведен комплексный чертеж горизонтально проецирующей плоскости (DCDE). Точки K и P принадлежат этой плоскости, так как P 1 и K 1 принадлежат прямой (D 1 C 1), являющейся горизонтальной проекцией плоскости (DCDE). Точка N не принадлежит плоскости, так как N 1 не принадлежит (D 1 C 1).

Все точки плоскости (DCDE) проецируются на П 1 в прямую (D 1 C 1). Это следует из того, что плоскость (DCDE) ^ П 1 . В этом же можно убедиться, если проделать для точки P (или любой другой точки) построения, которые были сделаны для точки L (рис. 3.6). Точка P 1 попадет на прямую (D 1 C 1). Таким образом, для того, чтобы определить принадлежность точки горизонтально проецирующей плоскости, фронтальная проекция (DC 2 D 2 E 2) не нужна. Поэтому в дальнейшем проецирующие плоскости будут задаваться только одной проекцией (прямой линией). На рис. 3.7 показана фронтально проецирующая плоскость S, заданная фронтальной проекцией S 2 , а также точки A Î S и B Ï S.

Взаимное положение точки и плоскости сводится к принадлежности или не принадлежности точки плоскости.

При решении многих задач приходится строить линии уровня, принадлежащие плоскостям общего и частного положения. На рис. 3.8 показаны горизонталь h и фронталь f, принадлежащие плоскости общего положения (DABC). Фронтальная проекция h 2 параллельна оси x, поэтому прямая h – горизонталь. Точки 1 и 2 прямой h принадлежат плоскости, поэтому прямая h принадлежит плоскости. Таким образом, прямая h – это горизонталь плоскости (DABC). Обычно порядок построения такой: h 2 ; 1 2 , 2 2 ; 1 1 , 2 1 ; (1 1 2 1) = h 1 . Фронталь f проведена через точку A. Порядок построения: f 1 // x, A 1 Î f 1 ; 3 1 , 3 2 ; (A 2 3 2) = f 2 .

На рис. 3.9 показаны проекции горизонтали и фронтали для фронтально проецирующей плоскости S и горизонтально проецирующей плоскости Г. В плоскости S горизонталь является фронтально проецирующей прямой и проходит через точку A (попытайтесь представить горизонталь как линию пересечения S и плоскости, проходящей через точку A параллельно П 1). Фронталь проходит через точку С. В плоскости Г горизонталь и фронталь проведены через одну точку D. Фронталь является горизонтально проецирующей прямой.

Из рассмотренных выше построений следует, что линию уровня в плоскости можно провести через любую точку этой плоскости.

Совпадение плоскостей можно трактовать как принадлежность одной плоскости другой. Если три точки одной плоскости принадлежат другой плоскости, то эти плоскости совпадают. Упомянутые три точки не должны лежать на одной прямой. На рис. 3.10 плоскость (DDNE) совпадает с плоскостью S(DABC), так как точки D, N, E принадлежат плоскости S(DABC).

Обратим внимание на то, что плоскость S, заданная DABC, теперь может быть задана DDNE. Любая плоскость может быть задана линиями уровня. Для этого необходимо через точку плоскости S(DABC) (например, через точку А) провести в плоскости горизонталь и фронталь, которые и будут задавать плоскость S (на рис. 3.10 построения не показаны). Последовательность построения горизонтали: h 2 // x (A 2 Î h 2); K 2 = h 2 Ç B 2 C 2 ; K 1 Î B 1 C 1 (K 2 K 1 ^ x); A 1 K 1 = h 1 . Последовательность построения фронтали: f 1 // x (A 1 Î f 1); L 1 = f 1 Ç B 1 C 1 ; L 2 Î B 2 C 2 (L 1 L 2 ^ x); A 2 L 2 = f 2 . Можно записать S(DABC) = S(h, f).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

В курсе начертательной геометрии под преобразованием комплексного чертежа фигуры обычно понимается его изменение, вызванное перемещением фигуры в пространстве, или введением новых плоскостей проекций, или использованием других видов проецирования. Применение различных методов (способов) преобразования комплексного чертежа упрощает решение многих задач.

