Вогнутая дифракционная решетка. Основные понятия и характеристики

Главная

Биогафии

Не секрет, что наряду с осязаемой материей нас окружают и волновые поля со своими процессами и законами. Это могут быть и электромагнитные, и звуковые, и световые колебания, которые неразрывно связаны с видимым миром, взаимодействуют с ним и влияют на него. Такие процессы и воздействия издавна изучались разными учеными, выведшими основные законы, актуальные и по сей день. Одной из широко применяемых форм взаимодействия материи и волны является дифракция, изучение которой привело к возникновению такого устройства, как дифракционная решетка, получившего широкое применение и в приборах для дальнейшего исследования волнового излучения, и в быту.

Понятие дифракции

Дифракцией называют процесс огибания световыми, звуковыми и прочими волнами какого-либо препятствия, встретившегося на их пути. Более обобщенно этим термином можно назвать любое отклонение распространения волн от законов геометрической оптики, происходящее вблизи препятствий. За счет явления дифракции волны попадают в область геометрической тени, огибают препятствия, проникают сквозь маленькие отверстия в экранах и прочем. К примеру, можно хорошо услышать звук, находясь за углом дома, в результате того, что звуковая волна огибает его. Дифракция световых лучей проявляется в том, что область тени не соответствует пропускному отверстию или имеющемуся препятствию. Именно на этом явлении основан принцип действия дифракционной решетки. Поэтому исследование данных понятий неотделимо друг от друга.

Понятие дифракционной решетки

Дифракционная решетка является оптическим изделием, представляющим собой периодическую структуру, состоящую из большого числа очень узких щелей, разделенных непрозрачными промежутками.

Другой вариант этого устройства - совокупность параллельных микроскопических штрихов, имеющих одинаковую форму, нанесенных на вогнутую или плоскую оптическую поверхность с одинаковым заданным шагом. При падении на решетку световых волн происходит процесс перераспределения волнового фронта в пространстве, что обусловлено явлением дифракции. То есть белый свет разлагается на отдельные волны, имеющие различную длину, что зависит от спектральных характеристик дифракционной решетки. Чаще всего для работы с видимым диапазоном спектра (с длиной волн 390-780 нм) используют устройства, имеющие от 300 до 1600 штрихов на один миллиметр. На практике решетка выглядит как плоская стеклянная или металлическая поверхность с нанесенными с определенным интервалом шероховатыми бороздками (штрихами), не пропускающими свет. С помощью стеклянных решеток наблюдения ведут и в проходящем, и в отраженном свете, с помощью металлических - только в отраженном.

Виды решёток

Как уже было сказано, по применяемому при изготовлении материалу и особенностям использования выделяют дифракционные решетки отражательные и прозрачные. К первым относятся устройства, представляющие собой металлическую зеркальную поверхность с нанесенными штрихами, которые применяют для наблюдений в отраженном свете. В прозрачных решетках штрихи наносят на специальную оптическую, пропускающую лучи поверхность (плоскую или вогнутую), или же вырезаются узкие щели в непрозрачном материале. Исследования при применении таких устройств проводят в проходящем свете. Примером грубой дифракционной решетки в природе можно считать ресницы. Смотря сквозь прищуренные веки, можно в какой-то момент увидеть спектральные линии.

Принцип действия

Работа дифракционной решетки основана на явлении дифракции световой волны, которая, проходя через систему прозрачных и непрозрачных областей, разбивается на обособленные пучки когерентного света. Они претерпевают дифракцию на штрихах. И при этом интерферируют друг с другом. Каждая длина волны имеет свою величину угла дифракции, поэтому происходит разложение белого света в спектр.

Разрешающая способность дифракционной решетки

Являясь оптическим устройством, применяемым в спектральных приборах, она обладает рядом характеристик, определяющих ее использование. Одно из таких свойств - разрешающая способность, заключающаяся в возможности раздельного наблюдения двух спектральных линий, обладающих близкой длиной волн. Повышения этой характеристики добиваются увеличением общего количества штрихов, имеющихся в дифракционной решетке.

В хорошем устройстве число штрихов на один миллиметр достигает 500, то есть при общей длине решетки 100 миллиметров полное количество штрихов составит 50 000. Такая цифра поможет добиться более узких интерференционных максимумов, что позволит выделить близкие спектральные линии.

Применение дифракционных решеток

С помощью данного оптического устройства можно точно определить длину волны, поэтому его применяют как диспергирующий элемент в спектральных приборах различного назначения. Дифракционная решетка применяется для выделения монохроматического света (в монохроматорах, спектрофотометрах и других), в качестве оптического датчика линейных или угловых перемещений (так называемая измерительная решетка), в поляризаторах и оптических фильтрах, в качестве делителя пучков излучения в интерферометре, а также в антибликовых очках.

В быту довольно часто можно столкнуться с примерами дифракционных решеток. Простейшей из отражательных можно считать нарезку компакт-дисков, так как на их поверхность по спирали нанесена дорожка с шагом 1,6 мкм между витками. Третья часть ширины (0,5 мкм) такой дорожки приходится на углубление (где содержится записанная информация), рассеивающее падающий свет, а около двух третей (1,1 мкм) занимает нетронутая подложка, способная отражать лучи. Следовательно, компакт-диск является отражательной дифракционной решеткой с периодом 1,6 мкм. Другим примером такого устройства являются голограммы различного вида и направления применения.

Изготовление

Для получения качественной дифракционной решетки необходимо соблюдать очень высокую точность изготовления. Ошибка при нанесении хоть одного штриха или щели приводит к моментальной выбраковке изделия. Для процесса изготовления применяется особая делительная машина с алмазными резцами, крепящаяся к специальному массивному фундаменту. До начала процесса нарезки решетки это оборудование должно проработать от 5 до 20 часов в холостом режиме, чтобы стабилизировать все узлы. Изготовление одной дифракционной решетки занимает почти 7 суток. Несмотря на то что нанесение каждого штриха происходит всего лишь за 3 секунды. Решетки при таком изготовлении обладают равноотстающими друг от друга параллельными штрихами, форма сечения которых зависит от профиля алмазного резца.

Современные дифракционные решетки для спектральных приборов

В настоящее время получила распространение новая технология их изготовления с помощью образования на особых светочувствительных материалах, называемых фоторезистами, интерференционной картины, получаемой от излучения лазеров. В результате выпускается продукция с голографическим эффектом. Наносить штрихи подобным образом можно на ровную поверхность, получая плоскую дифракционную решетку или вогнутую сферическую, что даст вогнутое устройство, имеющее фокусирующее действие. В конструкции современных спектральных приборов применяются и те и другие.

Таким образом, явление дифракции распространено в повседневной жизни повсеместно. Это обуславливает широкое применение такого основанного на данном процессе устройства, как дифракционная решетка. Она может как стать частью научно-исследовательского оборудования, так и встретиться в быту, например, в качестве основы голографической продукции.

Вогнутые решетки

Принцип действия. В 1882 г. Роуланд предложил совместить фокусирующие свойства вогнутого зеркала с диспергирующими свойствами нарезанной па его поверхности дифракционной решетки. Такие решетки получили название вогнутых и широко сейчас применяются. Вогнутая решетка позволяет до предела упростить схему спектрального прибора за счет исключения специальной фокусирующей оптики. Для получения спектра необходима только щель и вогнутая решетка. Благодаря использованию таких решеток стала доступной область далекого вакуумного ультрафиолета (к < 500 А). Точное измерение длин волн в сложных спектрах сейчас также не мыслится без большой вогнутой решетки. Полная теория погнутой решетки достаточно сложна, и мы приведем здесь лишь наиболее простые рассуждения и основные выводы.

