Z преобразование для чайников. Z–преобразование
Ряд Фурье
Непрерывная периодическая функция времени лс(/) с периодом Т , удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле (функция jc(f) - периодическая, кусочно-монотонная на периоде, имеющая конечное число точек разрыва 1-го рода), может быть представлена в виде ряда Фурье
где Асо - период дискретизации по частоте:
Х{к) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):
к - номер коэффициента Фурье, соответствующего частоте к А со. Аналогично, непрерывная периодическая функция частоты Х{со) с периодом Q, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье, симметричного (2.7):
где: At - период дискретизации по времени:
х(п) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):
к - номер коэффициента Фурье, соответствующего времени п At.
На основании (2.8) и (2.11) можно записать соотношение для периодов функций и периодов дискретизации во временной и частотной областях:
Т Аса = Q At.
Сравнивая ряды (2.7) и (2.10), легко заметить взаимозаменяемость независимых переменных время-частота.
Z-преобразование и его свойства
При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют преобразование сигналов и характеристик устройств, получившее название Z-преобразования.
Пусть имеется некоторая числовая последовательность
Эта последовательность может быть как конечной, так и бесконечной и содержит отсчетные значения некоторого сигнала. Поставим ей в соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной г.
Такая сумма, если она существует, носит название Z-преобразования последовательности {х к }. Это одностороннее Z-преобразование. Если же
то такое преобразование называют двухсторонним Z-преобразованием.
Здесь М >0 и i?>0 - постоянные вещественные числа. Тогда, из теории функций комплексного переменного следует, что этот ряд сходится для всех значений г, таких, что |z|>/?. Например, дискретный сигнал {х к } = (1,1,1,...) имеет Z-преобразование
являющееся суммой геометрической прогрессии, и сходится при любых z в кольце z > 1. При этом, суммируя, получаем
На границе области аналитичности при z = 1 эта функция имеет единственный простой полюс.
Рассмотрим теперь обратное Z-преобразование. Пусть X(z) - функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области |z|>/?. Умножим обе части равенства, определяющего Z-преобразование, на z k ~ l и получим
Теперь вычислим интегралы от обеих частей этого равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, целиком находящуюся в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции X (z ). Из теоремы Коши следует, что
Тогда интегралы от всех слагаемых в правой части выражения равны нулю, кроме интеграла от слагаемого x k z ~ l , равного х к 2л j . Таким образом, получаем
Данная формула называется обратным Z-преобразоеанием.
Исследуем связь Z-преобразования с преобразованиями Лапласа и Фурье. Запишем выражение для модулированной импульсной последовательности {ШИП).
Преобразование Лапласа от него имеет вид
Если формально положить z = ехр(/?Д),
то это выражение совпадает с формулой для Z-преобразования.
Если же в формуле для Z-преобразования положить Z = ехр(у Д), то выражение
будет преобразованием Фурье от МИП, т. е. спектром МИП.
Рассмотрим некоторые свойства Z-преобразования.
- 1. Линейность. Если и к = а х к + р у к , то U(z) = ос X (z) + /?E(z).
- 2. Z-преобразование смещенного сигнала. Если Ук =х к-и то E(z) = z _1 X(z). Таким образом, символ z -1 служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации Д) в Z-области.
- 3. Z-преобразование свертки. Если fm = ^хкут_к - дискретная свертка двух дискретных сигналов, то F(z) = X(z) Z(z)
Контрольные вопросы
Записать преобразование Лапласа.
Записать преобразование Фурье.
Записать ряд Фурье.
Записать Z-преобразование.
Записать обратное Z-преобразование.
Записать свойства Z-преобразования.
Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты , то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.
Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform).
Основное достоинство z-преобразований заключается в простоте математических операций со степенными полиномами, что имеет немаловажное значение при расчетах цифровых фильтров и спектральном анализе.