4.1. Метод замены плоскостей проекций

Метод замены плоскостей проекций состоит в том, что вместо одной из плоскостей проекций вводится новая плоскость, перпендикулярная к другой плоскости проекций. На рис. 4.1 показана пространственная схема получения комплексного чертежа точки А в системе (П 1 П 2). Точки А 1 и А 2 – горизонтальная и фронтальная проекции точки А, АА 1 А x А 2 – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна оси x (рис. 2.3).

Новая плоскость П 4 перпендикулярна П 1 . При проецировании точки А на П 4 получим новую проекцию А 4 , фигура АА 1 А 14 А 4 – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна новой оси x 14 = П 4 Ç П 1 . Для получения комплексного чертежа будем рассматривать фигуры, расположенные в плоскостях проекций. Поворотом вокруг оси x 14 совместим П 4 с П 1 , затем поворотом вокруг оси x совместим П 1 (и П 4) с П 2 (на рис. 4.1 направления движения плоскостей П 4 и П 1 показаны штриховыми линиями со стрелками). Полученный чертеж приведен на рис. 4.2. Прямые углы на рис. 4.1, 4.2 помечены дугой с точкой, равные отрезки помечены двумя штрихами (противоположные стороны прямоугольников на рис. 4.1). От комплексного чертежа точки А в системе (П 1 П 2) перешли к комплексному чертежу точки А в системе (П 1 П 4), заменили плоскость П 2 на плоскость П 4 , заменили А 2 на А 4 .

На основе этих построений сформулируем правило замены плоскостей проекций (правило получения новой проекции). Через незаменяемую проекцию проводим новую линию проекционной связи перпендикулярно новой оси, затем от новой оси по линии проекционной связи откладываем отрезок, длина которого равна расстоянию от заменяемой проекции до старой оси, полученная при этом точка и есть новая проекция. Направление новой оси будем брать произвольно. Новое начало координат указывать не будем.

На рис. 4.3 показан переход от комплексного чертежа в системе (П 1 П 2) к комплексному чертежу в системе (П 2 П 4), а затем еще один переход к комплексному чертежу в системе (П 4 П 5). Вместо плоскости П 1 введена плоскость П 4 , перпендикулярная П 2 , затем вместо П 2 введена плоскость П 5 , перпендикулярная П 4 . Используя правило замены плоскостей проекций, можно выполнить любое количество замен плоскостей проекций.

3. Плоскость

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

 Положение плоскости в пространстве определяется:

  • тремя точками, не лежащими на одной прямой;
  • прямой и точкой, взятой вне прямой;
  • двумя пересекающимися прямыми;
  • двумя параллельными прямыми;
  • плоской фигурой.

В соответствии с этим на эпюре плоскость может быть задана:

  • проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой (Рисунок 3.1,а);
  • проекциями точки и прямой (Рисунок 3.1,б);
  • проекциями двух пересекающихся прямых (Рисунок 3.1,в);
  • проекциями двух параллельных прямых (Рисунок 3.1,г);
  • плоской фигурой (Рисунок 3.1,д);
  • следами плоскости;
  • линией наибольшего ската плоскости.

Рисунок 3.1 - Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения - это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.
Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный απ1 , фронтальный απ2 и профильный απ3 , которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π1 , фронтальной π2 и профильной π3 (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 - Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения - плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости  (Рисунок 3.3). 

Рисунок 3.3 - Фронтально-проецирующая плоскость,
которой принадлежат: точки A, B, C , линии AC, AB, BC ,
плоскость треугольника АВС

Горизонтально-проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскос ти проекций (Рисунок 3.4, б).

Фронтально-проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Профильно-проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями .

Горизонтальная плоскость уровня - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Фронтальная плоскость уровня - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Профильная плоскость уровня - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д). 

Рисунок 3.4 - Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости  (Рисунок 3.5). 