Как правило, решетка наносится на поверхность сферы, хотя решетка, нанесенная на торические и эллипсоидальные поверхности, обладает известными преимуществами. Будем считать, что размеры заштрихованной части решетки и высота штриха малы по сравнению с радиусом сферы г, на которую она нанесена. Середину среднего штриха решетки назовем ее центром. Проведем круг, диаметр которого равен радиусу кривизны решетки. Этот круг касается решетки в ее центре и лежит в плоскости, перпендикулярной штрихам. Такой круг называется кругом Роуланда.

Рассмотрим ход монохроматических лучей, падающих на решетку из точки S, лежащей на этом круге. Пусть А и В - два соседних штриха решетки. Лучи SA и SB падают па эти штрихи под углами ш и ш + Дш. Дифрагированные лучи АР и ВР идут под углами ц и ц + цД и пересекаются в точке Р. Центр кривизны решетки обозначим через С. Пусть

Условие максимума, как и для плоской решетки, получим, приравняв разность хода соседних лучей целому числу длин волн:

Продлим лучи SB до точки G и РВ до точки F так, чтобы SG=SA и PF - = РА. Тогда можно написать

Углы AFB и AGB отличаются от прямых на величины порядка малых углов Дг и Дс. С той же точностью. Поэтому sin ц. Тогда равенство (2.1) можно записать в виде

где t = АВ - постоянная решетки. Таким образом, мы получили ту же формулу для положения главных максимумов, что и для плоской решетки.

Покажем теперь, что вогнутая решетка, в отличие от плоской, обладает фокусирующим действием. Это значит, что лучи с длиной волны л, исходящие из точки S и лежащие в плоскости, перпендикулярной штрихам решетки, образуют независимо от угла падения ш главный дифракционный максимум в одной и той же точке Р. Для этого продифференцируем (2.2) по ш и ц при постоянных л и к и перейдем и конечным разностям

Из рис. 2.10 видно, что

Аналогично

С другой стороны,

Подставляя в (2.3) значения Дш и Дц из (2.4), (2.5) и используя равенства (2.6), получаем

Чтобы это уравнение удовлетворялось при любых ц и r]·, необходимо и достаточно, чтобы одновременно

или же (2.8)

Уравнения (2.8) являются уравнениями окружности в полярных координатах. Диаметр этой окружности равен радиусу кривизны решетки r, т. е. получаем уравнение круга Роуланда. Таким образом, если точка S лежит на круге Роуланда, то на том же круге лежит и точка Р, в которой образуется главный дифракционный максимум для лучей данной длины волны л. Естественно, что для лучей разных длин волн л й , л 2 , и т. д. главные дифракционные максимумы в соответствии с (2.2) образуются в разных точках Р 1 , Р 2 и т. д. Однако все эти точки лежат па этом же круге, образуя на нем спектр источника, помещенного в S. В уравнение, определяющее этот круг, не входит постоянная решетки. Это значит, что любая решетка с радиусом г будет давать спектр, лежащий на одной и той же окружности.

Из этого рассмотрения не следует, что лучи, идущие из точки S, но не лежащие в плоскости роуландовского круга, также фокусируются в точке Р.

Наоборот, легко показать, что решетка обладает значительным астигматизмом и изображение точки S представляет собой отрезок прямой, параллельной штрихам решетки.

Выражение для разрешающей силы вогнутой решетки совпадает с соответствующим выражением для плоской решетки. Угловая дисперсия, как и в случае плоской решетки, получается дифференцированием равенства (2.2) по л.

Формулу для линейной дисперсии легко получить, отсчитывая расстояния l вдоль круга Роуланда. Угол ц, являясь вписанным в окружность диаметра r, равен ц = l/r, откуда после дифференцирования по л находим выражение, связывающее линейную и угловую дисперсию решетки:

Исключая из (2.3) и (2.39) dц/dл, для линейной дисперсии получил 1

Изображение щели, даваемое вогнутой решеткой, обладает, как и в случае плоской решетки, некоторой кривизной. Последняя, однако, мала и может не приниматься во внимание для решеток обычно применяемых размеров. Если решетка и щель расположены на круге Роуланда, то на этом же круге располагается и спектр. Это следует из уравнении (2.8). Можно получить спектр и при другом расположении щели и решетки. Однако детальные расчеты показывают, что при расположении всех трех элементов установки (щель, приемник, решетка) на роуландовском круге аберрации минимальны.

Расчет положения спектра проведен для «малой» решетки. Если ее размеры сравнимы с радиусом, то кроме астигматизма появляются и другие аберрации, ухудшающие контур спектральной линии.

На правах рукописи

Захарова Наталья Владимировна

ВОГНУТЫЕ ГОЛОГРАММНЫЕ ДИФРАКЦИОННЫЕ РЕШЕТКИ, ЗАПИСАННЫЕ В АСТИГМАТИЧЕСКИХ ПУЧКАХ

Специальность: 05.11.07 –

«Оптические и оптико-электронные приборы и комплексы»

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Москва – 2010

Работа выполнена в Московском государственном университете геодезии и картографии (МИИГАиК)

Научный руководитель:

доктор технических наук,

профессор Бажанов Ю. В.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук,

Бездидько С.Н.

кандидат технических наук, Одиноков С.Б.

Ведущая организация:

ФГУП «Научно-производственная корпорация «ГОИ им. С.И. Вавилова»

Защита состоится «10» июня 2010г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.143.03 в Московском государственном университете геодезии и картографии (МИИГАиК) по адресу: 105064, Москва, Гороховский пер., д.4, МИИГАиК (зал заседаний ученого совета)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИИГАиК

Ученый секретарь

диссертационного совета Климков Ю.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Развитие спектрального приборостроения требует создания светосильных, высокоразрешающих приборов с расширенным спектральным диапазоном. Важным моментом является наличие вогнутой поверхности решётки. Такой оптический элемент выполняет все функции спектрального прибора: коллимацию, дисперсию и фокусировку. Для повышения характеристик прибора необходимо нанести на поверхность решётки штрихи заданной формы и расположения. Существующие методы изготовления нарезных решёток достигли своего предела – в настоящее время можно изготовить решётки с произвольным изменением шага, однако штрихи такой решётки будут концентрическими. Вогнутые голограммные дифракционные решётки (ВГДР) постоянно совершенствуются путём разработки новых схем их записи. Однако, большая часть методов либо нетехнологичны, либо основаны на теории аберраций, требующей уточнения. Существующие методы, свободные от этих недостатков, не могут быть полноценно использованы, т.к. нахождение параметров записи сводится к многомерной задаче оптимизации, результаты которой зависят от начальных условий и не гарантируют наилучшего решения.

Успешное применение новой элементной базы невозможно без развития теории формирования спектрального изображения с помощью ВГДР, создания методов расчета и оптимизации их аберрационных характеристик, исследования возможностей и модернизации методов изготовления дифракционных решеток, а также разработки спектральных приборов, максимально полно реализующих преимущества ВГДР. Решению этих вопросов посвящена настоящая работа.

