Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Главная

Биогафии

Методическая разработка урока алгебры по теме: «Первообразная и интеграл»

Тема: «Первообразная и интеграл».

Группа: 82 (14-ТТО II -118)

Специальность: Технология продукции общественного питания.

Тип: урок обобщения и систематизации знаний .

Форма: И гра.

Цели:

д идактические:

формирование учебно-познавательной и информационной компетенций, посредством обобщения, систематизации знаний по теме «Первообразная. Интеграл», формирования навыков нахождения площади криволинейной трапеции несколькими способами.

развивающие:

формирование информационной, общекультурной компетенций через развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческих способностей учащихся, расширение кругозора, развитие математической речи.

воспитательные:

формирование коммуникативной компетенции и компетенции личностного самосовершенствования, посредством работы над коммуникативными навыками, умением работать в сотрудничестве, над воспитанием таких личностных качеств, как организованность, дисциплинированность.

Средства обучения:

Технические: ПК, проектор, экран.

Ход урока

Подготовительный этап: группа заранее делится на две команды.

I. Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке. Ц ель нашего урока - обобщить, систематизировать знания по теме «Первообразная и и нтеграл», подготовиться к предстоящему зачету.

Девиз нашей работы: «Исследуй всё, пусть для тебя на первом месте будет разум» - эти слова принадлежат древнегреческому ученому Пифагору.

Мы совершим необычное восхождение на вершину «Пика знаний».

Первенство будут оспаривать две группы. У каждой группы свой инструктор, который оценивает коэффициент участия каждого «туриста» в нашем восхождении.

Группа, которая первой достигнет вершины «Пика знаний», станет победителем.

II . Проверка домашнего задания: «Проверим рюкзаки».

Перед дальней дорогой нужно проверить насколько хорошо вы подготовились к восхождению. Проверим домашнее задание, которое было задано на предыдущем уроке:

Найти площадь фигуры ограниченной линиями:

Два человека по очереди выходят к доске кратко объясняют решение, которое они заранее заготовили на слайдах. Остальные в это время проверяют.

III . Разминка.

Принято, что человек, готовясь к соревнованию, свой день обычно начинает с зарядки, то есть с разминки.

Проведем разминку и мы.

Предлагается 9 тестовых заданий. Каждая команда по очереди выбирает вопрос, за правильные ответы получают жетоны (слайд)

Операция нахождения неопределённого интеграла от некоторой функции называется…

интегрированием;

дифференцированием;

логарифмированием;

возведением в степень;

извлечением корня.

Закончите определение:

Неопределённым интегралом от функции y = f (x ) называется:

производная функции F (x );

совокупность всех первообразных функции y = f (x );

совокупность всех производных функции y = f (x );

знак вида .

Формула Ньютона-Лейбница:

Закончите определение:

«Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка…»

I V . Математическая эстафета.

Теперь в путь! Подъем к «Пику знаний» будет нелегким, могут быть и завалы, и обвалы, и заносы. Но есть и привалы, где вас ждут не только задания. Чтобы продвинуться вперед, надо показать знания.

Работа в командах. На последней парте каждого ряда находится листок с 8 заданиями (по два вопроса на каждую парту). Первая пара учащихся, выполнив любые два задания, передает листок впереди сидящим. Работа считается оконченной, когда учитель получается листок с правильно выполненными 8 заданиями. Те же задания представлены на слайде. Вы можете решить не только свои задания, что проверить правильность решения членов своей команды.

Побеждает та команда, которая раньше всех решит все задания. Проверка работ осуществляется с помощью слайда. Заработанные баллы суммируются.

А теперь привал.

V . Привал.

«Счастливая случайность выпадает лишь на долю подготовленных умов» (Луи Пастер) (слайд).

Зачитываются сведения из истории интегрального исчисления (слайд).

Символ интеграла введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней

Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный.

Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся

Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой. Однако при всей значимости результатов, полученных математиками.

XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница.

В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке.

Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и

А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.).

VI. Самое трудное восхождение.

Следующее задание предполагается выполнять в письменной форме, поэтому учащиеся работают в тетрадях.

Задача. Сколькими способами можно найти площадь фигуры, ограниченной линиями (слайд).

, , ,

У кого есть предложения? (фигура состоит из двух криволинейных трапеций и прямоугольника) (выбирайте способ решения слайд).

После обсуждения данной проблемы на слайде появляется запись:

1 способ: S =S 1 +S 2 +S 3

2 способ: S =S 1 +S ABCD -S OCD

Двое учащихся решают у доски с последующим объяснением решения, остальные учащиеся работают в тетрадях, выбрав один из способов решения (по одному человеку от команды).