Рисунок 3.5. Принадлежность точки плоскости

α = m // n
D ∈ n ⇒ D ∈ α

Рисунок 3.6. Принадлежность прямой плоскости

α = m // n
D ∈ α
С ∈ α ⇒ СD ∈ α

Упражнение

 Дана плоскость, заданная четырехугольником (Рисунок 3.7, а). Необходимо достроить горизонтальную проекцию вершины С . 

 а б
Рисунок 3.7 - Условие (а) и решение (б) задачи

Решение :

  1. ABCD - плоский четырехугольник, задающий плоскость.
  2. Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
  3. Согласно признаку пересекающихся прямых, построим горизонтальную проекцию точки пересечения этих прямых K по её известной фронтальной проекции: A 2 C 2 ∩ B 2 D 2 =K 2 .
  4. Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD : на проекции диагонали B 1 D 1 строим К 1 .
  5. Через А 1 К 1 проводим проекцию диагонали А 1 С 1 .
  6. Точку С 1 получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А 1 К 1 .

3.4. Главные линии плоскости

 В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 - 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель ) - это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π1 ) (Рисунок 3.8, а; 3.9). 

Рисунок 3.8.а. Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель ) - это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π2 ) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

 Рисунок 3.8.б. Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Профильная прямая уровня p (третья параллель ) - это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π3 ) (Рисунок 3.8, в; 3.11).


 Рисунок 3.8 в - Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником 

Рисунок 3.9 - Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 - Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 - Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей этой  плоскости (Рисунок 3.19). 

Рисунок 3.19. Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения линии пересечения прямой с плоскостью необходимо (Рисунок 3.20):

  1. Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
  2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
  3. Найти точку пересечения заданной прямой a с линией пересечения плоскостей MN .

Рисунок 3.20. Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ ⊥ π1 (Рисунок 3.21). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Решение :

  1. Плоскость σ - горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальным следом σπ 1 (или σ 1 ) является прямая;
  2. Точка К должна принадлежать прямой АВ ⇒ К 1 ∈ А 1 В 1 и заданной плоскости σ ⇒ К 1 ∈ σ 1 , следовательно, К 1 находится в точке пересечения проекций A 1 B 1 и σ 1 ;
  3. Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: K 2 ∈ A 2 B 2 .

Рисунок 3.21. Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Упражнение

Заданы: плоскость σ = ΔАВС - общего положения, прямая EF (Рисунок 3.22).
Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

А                     б
Рисунок 3.22. Пересечение прямой с плоскостью (а - модель, б - чертеж)

Решение :

  1. Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.22, а);
  2. Если α ⊥ π 1 , то на плоскость проекций π 1 плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απ 1 или α 1 ), совпадающую с E 1 F 1 ;
  3. Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи было рассмотрено ранее);
  4. Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K .

Алгоритм решения задачи (Рисунок 3.22, б):

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

Рисунок 3.23. Метод конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить - точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π1 или π2 .

Точки, которые в пространстве принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций .

Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций!

Видимость на π2

Выберем точки, конкурирующие на π2 - точки 3 и 4 (рисунок 3.23). Пусть точка 3 ∈ ВС ∈ σ, точка 4 ∈ EF .

Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π2 надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π2 .

Направление взгляда на π2 показано стрелкой.

По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π2 , видно, что точка 41 располагается ближе к наблюдателю, чем 31 .

41 ∈ E 1 F 1 → 4 ∈ EF ⇒ на π2 будет видима точка 4, лежащая на прямой EF , следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K

Видимость на π1

Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π1 - точки 2 и 5.

Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π1 надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π1 .

Направление взгляда на π1 показано стрелкой.

По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π1 , точка 22 располагается ближе к наблюдателю, чем 52 .

22 ∈ А 2 В 2 → 2 ∈ АВ ⇒ на π1 будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ , следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K - пересечения прямой с плоскостью σ.

Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z » или(и) «Y » больше.

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Рисунок 3.24. Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: проекции прямой перпендикулярны наклонным проекциям горизонтали и фронтали, лежащих в плоскости, или следам плоскости (Рисунок 3.24).