Произвольной непрерывной функции s(t), равномерно дискретизированной и отображенной отсчетами s k = s(kDt), равно как и непосредственно дискретной функции, можно поставить в соответствие степенной полином по z, последовательными коэффициентами которого являются значения s k:
s k = s(kDt) Û TZ = s k z k = S(z). (8.3.1)
где z = s+jw = r×exp(-jj) - произвольная комплексная переменная. Полином S(z) называют z-образом или z-изображением функции s(kDt). Преобразование имеет смысл для области тех значений z, в которой ряд S(z) сходится, т.е. сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую полюсов и особых точек.
Смысл величины z в z-полиноме заключается в том, что она является оператором единичной задержки по координатам функции. Умножение z-образа сигнала s(k) на величину z n означает задержку сигнала на n интервалов: z n S(z) Û s(k-n).
Свойства z-преобразования.
Без углубления в теорию, можно констатировать, что все свойства ДПФ действительны и для z-преобразования. Отметим некоторые из них.
Линейность : Если S(k) = a·x(k)+b·y(k), то S(z) = aX(z)+bY(z). Соответственно, z-преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции.
Задержка на n тактов: y(k) = x(k-n).
Y(z) = y(k)×z k = x(k-n)×z k =z n x(k-n)×z k - n = z n x(m)×z m = z n X(z).
Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель z n вызывает сдвиг сигнала на n тактов дискретизации.
Для z-преобразования действительны все известные теоремы о спектрах. В частности, свертка двух сигналов отображается в z-области произведением их z-образов, и наоборот:
s(k) * h(k) Û S(z)H(z), s(k)·h(k) Û S(z) * H(z).
При z = exp(-jwDt) z-преобразование представляет собой особую форму представления дискретных сигналов, при которой на полином S(z) можно ссылаться как на временную функцию (по значениям коэффициентов kDt), так и на функцию частотного спектра сигнала (по значениям аргумента w).
Отображение z-преобразования выполняют на комплексной z-плоскости с Re z и Im z по осям координат (рис. 8.3.1). Спектральной оси частот w на z-плоскости соответствует окружность радиуса:
|z| = |exp(-jwDt)| = = 1.
Подстановка значения какой-либо частоты w в z = exp(-jwDt) отображается точкой на окружности. Частоте w = 0 соответствует точка Re z = 1 и Im z = 0 на правой стороне оси абсцисс. При повышении частоты точка смещается по окружности против часовой стрелки, и занимает крайнее левое положение на частоте Найквиста w N = p/Dt (Re z = -1, Im z = 0).
Z-преобразование позволяет производить разложение сигналов и функций, например передаточных функций фильтров, на короткие составляющие операции свертки, для чего достаточно приравнять z-полином к нулю, найти его корни a i , и переписать полином в виде произведения двучленов:
S(z) = a 0 (z-a 1)(z-a 2)...,
где а 0 - последний отсчет сигнала (коэффициент при старшей степени z).
Лекция 8. Цифровые САУ
Основные положения и определения
Система называется цифровой, если в контуре имеется хотя бы один импульсный элемент. На рисунке 8.1 приведена цифровая САУ на базе микроконтроллера, т.е. функции сумматора и регулятора реализуются программным путем в микроконтроллере, с выхода которого сигналы поступают на объект управления с известной ПФ.
Рисунок 8.1 – Структурная схема цифровой системы
Микроконтроллер приближенно можно описать ПФ запаздывающего звена
Рисунок 8.2 – Выходная характеристика запаздывающего звена
Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ) это модуляция, при которой амплитуда импульса модулированного сигнала У пропорциональна величине информационного сигнала Х, подаваемого на вход модулятора.
Рисунок 8.3 – Виды АИМ
Существует 2 вида АИМ: первого и второго рода. В АИМ 1-го рода амплитуда модулированного сигнала в течение длительности импульса τ повторяет информационный сигнал Х. При АИМ 2-го рода амплитуда импульса в течение длительности импульса τ постоянна. Например, в АЦП используется АИМ 2-го рода.