Цель диссертационной работы

Целью настоящей работы является создание универсального метода расчета характеристик и оптимизации параметров схемы записи ВГДР и разработка на их основе спектральных оптических систем приборов и устройств с повышенными оптическими и эксплуатационными характеристиками.

Для достижения указанной цели требовалось решить следующие задачи:

1. Исследовать и уточнить теорию аберраций ВГДР на основе формул точного расчета хода лучей до третьего порядка включительно.

2. Разработать методы расчета и оптимизации параметров записи ВГДР, обладающих наилучшими характеристиками качества.

Объект исследования

Объектом исследования являются спектральные приборы с ВГДР и схемы записи ВГДР.

Методика исследования

Рассмотрение вопросов в диссертации основано на анализе литературных данных, выполнении теоретических исследований и проверке достоверности результатов по данным численно-аналитического моделирования.

Научная новизна работы

Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые:

1. Уточнена и доработана теория аберраций ВГДР, основанная на разложении в ряд соотношений, полученных с помощью точного расчёта хода лучей через решётку, записанную с помощью астигматических пучков лучей.

2. Предложены новые оптические схемы записи ВГДР с использованием дополнительного цилиндрического зеркала, которые позволяют исправить аберрации 1-3го порядков спектрального прибора.

3. Показано, что в оптической схеме спектрального прибора с использованием ВГДР, записанной в астигматических пучках, и цилиндрического зеркала аберрации 1-3-го порядков могут быть исправлены.

4. Разработаны методики расчёта параметров схемы записи ВГДР с использованием дополнительного цилиндрического зеркала, образующая которого расположена в меридиональной или сагиттальной плоскости.

5. Разработан численно-аналитический метод оптимизации параметров оптической схемы спектрального прибора на основе ВГДР, записанных астигматическими пучками лучей.

6. Проведено исследование зависимости разрешающей способности от ширины рабочей области спектра и светосилы спектрального прибора с ВГДР, записанных предлагаемым способом.

7. Проведен систематический анализ возможности реализации предлагаемых ВГДР в спектральных приборах во всём оптическом диапазоне.

Практическая ценность работы

Практическая ценность работы заключается в:

1. Программной реализации численно-аналитического метода оптимизации параметров оптической схемы спектрального прибора с ВГДР, записанной с использованием дополнительного цилиндрического зеркала.

3. Разработке оптических систем спектральных приборов нового поколения, использующих ВГДР, записанных с использованием полученных оптимальных параметров записи. Светосила и/или разрешающая способность таких приборов в 2-10 раз выше по сравнению с ВГДР, записанных в гомоцентрических пучках.

На защиту выносятся:

Доработанная теория аберраций ВГДР, полученная с использованием формул точного расчета хода лучей.
Численно – аналитические методы расчета оптимальных параметров записи ВГДР с использованием дополнительных цилиндрических зеркал (горизонтального и вертикального цилиндра), основанные на минимизации оценочной функции с учётом аберраций 1 – 3-го порядков.
Результаты расчётов и анализ оптимальных оптических схем спектрометров с плоским и круговым полями изображения.

Все исследования по методам оптимизации схем спектральных приборов и схем записи ВГДР с использованием дополнительного цилиндрического зеркала (горизонтального и вертикального) принадлежат автору. Им лично разработаны все алгоритмы и программы и проведён расчёт оптических схем спектральных приборов, содержащих ВГДР, записанных с использованием дополнительных цилиндрических зеркал.

Апробация работы

Основные результаты представлены на трёх международных форумах «Голография ЭКСПО» - 2006, 2007, 2009.

Публикации

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём составляет: 151 страницу машинописного текста, 5 таблиц, 39 рисунков.

Вовведении обосновывается актуальность выбранной темы, сформулирована цель работы, а также приведены задачи, решаемые в процессе выполнения работы.

В первой главе приведены известные соотношения из теории аберраций, основанной на функции оптического пути (ФОП), а также приведён анализ схем записи ВГДР и методов оптимизации их параметров.

В п.1.1 приведена современная теория аберраций ВГДР, основанная на ФОП (см. рис. 1). Пусть и - углы падения и дифракции "нулевого" луча, выходящего из точки А в меридиональной плоскости, и - расстояния от входной щели и плоскости изображения до вершины решетки, - расстояние от точки пересечения главного луча с плоскостью до плоскости симметрии , - произвольная точка, лежащая на штрихе решетки. Выражение

называют функцией оптического пути. Это выражение имеет следующий физический смысл. Изображение точки щели в некоторой точке

Рисунок 1. К вычислению функции оптического пути

плоскости изображения безаберрационно, когда , то есть когда разность хода луча из точки В, дифрагированного в любой точке на решетке, и "нулевого" луча из точки в плоскости , дифрагированного в вершине решетки, равна целому числу длин волн. В этом случае изображение, даваемое такой решёткой, называется стигматическим. Число означает количество штрихов на поверхности решетки между ее вершиной О и точкой М.

Выразив расстояния в формуле (1) через координаты и учитывая форму поверхности решётки, после разложения в ряд по координатам на решётке получим:

(2)

Для изучения фокусирующих и аберрационных свойств вогнутых дифракционных решеток необходимо последовательно рассмотреть члены разложения ФОП, представленные в формуле (2).

Коэффициент V200 характеризует дефокусировку первого порядка в меридиональном сечении, коэффициент V020 – дефокусировку первого порядка в сагиттальном сечении, коэффициент V300 - меридиональную кому второго порядка, вызываемую лучами, идущими в плоскости симметрии, коэффициент V120 – кому второго порядка, создаваемую лучами, идущими вне плоскости симметрии; коэффициент V111 – астигматизм второго порядка, коэффициент V102 – искривление спектральных линий, коэффициенты V400 и V040 – сферическую аберрацию третьего порядка, коэффициент V220 – несимметричную сферическую аберрацию третьего порядка.

Используя принцип Ферма, можно получить, что поперечные аберрации в направлении дисперсии (y) и в направлении высоты щели (z) пропорциональны частным производным ФОП по координатам x и y:

. (3)

Выполняя дифференцирование выражения (3), получим величины поперечных аберраций второго и третьего порядков:

(4)

Коэффициенты аберраций выражаются как

, (5)

где Mijk – коэффициенты, зависящие от формы поверхности ВГДР и от схемы, в которой она используется; Hijk – голограммные коэффициенты, зависящие от схемы записи ВГДР; k – порядок дифракции; – текущая длина волны; * - длина волны записи ВГДР. В разделе приведены выражения для коэффициентов Mijk при различной форме поверхности решетки.

В п.1.2 приведены голограммные коэффициенты Hijk в случае записи точечными источниками излучения (запись в гомоцентрических пучках). Рассмотрены основные способы записи ВГДР, а именно: запись с помощью дополнительных зеркал («решётки второго поколения») и дополнительных дифракционных решёток («решётки третьего поколения»). Указано, что меридиональные плоскости зеркал и решётки должны совпадать, в противном случае (при наклонном положении зеркал) появляются неустранимые типы аберраций. Введение в схему записи дифракционных решёток не даёт преимуществ в коррекции аберраций, т.к. при использовании даже одного дополнительного зеркала при записи решётки имеется достаточное количество параметров оптимизации. Кроме этого, существуют технологические трудности при записи, например, наличие нескольких порядков спектра, разная интенсивность интерферирующих пучков и т. д. Существующие двухступенчатые методы, когда дополнительная решётка записывается в определённой схеме, затем после проявления и алюминирования должна с высокой точностью устанавливаться на прежнее место, нетехнологичны, ввиду трудностей такой установки. Методы записи дифракционных решёток во встречных пучках с целью получения высокой дифракционной эффективности трудоёмки, требуют высококачественной обработки задней стороны решётки, приводят к повышению рассеянного света и могут быть с успехом заменены ионным травлением рабочей поверхности решётки.