  1. Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ = Δ АВС и проходит через точку K .
  2. Построим горизонталь и фронталь в плоскости σ = Δ АВС :
    A -1 ∈ σ; A -1 // π 1 ; С -2 ∈ σ; С -2 // π 2 .
  3. Восстановим из точки K перпендикуляр к заданной плоскости:
    p 1 ⊥ h 1 и p 2 ⊥ f 2 .

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

3.8.1. Параллельность плоскостей

Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Упражнение

Задана плоскость общего положения α = ΔАВС и точка F ∉ α (Рисунок 3.12).
Через точку F провести плоскость σ, параллельную плоскости α.

Рисунок 3.12. Построение плоскости, параллельной заданной

Решение :

  1. Через точку F проводим прямую m , параллельную, например, АВ .
  2. Через точку F , или же через любую точку, принадлежащую m , проводим прямую n , параллельную, например, ВС , причём m ∩ n .
  3. σ = m ∩n и σ // α по определению.
3.8.2. Пересечение плоскостей

  Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая однозначно на плоскости или в пространстве может быть задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.  

Упражнение

Две плоскости α и β заданы следами (Рисунок 3.13). Построить линию пересечения плоскостей.

Рисунок 3.13. Пересечение плоскостей, заданных следами

Порядок построения линии пересечения плоскостей :

  1. Найти точку пересечения горизонтальных следов - это точка М (её проекции М 1 и М 2 , при этом М 1 = М , т.к. М - точка частного положения, принадлежащая плоскости π 1 ).
  2. Найти точку пересечения фронтальных следов - это точка N (её проекции N 1 и N 2 , при этом N 2 = N , т.к. N - точка частного положения, принадлежащая плоскости π 2 ).
  3. Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции полученных точек: М 1 N 1 и М 2 N 2 .
МN - линия пересечения плоскостей.

Упражнение

Задана плоскость α = ΔАВС , плоскость σ - горизонтально-проецирующая (σ ⊥ π1 ) ⇒ σ1 - горизонтальный след плоскости (Рисунок 3.14).
Построить линию пересечения этих плоскостей.

Решение :

Так как плоскость σ пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС , то точки пересечения K и L этих сторон с плоскостью σ являются общими для обеих заданных плоскостей, что позволит, соединив их, найти искомую линию пересечения.

Точки могут быть найдены как точки пересечения прямых с проецирующей плоскостью: находим горизонтальные проекции точек K и L , то есть K 1 и L 1 на пересечении горизонтального следа (σ1 ) заданной плоскости σ с горизонтальными проекциями сторон ΔАВС : А 1 В 1 и A 1 C 1 . После чего посредством линий проекционной связи находим фронтальные проекции этих точек K 2 и L 2 на фронтальных проекциях прямых АВ и АС . Соединим одноимённые проекции: K 1 и L 1 ; K2 и L 2 . Линия пересечения заданных плоскостей построена.

Алгоритм решения задачи :

АВ ∩ σ = K ⇒ А 1 В 1 ∩ σ1 = K 1 → K 2
АС ∩ σ = L ⇒ A 1 C 1 ∩ σ1 = L 1 → L 2
KL - линия пересечения ΔАВС и σ (α ∩ σ = KL ).

Рисунок 3.14. Пересечение плоскостей общего и частного положения

Упражнение

Заданы плоскости α = m // n и плоскость β = ΔАВС (Рисунок 3.15).
Построить линию пересечения заданных плоскостей.

Решение :

  1. Чтобы найти точки, общие для обеих заданных плоскостей и задающие линию пересечения плоскостей α и β, необходимо воспользоваться вспомогательными плоскостями частного положения.
  2. В качестве таких плоскостей выберем две вспомогательные плоскости частного положения, например: σ // τ ; σ ⊥ π 2 ; τ ; ⊥ π 2 .
  3. Вновь введённые плоскости пересекаются с каждой из заданных плоскостей α и β по прямым, параллельным друг другу, так как σ // τ ;:
    - результатом пересечения плоскостей α, σ и τ ; являются прямые (4-5) и (6-7);
    - результатом пересечения плоскостей β, σ и τ ; являются прямые (3-2) и (1-8).
  4. Прямые (4-5) и (3-2) лежат в плоскости σ; точка их пересечения М одновременно лежит в плоскостях α и β, то есть на прямой пересечения этих плоскостей;


