Степени чисел от 2 до 20. Степень и ее свойства
Таблица степеней 2 (двойки) от 0 до 32
Приведенная таблица кроме степени двойки показывает максимальные числа, которые может хранить компьютер для заданного числа бит. Причем как для целых так и чисел со знаком.
Исторически сложилось, что компьютеры используют двоичную систему счисления, а, соответственно, и хранения данных. Таким образом, любое число можно представить как последовательность нулей и единиц (бит информации). Существует несколько способов представления чисел в виде двоичной последовательности.
Рассмотрим наиболее простой из них - это целое положительное число. Тогда чем больше число нам нужно записать, тем более длинная последовательность бит нам необходима.
Ниже представлена таблица степеней числа 2 . Она даст нам представление необходимого числа бит, которое нам необходимо для хранения чисел.
Как пользоваться таблицей степеней числа два ?
Первый столбец - это степень двойки , который одновременно, обозначает число бит, которое представляет число.
Второй столбец - значение двойки в соответствующей степени (n) .
Пример нахождения степени числа 2 . Находим в первом столбце число 7. Смотрим по строке вправо и находим значение два в седьмой степени (2 7 ) - это 128
Третий столбец - максимальное число, которое можно представить с помощью заданного числа бит
(в первом столбце).
Пример определения максимального целого числа без знака . Если использовать данные из предыдущего примера, мы знаем, что 2 7 = 128 . Это верно, если мы хотим понять, какое количество чисел , можно представить с помощью семи бит. Но, поскольку первое число - это ноль , то максимальное число, которое можно представить с помощью семи бит 128 - 1 = 127 . Это и есть значение третьего столбца.
| Степень двойки (n) |
Значение степени двойки 2 n |
Максимальное число без знака, записанное с помощью n бит |
Максимальное число со знаком, записанное с помощью n бит |
| 0 | 1 | - | - |
| 1 | 2 | 1 | - |
| 2 | 4 | 3 | 1 |
| 3 | 8 | 7 | 3 |
| 4 | 16 | 15 | 7 |
| 5 | 32 | 31 | 15 |
| 6 | 64 | 63 | 31 |
| 7 | 128 | 127 | 63 |
| 8 | 256 | 255 | 127 |
| 9 | 512 | 511 | 255 |
| 10 | 1 024 | 1 023 | 511 |
| 11 | 2 048 | 2 047 | 1023 |
| 12 | 40 96 | 4 095 | 2047 |
| 13 | 8 192 | 8 191 | 4095 |
| 14 | 16 384 | 16 383 | 8191 |
| 15 | 32 768 | 32 767 | 16383 |
| 16 | 65 536 | 65 535 | 32767 |
| 17 | 131 072 | 131 071 | 65 535 |
| 18 | 262 144 | 262 143 | 131 071 |
| 19 | 524 288 | 524 287 | 262 143 |
| 20 | 1 048 576 | 1 048 575 | 524 287 |
| 21 | 2 097 152 | 2 097 151 | 1 048 575 |
| 22 | 4 194 304 | 4 194 303 | 2 097 151 |
| 23 | 8 388 608 | 8 388 607 | 4 194 303 |
| 24 | 16 777 216 | 16 777 215 | 8 388 607 |
| 25 | 33 554 432 | 33 554 431 | 16 777 215 |
| 26 | 67 108 864 | 67 108 863 | 33 554 431 |
| 27 | 134 217 728 | 134 217 727 | 67 108 863 |
| 28 | 268 435 456 | 268 435 455 | 134 217 727 |
| 29 | 536 870 912 | 536 870 911 | 268 435 455 |
| 30 | 1 073 741 824 | 1 073 741 823 | 536 870 911 |
| 31 | 2 147 483 648 | 2 147 483 647 | 1 073 741 823 |
| 32 | 4 294 967 296 | 4 294 967 295 | 2 147 483 647 |
Необходимо принять во внимание, что не все числа в компьютере представлены таким образом. Существуют и другие способы представления данных. Например, если мы хотим записывать не только положительные, но и отрицательные числа, то нам потребуется еще один бит для хранения значения "плюс/минус". Таким образом, количество бит, предназначенных для хранения чисел у нас уменьшилось на один. Какое максимальное число может быть записано в виде целого числа со знаком можно посмотреть в четвертом столбце .
Для этого же самого примера (2 7 ) семью битами можно записать максимум число +63 , поскольку один бит занят знаком "плюс". Но мы можем хранить и число "-63 ", что было бы невозможно, если бы все биты были бы зарезервированы под хранение числа.
Давайте рассмотрим последовательность чисел, первое из которых равно 1, а каждое последующее вдвое больше: 1, 2, 4, 8, 16, ... Используя показатели степени, ее можно записать в эквивалентном виде: 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , ... Называется она вполне ожидаемо: последовательность степеней двойки. Казалось бы, ничего выдающегося в ней нет - последовательность как последовательность, не лучше и не хуже других. Тем не менее, она обладает весьма примечательными свойствами.
Несомненно, многие читатели встречали ее в классической истории об изобретателе шахмат, который попросил у правителя в награду за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью - четыре, и так далее, всё время удваивая число зерен. Понятно, что суммарное их количество равно
S = 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)
Но так как эта сумма неимоверно велика и во много раз превосходит годовой урожай зерновых по всему миру, вышло, что мудрец ободрал правителя как липку.
Однако зададимся сейчас другим вопросом: как с наименьшими затратами труда подсчитать величину S ? Обладатели калькулятора (или, паче того, компьютера) вполне могут за обозримое время выполнить перемножения, а затем сложить полученные 64 числа, получив ответ: 18 446 744 073 709 551 615. А поскольку объем вычислений немалый, то и вероятность ошибки весьма велика.