Таким образом, анализ существующих методов показывает, что наиболее перспективным является использование дополнительных зеркал, нормали к вершинам которых лежат в меридиональной плоскости.

В п.1.3 рассмотрены основные критерии, применяемые для оценки спектрального изображения и существующие методы оптимизации параметров ВГДР. Как видно из обзора, существует большое количество подходов для получения оптимальных параметров, различающихся методами вычислений и выбором оценочной функции.

На наш взгляд наиболее приемлемым является метод расчета, в котором параметры решетки определяются с помощью аналитической оптимизации оценочной функции максимально полно описывающих работу спектрального прибора с последующим контролем полученного решения с помощью расчёта аппаратных функций спектрального прибора. Метод состоит из трех этапов.

На первом этапе используются формулы для оптимальных параметров вогнутой решетки при минимизации дефокусировки и астигматизма 1-го порядка.

На втором этапе аналитическими методами проводится компенсация аберраций 2-го и 3-го порядков с использованием в качестве оценочных функций хорошо известных критериев качества изображения – усредненного по зрачку системы квадрата поперечной аберрации y

, (6)

и функции передачи модуляции (ФПМ), которая в области низких пространственных частот может быть записана в виде:

, (7)

, (8)

а S и – соответственно заштрихованная площадь дифракционной решетки и ее функция пропускания. На третьем этапе производится расчёт АФ спектральных приборов.

В настоящей работе для оптимизации параметров ВГДР используются программы, основанные на приведённом методе, разработанные с участием автора работы и описанные в последующих главах.

Во второй главе рассматривается теория аберраций, основанная на методах, использующих формулы расчета хода луча, поскольку именно этот метод даёт наиболее точные результаты. Меньшую точность дают аналитические выражения для поперечных аберраций, полученные на основании принципа Ферма, откуда находятся заранее неизвестные значения коэффициентов аберраций.

Действительно, при выводе коэффициентов аберраций с помощью ФОП предполагается, что изображение точечного источника представляет собой идеальную точку, в действительности же - это пятно конечных размеров. В результате, способ нахождения аберраций через производные ФОП применим лишь в случае малых аберраций. В работе рассмотрен метод, основанный на формулах расчёта хода луча как при работе спектрального прибора (воспроизведении ВГДР), так и при изготовлении решётки (записи ВГДР). Вывод этих соотношений достаточно трудоёмок, а окончательные выражения довольно громоздки. Ввиду того, что в них неоднократно вносились исправления, автору настоящей работы пришлось провести независимые расчёты, которые подтвердили и уточнили эти соотношения.

В п.2.1 представлены выражения для поперечных аберраций 1-3-го порядков, которые имеют вид:

(9)

где коэффициенты не отличаются от соответствующих коэффициентов, полученных с помощью ФОП.

Как видим из формул (9), коэффициенты аберраций первого порядка и входят в выражения для меридиональной и сагиттальной комы 2-го порядка, а коэффициенты аберраций второго порядка и вместе с коэффициентами 1-го порядка входят в выражения для сферической аберрации 3-го порядка. Таким образом, при отсутствии дефокусировки и астигматизма 1-го порядка величины меридиональной и сагиттальной комы не отличаются от величин, полученных с помощью разложения в ряд ФОП, а если к тому же, меридиональная и сагиттальная кома равны нулю, то и сферическая аберрация 3-го порядка не отличается от полученной с помощью ФОП.

Ещё до появления этой теории И.В. Пейсахсоном (ГОИ) было показано, что расчет аберраций по формулам, полученным из ФОП, не совпадает с данными точного расчета хода лучей. Им эмпирически были получены соотношения для сагиттальной комы 2-го порядка в зависимости от астигматизма 1-го порядка.

В настоящей работе, исходя из формул (9), были получены выражения для коэффициентов Mijk для аберраций 1-2-го порядков в виде:

(10)

при вычислении аберрации y и

(11)

при вычислении аберрации z,

где U и К – коэффициенты дефокусировки и астигматизма 1-го порядка, а

; . (12)

При U = 0 выражения для аберраций 2-го порядка совпадают с формулами Пейсахсона. При U = К = 0 формулы (9) и (10) совпадают с формулами, полученными из ФОП. Эти расчёты являются проверкой соотношений (9) в области аберраций 1 и 2-го порядков.

Таким образом, приближенный подход к определению поперечных аберраций, основанный на ФОП, справедлив лишь при небольших значениях дефокусировки и астигматизма 1-го порядка.

В п.2.2 приведена теория аберраций при записи эллипсоидальной ВГДР c помощью двух дополнительных эллипсоидальных зеркал (см. рис. 2).

Обозначим углы падения лучей от источников записи на вершину решетки как i1 и i2, углы падения и отражения на зеркала 1 и 2, расстояния от источников записи О1 и О2 до вершин зеркал соответственно p1 и p2, а расстояния от вершин зеркал до вершины решетки соответственно q1 и q2. Точки M1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2) и М(x,y,z) – произвольные точки поверхности зеркал и заготовки решетки соответственно. Между параметрами записи справедливы соотношения:

(13)

где и - радиусы кривизны во взаимно перпендикулярных сечениях, при этом и – полуоси эллипса первого дополнительного зеркала. Для второго зеркала выражения будут аналогичными. Голограммные коэффициенты аберраций Hijk имеют весьма сложный вид, поэтому здесь приведены лишь функциональные зависимости от параметров записи, являющихся независимыми:

(14)

В соотношения (14) не входят расстояния p1, p2, q1 и q2, т.к. они связаны с расстояниями ,,и соотношениями типа (13).

В общем случае имеем 14 независимых параметров, однако для выполнения основного уравнения решётки необходимо иметь фиксированную величину , в результате независимых параметров остаётся 13, а корректируемых аберраций 1-3 го порядков – 7, т.е. имеем недоопределённую систему, когда число уравнений меньше числа неизвестных. В случае, когда в схеме присутствует только одно эллипсоидальное зеркало, выражения (14) упрощаются, а именно, d2=, r2 = = = и из выражений исчезают члены, зависящие от параметра 2, поэтому для одного эллипсоидального зеркала остаётся 7 коррекционных параметров. Казалось бы, число уравнений равно числу неизвестных, однако, в выражения, определяющие аберрации

Рисунок 2. Запись ВГДР в астигматических пучках

2–го и 3-го порядков входят нелинейные и очень громоздкие дополнительные слагаемые, которые не позволяют получить искомые параметры аналитическим способом.

В п.2.3 рассмотрены частные случаи схем записи с использованием дополнительных одного или двух тороидальных, сферических и цилиндрических зеркал. Оказалось, что при использовании в схеме записи только одного цилиндрического зеркала имеется 6 коррекционных параметров. Этого вполне достаточно для исправления 6 видов аберраций (аберрации, определяемые коэффициентом , влияют лишь на составляющую в направлении щели спектрального прибора и ими можно пренебречь). Причём такое цилиндрическое зеркало может быть двух видов:

Образующая лежит в меридиональной плоскости (горизонтальный цилиндр);

Образующая лежит в плоскости штрихов (вертикальный цилиндр).