  5. Решение :

    1. Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ ⊥ π2 , заключив прямую а во вспомогательную плоскость σ (σ ∈ a ).
    2. Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ ∩ β = а . Следовательно (1-2) ∩ а = K .
    3. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β.
    4. Следовательно, точка K , является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β.
    5. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ ⊥π2 (τ ∈ b ).
    6. Соединив точки K и L , получим прямую пересечения плоскостей α и β.
    3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

    Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

    Упражнение

    Задана плоскость σ ⊥ π2 и прямая общего положения - DE (Рисунок 3.17).
    Требуется построить через DE плоскость τ ⊥ σ.

    Решение :
    Проведем перпендикуляр CD к плоскости σ - C 2 D 2 ⊥ σ2 .

    Рисунок 3.17 - Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

    По теореме о проецировании прямого угла C 1 D 1 должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD ∩ DE задают плоскость τ . Итак, τ ⊥ σ.
    Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

    Упражнение

    Задана плоскость α = ΔАВС и точка K вне плоскости α.
    Требуется построить плоскость β ⊥ α, проходящую через точку K .

    Алгоритм решения (Рисунок 3.18):

    1. Построим горизонталь h и фронталь f в заданной плоскости α = Δ АВС ;
    2. Через точку K проведём перпендикуляр b к плоскости α (по теореме о перпендикуляре к плоскости: если прямая перпендикулярна плоскости, то её проекции перпендикулярны к наклонным проекциям горизонтали и фронтали, лежащих в плоскости: b 2 ⊥ f 2 ; b 1 ⊥ h 1 );
    3. Задаем плоскость β любым способом, учитывая, например, β = a ∩ b , таким образом, плоскость, перпендикулярная к заданной, построена: α ⊥ β.

    Рисунок 3.18 - Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

    Задачи для самостоятельной работы

    1. Задана плоскость α = m // n . Известно, что K ∈ α.
    Постройте фронтальную проекцию точки К .

5.1 Задание плоскости

Плоскость задается тремя произвольными точками, не принадле­жащими одной прямой. Плоскость в пространстве можно задать:

· тремя точками, не лежащими на одной прямой (рисунок 5.1, а);

· прямой и не принадлежащей ей точкой (рисунок 5.1, б );

· двумя пересекающимися прямыми (рисунок 5.1, в );

· двумя параллельными прямыми (рисунок 5.1, г );

· любой плоской фигурой (рисунок 5.1, д ).

Рисунок 5.1

Каждый из перечисленных способов задания плоскости допускает переход к любому другому, т.к. положение прямой в плоскости опре­деляется двумя ее точками или одной точкой и направлением этой прямой.

Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П 1 П 2 , П 3 . Кроме этого- это задание плоскости следами, при этом сохраняется наглядность изображения (рисунок 5.2).

Рисунок 5.2

5.2 Следы плоскости.

Линия пересечения рассматриваемой плоскости с плоскостью проекций (П 1 , П 2 , П 3 ) называется следом плоскости. Иными словами, след плоскости - это прямая, лежащая в плоскости проекций. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересече­нии заданной плоскости с плоскостью П 1 и обозначается , фрон­тальный - с плоскостью П 2 (), профильный - с плоскостью П 3 (). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси про­екции в точке, называемой точкой схода следов. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях. Например, горизонтальный след плоскости Σ(рисунок 5.2) совпадает со своей горизонтальной проек­цией , фронтальная его проекция находится на оси х , а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о по­ложении данной плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций П 1 ,П 2 , П 3 .

5.3 Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Любая, произвольно взятая в пространстве плоскость, может за­нимать общее или частное положение. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций (см. рисунок 5.2). Все остальные плоскости (кроме плоскостей проекций) относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня. |Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной
из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскостьперпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции П 1 (рисунок 5.3).

Рисунок 5.3



Горизонтальные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизон­тальным следом 1 . Угол, который образуется между плоскостями и П 2 , проецируется на П 1 без искажения. Фронтальный след 2 пер­пендикулярен к оси x.