Кто похитрей, могут углядеть в этой последовательности геометрическую прогрессию . Не знакомые же с этим понятием (или те, кто попросту забыл стандартную формулу суммы геометрической прогрессии) могут использовать следующие рассуждения. Давайте-ка умножим обе части равенства (1) на 2. Так как при удвоении степени двойки ее показатель увеличивается на 1, то получим
2S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)
Теперь из (2) вычтем (1). В левой части, понятное дело, получится 2S – S = S . В правой же части произойдет массовое взаимное уничтожение почти всех степеней двойки - от 2 1 до 2 63 включительно, и останется лишь 2 64 – 2 0 = 2 64 – 1. Итак:
S = 2 64 – 1.
Что ж, выражение заметно упростилось, и теперь, имея калькулятор, позволяющий возводить в степень, можно найти значение этой величины без малейших проблем.
А если и калькулятора нет - как быть? Перемножать в столбик 64 двойки? Еще чего не хватало! Опытный инженер или математик-прикладник, для которого главный фактор - время, сумел бы быстро оценить ответ, т.е. найти его приближенно с приемлемой точностью. Как правило, в быту (да и в большинстве естественных наук) вполне допустима погрешность в 2–3%, а если она не превосходит 1% - то это просто великолепно! Оказывается, подсчитать наши зерна с такой погрешностью можно вообще без калькулятора, и всего за несколько минут. Как? Сейчас увидите.
Итак, надо возможно точней найти произведение 64 двоек (единицу в силу ее ничтожности отбросим сразу). Разобьем их на отдельную группу из 4 двоек и еще на 6 групп по 10 двоек. Произведение двоек в отдельной группе равно 2 4 = 16. А произведение 10 двоек в каждой из остальных групп равно 2 10 = 1024 (убедитесь, кто сомневается!). Но 1024 - это около 1000, т.е. 10 3 . Поэтому S должно быть близко к произведению числа 16 на 6 чисел, каждое из которых равно 10 3 , т.е. S ≈ 16·10 18 (ибо 18 = 3·6). Правда, погрешность здесь все же великовата: ведь 6 раз при замене 1024 на 1000 мы ошибались в 1,024 раза, а всего мы ошиблись, как легко видеть, в 1,024 6 раз. Так что теперь - дополнительно перемножать 1,024 шесть раз само на себя? Нет уж, обойдемся! Известно, что для числа х , которое во много раз меньше 1, с высокой точностью справедлива следующая приближенная формула: (1 + x ) n ≈ 1 + xn .
Поэтому 1,024 6 = (1 + 0,24) 6 ≈ 1 + 0,24·6 = 1,144. Посему надо найденное нами число 16·10 18 умножить на число 1,144, в результате чего получится 18 304 000 000 000 000 000, а это отличается от правильного ответа менее чем на 1%. Чего мы и добивались!
В данном случае нам крупно повезло: одна из степеней двойки (а именно - десятая) оказалась весьма близка к одной из степеней десятки (а именно - третьей). Это позволяет нам быстро оценивать значение любой степени двойки, не обязательно 64-й. Среди степеней других чисел подобное встречается нечасто. Например, 5 10 отличается от 10 7 также в 1,024 раза, но... в меньшую сторону. Впрочем, это того же поля ягода: поскольку 2 10 ·5 10 = 10 10 , то во сколько раз 2 10 превосходит 10 3 , во столько же раз 5 10 меньше , чем 10 7 .
Другая интересная особенность рассматриваемой последовательности заключается в том, что любое натуральное число можно построить из различных степеней двойки, причем единственным способом. Например, для номера текущего года имеем
2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .
Доказать эти возможность и единственность не составляет особого труда. Начнем с возможности. Пусть нам надо представить в виде суммы различных степеней двойки некоторое натуральное число N . Сначала запишем его в виде суммы N единиц. Так как единица - это 2 0 , то первоначально N есть сумма одинаковых степеней двойки. Затем начнем объединять их по парам. Сумма двух чисел, равных 2 0 , - это 2 1 , так что в результате получится заведомо меньшее количество слагаемых, равных 2 1 , и, возможно, одно число 2 0 , если ему не нашлось пары. Далее попарно объединяем одинаковые слагаемые 2 1 , получая еще меньшее количество чисел 2 2 (здесь тоже возможно появление непарной степени двойки 2 1). Затем снова объединяем равные слагаемые попарно, и так далее. Рано или поздно процесс завершится, ибо количество одинаковых степеней двойки после каждого объединения уменьшается. Когда оно станет равным 1 - дело кончено. Осталось сложить все получившиеся непарные степени двойки - и представление готово.
Что касается доказательства единственности представления, то здесь хорошо подходит метод «от противного». Пусть одно и то же число N удалось представить в виде двух наборов различных степеней двойки, которые не полностью совпадают (т. е. имеются степени двойки, входящие в один набор, но не входящие в другой, и наоборот). Для начала отбросим все совпадающие степени двойки из обоих наборов (если таковые имеются). Получатся два представления одного и того же числа (меньшего или равного N ) в виде суммы различных степеней двойки, причем все степени в представлениях различны . В каждом из представлений выделим наибольшую степень. В силу изложенного выше, для двух представлений эти степени различны . То представление, для которого эта степень больше, назовем первым , другое - вторым . Итак, пусть в первом представлении наибольшая степень равна 2 m , тогда во втором она, очевидно, не превышает 2 m –1 . Но поскольку (и мы с этим уже сталкивались выше, подсчитывая зерна на шахматной доске) справедливо равенство
2 m = (2 m –1 + 2 m –2 + ... + 2 0) + 1,
то 2 m строго больше суммы всех степеней двойки, не превосходящих 2 m –1 . По этой причине уже наибольшая степень двойки, входящая в первое представление, наверняка больше суммы всех степеней двойки, входящих во второе представление. Противоречие!
