Цифровое моделирование в россии есть: доказано в «неолант. Презентация на тему "цифровое моделирование"

Слайд 8

Нерегулярное размещение высотных отметок в узлах произвольной сети

Слайд 9

Размещение отметок вдоль горизонталей с определенным шагом

Слайд 10

Получение отметок в точках пересечения горизонталей со структурными линиями рельефа

Слайд 11

Источник данных для ЦМР

Главными источниками для создания ЦМР служат крупномасштабные топографические карты. Типовая технология создания ЦМР основана на цифровании (обводке) горизонталей как основной ее составляющей и высотных отметок. Применение мелкомасштабных карт ограничено по условиям генерализации. На таких картах геометрическая точность вступает в противоречие с географическим правдоподобием и морфологическим соответствием, и, как правило, метричностью жертвуют. В теории и практике геоинформатики доказывается, что использование в качестве исходных материалов для построения ЦМР карт масштаба 1: 500 000 и мельче, – бессмысленно.

Слайд 12

Форматы ЦМР

Обычно первичные данные для создания новой ЦМР (получаемые традиционно по картам) приводятся к одному из двух наиболее широко распространенных формата представления: GRID-модели и TIN-модели. Первая модель во многом аналогична растровой модели пространственных данных: она предполагает разбиение пространства карты на далее неделимые элементы (пикселы), внутри которых высота земной поверхности считается постоянной. Пикселы образуют квадраты регулярной обычно прямоугольной матрицы высот, расстояние между которыми определяет пространственное разрешение ЦМР.

Слайд 13

GRID.1

При создании GRID-моделей на первом шаге изучаемую территорию как бы нарезают на квадратные выделы, участки, геометрические размеры которых определяются заранее исходя из качества исходных материалов, задач исследования и технических средств (grid в переводе с английского – решетка, сетка). Малые пиксели детальнее передают неровности земной поверхности, но для создания таких ЦМР требуются крупномасштабные исходные материалы, а образованный массив чисел – огромен и труднообрабатываем. Обычно размер пикселей устанавливают равным 1 – 2 мм в масштабе карты (например, для 1: 100 000 карты размер пиксела – 100 – 200 м на местности). l = 1 – 2 мм

Слайд 14

GRID.2

Слайд 15

GRID.3

Затем по правилам интерполяции определяются значения высот всех прочих пикселов. Рельеф имитируется плотно подогнанными друг к другу параллепипедами разной высоты.

Слайд 16

GRID.4

Слайд 17

GRID. Rezult

Слайд 18

TIN.1

Суть модели TIN – в ее названии: Triangulated irregular network (нерегулярная треугольная сеть). Она представляет собой сеть треугольников, в вершинах которых находятся высотные отметки. Строится она следующим образом. Все точки с известными высотами соединяются попарно отрезками так, чтобы они нигде не пересекались; в противном случае оставляют кратчайший отрезок. Полученная сеть треугольников в топографии получила название элементов триангуляции Делоне. В начертательной геометрии с триангуляцией Делоне тесно связаны полигоны Тиссена, или диаграммы Вороного, обладающие рядом особых свойств. В результате моделируемая поверхность представляется как многогранная.

Слайд 19

TIN.2

X Y Z трехреберные грани

Слайд 20

TIN.4

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23

Интерполяция в ЦМР

Важным элементом построения любой ЦМР независимо от формата представления является интерполирование – т.е. нахождение высот земной поверхности любой произвольной точки, для которой известны только плановые координаты X и Y, по некоторой сети опорных точек, называемых узлами интерполяции, для которых известны все три координаты – X,Y и Z. Для GRID-моделей интерполяция необходима для получения непрерывной матрицы высот по дискретным необязательно регулярным опорным точкам, в TIN-моделях она применяется с целью сгущения сети треугольников, обычно весьма разреженной. Все методы интерполяции делятся на глобальные и локальные, а также точные и аппроксимирующие.

Слайд 24

Глобальная инетполяция

При глобальной интерполяции определение высот произвольных точек осуществляется с использованием всех узлов интерполяции. В этом случае изменение в исходном наборе опорных точек (добавление, удаление и т.п.) сказывается на всей результирующей ЦМР. глобальная интерполяция

Слайд 25

Локальная интерполяция

В локальной интерполяции расчет высоты ведется лишь в непосредственных окрестностях точки, многократно повторяя алгоритм вычисления в разных частях ЦМР. локальная интерполяция

Слайд 26

Аппроксимирующая интерполяция

В основе аппроксимирующих методов лежит соображение о неточности или даже ошибках исходных данных, потому они отражают лишь общий тренд поверхности, не воспроизводя точного значения высоты в опорных точках.