Вывод (делают учащиеся): мы нашли два способа решения данной задачи, получив один и тот же результат. Обсудить какой способ проще.

VII . Последний подъем. Кроссворд (слайд)

Все очень устали, но чем ближе к цели, тем задания становятся все легче и легче.

Последний подъем. На слайде кроссворд. Ваша задача – решить его. По очереди каждая команда отгадывает понравившееся слово, записывает ответ.

VШ. Итог урока (слайд).

Описание материала : предлагаю вам конспект урока для старшеклассников по теме: «Первообразная и Интеграл». Данный материал будет полезен педагогам, при обобщении и систематизации знаний, полученных при изучении данного раздела и поможет расширить представления учащихся о практическом значении данной темы.

Тема: «Первообразная и интеграл»

Тип: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма: игра

Цели:

дидактические:

· формирование учебно-познавательной и информационной компетенций, посредством обобщения, систематизации знаний по теме «Первообразная. Интеграл», формирования навыков нахождения площади криволинейной трапеции несколькими способами.

развивающие:

· формирование информационной, общекультурной компетенций через развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческих способностей учащихся, расширение кругозора, развитие математической речи.

воспитательные:

· формирование коммуникативной компетенции и компетенции личностного самосовершенствования, посредством работы над коммуникативными навыками, умением работать в сотрудничестве, над воспитанием таких личностных качеств, как организованность, дисциплинированность.

Средства обучения:

Технические : ПК, проектор, экран.

Ход урока

Подготовительный этап : группа заранее делится на две команды.

I. Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке. Цель нашего урока - обобщить, систематизировать знания по теме « Первообразная и интеграл», подготовиться к предстоящему зачету.

Девиз нашей работы: «Исследуй всё, пусть для тебя на первом месте будет разум» - эти слова принадлежат древнегреческому ученому Пифагору. (слайд)

Мы совершим необычное восхождение на вершину «Пика знаний».

Группа, которая первой достигнет вершины «Пика знаний», станет победителем.

Тема урока: «Первообразная и интеграл» 11 класс (повторение)

Тип урока: урок оценки и коррекции знаний; повторения, обобщения, формирования знаний, умений, навыков.

Девиз урока : Не стыдно не знать, стыдно не учиться.

Цели урока:

Обучающие: повторить теоретический материал; отработать навыки нахождения первообразных, вычисления интегралов и площадей криволинейных трапеций.
Развивающие: развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимание, память.
Воспитательные: воспитание математической культуры учащихся, повышение интереса к изучаемому материалу, осуществление подготовки к ЕНТ.

План конспект урока.

I. Организационный момент

II. Актуализация опорных знаний учащихся.

1.Устная работа с классом на повторение определений и свойств:

1. Что называется криволинейной трапецией?

2. Чему равна первообразная для функции f(х)=х2.

3. В чем заключается признак постоянства функции?

4. Что называется первообразной F(х) для функции f(х) на хI?

5. Чему равна первообразная для функции f(х)=sinx.

6. Верно ли высказывание: «Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных»?

7. В чем заключается основное свойство первообразной?

8. Чему равна первообразная для функции f(х)=.

9. Верно ли высказывание: «Первообразная произведения функций равна произведению их

Первообразных»?

10. Что называется неопределенным интегралом?

11.Что называется определенным интегралом?

12.Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и физике.

Ответы

1. Фигуру, ограниченную графиками функций y=f(x), у=0, х=а, х=b, называют криволинейной трапецией.

2. F(x)=x3/3+С.

3. Если F`(x0)=0 на некотором промежутке, то функция F(x) – постоянная на этом промежутке.

4. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F`(x)=f(x).

5. F(x)= - cosx+C.

6. Да, верно. Это одно из свойств первообразных.

7. Любая первообразная для функции f на заданном промежутке может быть записана в виде

F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на заданном промежутке, а С –

Произвольная постоянная.

9. Нет, не верно. Нет такого свойства первообразных.

10. Если функция у=f(x) имеет на заданном промежутке первообразную у= F(x), то множество всех первообразных у= F(x)+С называют неопределенным интегралом от функции у=f(x).

11. Разность значений первообразной функции в точках b и a для функции у = f (x ) на промежутке [ a ; b ] называется определенным интегралом функции f(x) на промежутке [ a ; b ] .