Фактически мы только что обосновали возможность записи чисел в двоичной системе счисления. Как известно, в ней используются лишь две цифры - ноль и единица, и каждое натуральное число записывается в двоичной системе единственным способом (например, упомянутое выше 2012 - как 11 111 011 100). Если пронумеровать разряды (двоичные цифры) справа налево, начиная с нуля, то номера тех разрядов, в которых стоят единицы, как раз и будут показателями степеней двоек, входящих в представление.
Менее известно следующее свойство множества целых неотрицательных степеней двойки. Давайте некоторым из них произвольным образом присвоим знак «минус», т. е. из положительных сделаем отрицательными. Единственное требование - чтобы в результате и положительных, и отрицательных чисел оказалось бесконечное количество. Например, можно присвоить знак «минус» каждой пятой степени двойки или, допустим, оставить положительными только числа 2 10 , 2 100 , 2 1000 , и так далее - вариантов здесь сколько угодно.
Как ни удивительно, но любое целое число можно (и притом единственным способом) представить в виде суммы различных слагаемых нашей «положительно-отрицательной» последовательности. И доказать это не очень-то сложно (например, индукцией по показателям степеней двоек). Главная идея доказательства - наличие сколь угодно больших по абсолютной величине как положительных, так и отрицательных слагаемых. Попробуйте выполнить доказательство сами.
Интересно понаблюдать за последними цифрами членов последовательности степеней двойки. Так как каждое последующее число последовательности получается удвоением предыдущего, то последняя цифра каждого из них полностью определяется последней цифрой предыдущего числа. А так как различных цифр ограниченное количество, последовательность последних цифр степеней двойки просто обязана быть периодической! Длина периода, естественно, не превышает 10 (поскольку именно столько цифр мы используем), но это сильно завышенное значение. Попробуем оценить его, не выписывая пока саму последовательность. Ясно, что последние цифры всех степеней двойки, начиная с 2 1 , четные . Кроме того, среди них не может быть нуля - потому что число, оканчивающееся нулем, делится на 5, в чем заподозрить степени двойки никак нельзя. А так как четных цифр без нуля имеется всего четыре, то и длина периода не превосходит 4.
Проверка показывает, что так оно и есть, причем периодичность проявляется почти сразу: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - в полном соответствии с теорией!
Не менее успешно можно оценить и длину периода последней пары цифр последовательности степеней двойки. Так как все степени двойки, начиная с 2 2 , делятся на 4, то и числа, образованные их последними двумя цифрами, делятся на 4. Не более чем двузначных чисел, делящихся на 4, имеется всего 25 (для однозначных чисел предпоследней цифрой считаем ноль), но из них надо выбросить пять чисел, оканчивающихся нулем: 00, 20, 40, 60 и 80. Так что период может содержать не более 25 – 5 = 20 чисел. Проверка показывает, что так и есть, начинается период с числа 2 2 и содержит пары цифр: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, а затем опять 04 и так далее.
Аналогично можно доказать, что длина периода последних m цифр последовательности степеней двойки не превышает 4·5 m –1 (более того - на самом деле она равна 4·5 m –1 , но доказать это значительно сложнее).
Итак, на последние цифры степеней двойки наложены довольно жесткие ограничения. А как насчет первых цифр? Здесь ситуация практически противоположная. Оказывается, для любого набора цифр (первая из которых - не ноль) найдется степень двойки, начинающаяся с этого набора цифр. И таких степеней двойки бесконечно много! Например, существует бесконечное количество степеней двойки, начинающихся с цифр 2012 или, скажем, 3 333 333 333 333 333 333 333.
А если рассмотреть только одну самую первую цифру различных степеней двойки - какие значения она может принимать? Нетрудно убедиться, что любые - от 1 до 9 включительно (нуля среди них, естественно, нет). Но какие из них встречаются чаще, а какие реже? Как-то сразу не видно причин, по которым одна цифра должна встречаться чаще другой. Однако более глубокие размышления показывают, что как раз равной встречаемости цифр ожидать не приходится. Действительно, если первая цифра какой-либо степени двойки есть 5, 6, 7, 8 или 9, то первая цифра следующей за ней степени двойки будет обязательно единицей! Поэтому должен иметь место «перекос», по крайней мере, в сторону единицы. Следовательно, вряд ли и остальные цифры будут «равнопредставленными».
Практика (а именно - прямой компьютерный расчет для первых нескольких десятков тысяч степеней двойки) подтверждает наши подозрения. Вот какова относительная доля первых цифр степеней двойки с округлением до 4 знаков после запятой:
1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458
Как видим, с ростом цифр эта величина убывает (и потому та же единица примерно в 6,5 раз чаще бывает первой цифрой степеней двойки, чем девятка). Как ни покажется странным, но практически такое же соотношение количеств первых цифр будет иметь место почти для любой последовательности степеней - не только двойки, но, скажем, и тройки, пятерки, восьмерки и вообще почти любого числа, в том числе и нецелого (исключение составляют лишь некоторые «особые» числа). Причины этого весьма глубоки и непросты, и для их уяснения надо знать логарифмы. Для тех, кто с ними знаком, приоткроем завесу: оказывается, относительная доля степеней двойки , десятичная запись которых начинается с цифры F (для F = 1, 2, ..., 9), составляет lg (F + 1) – lg (F ), где lg - так называемый десятичный логарифм, равный показателю степени, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.