Слайд 27

Точная интерполяция

Точные методы интерполяции сохраняют высоты в опорных точках, на которых базируется сама интерполяция, и поверхность проходит через все точки с известными аппликатами.

Слайд 28

Linear interpolation

Среди конкретных реализаций алгоритмов интерполяции наиболее часто употребляется линейная интерполяция, выполняемая от точки к точке по отрезкам прямых линий. z x или y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 порядковые номера ячеек растра d d0 z1 z2 z0 z0 = z1 + (z2 – z1) · d0 / d

Слайд 29

Inverse weight interpolation

Другой метод – метод обратных весовых коэффициентов – при интерполировании позволяет в большей степени учитывать влияние близ лежащих точек и в меньшей – находящихся на удалении. z x или y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 порядковые номера ячеек растра d2 z1 z2 z0 z0 = (d1 · z1 + d2 · z2) / (d1 + d2) d1

Слайд 30

Nearest neighbor interpolation

В следующем способе – методе ближайшего соседа – высота точки принимается равной высоте опорной точки, располагающейся ближе всего. z x или y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 порядковые номера ячеек растра d2 z1, z0 z2 z0 = z1 |если d1

Слайд 31

Spline interpolation

Следующий метод интерполяции получил названия метода сплайнов (splineв переводе с английского – упругая линейка), или кусочно-полиномиального сглаживания.

Слайд 32

концы отрезков криволинейные отрезки сплайна f3´(z, x[y]) f1(z, x[y]) f2(z, x[y]) f3(z, x[y]) f4(z, x[y]) f5(z, x[y]) f1´´(z, x[y]) z x или y z x или y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 порядковые номера ячеек растра z1 z2 z0 z0 = f(z, x[y]) x[y]1 z3 z4 x[y]2 x[y]3 x[y]4 f(z, x[y])

Слайд 33

Аппроксимирующая интерполяция

Все рассмотренные методы интерполяции относятся к точным. Однако наибольшую популярность завоевали аппроксимирующие методы: полиномиальная интерполяция кригинг.

Слайд 34

В аппроксимирующих методах рельеф земной поверхности понимается как очень сложная функция вида z = F(x, y), т.е. высота точки зависит от ее пространственного положения. Эта функция неизвестна и неопределима, поскольку учитывает огромное число причин и факторов, влияющих на рельеф. Но ее можно заменить более простой функцией, свойства которой известны, и представить рельеф в виде z = f(x, y) + ε, где ε– некоторый неразложимый остаток, очень малый по величине: = ε→ 0.

Слайд 35

Полиноминальная интерполяция

В полиномиальной интерполяции отыскание высот промежуточных точек z0 проводится путем решения полиномов заданной степени m: где aij– коэффициенты полинома, а x и y – координаты сети. Коэффициенты полинома определяются исходя из условия минимизации ε, для этого необходимо, чтобы число опорных точек, привлекаемых для расчета, было не меньше величины (m + 1)·(m + 2) / 2. Порядок полинома указывает на число чередующихся максимумов или минимумов аппроксимирующей поверхности, которое равно m – 1.

Слайд 39

Кригинг.1

В методе кригинга изменчивость высот подразделяется на три компоненты: трендовую e автокорреляционную e´ случайнуюe´´ На примере одномерной функции значения высот z в точках x может быть представлено как: z(x)= e(x) + e´(x) + e´´(x).

Слайд 40

Кригинг.2

Трендовая компонента отражает направленность изменений высот Автокорреляционная характеризуют физически трудно объяснимую вариацию, зависящую от соседних точек Случайная – некоторый статистический шум, равный постоянному значению. Различают простой кригинг и универсальный. В простом кригинге тренд e(x) предполагается постоянным и рассматривается как средняя арифметическая высота. В универсальном кригинге тренд обычно моделируется полиномами первой или второй степени.