В третьей главе рассмотрены методики оптимизации параметров ВГДР, записанных с использованием двух видов цилиндрических зеркал – горизонтального и вертикального.

В п.3.1 рассмотрены методики нахождения оптимальных голограммных коэффициентов и оптимальных схем спектрометров с плоским и круговым полем изображения и спектрометров на круге Роуланда.

На первом этапе рассмотрены методы определения оптимальных голограммных коэффициентов 1-го порядка – дефокусировки H200 и астигматизма 1-го порядка Н020 на основе выражения вида

(15)

где 1 2 – рабочая область длин волн, а – параметр, по которому ведется минимизация. Эти методики реализованы для схем спектрометров с плоским и круговым полем изображения, а также - на круге Роуланда.

На втором этапе приведены методики нахождения оптимальных голограммных коэффициентов 2-го и 3-го порядков – Н300, Н120, Н400 и Н220. Эти методики реализованы на основании минимизации оценочных функций. При расчетах используется критерий в виде величины, выражающей усреднённую по зрачку системы сумму квадратов аберраций в главных сечениях. В случае спектральных приборов с ВГДР, как правило, сагиттальная составляющая аберраций значительно превосходит меридиональную, поэтому нами в качестве оценочной функции используется выражение усредненного по поверхности решетки квадрата аберрации y (6). Другим критерием, используемым нами для оптимизации, является функция передачи модуляции (7).

Оценочные функции и справедливы лишь для одного значения длины волны, однако, их аналитическое интегрирование по спектральной области, как это было в случае дефокусировки и астигматизма 1-го порядка, не представляется возможным. Ввиду этого данная функция вычисляется как сумма функций для отдельных длин волн

, (16)

где величина используется как весовой множитель для перераспределения требований к оптимизации в зависимости от длины волны.

Для нахождения оптимальных коэффициентов аберраций Hijk необходимо решить систему уравнений

где i, j, k = 300, 120, 400, 220.

Следующим этапом расчета оптимальных параметров является нахождение такой схемы записи, параметры которой однозначно могут быть выражены через найденные в процессе оптимизации коэффициенты Hijk.

В п.3.2 приведена методика оптимизации параметров записи ВГДР с использованием дополнительного горизонтального цилиндра. Приведены выражения для коэффициентов аберраций Hijk ВГДР с использованием горизонтального цилиндра. Зная параметры схемы прибора, для получения оптимальных параметров записи необходимо решить относительно расстояний d1 и d2 систему уравнений, в которую входят коэффициенты H200 и Н300. Решение выразится в виде корней квадратного уравнения, подставляя которые в выражение для Н400 и варьируя одним из углов записи, получаем значения d1, d2, i1 и i2. Значение параметра найдем из выражения для Н020. Параметры p1 и q1 связаны через и 1. Решая систему уравнений Н120 и Н220 путем варьирования и 1, получаем минимальные значения Н120 и Н220.

В п.3.3 приведена методика нахождения оптимальных параметров записи ВГДР с использованием вертикального цилиндра. Приведены выражения для голограммных коэффициентов Hijk при использовании вертикального цилиндра. Для получения оптимальных параметров записи ВГДР необходимо решить относительно расстояний d1 и d2 систему двух уравнений, в которую входят коэффициенты Н200 и Н120. Решение выразится в виде корней квадратного уравнения, которые зависят от углов i1 и i2. Значение параметра найдем из уравнения для коэффициента Н020. Т.к. коэффициенты Н300, Н400 и Н220 зависят также и от параметров r1 и 1, то для нахождения оптимальных параметров будем варьировать значениями i1, r1 и 1 и найдем минимальные значения для коэффициентов аберраций, включающих Н300, Н400 и Н220.

В п.3.4 рассмотрен случай, когда оптическая схема спектрального прибора представляет собой цилиндрическое зеркало и ВГДР, записанную с помощью точечных источников. Задача упрощается ввиду того, что выражения частей ФОП, зависящих от схемы прибора и схемы записи, отличаются лишь знаками между ветвями схемы: при записи находится разность оптических путей до когерентных источников, а при воспроизведении - сумма расстояний до источника излучения и его спектрального изображения. Нетрудно предположить, что вид коэффициентов аберраций для схемы работы прибора с использованием цилиндрического зеркала между входной щелью и решёткой можно получить, взяв коэффициенты для схемы записи с использованием цилиндрического зеркала, и заменить знаки и соответствующие величины, определяющие положения элементов схемы записи на величины, определяющие положения элементов схемы прибора.

При заданной схеме прибора присутствует 6 коррекционных параметров: , , (), , . С помощью этих параметров можно исправить 6 аберраций. Т.к. при использовании в схеме прибора горизонтального цилиндра выражения для коэффициентов аберраций , и не отличается от схем с одиночной решёткой (без зеркала), следовательно, величины , Н200, Н300 и Н400, а также параметры записи , , и найдутся тем же способом, что и для одиночной решётки. На этом параметры записи закончились, и остальные голограммные коэффициенты Hijk так же известны. Оптимизация коэффициентов аберраций V020, V120 и V220 будет выполняться по параметрам схемы спектрального прибора, входящими в коэффициенты М020, М120 и М220.

Подставляя найденные значения параметров записи в выражение для Н020, получаем его величину, а затем из условия V020 = 0 находим выражение для величины , в которое входят величины, определяющие радиус и расположение цилиндрического зеркала, используемого в схеме работы прибора. Варьируя параметрами и в выражениях для М120 и М220, находим оптимальные значения этих параметров,

Изготовление решёток с дополнительными оптическими элементами представляет собой более сложную задачу, одной из трудностей является их юстировка в схеме записи. Напротив, юстировка дополнительного оптического элемента в схеме прибора не представляет таких сложностей, т.к. может контролироваться приёмником излучения.

В п.3.5 описана реализация на персональном компьютере разработанных методик расчета оптимальных параметров записи ВГДР. Методы компенсации аберраций 1-3-го порядков и методика автоматического выбора оптической схемы записи ВГДР программно интегрированы и реализованы на персональном компьютере. В работе приведены две блок – схемы программы и их краткое описание.

Проведен анализ на максимальный угол падения на заготовку решетки в зависимости от радиуса решетки и засвечиваемой области. Результаты представлены в таблице 1.

Таблица 1. Значения максимально допустимого угла записи ВГДР

y/r	1/10			1/7			1/5			1/3
d1/r	2	1	0,5	2	2	0,5	2	1	0,5	2	1	0,5
i	78,9	79,3	80,1	74,4	75,3	77,0	68,7	70,3	73,7	55,8	60,5	70,1

В таблице 1: y/r – светосила решетки; d1/r – несимметричность схемы прибора, i – угол падения на ВГДР (допустимый угол записи).

В четвёртой главе приводятся результаты расчетов различных схем спектрометров, использующих ВГДР, записанные с использованием дополнительного цилиндрического зеркала как горизонтального, так и вертикального. Проведён анализ возможности использования предлагаемых типов ВГДР в схемах спектральных приборов во всём оптическом диапазоне спектра от мягкого рентгеновского до инфракрасного излучения.

