Егэ профильный уровень. Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения
Анализ результатов ЕГЭ (профильный уровень)
учащихся 11 класса МБОУ «Тетюшская СОШ №2»
за 2015-2016 учебный год (06.06.2016 год)
ЕГЭ по математике профильного уровня состоит из двух частей, первая часть содержит задания с кратким ответом, вторая часть - задания с кратким и развернутым ответом. ЕГЭ профильного уровня проверяет умение выполнять вычисления и преобразования, решать уравнения и неравенства, выполнять действия с функциями, с геометрическими фигурами, строить и исследовать математические модели, во вторую часть добавлено задание профильного уровня (17) с экономическим содержанием. Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий. Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:
Часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом (проверяющие наличие практических математических знаний и умений базового уровня);
Часть 2 содержит 4 заданий (задания 9-12) с кратким ответом повышенного уровня и 7 заданий (задания 13-19) с развернутым ответом (по материалу курса математики средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки) повышенного и высокого уровня сложности.
В целях более эффективного отбора выпускников для продолжения образования в высших учебных заведениях с различными требованиями к уровню математической подготовки выпускников задания части 2 работы предназначены для проверки знаний на том уровне требований, которые традиционно предъявляются вузами с профильным экзаменом по математике. Последние два задания части 2 предназначены для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов.
Результаты профильного ЕГЭ по математике оцениваются в и могут быть представлены абитуриентом на конкурс для поступления в вуз.
В этом году ЕГЭ по математике профильного уровня сдавали 14 учащихся.
Был определен минимальный порог – 27 баллов.
Минимальный порог перешли все 14 учащихся.
От 40-50 баллов: 2 уч.(45б., 50б.) - 14%
От 51-60 баллов: 4 уч.(56б) – 28,5%
От 61-70 баллов: 3 уч.(62б., 70б.)-21%
От 71-80 баллов: 5 уч.(72б., 74б., 74., 80)-36%
Максимальный балл: 80 (Тайманов Данил и Паргереева Арина)
Средний балл: 64,4 балла
Поэлементный анализ
Обозначение задания в работеПроверяемые
требования
(умения)
Уровень трудности
Процент выполнения заданий
Уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни
93
Чтение графиков и диаграмм
100
Планиметрия: вычисление длин и площадей
100
Начала теории вероятностей
100
Простейшие уравнения
100
Планиметрия: задачи, связанные с углами
100
Производная и первообразная
36
Стереометрия
93
Вычисления и преобразования
71
Задачи с прикладным содержанием
П
71
Текстовые задачи
64
Наибольшее и наименьшее значение функций. Экстремумы функции
93
Уравнения
71
Стереометрическая задача
0
Неравенства
36
Планиметрическая задача
0
Финансовая математика
21
Задача с параметром
0
Числа и их свойства
43
Из таблицы видно, что выпускники показали отличные результаты при выполнении заданий №2, 3, 4, 5, 6 (100%) и хорошие результаты - №1, 8, 12 (93%). Задания №14, 16, 18 повышенного уровня и высокого уровня не решены. Но можно отметить неплохое выполнение заданий №9, 10, 13 (71%) и №11 (64%). Задачи с кратким ответом по геометрии активно решались всеми участниками ЕГЭ. При этом общий уровень геометрической, и особенно стереометрической, подготовки выпускников по-прежнему остается низким. В частности, имеются проблемы не только вычислительного характера, но и связанные с недостатками в развитии пространственных представлений выпускников, а также с недостаточно сформированными умениями правильно изображать геометрические фигуры, проводить дополнительные построения, применять полученные знания для решения практических задач.
Выводы:
1. Организацию подготовки к сдаче ЕГЭ по математике следует начать с выявления целевых групп учащихся (первая группа – учащиеся, которые ставят перед собой цель преодолеть порог базового уровня, вторая – преодолеть порог профильного уровня поступить в вуз).
2. В процессе обучения вырабатывать у учащихся привычки самоконтроля и самопроверки.
3. При подготовке учащихся к выполнению второй части экзаменационной работы необходимо постоянно помнить о её дифференцированном характере. Подбирая задания для тренировки (например, в ходе итогового повторения), их следует соотносить с возможностями и потребностями каждого учащегося, а также с уровнем класса в целом.
4. Уделять должное внимание геометрической подготовке.
5. Организовать в классе разноуровневое повторение по выбранным темам.
6. С сильными учащимися, помимо тренировки в решении задач базового уровня сложности (в виде самостоятельных работ), проводить разбор методов решения задач повышенного уровня сложности, проверяя усвоение этих методов на самостоятельных работах и дополнительных занятиях.
7. Для успешной сдачи ЕГЭ необходимо систематически изучать математику, развивать мышление, отрабатывать навыки решения задач различного уровня.
8. Особое внимание в преподавании математики следует уделить регулярному выполнению упражнений, развивающих базовые математические компетенции школьников (умение читать и верно понимать условие задачи, решать практические задачи, выполнять арифметические действия, простейшие алгебраические преобразования, действия с основными функциями и т.д.).
Учитель: /Тайманова Л.А./
Навигация:
- Математика
Задание 2.