Слайд 41

Кригинг.4

z x z x e(x) e´(x) e´´(x) z(x) = e(x) + e´(x) + e´´(x)

Посмотреть все слайды

Цифровое моделирование на современном этапе развивается наиболее динамично. Это связано с интенсивным развитием математического обеспечения, формирующегося в виде пакетов прикладных программ. Использование этих пакетов повышает производительность моделирования и одновременно упрощает его.

Достоинства метода цифрового моделирования:

1. Решается любой класс задач подлежащих математической интерпретации;

2. Высокая точность решения (ограничена только временем решения задачи);

3. Легкость перехода от одной задачи к другой (необходимо лишь перезапустить программу);

4. Возможность исследования объектов высокой размерности.

Недостаток метода цифрового моделирования – конечное время моделирования, которое может не совпадать с реальным временем.

Цифровая вычислительная машина - это комплекс технических устройств, в которых могут протекать процессы, отображающие (моделирующие) действия с числами. Именно действия над числами составляют суть вычислительных операций при численном решении различных математических задач. Моделирование процесса численного решения математической задачи на ЦВМ практически означает автоматическое решение ее с помощью ЦВМ.

Числа могут не только выражать значение постоянных и переменных величин, но и являться символическими условными моделями самых разнообразных других объектов - букв, слов, предметов, явлений и т.д. Это позволяет свести к действиям над числами различные невычислительные задачи, например, определение числа объектов с заданными свойствами. Благодаря этому возможно моделирование на ЦВМ процедуры решения невычислительной задачи, т.е. машинная реализация этого решения.

Процесс функционирования любого материального объекта представляет последовательную смену его состояний во времени, каждое из которых определяют конкретные значения некоторых физических величин. Если объект является непрерывной системой, то эти величины - непрерывные функции непрерывного времени.

Математическое описание объекта составляют различные математические формы выражения количественных соотношений между переменными и постоянными. Это различные функции, уравнения, системы уравнений, условия однозначности их решений, неравенства и другие математические представления.

Если известно математическое описание функционирования объекта-оригинала, согласно этому описанию определен процесс над числами, выражающими значения величин, характеризующих состояние объекта, и этот процесс отображен в ЦВМ, то процесс, реализуемый ЦВМ, является материальной функциональной формальной математической подобной цифровой моделью оригинала.

Дискретная природа функционирования ЦВМ требует, как правило, приведение исходного математического описания оригинала к виду, удобному для цифрового моделирования. Прежде всего необходима дискретизация непрерывных величин. При этом непрерывные функции подвергаются квантованию по уровню и аргументу. В результате непрерывная функция непрерывного аргумента y = f(t) превращается в дискретную функцию дискретного аргумента

T y k y = f (Tk),

где k и k y - числа принимающие значения 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... ; T и Ty - кванты переменных t и y.

Квантование по уровню - это замена значения y соответствующим числом определенной разрядности, сопровождающаяся погрешностью округления

D y < T y /2.

Поскольку в современных ЦВМ число разрядов велико 32 и более и погрешность пренебрежимо мала, поэтому практически можно считать, что функционирование ЦВМ описывается решетчатыми функциями вида

y = f (Tk) = f [ k ]

и моделирует их.

Для цифрового моделирование оригинала необходима алгоритмизация математического описания оригинала. Алгоритм - это точно определенное правило выполнения расчетных операций над числами, последовательность которых составляет общий процесс преобразования исходных данных в результат решения соответствующей задачи. Алгоритмизация математического описания заключается в получении соответствующего этому описанию алгоритма. Если, например, функционирование оригинала описывается дифференциальным уравнением, то алгоритмизация заключается в составлении алгоритма численного решения этого уравнения. По существу алгоритмизация математического описания и заключается в приведении его к виду, удобному для цифрового моделирования. Она выполняется на основе выбранного численного метода решения задачи, который позволяет свести решение к арифметическим действиям. При этом часто оказывается полезным применение аппарата решетчатых функций

Алгоритм может быть представлен в трех основных формах: аналитической, словесной и структурной.

Аналитическая форма алгоритма - это выражение его в виде явной функции соответствующих аргументов или в виде рекуррентной формулы. Форма отличается большой компактностью, но возможности применения ее ограничены.

Словесная форма алгоритма - это его описание его на естественном языке, обстоятельная инструкция для лица, решающего задачу вручную на бумаге. Форма является универсальной, но отличается громоздкостью и отсутствием наглядности.