В п.4.1 приводятся результаты расчетов схем спектрометров нормального падения. В качестве базовой использована оптическая схема спектрометра для ближней ультрафиолетовой области спектра - «ЛАЭС-спектр» (ОАО «Красногорский завод им.С.А.Зверева»):

рабочий спектральный диапазон - 180 - 400 нм,

частота штрихов решётки - N=2400 штр/мм,

радиус кривизны решётки - r = 501,2 мм,

размеры решётки - 2Y2Z = 5040 мм2,

угол падения излучения на решётку - = 30,

расстояние от входной щели до решётки - d = 493,7 мм,

ширине входной щели - 0,0075мм,

длина волны записи - * = 441,6 мкм.

В таблице 2 приведены результаты расчёта схемы записи с использованием ВГДР, записанной классическим способом (схема 1), с помощью горизонтального цилиндра (схема 2) и с помощью вертикального цилиндра (схема 3).

Таблица 2. Схемы записи ВГДР в базовой схеме (рабочий спектральный диапазон - 180 - 400 нм)

	d1	d2		i1	i2	p1	q1	(r)	1
Схема 1	670,91	555,18	-	56,66	-12,97	-	-	-	-
Схема 2	344,083	440,871	501,35	55,98	-13,37	218,70	125,37	1005,12	16,02
Схема 3	405,82	490,37	653,65	63,0	-9,72	143,4	510,25	172,12	-45,4

Результаты расчета полуширины АФ приведены в таблице 3. Как видим из расчётов, наилучшие результаты даёт использование при записи вертикального цилиндра. В этом случае для размера решётки 5040 мм2 среднее по спектральной области разрешение в 3 раза выше по отношению к классической решетке.

Таблица 3. Значение полуширины АФ (мкм) спектрометра нормального падения в спектральной области 180 - 400 нм

, нм	180	202	224	246	268	290	312	334	356	378	400
Схема 1	30,73	20,69	15,19	14,68	14,02	13,86	13,78	13,87	14,02	13,91	11,53
Схема 2	17,10	13,87	8,55	8,00	7,60	9,00	10,45	9,90	8,93	8,36	9,12
Схема 3	8,28	8,53	8,77	8,95	9,03	9,03	9,10	9,19	9,22	9,32	9,32

Известно, что спектральная линия может быть разрешена, если она укладывается, по крайней мере, в три пиксела на приёмнике излучения. Зависимость полуширины АФ от апертуры решётки показывает (рис. 3), что при использовании приёмника с шириной пиксела 8 мкм полуширина АФ размером 24 мкм достигается у решётки, записанной классическим способом, уже при заданных размерах (5040 мм2), а использование вертикального цилиндра позволяет увеличить площадь решётки до 160160 мм2. Это означает увеличение светосилы прибора более чем в 10 раз. Следует заметить, что на графиках ось ординат обозначена как «площадь», что означает размер стороны квадрата заштрихованной части решётки.

Рисунок 3. Зависимость полуширины АФ спектрометра от апертуры решетки с ВГДР, записанной при помощи вертикального цилиндра.

С помощью рис.3 оценка полуширины АФ для более широких щелей спектрального прибора может быть выполнена прибавлением к вычисленной полуширине АФ величины, равной разности первоначальной и новой ширины щели. Например, при ширине входной щели равной 0,03мм полуширина АФ, соответствующая минимальной разрешаемой полуширине 24 мкм для линейки с размером 8 мкм, будет равна 0,0465мм, что приблизительно соответствует величине утроенной ширины пиксела размером 14 мкм. Линейки с таким размером пикселов являются в настоящее время наиболее распространёнными при использовании в спектральных приборах. Максимальные размеры решёток с предельным разрешением при записи с помощью горизонтального и вертикального цилиндров при ширине входной щели равной 0,03мм приблизительно соответствуют величинам при ширине входной щели равной 7,5 мкм.

Обратная линейная дисперсия в этой схеме прибора равна приблизительно 0,8 нм/мм. При использовании линейки с пикселами размером 8 мкм имеем предел разрешения = 0,80,024мм=0,019нм, а предел разрешающей способности для средней длины спектрального диапазона 290 нм составляет R==15263. При использовании линейки с пикселами размером 14 мкм соответственно имеем = 0,034 нм, а R=8529.

В этой же схеме рассмотрены варианты приборов, у которых произведение - величина постоянная, а именно:

Также рассмотрены схемы:

Спектрометр для ближней ультрафиолетовой и видимой областей спектра, предназначенный для работы во всей области чувствительности ПЗС приёмников оптического излучения, а именно: 1 = 200 нм, 2 = 900 нм, N=1200 штр/мм, r = 501,2 мм, 2Y2Z = 5040 мм2, = 35, d = 460,713 мм.
Спектрометр для дальней ультрафиолетовой области спектра, для работы в вакуумной области: 1 = 90 нм, 2 = 200 нм, N = 3600 штр/мм, r = 501,2 мм, 2Y2Z = 5040 мм2, = 30, d = 464,713 мм.

Для этих случаев приведены схемы спектрометров с ВГДР и рассчитаны оптимальные схемы записи ВГДР с использованием классического способа, а также при помощи горизонтального и вертикального цилиндров. Рассмотрены полуширины АФ для всех случаев и дан краткий анализ.

Показано, что использование предлагаемых ВГДР в спектрометрах нормального падения позволяет значительно (в 5 – 10 раз) увеличить светосилу прибора при сохранении максимальной разрешающей способности, обеспечиваемой современными приёмниками излучения.

В п.4.2 приведены аналогичные расчёты и анализ автоколлимационных схем спектрометров, в которых применяются ВГДР, записанные классическим способом, с помощью горизонтального цилиндра и с помощью вертикального цилиндра. Показано, что автоколлимационные схемы не дают преимущества по сравнению с обычными схемами нормального падения, однако их применение целесообразно в приборах для дальней ультрафиолетовой области для уменьшения вакуумированного объёма прибора.

В п.4.3 рассмотрены схемы спектрометров скользящего падения для использования в мягкой рентгеновской и дальней ультрафиолетовой областях спектра. Оптимальный угол отклонения выбирается из условия получения максимально высокого качества изображения по рабочей спектральной области, а также из иных соображений, касающихся габаритных характеристик и условий эксплуатации прибора. При скользящих углах падения и дифракции аберрации решетки и, в первую очередь, дефокусировка и астигматизм 1-го порядка, становятся большими. Схема спектрометра скользящего падения имеет следующие параметры: 1 = 40 нм, 2 = 123 нм, N=690 штр/мм, используется тороидальная решетка r = 6456 мм, = 335,77656 мм, 2Y2Z = 13025 мм2, = 77, d = 1378,4351 мм.

Применяя выше описанную методику нахождения оптимальных параметров записи ВГДР, получаем классическую (схема 1) и оптимальную схему записи ВГДР, полученную с помощью вертикального цилиндра (схема 2). Параметры схемы записи приведены в таблице 4.

Таблица 4. Схемы записи решёток спектрометра скользящего падения

	d1	d2		i1	i2	p1	q1	r	1
Схема 1	1271,97	1284,46	-	-44,05	-89,94	-	-	-	-
Схема 2	723,9	269,09	352,54	-39,0	-69,07	131,56	220,98	645,6	-56,5

Результаты расчета полуширины АФ приведены в таблице 5.