Используя упомянутую выше связь между степенями двойки и пятерки, А. Канель обнаружил интересное явление. Давайте из последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) выберем несколько цифр подряд и запишем их в обратном порядке. Оказывается, эти цифры непременно встретятся тоже подряд , начиная с некоторого места, в последовательности первых цифр степеней пятерки.
Степени двойки также являются своеобразным «генератором» для производства широко известных совершенных чисел , которые равны сумме всех своих делителей, за исключением себя самого. Например, у числа 6 четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Отбросим тот, который равен самому числу 6. Осталось три делителя, сумма которых как раз равна 1 + 2 + 3 = 6. Поэтому 6 - совершенное число.
Для получения совершенного числа возьмем две последовательные степени двойки: 2 n –1 и 2 n . Уменьшим большую из них на 1, получим 2 n – 1. Оказывается, если это - простое число, то, домножив его на предыдущую степень двойки, мы образуем совершенное число 2 n –1 (2 n – 1). Например, при п = 3 получаем исходные числа 4 и 8. Так как 8 – 1 = 7 - простое число, то 4·7 = 28 - совершенное число. Более того - в свое время Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют именно такой вид. Нечетные совершенные числа пока не обнаружены (и мало кто верит в их существование).
Тесную связь имеют степени двойки с так называемыми числами Каталана , последовательность которых имеет вид 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429... Они часто возникают при решении различных комбинаторных задач. Например, сколькими способами можно разбить выпуклый n -угольник на треугольники непересекающимися диагоналями? Всё тот же Эйлер выяснил, что это значение равно (n – 1)-му числу Каталана (обозначим его K n –1), и он же выяснил, что K n = K n –1 ·(4n – 6)/n . Последовательность чисел Каталана имеет множество любопытных свойств, и одно из них (как раз связанное с темой этой статьи) заключается в том, что порядковые номера всех нечетных чисел Каталана являются степенями двойки!
Степени двойки нередко встречаются в различных задачах, причем не только в условиях, но и в ответах. Возьмем, например, популярную когда-то (да и поныне не забытую) Ханойскую башню . Так называлась игра-головоломка, придуманная в XIX веке французским математиком Э. Люка. Она содержит три стержня, на один из которых надето n дисков с отверстием в середине каждого. Диаметры всех дисков различны, и они расположены в порядке убывания снизу вверх, т. е. самый большой диск - внизу (см. рисунок). Получилась как бы башня из дисков.
Требуется перенести эту башню на другой стержень, соблюдая такие правила: перекладывать диски строго по одному (снимая верхний диск с любого стержня) и всегда класть только меньший диск на больший, но не наоборот. Спрашивается: какое наименьшее число ходов для этого потребуется? (Ходом мы называем снятие диска с одного стержня и надевание его на другой.) Ответ: оно равно 2 n – 1, что легко доказывается по индукции.
Пусть для n дисков потребное наименьшее число ходов равно X n . Найдем X n +1 . В процессе работы рано или поздно придется снимать самый большой диск со стержня, на который первоначально были надеты все диски. Так как этот диск можно надевать только на пустой стержень (иначе он «придавит» меньший диск, что запрещено), то все верхние n дисков придется предварительно перенести на третий стержень. Для этого потребуется не меньше X n ходов. Далее переносим наибольший диск на пустой стержень - вот еще один ход. Наконец, чтобы сверху его «притиснуть» меньшими n дисками, опять потребуется не меньше X n ходов. Итак, X n +1 ≥ X n + 1 + X n = 2X n + 1. С другой стороны, описанные выше действия показывают, как можно справиться с задачей именно 2X n + 1 ходами. Поэтому окончательно X n +1 =2X n + 1. Получено рекуррентное соотношение, но для того чтобы его привести к «нормальному» виду, надо еще найти X 1 . Ну, это проще простого: X 1 = 1 (меньше просто не бывает!). Не составляет труда, основываясь на этих данных, выяснить, что X n = 2 n – 1.
Вот еще одна интересная задача:
Найдите все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел.
Давайте проверим сначала наименьшие числа. Ясно, что число 1 в указанном виде непредставимо. Зато все нечетные, которые больше 1, представить, конечно, можно. В самом деле, любое нечетное число, большее 1, можно записать как 2k + 1 (k - натуральное), что есть сумма двух последовательных натуральных чисел: 2k + 1 = k + (k + 1).
А как обстоят дела с четными числами? Легко убедиться, что числа 2 и 4 нельзя представить в требуемом виде. Может, и для всех четных чисел так? Увы, следующее же четное число опровергает наше предположение: 6 = 1 + 2 + 3. Зато число 8 опять не поддается. Правда, следующие числа вновь уступают натиску: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, а вот 16 - вновь непредставимо.
Что ж, накопленная информация позволяет сделать предварительные выводы. Обратите внимание: не удалось представить в указанном виде только степени двойки . Верно ли это для остальных чисел? Оказывается, да! В самом деле, рассмотрим сумму всех натуральных чисел от m до n включительно. Так как всего их, по условию, не меньше двух, то n > m . Как известно, сумма последовательных членов арифметической прогрессии (а ведь именно с ней мы имеем дело!) равна произведению полусуммы первого и последнего членов на их количество. Полусумма равна (n + m )/2, а количество чисел равно n – m + 1. Поэтому сумма равна (n + m )(n – m + 1)/2. Заметим, что в числителе находятся два сомножителя, каждый из которых строго больше 1, и при этом четность их - различна. Выходит, что сумма всех натуральных чисел от m до n включительно делится на нечетное число, большее 1, и потому не может быть степенью двойки. Так что теперь понятно, почему не удалось представить степени двойки в нужном виде.