Структурная форма алгоритма - это его описание в виде структурной схемы, состоящей из отдельных блоков, соединенных прямыми линиями. Каждый блок соответствует некоторой операцией над числами. Форма является универсальной, компактной и наглядной. Поэтому она используется наиболее часто.

В целом процесс моделирования на ЦВМ состоит из следующих этапов:

1. Составление исходного алгоритма, т.е. алгоритмизация математического описания оригинала.

2. Составление промежуточного алгоритма на алгоритмическом языке.

3. Получение машинного алгоритма.

4. Отладка программы.

5. Машинная реализация решения задачи.

Первые четыре подготовительных этапа значительно упрощаются благодаря применению типовых алгоритмов и соответствующих им стандартных программ, заранее составленных и многократно используемых для решения таких задач, как вычисление элементарных функций, определение нулей полиномов, перевод чисел из одной системы счисления в другую и др.

Комплекс программных средств, предназначенных для снижения трудоемкости подготовительной работы, повышения эффективности использования машины и облегчения ее эксплуатации, называется математическим обеспечением ЦВМ.

При цифровом моделировании наиболее часто приходится иметь дело с решетчатыми функциями f[k], соответствующими непрерывным функциям непрерывного аргумента. Непрерывная функция, совпадающая с дискретами решетчатой функции, называется огибающей этой решетчатой функции. Каждая непрерывная функция f(t) может служить огибающей различных решетчатых функций f i [k] = f(T i k), отличающихся параметром T i - периодом дискретизации функции f(t). Каждая решетчатая функция может иметь множество различных огибающих.

Различным математическим формам и представлениям, характеризующим или определяющим непрерывную функцию f(t), можно поставить в соответствие аналоги, характеризующие или определяющие решетчатую функцию f(k). Аналогом первой производной функции f(t)

являются первое разностное уравнение функции f[k]

Т.е. совершается переход к численным методам решения.

Итак, окончательно,

* первым этапом является при проектировании является выбор наиболее подходящей математической модели. Этот этап должен обеспечить получение наиболее удачной математической модели и выработке требований к условиям модели;

* вторым этапом процесса проектирования является подготовка математической модели для моделирования. Задача решается приведением к структурной схеме дискретного процесса и приведением системы уравнений к дискретной форме. Этот этап завершается двумя результатами: математическим описанием и структурной схемой всей дискретной системы. Структурная схема полученной дискретной системы должна быть идентична структурной схеме непрерывной системы по потоку информации;

* третьим этапом является написание программы для осуществления математического моделирования. Это решающий этап, содержащий строгое соблюдение временных соотношений в синтезируемой математической модели, как правило наибольшее число проблем возникает при переходе от задач 2го этапа к задачам 3го этапа;

* четвертый этап испытание, проверка и отладка модели, после которого получается законченная модель.

Задача цифрового моделирования радиосигналов, радиопомех и случайных процессов формулируется как задача нахождения алгоритмов (по возможности наиболее простых), позволяющих получать на ЦВМ дискретные реализации (выборочные функции) моделируемых процессов. Это самостоятельная и довольно сложная задача синтеза дискретных случайных процессов, имитирующих непрерывные процессы с заданными статистическими характеристиками. Она решается путем отыскания удобных для.реализации на ЦВМ линейных и нелинейных (преобразований, с помощью которых можно превратить независимые равномерно или нормально распределенные случайные числа, вырабатываемые датчиком случайных чисел, в случайные последовательности с требуемыми статистическими свойствами.

Задача цифрового моделирования радиосистем формулируется как задача разработки алгоритмов, которые по заданным характеристикам систем, например передаточным функциям и характеристикам нелинейности отдельных звеньев, позволяют точно или с допустимой погрешностью преобразовывать на ЦВМ дискретные реализации входных воздействий в дискретные реализации соответствующих выходных эффектов моделируемых систем. Эти алгоритмы называются цифровыми моделями систем.

Следует пояснить некоторые особенности цифрового моделирования радиосистем и принятого здесь подхода к моделированию.

Развитие теории моделирования вообще, а цифрового моделирования в частности, определяется степенью математического описания явлений и процессов, имеющих место в различных отраслях науки и техники. В отличие от некоторых других областей применения цифрового моделирования, например моделирования производственных процессов или же процессов в биологических системах, где математическое описание явлений часто представляет собой весьма сложную задачу, математическое описание процессов функционирования радиосистем достаточно хорошо развито.