Рисунок 8.4 – Временная диаграмма работы АЦП
В АЦП преобразование происходит в 2 этапа: дискретизация по времени с периодом Т и квантование по уровню аналогового сигнала.
Поэтому блок АЦП можно представить в виде 2-х элементов: импульсного элемента, осуществляющего дискретизацию по времени и формирователя импульсов, выполняющий квантование по уровню (рисунок 8.5,а). Цифровая система (ЦС), содержащее АЦП, приведена на рисунке 8.5,б.
Рисунок 8.5 – Структурная схема ЦС с АЦП
При увеличении разрядности АЦП (числа квантований) ошибка между значением цифрового сигнала и аналогового уменьшается.
Таблица 8.1 - Относительные ошибки АЦП
Решетчатая функция. Например, .
Разностное уравнение 1-го порядка;
Разностное уравнение 2-го порядка;
Разностное уравнение k-го порядка.
Z-преобразование
Для описания ЦС используется z-преобразование. Для этого необходимо перейти из области t в область р, а затем в область Z.
Преобразование Лапласа имеет вид
.
Приближенно интеграл можно представить в виде суммы
.
Примем , тогда
или
. (8.1)
Пример 1. Найти z-изображение .
.
В правой части уравнения сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен
.
Таблица 8.2 – Примеры перехода из t в Z и P области
F(t) | Р-преобразование | Z-преобразование |
1(t) t t 2 exp(-at) | 1/р 1 /p 2 1 /p 3 1/(p+a) | z / z-1 Tz / (z-1) 2 T 2 z(z+1) /(z-1) 3 z/ (z-e -at) |
Пример 2. Дана x(t) = 1(t). Требуется получить z-изображение другим способом.
Как и при первом способе, получим изображение единичной функции в виде ряда Тейлора
x(z) = 1 + z -1 + z -2 +…..+z - n .
Умножим на z -1 обе части уравнения
x(z) ∙ z -1 = z -1 + z -2 + z - n -1 ,
и вычтем из первого выражения x(z), полученное x(z) ∙ z -1 .
x(z) – x(z) ∙ z -1 = 1.
Пример 3. Дана функция x(t)= t ∙ 1(t). Получить z-изображение.
x(z) ∙ z -1 = Tz -2 + 2Tz -3 + …;
Теоремы Z- преобразования
1) Суммирование и вычитание. Если f 1 (t) и f 2 (t) имеют z-преобразование, то
2) Умножение на константу. Если f(t) имеет z- преобразование F(z), то
3) Сдвиг во временной области. Если f(t) имеет z- преобразование F(z), то
Пример 4. Найти z- преобразование единичной ступенчатой функции 1(t) при задержке ее на один период квантования Т.
4) Об умножении оригинала на экспоненту (смещение в области изображений). Если f(t) имеет изображение f(z), то
5) Теорема о начальном значении. Если f(t) имеет z- преобразование F(z) и если существует предел , то
Из теоремы следует, что значение дискретного сигнала f(t) при t=0 определяется значением F(z) при z = ∞.
6) Теорема о конечном значении. Если f(t) имеет z-преобразование F(z) и если функция (1-z -1)F(z) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса или вне ее, то
Пример 5. Найти конечное значение f(nT) для заданного z-преобразования
Приведем заданную функцию к виду
Определим корни знаменателя, т.е. определим полюса ПФ. Поскольку функция не имеет полюсов на единичной окружности, то
7) Теорема дифференцирования. Если z-преобразование функции f(t,a) есть F(z,a), где а – независимая переменная или константа, то
Пример 6. Определить z-преобразование функции f(t) = te -α t с помощью теоремы дифференцирования.
Обратное z- преобразование
Преобразование Лапласа и его обратное преобразование для непрерывных функций является однозначным. Для z-преобразования обратное z-преобразование не является однозначным. Корректный результат обратного z-преобразования функции F(z) есть f(nT), который равен f(t) только в моменты t = nT.