Осталось убедиться, что не степени двойки представить можно. Что касается нечетных чисел, то с ними мы уже разобрались выше. Возьмем какое-либо четное число, не являющееся степенью двойки. Пусть наибольшая степень двойки, на которую оно делится, это 2 a (a - натуральное). Тогда если число поделить на 2 a , получится уже нечетное число, большее 1, которое мы запишем в знакомом виде - как 2k + 1 (k - тоже натуральное). Значит, в целом наше четное число, не являющееся степенью двойки, равно 2 a (2k + 1). А теперь рассмотрим два варианта:
- 2 a +1 > 2k + 1. Возьмем сумму 2k + 1 последовательных натуральных чисел, среднее из которых равно 2 a . Легко видеть, что тогда наименьшее из них равно 2 a – k , а наибольшее равно 2 a + k , причем наименьшее (и, значит, все остальные) - положительное, т. е. действительно натуральное. Ну, а сумма, очевидно, составляет как раз 2 a (2k + 1).
- 2 a +1 < 2k + 1. Возьмем сумму 2 a +1 последовательных натуральных чисел. Здесь нельзя указать среднее число, ибо количество чисел четное, но указать пару средних чисел можно: пусть это числа k и k + 1. Тогда наименьшее из всех чисел равно k + 1 – 2 a (и тоже положительное!), а наибольшее равно k + 2 a . Сумма их тоже равна 2 a (2k + 1).
Вот и всё. Итак, ответ: непредставимые числа - это степени двойки, и только они.
А вот еще одна задача (впервые ее предложил В. Произволов, но в несколько иной формулировке):
Садовый участок окружен сплошным забором из N досок. Согласно приказу тети Полли Том Сойер белит забор, но по собственной системе: продвигаясь всё время по часовой стрелке, сначала белит произвольную доску, затем пропускает одну доску и белит следующую, затем пропускает две доски и белит следующую, затем пропускает три доски и белит следующую, и так далее, каждый раз пропуская на одну доску больше (при этом некоторые доски могут быть побелены несколько раз - Тома это не смущает).
Том считает, что при такой схеме рано или поздно все доски будут побелены, а тетя Полли уверена, что хотя бы одна доска останется непобеленной, сколько бы Том ни работал. При каких N прав Том, а при каких - тетя Полли?
Описанная система побелки представляется довольно хаотичной, поэтому первоначально может показаться, что для любого (или почти любого) N каждой доске когда-нибудь достанется своя доля известки, т. е., в основном , прав Том. Но первое впечатление обманчиво, потому что на самом деле Том прав только для значений N , являющихся степенями двойки. Для остальных N найдется доска, которая так и останется навеки непобеленной. Доказательство этого факта довольно громоздко (хотя, в принципе, несложно). Предлагаем читателю выполнить его самому.
Вот каковы они - степени двойки. С виду - проще простого, а как копнешь... И затронули мы здесь далеко не все удивительные и загадочные свойства этой последовательности, а лишь те, что бросились в глаза. Ну, а читателю предоставляется право самостоятельно продолжить исследования в этой области. Несомненно, они окажутся плодотворными.
Нулевое
их количество).
И не только двойки, как было отмечено ранее!
Жаждущие подробностей могут прочесть статью В. Болтянского «Часто ли степени двойки начинаются с единицы?» («Квант» №5 за 1978 г.), а также статью В. Арнольда «Статистика первых цифр степеней двойки и передел мира» («Квант» №1 за 1998 г.).
См. задачу М1599 из «Задачника «Кванта» («Квант» №6 за 1997 г.).
В настоящее время известны 43 совершенных числа, наибольшее из которых равно 2 30402456 (2 30402457 – 1). Оно содержит свыше 18 миллионов
цифр.
Калькулятор помогает быстро возвести число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые числа (как целые, так и вещественные). Показатель степени также может быть целым или вещественным, и также как положительным, так и отрицательным. Следует помнить, что для отрицательных чисел возведение в нецелую степень не определено и потому калькулятор сообщит об ошибке в случае, если вы всё же попытаетесь это выполнить.
Калькулятор степеней
Возвести в степень
Возведений в степень: 92067
Что такое натуральная степень числа?
Число p называют n -ой степенью числа a , если p равно числу a , умноженному само на себя n раз: p = a n = a·...·a
n - называется показателем степени
, а число a - основанием степени
.
Как возвести число в натуральную степень?
Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:
Пример 1
. Возвести число три в четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 3 4
Решение
: как было сказано выше, 3 4 = 3·3·3·3 = 81 .
Ответ
: 3 4 = 81 .
Пример 2
. Возвести число пять в пятую степень. То есть необходимо вычислить 5 5
Решение
: аналогично, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125 .
Ответ
: 5 5 = 3125 .
Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз.
Что такое отрицательная степень числа?
Отрицательная степень -n числа a - это единица, поделённая на a в степени n: a -n = .При этом отрицательная степень существует только для отличных от нуля чисел, так как в противном случае происходило бы деление на ноль.
Как возвести число в целую отрицательную степень?
Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат.
Пример 1 . Возвести число два в минус четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 2 -4
Решение : как было сказано выше, 2 -4 = = = 0.0625 .Ответ : 2 -4 = 0.0625 .
Если говорить просто, то это овощи, приготовленные в воде по специальному рецепту. Я буду рассматривать два исходных компонента (овощной салат и воду) и готовый результат - борщ. Геометрически это можно представить как прямоугольник, в котором одна сторона обозначает салат, вторая сторона обозначает воду. Сумма этих двух сторон будет обозначать борщ. Диагональ и площадь такого "борщевого" прямоугольника являются чисто математическими понятиями и никогда не используются в рецептах приготовления борща.