Действительно, основным назначением радиосистем является передача, прием и переработка информации, заключенной в сигналах. С информационной точки зрения радиосистемы можно рассматривать как специализированные вычислительные машины (обычно аналогового типа с весьма высоким быстродействием), точно или приближенно реализующие заранее предписанные алгоритмы работы (см. по этому поводу ). Входящие в эти алгоритмы операции, такие, как модуляция, фильтрация, усиление, преобразование частоты, детектирование, ограничение, накопление, слежение и т. д., как правило, допускают сравнительно простую математическую формулировку.

Математическое описание сводится при этом к переводу известной программы работы радиосистемы, сформулированной на обычном радиотехническом языке, на язык математики, на котором, например, фильтрация, есть скользящее интегрирование, накопление - суммирование, амплитудное детектирование - выделение огибающей и т. д. В результате создается математическая модель радиосистемы. Цифровая модель системы получается на втором этапе, когда на основе математической модели разрабатывается дискретный алгоритм процесса функционирования объекта моделирования, предназначенный для реализации на ЦВМ.

Реализация цифровой модели радиосистемы на ЦВМ означает, по существу, замену специализированной вычислительной машины, которой является данная радиосистема, универсальной ЦВМ.

Подход к моделированию радиосистем как к замене одной вычислительной машины другой - это так называемый функциональный принцип моделирования, согласно которому модель считается эквивалентной оригиналу, если она с достаточной точностью воспроизводит лишь функцию оригинала, например алгоритм преобразования входных сигналов в выходные сигналы радиоприемного устройства. При этом модель и оригинал не подобны в целом, так как при моделировании опускаются несущественные с информационной точки зрения подробности, связанные, например, с конкретным материальным воплощением моделируемой системы. Такой подход к моделированию целесообразен в ряде задач, например при выборе принципов построения радиосистем на этапе проектирования, при оценке помехоустойчивости схем (алгоритмов) обработки сигналов, при оценке эффективности помех и при других исследованиях.

Конечно, существуют задачи, при решении которых методом моделирования функциональный принцип нецелесообразен, например, при исследовании влияния параметров реальных элементов (электровакуумных и полупроводниковых приборов, индуктивностей, емкостей, сопротивлений и т. д.), из которых состоит данное радиоустройство (блок), на его характеристики: передаточные функции, стабильность, линейность, динамический диапазон и т. д. В этих случаях нужно переходить на уровень более подробного моделирования. Такой подход к моделированию в зарубежной литературе называется применением ЦВМ для анализа и синтеза цепей . В данной монографии эти методы цифрового моделирования не рассматриваются.

В ней приводятся методы цифрового моделирования, основанные на знании более обобщенных характеристик систем, чем характеристики их простейших элементов. В качестве таких обобщенных характеристик используются алгоритмы работы систем, следующие из их функционального назначения, передаточные функции или импульсные переходные характеристики линейных динамических звеньев, характеристики нелинейности нелинейных блоков, образующих систему, т. е. моделирование осуществляется на уровне функциональных, а не принципиальных схем систем.

Обычно моделируемые радиосистемы можно представить как комбинацию лишь двух основных типов звеньев - линейных инерционных звеньев (усилители, фильтры, следящие системы и т. д.) и нелинейных безынерционных звеньев (ограничители, детекторы, логические блоки и т. д.). Из этих двух типов функциональных единиц путем наращивания блок-схемы и варьирования характеристик звеньев строятся радиосистемы любой сложности. Алгоритмы для моделирования таких функциональных систем нетрудно найти, зная алгоритмы для моделирования отдельных звеньев систем.

Задача математического описания функционирования звеньев радиосистем не имеет однозначного решения. Например, линейную фильтрацию можно описать как процесс изменения амплитуд и фаз гармоник входного воздействия (метод Фeрье) и как скользящее интегрирование входного процесса с некоторым весом (метод интеграла Дюамеля. В свою очередь, одной и той же математической модели могут соответствовать различные цифровые модели; например, процесс непрерывной фильтрации, заданный в виде интеграла Дюамеля, может быть представлен в дискретной форме как скользящее суммирование и как процесс вычисления в соответствии с рекуррентным разностным уравнением. В связи с этим основным направлением при разработке методов цифрового моделирования радиосистем является не столько математическое описание и создание их цифровых моделей вообще, сколько нахождение эквивалентных цифровых моделей и выбор среди них наиболее удобных для реализации на ЦВМ, т. е. наиболее эффективных с точки зрения выбранного критерия эффективности.