Таблица 5. Значение полуширины АФ спектрометра скользящего падения

, нм	40,0	48,3	56,6	64,9	73,2	81,5	89,8	98,1	106,1	114,7	123,0
Схема 1	79,86	79,04	78,85	79,43	80,24	81,87	82,94	83,87	85,52	85,98	86,79
Схема 2	37,22	37,88	39,82	39,89	41,53	43,92	44,22	46,75	47,25	49,33	55,64

Аналогичные результаты могут быть получены в этой же схеме при:

N=1380 штр/мм, 1 = 20 нм, 2 = 62 нм,
N=2760 штр/мм, 1 = 10 нм, 2 = 31 нм.

Расчёты показывают, что в данной схеме скользящего падения использование предлагаемых ВГДР позволяет повысить разрешающую способность приблизительно в два раза. Использование предлагаемых ВГДР необходимо также в виду невозможности изготовления решёток высокого разрешения другим способом.

Основные выводы и результаты работы

В процессе работы получены следующие результаты:

1. Уточнена и дополнена теория аберраций ВГДР, основанная на разложении в ряд соотношений, полученных с помощью точного расчёта хода лучей через решётку, записанную с помощью дополнительных оптических элементов.

2. Предложены оптимальные оптические схемы записи ВГДР с использованием дополнительного цилиндрического зеркала, образующая которого расположена в меридиональной или сагиттальной плоскости.

3. Показано, что в оптической схеме спектрального прибора с использованием ВГДР, записанной в гомоцентрических пучках, и цилиндрического зеркала аберрации 1-3-го порядка могут быть исправлены.

4. Разработаны и реализованы методики расчёта оптимальных параметров схемы записи ВГДР с использованием дополнительного цилиндрического зеркала на основе оптимизации коэффициентов аберраций до 3-го порядка включительно.

5. Исследована зависимость разрешающей способности от ширины рабочей области спектра и светосилы спектрального прибора с ВГДР, записанных предлагаемым способом, и даны рекомендации по выбору оптимальных схем спектральных приборов.

6. Предложены варианты использования разработанных типов ВГДР в различных схемах спектральных приборов. Светосила и/или разрешающая способность таких приборов в 2-10 раз выше по сравнению с ВГДР, записанных в гомоцентрических пучках.

Малышева Н.В. Основные типы вогнутых голограммных дифракционных решеток // Известия вузов. «Геодезия и аэрофотосъемка». – 2007. - №4. – С.146 – 154.
Бажанов Ю.В., Захарова Н.В. Методы расчета оптической схемы записи голограммной дифракционной решетки с использованием цилиндрического зеркала // Известия вузов. «Геодезия и аэрофотосъемка». – 2009. - №5. – С.98 – 100.
Бажанов Ю.В., Захарова Н.В. Вогнутые дифракционные решетки в астигматических пучках // Известия вузов. «Геодезия и аэрофотосъемка». – 2009. - №6. – С.72 – 74.
Бажанов Ю.В., Захарова Н.В. Численно – аналитический метод оптимизации оптических систем с вогнутыми голограммными дифракционными решетками // Электромагнитные волны и электронные системы. – 2009. - №12, том 14. – С.52 – 57.
Бажанов Ю.В., Захарова Н.В. К теории аберраций астигматических пучков вогнутой дифракционной решетки // Оптический журнал. – 2010. - №4. – С. 17-18.
Бажанов Ю.В., Малышева Н.В. Анализ аберрационных свойств вогнутых голограммных решеток // Третий Международный Форум «Голография Экспо – 2006», официальные материалы конференции, Москва. – 2006. – С.60.
Бажанов Ю.В., Малышева Н.В. Оптические системы записи голограммных дифракционных решеток с использованием тороидальных зеркал // Четвертый Международный Форум «Голография Экспо – 2007», сборник трудов конференции, Москва. – 2007. – С.80 - 81.
Бажанов Ю.В., Захарова Н.В. Коррекция аберраций голограммных решеток, записанных с помощью цилиндрической оптики // Шестой Международный Форум «Голография Экспо – 2009», сборник трудов конференции, Киев. – 2009. – C.134.

Дифракционные решетки нашли широкое применение для исследования спектрального состава излучения. До сих пор мы предполагали, что падающий на решетку свет монохроматический, т. е. содержит только одну длину волны. В случае, если решетка освещается светом, имеющим сложный спектр, например белым светом, главные полосы для каждой длины ролны получаются в различных местах; в результате получается спектр. Спектры, соответствующие первой, второй и т. д. главным полосам, называют спектрами первого, второго и т. д. порядка. Значит, в спектре первого порядка разность хода между складываемыми колебаниями равна в спектре второго порядка 2% и т. д. Спектр «нулевого порядка», собственно говоря, не является спектром, так как положение нулевой полосы, определяемое разностью хода нуль, очевидно, не зависит от длины волны.

Мы видели выше, что положение главных светлых полос определяется формулой

где а - ширина каждой щели, ширина промежутка между соседними щелями, целое число, определяющее номер полосы (порядок спектра). Обычно на практике углы невелики, вследствие чего написанное условие превращается в

Для двух разных длин волн мы будем иметь соответственно:

Из формулы (6) следует, что угол между двумя направлениями, соответствующими двум светлым полосам, образованным двумя разными длинами волн, т. е. практически расстояние между этими полосами на экране, прямо пропорционален порядку спектра и обратно пропорционален так называемой постоянной решетке

В то время как в призматическом спектре красная часть «сжата по сравнению с фиолетовой (см. § 42), у дифракционной решетки спектр растянут равномерно и тем больше, чем больше его порядок

Зная постоянную дифракционной решетки (ее можно измерить под микроскопом) и измеряя угол можно с большой точностью определить длину волны света, дающую светлую полосу определенного порядка под углом Мы видели выше, что «дисперсия», т. е. способность решетки растягивать спектр, пропорциональна порядку последнего Поэтому, когда решетку применяют для спектрального разложения, желательно производить наблюдение в спектре возможно большего порядка. Однако ряд обстоятельств препятствует этому: яркость спектра убывает с увеличением порядка (рис. 95). Кроме того, спектры высоких порядков частично перекрывают друг друга. Эти два обстоятельства сильно ограничивают возможность применения спектров высокого порядка.

Известное облегчение в этом смысле дает возможность уничтожения некоторых спектров путем подбора соотношения между a и b. Например, мы видели выше, что при должны исчезать спектры четных порядков.

Мы показали, что с увеличением числа щелей решетки главные дифракционные полосы становятся уже. В связи с этим решетки делают с очень большим количеством щелей, потому что чем уже полосы, тем более детально можно исследовать спектры, состоящие обычно из многочисленных тесных линий. Две близкие линии могут быть разрешены решеткой только в том случае, если ширина изображения каждой из них, определяемая общим числом щелей

решетки, не более, чем расстояние между линиями, определяемое постоянной решетки

Согласно Релею две спектральные линии считаются разрешенными если главный максимум одной линии попадает на первый нуль около главного максимума другой линии.

Условие главного максимума будет:

условие первого нуля (формула (10) гл. III) есть

Так как по условию Релея то

Величина определяет наименьшую разность длин волн, разрешаемую решеткой. Отношение называется разрешающей способностью спектрального прибора.

Таким образом, разрешающая способность решетки, т. е. способность ее разделять близкие спектральные линии, пропорциональная общему числу щелей решетки, измеряется произведением количества щелей на порядок спектра.