Как салат и вода превращаются в борщ с точки зрения математики? Как сумма двух отрезков может превратиться в тригонометрию? Чтобы понять это, нам понадобятся линейные угловые функции.
В учебниках математики вы ничего не найдете о линейных угловых функциях. А ведь без них не может быть математики. Законы математики, как и законы природы, работают независимо от того, знаем мы о их существовании или нет.
Линейные угловые функции - это законы сложения. Посмотрите, как алгебра превращается в геометрию, а геометрия превращается в тригонометрию.
Можно ли обойтись без линейных угловых функций? Можно, ведь математики до сих пор без них обходятся. Хитрость математиков заключается в том, что они всегда рассказывают нам только о тех задачах, которые они сами умеют решать, и никогда не рассказывают о тех задачах, которые они решать не умеют. Смотрите. Если нам известен результат сложения и одно слагаемое, для поиска другого слагаемого мы используем вычитание. Всё. Других задач мы не знаем и решать не умеем. Что делать в том случае, если нам известен только результат сложения и не известны оба слагаемые? В этом случае результат сложения нужно разложить на два слагаемых при помощи линейных угловых функций. Дальше мы уже сами выбираем, каким может быть одно слагаемое, а линейные угловые функции показывают, каким должно быть второе слагаемое, чтобы результат сложения был именно таким, какой нам нужен. Таких пар слагаемых может быть бесконечное множество. В повседневной жизни мы прекрасно обходимся без разложения суммы, нам достаточно вычитания. А вот при научных исследованиях законов природы разложение суммы на слагаемые очень может пригодиться.
Ещё один закон сложения, о котором математики не любят говорить (ещё одна их хитрость), требует, чтобы слагаемые имели одинаковые единицы измерения. Для салата, воды и борща это могут быть единицы измерения веса, объема, стоимости или единицы измерения.
На рисунке показаны два уровня различий для математических . Первый уровень - это различия в области чисел, которые обозначены a , b , c . Это то, чем занимаются математики. Второй уровень - это различия в области единиц измерения, которые показаны в квадратных скобках и обозначены буквой U . Этим занимаются физики. Мы же можем понимать третий уровень - различия в области описываемых объектов. Разные объекты могут иметь одинаковое количество одинаковых единиц измерения. Насколько это важно, мы можем увидеть на примере тригонометрии борща. Если мы добавим нижние индексы к одинаковому обозначению единиц измерения разных объектов, мы сможем точно говорить, какая математическая величина описывает конкретный объект и как она изменяется с течением времени или в связи с нашими действиями. Буквой W я обозначу воду, буквой S обозначу салат и буквой B - борщ. Вот как будут выглядеть линейные угловые функции для борща.
Если мы возьмем какую-то часть воды и какую-то часть салата, вместе они превратятся в одну порцию борща. Здесь я предлагаю вам немного отвлечься от борща и вспомнить далекое детство. Помните, как нас учили складывать вместе зайчиков и уточек? Нужно было найти, сколько всего зверушек получится. Что же нас тогда учили делать? Нас учили отрывать единицы измерения от чисел и складывать числа. Да, одно любое число можно сложить с другим любым числом. Это прямой путь к аутизму современной математики - мы делаем непонятно что, непонятно зачем и очень плохо понимаем, как это относится к реальности, ведь из трех уровней различия математики оперируют только одним. Более правильно будет научиться переходить от одних единиц измерения к другим.
И зайчиков, и уточек, и зверушек можно посчитать в штуках. Одна общая единица измерения для разных объектов позволяет нам сложить их вместе. Это детский вариант задачи. Давайте посмотрим на похожую задачу для взрослых. Что получится, если сложить зайчиков и деньги? Здесь можно предложить два варианта решения.
Первый вариант . Определяем рыночную стоимость зайчиков и складываем её с имеющейся денежной суммой. Мы получили общую стоимость нашего богатства в денежном эквиваленте.
Второй вариант . Можно количество зайчиков сложить с количеством имеющихся у нас денежных купюр. Мы получим количество движимого имущества в штуках.
Как видите, один и тот же закон сложения позволяет получить разные результаты. Всё зависит от того, что именно мы хотим знать.
Но вернемся к нашему борщу. Теперь мы можем посмотреть, что будет происходить при разных значениях угла линейных угловых функций.
Угол равен нулю. У нас есть салат, но нет воды. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща также равно нулю. Это совсем не значит, что ноль борща равен нулю воды. Ноль борща может быть и при нуле салата (прямой угол).
Лично для меня, это основное математическое доказательство того факта, что . Ноль не изменяет число при сложении. Это происходит потому, что само сложение невозможно, если есть только одно слагаемое и отсутствует второе слагаемое. Вы к этому можете относиться как угодно, но помните - все математические операции с нулем придумали сами математики, поэтому отбрасывайте свою логику и тупо зубрите определения, придуманные математиками: "деление на ноль невозможно", "любое число, умноженное на ноль, равняется нулю", "за выколом точки ноль" и прочий бред. Достаточно один раз запомнить, что ноль не является числом, и у вас уже никогда не возникнет вопрос, является ноль натуральным числом или нет, потому что такой вопрос вообще лишается всякого смысла: как можно считать числом то, что числом не является. Это всё равно, что спрашивать, к какому цвету отнести невидимый цвет. Прибавлять ноль к числу - это то же самое, что красить краской, которой нет. Сухой кисточкой помахали и говорим всем, что " мы покрасили". Но я немного отвлекся.
Угол больше нуля, но меньше сорока пяти градусов. У нас много салата, но мало воды. В результате мы получим густой борщ.