Фронтально-проецирующая плоскость () перпендикулярна к фронтальной плоскости П 2 показана на рисунке 5.4. Фронтальные проекции всех геометрических образов (точек, пря­мых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости 2 . Угол , который образуется между заданной плоскостью и П 1 , проецируется на П 2 без искажения. Горизонталь­ный след плоскости 1 перпендикулярен к оси x.

Рисунок 5.4

Профильно-проецирующая плоскость Т (T 1 , T 2) перпендикулярна к профильной плоскости проекции П 3 (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5

Профильные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Т 3 . Углы и , которые образуются между задан­ной плоскостью и плоскостями проекций П 1 и П 2 (= T^П 1 ; = Т^П 2 ), проецируются на плоскость П 3 без искажений. Горизон­тальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х.

Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x: (рисунок 5.6).

Рисунок 5.6

Следы этой плоскости 1 = 2 совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рисунок 5.6). В частном случае эта плос­кость может быть биссекторной плоскостью. Угол ° = °, а точка А равноудалена от плоскостей проекций П 1 и П 2 . Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная од­новременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Та­ких плоскостей три разновидности (рисунок 5.7):

· горизонтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 2 , П 3 и параллельна П 1 (рисунок 5.7, а);

· фронтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 ,П 3 и па­раллельна П 2 (рисунок 5.7, б);

· профильная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 , П 2 и параллельна П 3 (рисунок 5.7 в ).

Рисунок 5.7

Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов.

5.4 Признаки принадлежности точки и прямой плоскости

Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, расположенной в пространстве, следует руководствоваться следующими положениями:

· точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости;

· прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки;

· прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости параллельно прямой, принадлежащей этой плоскости.

Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное мно­жество линий. Это могут быть произвольные линии и линии, зани­мающие особое положение по отношению к плоскостям проекций П 1 П 2 , П 3 . Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, прове­денная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости.

Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости.

Горизонталь и фронталь являются линиями уровня.

Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x , горизонтальная проекция гори­зонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

А так как все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рисунок 5.8).

Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости - нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между собой (рисунок 5.9).

Рисунок 5.8

Рисунок 5.9

К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в за­данной плоскости и параллельная П 3 .

К главным линиям особого положения в плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.

5.5 Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций

Плоскость общего положения, расположенная в пространстве произвольно, наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины двухгранного угла наклона заданной плоскости к какой-либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П 1 - линия ската, к П 2 - линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П 2 .

Линии наибольшего наклона плоскости - это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующей линии уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, составленного данной плоскостью и плоскостью проекций (рисунок 5.10).

Признаки принадлежности хорошо известны из курса планиметрии. Наша задача рассмотреть их применительно к проекциям геометрических объектов.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Принадлежность прямой плоскости определяется по одному из двух признаков:

а) прямая проходит через две точки, лежащие в этой плоскости;

б) прямая проходит через точку и параллельна прямой, лежащим в этой плоскости.

Используя эти свойства, решим в качестве примера задачу. Пусть плоскость задана треугольником АВС . Требуется построить недостающую проекцию D 1 точки D , принадлежащей этой плоскости. Последовательность построений следующая (рис. 2.5).

Рис. 2.5. К построению проекций точки, принадлежащей плоскости

Через точку D 2 проводим проекцию прямой d , лежащей в плоскости АВС , пересекающую одну из сторон треугольника и точку А 2 . Тогда точка 1 2 принадлежит прямым А 2 D 2 и C 2 В 2 . Следовательно, можно получить ее горизонтальную проекцию 1 1 на C 1 В 1 по линии связи. Соединив точки 1 1 и А 1 , получаем горизонтальную проекцию d 1 . Ясно, что точка D 1 принадлежит ей и лежит на линии проекционной связи с точкой D 2 .

Достаточно просто решаются задачи на определение принадлежности точки или прямой плоскости. На рис. 2.6 показан ход решения таких задач. Для наглядности изложения задачи плоскость задаем треугольником.