Рисунок 8.6 иллюстрирует тот факт, что для z-преобразования единичной ступенчатой функции, которое равно z/(z-1) и соответствует последовательности единичных импульсов. Обратное z-преобразование может быть любой функцией, значения которой равны единицы в моменты t=0,T,2T. Неоднозначность обратного z-преобразования является одним из ограничений этого метода.
Вернемся к формуле дискретного преобразования Фурье:
В теории дискретных систем принято использовать несколько иную форму записи, связанную с введением Z – преобразования. Сделаем такую подстановку:
.
Тогда вышеприведенная формула значительно упростится:
.
Вновь полученная функция X(z) переменной z называется Z – изображением или Z – образом дискретного сигнала x(k).
Z – преобразования для дискретных сигналов и систем играют ту же роль, что и преобразование Лапласа для аналоговых систем. Поэтому рассмотрим ряд примеров определения Z – изображений некоторых типичных дискретных сигналов.
1.Единичный импульс (рис. 9.14) является дискретным аналогом δ - импульса и представляет собой единичный отчет с единичным значением:
Z – преобразование единичного импульса находится как
как и для δ - импульса Дирака.
2. Дискретный единичный скачок (рис. 9.15) - это полный аналог функции включения Хевисайда:
Z – образ единичного скачка найдется как
Полученная
сумма – это сумма членов бесконечной
геометрической прогрессии с начальным
членом, равным 1, и знаменателем
.
Сумма членов ряда составляет:
.
3. Дискретная экспонента (рис. 9.16) - это сигнал, определяемый выражением:
При
дискретная экспонента является убывающей
(рис. 9.16), при
- возрастающей, при
- знакопеременной.Z
– образ такой экспоненты
Как
и в предыдущем случае, мы получили
геометрическую прогрессию с нулевым
членом, равным единице, но со знаменателем
.
Бесконечная сумма членов прогрессии
определяетZ
– образ экспоненты:
4. Дискретная затухающая гармоника . В противоположность предыдущим примерам запишем ее в общем виде:
где α – коэффициент затухания гармоники,
ω – частота гармоники,
φ – начальная фаза колебаний,
- период дискретизации.
Введем следующие обозначения:
На
рис.9.17 представлен график дискретной
затухающей гармоники при следующих
данных: а=0.9,
,
φ=π/9. С учетом принятых обозначений
выражение для дискретной затухающей
гармоники можно представить в виде:
.
При получении Z – образа гармоники следует выразить функцию косинуса через сумму двух комплексных экспонент. Тогда, проделав целый ряд алгебраических и тригонометрических преобразований, в конце концов, можно будет получить следующее выражение:
.
Из приведенных
примеров видно, что Z
– образы большинства дискретных сигналов
представляют собой дробно-рациональные
функции от переменной
.
ПроисхождениеZ
– преобразования от преобразования
Лапласа и Фурье приводит к тому, что Z
– преобразование имеет и похожие
свойства.
1. Линейность.
Z
– преобразование линейно, так что если
имеются два сигнала
,
то сумма этих сигналов
имеетZ
– образ
.
2. Временная задержка дискретного сигнала .
Если
дискретный сигнал x(k),
имеющий Z
– образ X(z),
задержать на m
шагов дискретизации
,
то задержанный сигналy(k)=x(k-m)
имеет Z
– образ
.
Выражение
можно рассматривать как оператор
задержки сигнала на один шаг дискретизации.
3. Свертка дискретных сигналов .
По аналогии со сверткой аналоговых сигналов
,
Фурье – образ которой равен произведению Фурье – образов сворачиваемых сигналов, свертка двух дискретных сигналов определяется как
.
Z – образ свертки двух сигналов равен произведению Z – образов исходных дискретных сигналов
4. Умножение на дискретную экспоненту .
Если
дискретный сигнал
,
имеющийZ
– образ
,
умножается на экспоненту
,
тоZ
– образ произведения примет вид
.