Угол равен сорок пять градусов. Мы имеем в равных количествах воду и салат. Это идеальный борщ (да простят меня повара, это просто математика).
Угол больше сорока пяти градусов, но меньше девяноста градусов. У нас много воды и мало салата. Получится жидкий борщ.
Прямой угол. У нас есть вода. От салата остались только воспоминания, поскольку угол мы продолжаем измерять от линии, которая когда-то обозначала салат. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща равно нулю. В таком случае, держитесь и пейте воду, пока она есть)))
Вот. Как-то так. Я могу здесь рассказать и другие истории, которые будут здесь более чем уместны.
Два друга имели свои доли в общем бизнесе. После убийства одного из них, всё досталось другому.
Появление математики на нашей планете.
Все эти истории на языке математики рассказаны при помощи линейных угловых функций. Как-нибудь в другой раз я покажу вам реальное место этих функций в структуре математики. А пока, вернемся к тригонометрии борща и рассмотрим проекции.
суббота, 26 октября 2019 г.
среда, 7 августа 2019 г.
Завершая разговор о , нужно рассмотреть бесконечное множество. Дало в том, что понятие "бесконечность" действует на математиков, как удав на кролика. Трепетный ужас перед бесконечностью лишает математиков здравого смысла. Вот пример:
Первоисточник находится . Альфа обозначает действительное число. Знак равенства в приведенных выражениях свидетельствует о том, что если к бесконечности прибавить число или бесконечность, ничего не изменится, в результате получится такая же бесконечность. Если в качестве примера взять бесконечное множество натуральных чисел, то рассмотренные примеры можно представить в таком виде:
Для наглядного доказательства своей правоты математики придумали много разных методов . Лично я смотрю на все эти методы, как на пляски шаманов с бубнами. По существу, все они сводятся к тому, что либо часть номеров не занята и в них заселяются новые гости, либо к тому, что часть посетителей вышвыривают в коридор, чтобы освободить место для гостей (очень даже по-человечески). Свой взгляд на подобные решения я изложил в форме фантастического рассказа о Блондинке. На чем основываются мои рассуждения? Переселение бесконечного количества посетителей требует бесконечно много времени. После того, как мы освободили первую комнату для гостя, один из посетителей всегда будет идти по коридору из своего номера в соседний до скончания века. Конечно, фактор времени можно тупо игнорировать, но это уже будет из разряда "дуракам закон не писан". Всё зависит от того, чем мы занимаемся: подгоняем реальность под математические теории или наоборот.
Что же такое "бесконечная гостиница"? Бесконечная гостиница - это гостиница, в которой всегда есть любое количество свободных мест, независимо от того, сколько номеров занято. Если все номера в бесконечном коридоре "для посетителей" заняты, есть другой бесконечный коридор с номерами "для гостей". Таких коридоров будет бесконечное множество. При этом у "бесконечной гостиницы" бесконечное количество этажей в бесконечном количестве корпусов на бесконечном количестве планет в бесконечном количестве вселенных, созданных бесконечным количеством Богов. Математики же не способны отстраниться от банальных бытовых проблем: Бог-Аллах-Будда - всегда только один, гостиница - она одна, коридор - только один. Вот математики и пытаются подтасовывать порядковые номера гостиничных номеров, убеждая нас в том, что можно "впихнуть невпихуемое".
Логику своих рассуждений я вам продемонстрирую на примере бесконечного множества натуральных чисел. Для начала нужно ответить на очень простой вопрос: сколько множеств натуральных чисел существует - одно или много? Правильного ответа на это вопрос не существует, поскольку числа придумали мы сами, в Природе чисел не существует. Да, Природа отлично умеет считать, но для этого она использует другие математические инструменты, не привычные для нас. Как Природа считает, я вам расскажу в другой раз. Поскольку числа придумали мы, то мы сами будем решать, сколько множеств натуральных чисел существует. Рассмотрим оба варианта, как и подобает настоящим ученым.
Вариант первый. "Пусть нам дано" одно-единственное множество натуральных чисел, которое безмятежно лежит на полочке. Берем с полочки это множество. Всё, других натуральных чисел на полочке не осталось и взять их негде. Мы не можем к этому множеству прибавить единицу, поскольку она у нас уже есть. А если очень хочется? Без проблем. Мы можем взять единицу из уже взятого нами множества и вернуть её на полочку. После этого мы можем взять с полочки единицу и прибавить её к тому, что у нас осталось. В результате мы снова получим бесконечное множество натуральных чисел. Записать все наши манипуляции можно так:
Я записал действия в алгебраической системе обозначений и в системе обозначений, принятой в теории множеств, с детальным перечислением элементов множества. Нижний индекс указывает на то, что множество натуральных чисел у нас одно и единственное. Получается, что множество натуральных чисел останется неизменным только в том случае, если из него вычесть единицу и прибавить эту же единицу.
Вариант второй. У нас на полочке лежит много разных бесконечных множеств натуральных чисел. Подчеркиваю - РАЗНЫХ, не смотря на то, что они практически не отличимы. Берем одно из этих множеств. Потом из другого множества натуральных чисел берем единицу и прибавляем к уже взятому нами множеству. Мы можем даже сложить два множества натуральных чисел. Вот что у нас получится:
Нижние индексы "один" и "два" указывают на то, что эти элементы принадлежали разным множествам. Да, если к бесконечному множеству прибавить единицу, в результате получится тоже бесконечное множество, но оно не будет таким же, как первоначальное множество. Если к одному бесконечному множеству прибавить другое бесконечное множество, в результате получится новое бесконечное множество, состоящее из элементов первых двух множеств.
Множество натуральных чисел используется для счета так же, как линейка для измерений. Теперь представьте, что к линейке вы добавили один сантиметр. Это уже будет другая линейка, не равная первоначальной.