Рис. 2.6. Задачи на определение принадлежности точки и прямой плоскости.

Для того, чтобы определить принадлежит ли точка Е плоскости АВС , проведем через ее фронтальную проекцию Е 2 прямую а 2 . Считая, что прямая а принадлежит плоскости АВС , построим ее горизонтальную проекцию а 1 по точкам пересечения 1 и 2. Как видим (рис. 2.6, а), прямая а 1 не проходит через точку Е 1 . Следовательно, точка Е  АВС .

В задаче на принадлежность прямой в плоскости треугольника АВС (рис. 2.6, б), достаточно по одной из проекций прямой в 2 построить другую в 1 * считая, что в  АВС . Как видим, в 1 * и в 1 не совпадают. Следовательно, прямая в АВС .

2.4. Линии уровня в плоскости

Определение линий уровня было дано ранее. Линии уровня, принадлежащие данной плоскости, называются главными . Эти линии (прямые) играют существенную роль при решении ряда задач начертательной геометрии.

Рассмотрим построение линий уровня в плоскости, заданной треугольником (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Построение главных линий плоскости, заданной треугольником

Горизонталь плоскости АВС начинаем с вычерчивания ее фронтальной проекции h 2 , которая, как известно, параллельна оси ОХ . Поскольку эта горизонталь принадлежит данной плоскости, то она проходит через две точки плоскости АВС , а именно, точки А и 1. Имея их фронтальные проекции А 2 и 1 2 , по линии связи получим горизонтальные проекции (А 1 уже есть) 1 1 . Соединив точки А 1 и 1 1 , имеем горизонтальную проекцию h 1 горизонтали плоскости АВС . Профильная проекция h 3 горизонтали плоскости АВС будет параллельна оси ОХ по определению.

Фронталь плоскости АВС строится аналогично (рис. 2.7) с той лишь разницей, что ее вычерчивание начинается с горизонтальной проекции f 1 , так как известно, что она параллельна оси ОХ. Профильная проекция f 3 фронтали должна быть параллельна оси ОZ и пройти через проекции С 3 , 2 3 тех же точек С и 2.

Профильная линия плоскости АВС имеет горизонтальную р 1 и фронтальную р 2 проекции, параллельные осям OY и OZ , а профильную проекцию р 3 можно получить по фронтальной, используя точки пересечения В и 3 с АВС .

При построении главных линий плоскости необходимо помнить лишь одно правило: для решения задачи всегда нужно получить две точки пересечения с данной плоскостью. Построение главных линий, лежащих в плоскости, заданной иным способом, ничуть не сложнее рассмотренного выше. На рис. 2.8 показано построение горизонтали и фронтали плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми а ив .

Рис. 2.8. Построение главных линий плоскости, заданной пересекающимися прямыми.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек (а || )

Признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Выводы.

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:

А) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;
в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Случаи взаимного расположения плоскостей:

Свойства параллельных плоскостей:

Задачи и тесты по теме "Тема 3. "Параллельность прямой и плоскости; параллельность плоскостей"."

  • Параллельность плоскостей

    Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1

  • Параллельность прямых, прямой и плоскости - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
  • Признаки параллельности двух прямых. Аксиома параллельных прямых - Параллельные прямые 7 класс

    Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1

  • Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс

    Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1

  • Перпендикулярность прямой и плоскости - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс

    Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1

Тема "Аксиомы стереометрии" играет важную роль в развитии пространственных представлений, поэтому старайтесь привлекать больше моделей (картон и спицы), рисунков.

В теме "Параллельность в пространстве" даются знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. В данном материале обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности прямых. На примере теоремы о существовании и единственности прямой, параллельной данной, Вы получаете представление о необходимости заново доказать известные из планиметрии факты в тех случаях, когда речь идет о точках и прямых пространства, а не о конкретной плоскости.

Задачи на доказательство решаются во многих случаях по аналогии с доказательством теорем. Для решения задач на вычисление длин отрезков необходимо провести повторение курса планиметрии: равенства и подобия треугольников, определений, свойств и признаков прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.

Разделы