12..Вычисление площади криволинейной трапеции, объемов тел и вычисление скорости тела в определенный промежуток времени.

Применение интеграла. (дополнительно записать в тетрадях)

Величины

Вычисление производной

Вычисление интеграла

s – перемещение,

А – ускорение

A(t) =

A - работа,

F – сила,

N - мощность

F(x) = A"(x)

N(t) = A"(t)

m – масса тонкого стержня,

Линейная плотность

(x) = m"(x)

q – электрический заряд,

I –сила тока

I(t) = q(t)

Q – количество теплоты

С - теплоемкость

c(t) = Q"(t)

Правила вычисления первообразных

- Если F – первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.

Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.

Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k0, то есть есть первообразная для f(kx+b).

^ 4) - формула Ньютона-Лейбница.

5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на промежутке функций и таких, что для всех x вычисляется по формуле

6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются соответственно по формулам:

Найдите неопределенный интеграл: (устно)

Ответы:

III Решение заданий с классом

1. Вычислите определенный интеграл: (в тетрадях, один учащийся на доске)

Задачи по рисункам с решениями:

№ 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y= x3, y=0, x=-3, x=1.

Решение.

-∫ х3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) | + (x4 /4) | = (-3)4 /4 + 1/4 = 82/4 = 20,5

№3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=x3+1, у=0, x=0

№ 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х2, у=0,

Решение. Сначала построим график, чтобы определить пределы интегрирования. Фигура состоит из двух одинаковых кусочков. Вычисляем площадь той части, что справа от оси у, и удваиваем.

№ 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1+2sin x, у=0, x=0, x=п/2

F(x) = x - 2cosx; S = F(п/2) - F(0) = п/2 -2cos п/2 - (0 - 2cos0) = п/2 + 2

Вычислите площадь криволинейных трапеций, ограниченных графиками известных вам линий.

3. Вычислите по рисункам площади заштрихованных фигур (самостоятельная работа в парах)

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

III Итоги урока.

а) рефлексия: -Какие выводы от урока вы сделали для себя?

Есть ли каждому над чем поработать самостоятельно?

Полезен ли был для вас урок?

б) анализ работы учащихся

в) Дома: повторить, свойства все формулы первообразных, формулы нахождения площади криволинейной трапеции, объемов тел вращения. № 136 (Шыныбеков)

Класс: 11

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Технологическая карта урока алгебры 11 класс.

«Свои способности человек может узнать, только попытавшись приложить их».
Сенека Младший .

Количество часов по разделу: 10 часов.

Тема блока: Первообразная и неопределенный интеграл.

Ведущая тема урока: формирование знаний и обще учебных умений через систему типовых, приближенных и разно - уровненных заданий.

Цели урока:

Образовательные : сформировать и закрепить понятие первообразной, находить первообразные функции разного уровня.
Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, основанную на операциях анализа, сравнениях, обобщения, систематизации.
Воспитательная: формировать мировоззренческие взгляды учащихся, воспитывать от ответственности за полученный результат, чувство успеха.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: словесный, словесно – наглядный, проблемный, эвристический.

Формы обучения: индивидуальная, парная, групповая, обще-классная.

Средства обучения: информационные, компьютерные, эпиграф, раздаточный материал.

Ожидаемые результаты обучения: ученик должен

определение производной
первообразная определяется неоднозначно.

находить первообразные функции в простейших случаях
проверять, является ли первообразная для функции на данном промежутке времени.

СТРУКТУРА УРОКА:

Постановка цели урока(2 мин)
Подготовка к изучению нового материалов(3 мин)
Ознакомление с новым материалом(25 мин)
Первичное осмысление и применение изученного (10 мин)
Постановка домашнего задания(2 мин)
Подведение итогов урока(3 мин)
Резервные задания.

Ход урока

1. Сообщение темы, цели урока, задач и мотивации учебной деятельности.

На доске записи:

***Производная –« производит « на свет новую функцию. Первообразная - первичный образ.

2. Актуализация знаний, систематизация знаний в сравнении.

Дифференцирование-отыскание производной.

Интегрирование - по заданной производной восстановление функции.

Знакомство с новыми символами:

* устные упражнения: вместо точек поставьте какую-нибудь функцию, удовлетворяющую равенству.(см. презентацию) –индивидуальная работа.

(в это время 1 ученик записывает на доске формулы дифференцирования, 2 ученик -правила дифференцирования).

выполняется самопроверка учащимися.(индивидуальная работа)
корректировка знаний учащихся.

3. Изучение нового материала.

А) Взаимно-обратные операции в математике.