Вы можете принимать или не принимать мои рассуждения - это ваше личное дело. Но если когда-то вы столкнетесь с математическими проблемами, задумайтесь, не идете ли вы по тропе ложных рассуждений, протоптанной поколениями математиков. Ведь занятия математикой, прежде всего, формируют у нас устойчивый стереотип мышления, а уже потом добавляют нам умственных способностей (или наоборот, лишают нас свободомыслия).
pozg.ru
воскресенье, 4 августа 2019 г.
Дописывал постскриптум к статье о и увидел в Википедии этот замечательный текст:
Читаем: "... богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приемов, лишенных общей системы и доказательной базы."
Вау! Какие мы умные и как хорошо можем видеть недостатки других. А слабо нам посмотреть на современную математику в таком же разрезе? Слегка перефразируя приведенный текст, лично у меня получилось следующее:
Богатая теоретическая основа современной математики не имеет целостного характера и сводится к набору разрозненных разделов, лишенных общей системы и доказательной базы.
За подтверждением своих слов я далеко ходить не буду - имеет язык и условные обозначения, отличные от языка и условных обозначений многих других разделов математики. Одни и те же названия в разных разделах математики могут иметь разный смысл. Наиболее очевидным ляпам современной математики я хочу посвятить целый цикл публикаций. До скорой встречи.
суббота, 3 августа 2019 г.
Как разделить множество на подмножества? Для этого необходимо ввести новую единицу измерения, присутствующую у части элементов выбранного множества. Рассмотрим пример.
Пусть у нас есть множество А , состоящее из четырех человек. Сформировано это множество по признаку "люди" Обозначим элементы этого множества через букву а , нижний индекс с цифрой будет указывать на порядковый номер каждого человека в этом множестве. Введем новую единицу измерения "половой признак" и обозначим её буквой b . Поскольку половые признаки присущи всем людям, умножаем каждый элемент множества А на половой признак b . Обратите внимание, что теперь наше множество "люди" превратилось в множество "люди с половыми признаками". После этого мы можем разделить половые признаки на мужские bm и женские bw половые признаки. Вот теперь мы можем применить математический фильтр: выбираем один из этих половых признаков, безразлично какой - мужской или женский. Если он присутствует у человека, тогда умножаем его на единицу, если такого признака нет - умножаем его на ноль. А дальше применяем обычную школьную математику. Смотрите, что получилось.
После умножения, сокращений и перегруппировок, мы получили два подмножества: подмножество мужчин Bm и подмножество женщин Bw . Приблизительно так же рассуждают математики, когда применяют теорию множеств на практике. Но в детали они нас не посвящают, а выдают готовый результат - "множество людей состоит из подмножества мужчин и подмножества женщин". Естественно, у вас может возникнуть вопрос, насколько правильно применена математика в изложенных выше преобразованиях? Смею вас заверить, по сути преобразований сделано всё правильно, достаточно знать математическое обоснование арифметики, булевой алгебры и других разделов математики. Что это такое? Как-нибудь в другой раз я вам об этом расскажу.
Что касается надмножеств, то объединить два множества в одно надмножество можно, подобрав единицу измерения, присутствующую у элементов этих двух множеств.
Как видите, единицы измерения и обычная математика превращают теорию множеств в пережиток прошлого. Признаком того, что с теорией множеств не всё в порядке, является то, что для теории множеств математики придумали собственный язык и собственные обозначения. Математики поступили так, как когда-то поступали шаманы. Только шаманы знают, как "правильно" применять их "знания". Этим "знаниям" они обучают нас.
В заключение, я хочу показать вам, как математики манипулируют с .
понедельник, 7 января 2019 г.
В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.
С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.
Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".
Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:
За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.
Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.
Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.
В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
Покажу процесс на примере. Отбираем "красное твердое в пупырышку" - это наше "целое". При этом мы видим, что эти штучки есть с бантиком, а есть без бантика. После этого мы отбираем часть "целого" и формируем множество "с бантиком". Вот так шаманы добывают себе корм, привязывая свою теорию множеств к реальности.
А теперь сделаем маленькую пакость. Возьмем "твердое в пупырышку с бантиком" и объединим эти "целые" по цветовому признаку, отобрав красные элементы. Мы получили множество "красное". Теперь вопрос на засыпку: полученные множества "с бантиком" и "красное" - это одно и то же множество или два разных множества? Ответ знают только шаманы. Точнее, сами они ничего не знают, но как скажут, так и будет.
Этот простой пример показывает, что теория множеств совершенно бесполезна, когда речь заходит о реальности. В чем секрет? Мы сформировали множество "красное твердое в пупырышку с бантиком". Формирование происходило по четырем разным единицам измерения: цвет (красное), прочность (твердое), шероховатость (в пупырышку), украшения (с бантиком). Только совокупность единиц измерения позволяет адекватно описывать реальные объекты на языке математики . Вот как это выглядит.
Буква "а" с разными индексами обозначает разные единицы измерения. В скобках выделены единицы измерения, по которым выделяется "целое" на предварительном этапе. За скобки вынесена единица измерения, по которой формируется множество. Последняя строчка показывает окончательный результат - элемент множества. Как видите, если применять единицы измерения для формирования множества, тогда результат не зависит от порядка наших действий. А это уже математика, а не пляски шаманов с бубнами. Шаманы могут "интуитивно" придти к такому же результату, аргументируя его "очевидностью", ведь единицы измерения не входят в их "научный" арсенал.
При помощи единиц измерения очень легко разбить одно или объединить несколько множеств в одно надмножество. Давайте более внимательно рассмотрим алгебру этого процесса.