Решение систем уравнений с дробно рациональными уравнениями. Алгоритм решения рациональных уравнений
В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений , которые с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.
Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.
У вас есть возможность продолжить решение уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.
Итак, начнем.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой - число.
1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.
2. Перемножим их.
3. Введем замену переменной.
В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2:
В этом месте замена переменной становится очевидной:
Получаем уравнение 
Ответ:
2 .
Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:
1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.
2. Перемножаем каждую пару скобок.
3. Из каждого множителя выносим за скобку х.
4. Делим обе части уравнения на .
5. Вводим замену переменной.
В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :
Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :
Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:
Получим уравнение: 
Ответ:
3
. 
Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:
Теперь можем ввести замену переменной:
Получим уравнение относительно переменной t:
4 .
Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .
Чтобы его решить,
1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:
2. Сгруппируем слагаемые таким образом:
3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:
4. Введем замену:
5. Выразим через t выражение :
Отсюда 
Получим уравнение относительно t:
Ответ:
5. Однородные уравнения.
Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.
Однородные уравнения имеют такую структуру:
В этом равенстве А, В и С - числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень (в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.
Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на
Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.
Пойдем первым путем. Получим уравнение:
Теперь мы вводим замену переменной:
Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:
Ответ: или
7
. 
Это уравнение имеет такую структуру:
Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.
Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.
Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно
Теперь прикинем, что нам удобнее иметь - квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:
Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна с переменной в знаменателе.
Например:
\(\frac{9x^2-1}{3x}\)
\(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)
Пример не дробно-рациональных уравнений:
\(\frac{9x^2-1}{3}\)
\(=0\)
\(\frac{x}{2}\)
\(+8x^2=6\)
Как решаются дробно-рациональные уравнения?
Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.
Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:
Выпишите и «решите» ОДЗ.
Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Запишите уравнение, не раскрывая скобок.
Решите полученное уравнение.
Проверьте найденные корни с ОДЗ.
Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.
Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.
Пример . Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)
Решение:
Ответ: \(3\).
Пример . Найдите корни дробно-рационального уравнения \(=0\)
Решение:
|
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\) \(=0\) ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) |
Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем \(x^2+7x+10\) на по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). |
|
|
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\)
\(=0\) |
Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение. |
|
|
\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\) |
Сокращаем дроби |
|
|
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\) |
Раскрываем скобки |
|
|
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\) |
|
Приводим подобные слагаемые |
|
\(2x^2+9x-5=0\) |
|
Находим корни уравнения |
|
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac{1}{2}.\) |
|
Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень. |
Ответ: \(\frac{1}{2}\).
Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.
Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.
Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где 
- рациональные выражения.
Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.
Пример 1
Решить уравнение: .
Решение:
Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
Получаем следующую систему:
Первое уравнение системы - это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:
Получаем два корня: ; .
Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: 
. Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.
Ответ: .
Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:
1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.
2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.
3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: 
.
4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.
Давайте рассмотрим еще один пример.
Пример 2
Решить уравнение: 
.
Решение
В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:
Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Данное уравнение эквивалентно системе:
Первое уравнение системы - это квадратное уравнение.
Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:
Получаем два корня: ; .
Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.
Необходимо, чтобы выполнялись два условия: 
. Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один - 3.
Ответ: .
На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.
На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.
Список литературы
- Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.
- Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Домашнее задание
«Рациональные уравнения с многочленами» - одна из самых часто встречающихся тем в тестовых заданиях ЕГЭ по математике. По этой причине их повторению стоит уделить особое внимание. Многие ученики сталкиваются с проблемой нахождения дискриминанта, перенесения показателей из правой части в левую и приведения уравнения к общему знаменателю, из-за чего выполнение подобных заданий вызывает трудности. Решение рациональных уравнений при подготовке к ЕГЭ на нашем сайте поможет вам быстро справляться с задачами любой сложности и сдать тестирование на отлично.
Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!
Чтобы знать правила вычисления неизвестных и легко получать правильные результаты, воспользуйтесь нашим онлайн-сервисом. Портал «Школково» - это единственная в своем роде площадка, где собраны необходимые для подготовки к ЕГЭ материалы. Наши преподаватели систематизировали и изложили в понятной форме все математические правила. Кроме того, мы предлагаем школьникам попробовать силы в решении типовых рациональных уравнений, база которых постоянно обновляется и дополняется.
Для более результативной подготовки к тестированию рекомендуем следовать нашему особому методу и начать с повторения правил и решения простых задач, постепенно переходя к более сложным. Таким образом, выпускник сможет выделить для себя самые трудные темы и сделать акцент на их изучении.
Начните подготовку к итоговому тестированию со «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Выберите самый легкий пример из предложенных. Если вы быстро справились с выражением, переходите к более сложной задаче. Так вы сможете подтянуть свои знания вплоть до решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня.
Обучение доступно не только выпускникам из Москвы, но и школьникам из других городов. Уделяйте пару часов в день занятиям на нашем портале, например, и совсем скоро вы сможете справиться с уравнениями любой сложности!