Учитель: в математике существуют 2 взаимно-обратные операции в математике. Рассмотрим в сравнении.

Б) Взаимно-обратные операции в физике.

Рассматриваются две взаимно-обратные задачи в разделе механике. Нахождение скорости по заданному уравнению движения материальной точки(нахождение производной функции) и нахождение уравнения траектория движения по известной формуле скорости.

Пример 1 страница 140 – работа с учебником(индивидуальная работа).

Процесс отыскания производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию т.е процесс отыскания функции по заданной производной- интегрированием.

В) Вводится определение первообразной.

Учитель: чтобы задача стала более определенной, нам надо зафиксировать исходную ситуацию.

Задания на формирование умения находить первообразную – работа в группах. (смотри презентацию)

Задания на формирование умения доказывать, что первообразная является для функции на заданном промежутке – парная работа. (смотри презентацию)..

4. Первичное осмысление и применение изученного.

Примеры с решениями» Найти ошибку» - индивидуальная работа.(смотри презентацию)

***выполнение взаимопроверки.

Вывод: при выполнении этих заданий легко заметить, что первообразная определяется неоднозначно.

5. Постановка домашнего задания

Прочитать объяснительный текст глава 4 параграф 20, выучить наизусть определение 1.первообразной, решить № 20.1 -20.5 (в,г)-обязательное задание для всех № 20.6 (б), 20.7 (в,г), 20.8 (б), 20.9 (б)- 4 примера по выбору.

6. Подведение итогов урока.

В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подводятся итоги урока, осознанное осмысление понятие нового материала, можно виде смайликов.

Все понял(а), все успел(а).

Частично не понял(а), не все успел(а).

7. Резервные задания.

В случае досрочного выполнение всем классом предложенных выше заданий для обеспечения занятости и развития наиболее подготовленных учащихся планируется использовать также задачи № 20.6(а), 20.7 (а), 20.9(а)

Литература:

А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Алгебра анализа, профильный уровень, часть 1, часть 2 задачник, Манвелов С. Г. «Основы творческой разработки урока».

11 класс Орлова Е.В.

«Первообразная и неопределённый интеграл»

СЛАЙД 1

Цели урока:

Образовательные : сформировать и закрепить понятие первообразной, находить первообразные функции разного уровня.

Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, основанную на операциях анализа, сравнениях, обобщения, систематизации.

Воспитательная: формировать мировоззренческие взгляды учащихся, воспитывать от ответственности за полученный результат, чувство успеха.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: компьютер, мультимедийная доска.

Ожидаемые результаты обучения: ученик должен

определение производной

первообразная определяется неоднозначно.

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли первообразная для функции на данном промежутке времени.

Ход урока

Организационный момент СЛАЙД 2

Проверка домашнего задания

Сообщение темы, цели урока, задач и мотивации учебной деятельности.

На доске записи:

Производная –производит « на свет новую функцию».

Первообразная – «первичный образ».

4. Актуализация знаний, систематизация знаний в сравнении .

Дифференцирование-отыскание производной.

Интегрирование - по заданной производной восстановление функции.

Знакомство с новыми символами:

5.Устные упражнения: СЛАЙД 3

вместо точек поставьте какую-нибудь функцию, удовлетворяющую равенству.

выполняется самопроверка учащимися.

корректировка знаний учащихся.

5. Изучение нового материала.

А) Взаимно-обратные операции в математике.

Учитель: в математике существуют 2 взаимно-обратные операции в математике. Рассмотрим в сравнении. СЛАЙД 4

Б) Взаимно-обратные операции в физике.

Рассматриваются две взаимно-обратные задачи в разделе механике.

Нахождение скорости по заданному уравнению движения материальной точки(нахождение производной функции) и нахождение уравнения траектория движения по известной формуле скорости.

В) Вводится определение первообразной, неопределённого интеграла

СЛАЙД 5, 6

Учитель: чтобы задача стала более определенной, нам надо зафиксировать исходную ситуацию.

Г) Таблица первообразных СЛАЙД 7

Задания на формирование умения находить первообразную – работа в группах СЛАЙД 8

Задания на формирование умения доказывать, что первообразная является для функции на заданном промежутке – парная работа.

6.Физминутка СЛАЙД 9

7. Первичное осмысление и применение изученного. СЛАЙД 10

8. Постановка домашнего задания СЛАЙД 11

9. Подведение итогов урока. СЛАЙД 12

Все понял(а), все успел(а).

частично не понял(а), не все успел(а).

Разделы