Рассмотренные свойства Z – преобразования позволяют во многих случаях без особого труда найти Z – образ заданного сигнала или решить обратную задачу – по известному Z – образу сигнала найти его представление во времени.
При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют так называемые z-преобразования, играющие по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральное преобразование Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам.
Определение z-преобразования
Пусть – числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчётные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной z:
Назовём эту сумму, если она существует, z-преобразованием последовательности . Целесообразность введения такого математического объекта связана с тем, что свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их z-преобразования обычными методами математического анализа. В математике z-преобразование называют также производящей функцией исходной последовательности.
На основании формулы (1.46) можно непосредственно найти z-преобразования дискретных сигналов с конечным числом отсчётов. Так, простейшему дискретному сигналу с единственным отсчётом соответствует . Если же, например, , то
Сходимость ряда
Если в ряде (1.46) число слагаемых бесконечно велико, то необходимо исследовать его сходимость. Из теории функций комплексного переменного известно следующее. Пусть коэффициенты рассматриваемого ряда удовлетворяют условию
при любых . Здесь и – постоянные вещественные числа.
Тогда ряд (1.46) сходится при всех значениях z, таких, что . В этой области сходимости сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек.
Рассмотрим, например, дискретный сигнал , образованный одинаковыми единичными отсчётами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд
является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых z в кольце . Суммируя прогрессию, получим:
На границе области аналитичности при z = 1 эта функция имеет единственный простой полюс. Аналогично получается z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , где а – некоторое вещественное число. Здесь:
Данное выражение имеет смысл в некоторой кольцевой области .
Z-преобразование непрерывных функций
Полагая, что отсчёты есть значения непрерывной функции в точках , любому сигналу можно сопоставить его z-преобразование при выбранном шаге дискретизации:
Например, если , то соответствующее z-преобразование
является аналитической функцией при .
Обратное z-преобразование
Пусть p-content/image_post/osncifr/pic45_8.gif> – функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области . Замечательное свойство z-преобразования состоит в том, что функция определяет всю бесконечную совокупность отсчётов . Действительно, умножим обе части ряда (1.46) на множитель :
Затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы :
Обход контура интегрирования проводится в положительном направлении, против часовой стрелки.
Для решения уравнения (1.50) воспользуемся фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши:
Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части выражения (1.50) обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m , поэтому
Формула (1.51) называется обратным z-преобразованием.
Пример
Задано z-преобразование вида . Найти коэффициенты дискретного сигнала , отвечающего этой функции.
Прежде всего, определим, что функция аналитична во всей плоскости, за исключением точки , поэтому она действительно может быть z-преобразованием некоторого дискретного сигнала.
Перед тем, как решать данную задачу, вспомним из курса высшей математики методику решения криволинейных интегралов с использованием теории вычетов и теоремы Коши о вычетах. Пусть точка есть изолированная особая точка функции . Вычетом функции в точке называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством:
В качестве контура g можно взять окружность с центром в точке достаточно малого радиуса такого, чтобы окружность не выходила за пределы области аналитичности функции
И не содержала внутри других особых точек функции . Вычет функции равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении в окрестности точки : . Вычет в устранимой особой точке равен нулю.
Если точка есть полюс n -го порядка функции , то
В случае простого полюса ()
Если функция в окрестности точки представима как частное двух аналитических функций
причем , т.е. есть простой полюс функции , то
Обращаясь к формуле (1.48), находим, что
при любых idth=41 height=19 src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic46_12.gif> . Таким образом, исходный дискретный сигнал имеет вид:
Связь с преобразованием Лапласа и Фурье
Определим при сигнал вида идеальной МИП:
Преобразовав его по Лапласу, получим изображение при любых постоянных a и b. Доказать данное свойство можно путём подстановки суммы в формулу (1.46). – последовательность чисел, общий член которой равен:
Подобную дискретную свёртку в отличие от круговой иногда называют линейной свёрткой.
Вычислим z-преобразование дискретной свёртки:
Свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение их z-преобразований.