Дифракционные решетки изготовляют на стекле или металле (в последнем случае дифракционную картину наблюдают в отраженном свете). Тончайшим алмазным острием с помощью точной длительной машины наносятся штрихи, промежутки между которыми служат щелями. Некоторые решетки имеют около 2000 штрихов на что при величине решетки в несколько сантиметров составляет огромное количество щелей, обеспечивающее большую разрешающую способность. Так, большой дифракционный спектрограф позволяет получать по частям солнечный спектр в таком масштабе, что полная длина его от красного до фиолетового конца составляет около

Оптическая схема спектрографа с дифракционной решеткой очень проста. Узкая щель, параллельная щелям решетки, освещается источником света. Эта щель расположена в главном фокусе первой линзы, создающей плоские волны, падающие на решетку. После решетки стоит вторая линза, в главной фокальной плоскости которой наблюдаются спектры.

Если решетка нанесена на зеркало, то дифракционные спектры наблюдают в отраженном свете. Когда свет падает под углом а с нормалью к решетке (рис. 96), нулевую полосу получают в направлении зеркального отражения. Вся решетка действует при этом как прозрачная решетка являющаяся проекцией на фронт волны. Очевидно, постоянная решетки будет равна с если с - постоянная решетки Следовательно, при косом падении света решетка работает так, как если бы ее штрихи были ближе друг к другу. Это обстоятельство позволило получить дифракционные спектры рентгеновых лучей при скользящем отражении от обычной дифракционной решетки. Ввиду малости длин волн рентгеновых лучей для них требуется решетка с значительно меньшей постоянной, чем для видимого света.

Рис. 96. Плоская отражательная решетка.

Рис. 97. Вогнутая решетка Роуланда.

Сделать такие решетки невозможно. Малое значение косинуса скользящего угла падения заставляет решетку с большой постоянной работать так, как если бы ее постоянная была мала. Пользуясь тем же обстоятельством можно получить спектр, например, от граммофонной пластинки, имеющей всего три - пять штрихов на если смотреть на отражение в ней маленькой лампы при скользящем падении света.

Металлическая отражающая решетка имеет ряд преимуществ по сравнению со стеклянными. В частности, металл как материал более мягкий можно нарезать алмазом гораздо точнее, чем стекло. Кроме того, стекло не пропускает, например, ультрафиолетового излучения; отражающая же решетка позволяет при подходящем материале исследовать широкие участки спектра.

Роуланд предложил наносить штрихи решетки на вогнутую сферическую поверхность зеркала. При этом нет необходимости применять добавочные зеркала, фокусирующие дифракционные спектры. Простое вычисление показывает, что если освещенную щель (рис. 97) поместить где-нибудь на окружности, диаметр которой равен радиусу кривизны решетки, то спектры разного порядка получаются в различных точках той же окружности. При

этом разрешающая сила тем более велика, чем больше радиус кривизны вогнутой решетки. С решетками, имеющими радиус кривизны около удается получать спектры, в которых расстояние между двумя желтыми линиями натрия составляет около 1 см.

Если мы сравним действие дифракционных решеток с действием пластинки Люммера - Герке, то увидим, что в решетках складывается большее число колебаний (десятки и сотни тысяч), зато разность хода между соседними колебаниями (порядок спектра) значительно меньше (не превышает нескольких длин волн). Мы уже указывали, что для разрешающей способности важно только произведение этих величин. Преимущество решеток состоит в том, что они делают доступной для исследования более широкую спектральную область (благодаря малому m; § 28), но практически решетки обычно не дают такой большой разрешающей способности, как интерференционные эталоны.

Рис. 98. Эшелон Майкельсона.

Можно построить дифракционную решетку специального типа, в которой разность хода между соседними колебаниями будет очень велика (но число колебаний, как и в эталоне, сравнительно не велико). Майкельсон предложил пользоваться в качестве дифракционной решетки стопой стеклянных пластинок равной толщины сложенных «ступеньками» (рис. 98). Действие такой решетки, так называемого эшелона, основано на том, что оптический путь света в стекле (показатель преломления 1,5) в 1,5 раза больше, чем равный ему геометрический путь в воздухе. Поэтому, например, лучи

ЦЕЛЬ РАБОТЫ : изучение принципа действия и основных характеристик спектральных приборов на примере спектроскопа на основе вогнутой дифракционной решетки.

ПРИНАДЛЕЖНОСТИ : ртутная лампа, конденсор, вогнутая дифракционная решетка, экран, линейка, оптическая скамья.

1. Вогнутая дифракционная решетка

Принцип действия вогнутой дифракционной решётки подробно рассмотрен в лабораторной работе «Дифракция Фраунгофера». Ниже будет рассмотрена дифракционная решётка именно как спектральный прибор.

Преимущество вогнутой дифракционной решетки заключается в том, что в ней удается совместить функции диспергирующего элемента и объектива, что позволяет использовать ее даже в далекой УФ области спектра, где применение стеклянной оптики невозможно.

При описании фокусирующего действия сферической решётки используют понятие меридиальной (проходящей через центры штрихов и центр кривизны решётки) и сагиттальной (перпендикулярной меридиальной) плоскостей. Фокусирующее действие сферической вогнутой решетки проиллюстрировано на рис.2.

Радиус кривизны решётки связан с углами падения и дифракциилучей и расстояниямиf 1 и f 2 следующими соотношениями:

для меридианального сечения:; (9)

для сагиттального сечения: (10)

Рис. 2. Фокусирующее действие вогнутой сферической решетки в меридианальном (-–) и сагиттальном (– –) сечениях; r – радиус кривизны решетки; f 1 и f 2 – расстояния от центра решётки до щели и спектра; y и j – углы падения и дифракции

Рис.3. Круг Роуланда

Если задать

, то для положения спектра получим

. В этом случае входная щель и спектр расположены на круге с диаметром, равным радиусу кривизны сферической поверхности. Этот круг называюткругом Роуланда (см. рис.3). Для вогнутой решетки справедливо условие главных максимумов (период решетки d отсчитывается по хорде):

Основными характеристиками вогнутой решётки являются: угловая и линейная дисперсия, разрешающая способность.

Угловая дисперсия – величина, показывающая, как меняется угол отклонения лучей при изменении длин волн. Продифференцировав выражение (11), получим соотношение для угловой дисперсии решетки:

Найдем линейную дисперсию вогнутой решётки. Будем отсчитывать координату l по дуге окружности круга Роуланда от центра решетки (рис.3). Т.к. угол дифракции вписан в окружность диаметра r, то j = p/2 - l/ r, а линейная дисперсия:

Разрешающая способность вогнутой решетки, как и плоской, определяется как отношение средней длины волны излучения к минимальной разнице длин волн, которую можно разрешить с помощью решетки и равно произведению максимального порядка спектра q на число рабочих штрихов N решетки:

R = q N (14)

Как и большинству элементов, изготовленных на основе сферических поверхностей, вогнутой решетке присущи искажения изображения - аберрации , наибольшее влияние из которых оказывает - астигматизм , который проявляется в различном фокусирующем действии решетки в меридианальной и сагиттальной плоскостях.

Астигматическое действие сферической дифракционной решетки определяется выражением, задающим удаление (f 2 + D) сагиттального фокуса от вершины решетки. При этом точка входной щели в спектре изображается вертикальным отрезком H , расположенным на круге Роуланда:

где L ш - рабочая высота штриха. Расстояние между горизонтальным и вертикальным фокальными отрезками, равное:

называется астигматической разностью . В идеальном случае отсутствия астигматизма D = 0.

Разделы