В качестве такого критерия используется в дальнейшем критерий минимума вычислительных затрат (минимального объема и времени вычислений) при заданной точности моделирования.

В книге изложены различные методы сокращения вычислительных затрат. Основными из них являются следующие.

1. Использование при моделировании сигналов, помех и процессов функционирования систем экономичных рекуррентных (марковских) алгоритмов, согласно которым очередное состояние объекта моделирования можно легко найти, зная одно или несколько его предыдущих состояний. (Этот метод имеет довольно большую область применения, так как многие процессы в радиосистемах являются либо строго, либо приближенно марковскими.)

2. Применение метода огибающих с целью исключения из рассмотрения высокочастотных составляющих несущей частоты.

3. Эквивалентные преобразования функциональных схем систем с целью получения более простых для моделирования функционально подобных систем.

4. Разномасштабное моделирование (использование малого шага дискретизации для быстроизменяющихся процессов и большого шага дискретизации для медленно изменяющихся процессов при моделировании систем, процессы в которых одновременно протекают в различных участках частотного диапазона) и моделирование с переменным масштабом (использование переменного шага дискретизации).

Применение указанных методов сближает по быстродействию цифровое и аналоговое моделирование. В других аспектах цифровое и аналоговое моделирования радиосистем могут иметь различную эффективность, определяемую достоинствами и недостатками цифровых и аналоговых вычислительных машин.

Однако там, где требуется иметь универсальный аппарат для моделирования разнообразных систем: дискретных автоматов, непрерывных и дискретных динамических систем (линейных и нелинейных с постоянными, переменными, сосредоточенными и распределенными параметрами), систем массового обслуживания и т. д., там, где требуется высокая точность, развитая логика, наличие эффективной системы памяти, большой динамический диапазон величин, цифровое моделирование имеет существенные преимущества перед аналоговым.

К недостаткам цифрового моделирования в настоящее время следует отнести: сравнительно невысокое быстродействие, несовершенную еще систему связи «человек - машина» (недостаточно наглядная регистрация результатов, трудности изменения параметров и структуры моделируемой системы в процессе решения задачи), высокую стоимость часа машинного времени. Однако есть основания считать, что в дальнейшем, по мере совершенствования электронной цифровой вычислительной техники и методов ее математического обеспечения, указанные недостатки будут устранены. Некоторые дополнительные преимущества и недостатки цифрового моделирования отмечены в ходе изложения материала.

Аналоговое моделирование осуществляется более просто, превосходит в ряде случаев цифровое моделирование по быстродействию, отличается большей наглядностью, экономически более выгодно, однако оно имеет невысокую точность, сравнительно небольшой динамический диапазон и не столь универсально. Этот вид моделирования наиболее эффективно применяется как известно , при исследовании непрерывных динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Недостатки аналогового моделирования могут быть компенсированы в комбинированных аналого-цифровых моделях .

В данной книге речь будет идти лишь о цифровом моделировании, однако некоторые рассматриваемые в ней методы могут быть использованы и при аналоговом, а также при аналого-цифровом моделировании, например метод формирующего фильтра при моделировании случайных сигналов.

В дальнейшем вместо термина «цифровое моделирование», как правило, будет использоваться термин «моделирование».

Поскольку в книге рассматриваются методы математического моделирования, то в ней «много математики». Однако для понимания материала от читателя требуется не столько знаний математики в ее строгом классическом смысле, сколько знаний «радиоматематики», по терминологии С. М. Рытова , и «математики контуров», то. терминологии Вудворда , а также вопросов прикладной теории случайных процессов и статистической радиотехники в объеме соответствующих глав книг . Кроме этого от читателя требуется знать некоторые основы математического аппарата теории дискретных систем, в частности основные свойства -преобразования , возможности ЦВМ и принципы программирования .

В книге не приводятся блок-схемы возможных программ для реализации на ЦВМ моделирующих алгоритмов. Алгоритмы даны в формульном виде. Для пояснения формульных алгоритмов приводятся передаточные функции и структурные схемы дискретных фильтров, осуществляющих операции над входными числовыми последовательностями в точном соответствии с предлагаемыми алгоритмами.