Задание:
Ивану Кузьмичу начислена заработная плата 20 000 рублей. Из этой суммы вычитается налог на доходы физических лиц в размере 13%. Сколько рублей он получит после уплаты подоходного налога?
Решение:
100% это 20 000 рублей.
Считаем, сколько рублей составляет один процент:
20 000: 100 = 200Вычисляем сумму налога:
Вычитаем налог из зарплаты:
20 000 – 2600 = 17 400 (рублей)
Ответ: 17 400.
Источник: Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2016, базовый уровень.
Задание 4
Задание:
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.
Решение:
Из 25 билетов 23 не содержат вопроса о грибах, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос о грибах, равна
2 / 25 = 2*4 / 25*4 = 8 / 100 = 0,08
Ответ: 0,08.
Источник: Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2016, профильный уровень.
- Русский язык
Задание 9
Задание:
Определите ряд, в котором в обоих словах пропущена одна и та же буква. Выпишите эти слова, вставив пропущенную букву.
бе..цельный, ра..кол
не..глядный, з..ходил
пр..обрёл, пр..белый
раз..скать, на..скось
пре..стать, о..бойный
Решение:
Приведём верное написание:
бесцельный, раскол
неоглядный, заходил
приобрёл, пребелый
разыскать, наискось
предстать, отбойный.
Ответ: бесцельный, раскол.
Источник: Демонстрационный вариант ЕГЭ по русскому языку 2016.
Задание 12
Задание:
Определите предложение, в котором НЕ со словом пишется СЛИТНО. Раскройте скобки и выпишите это слово.
Живопись И.К. Айвазовского получила признание зрителей (НЕ)ОБЫКНОВЕННО рано: уже в юности за этюд «Воздух над морем» художнику была присуждена серебряная медаль.
Поэзия А.А. Ахматовой возвращает вещам первозданный смысл и останавливает внимание на том, что мы в обычном состоянии (НЕ)ОЦЕНИВАЕМ.
(НЕ)ПРЕКРАЩАВШИЙСЯ всю ночь сильный восточный ветер поднял большие волны.
С тёмного неба, из лохматых туч, в смятении давящих друг друга, (НЕ)ПЕРЕСТАВАЯ, раздаются раскаты грома.
Решение:
Приведём верное написание.
Живопись И. К. Айвазовского получила признание зрителей НЕОБЫКНОВЕННО (можно заменить синонимом «очень») рано: уже в юности за этюд «Воздух над морем» художнику была присуждена серебряная медаль.
Поэзия А. А. Ахматовой возвращает вещам первозданный смысл и останавливает внимание на том, что мы в обычном состоянии НЕ ОЦЕНИВАЕМ (НЕ с глаголом).
НЕ ПРЕКРАЩАВШИЙСЯ (в составе причастного оборота, поэтому раздельно) всю ночь сильный восточный ветер поднял большие волны.
С тёмного неба, из лохматых туч, в смятении давящих друг друга, НЕ ПЕРЕСТАВАЯ (НЕ с деепричастием), раздаются раскаты грома.
Ответ: необыкновенно.
Источник: Демонстрационный вариант ЕГЭ по русскому языку2016 .
- Обществознание
Задание 5
Задание:
Установите соответствие между отличительными признаками и типами обществ, которые они иллюстрируют: к каждой позиции, данной в первом столбце, подберите соответствующую позицию из второго столбца.
Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
А Б В Г Д Решение:
Доиндустриальное (аграрное/традиционное):
1. основа производства - земля, сельское хозяйство, труд;
2. преобладание ручного труда;
3. приспособление к окружающей среде, слияние с природой;
4. экстенсивный путь развития.
Индустриальное:
1. промышленность;
2. крупная машинная промышленность;
4. интенсивный путь развития.
Постиндустриальное (информационное):
1. знания, информация, высокие технологии;
2. компьютеризация, широкое применение машинной техники;
3. преобразование окружающей среды;
4. интенсивный путь развития.
Ответ: 32311.
Задание 13
Задание:
Выберите верные суждения о функциях политической партии в демократическом обществе и запишите цифры, под которыми они указаны.
1) Политические партии участвуют в организации, подготовке и проведении парламентских выборов.
2) Политические партии участвуют в судопроизводстве.
3) Политические партии мобилизуют граждан на осуществление политических действий.
4) Политические партии участвуют в формировании правоохранительных органов.
5) Политические партии проводят организационные мероприятия среди партийного актива.
Решение:
Политическая па́ртия - особая общественная организация, непосредственно ставящая перед собой задачи овладеть политической властью в государстве или принять в ней участие через своих представителей в органах государственной власти и местного самоуправления.
Ответ: 135.
Источник: Демонстрационный вариант ЕГЭ по обществознанию 2016.
- История
Задание 3
Задание:
Ниже приведён список терминов. Все они, за исключением одного, относятся к событиям (явлениям) XIX в.
1) вольные хлебопашцы;
2) министерства;
4) третьеиюньский переворот;
5) мировые судьи;
6) военные поселения.
Найдите и запишите порядковый номер термина, относящегося к другому историческому периоду.
Решение:
Третьеиюньский переворот относится к XX веку.
Ответ: 4.
Задание 14
Задание:
Напишите название города, обозначенного на схеме цифрой «1».
Решение:
Цифрой «1» на карте обозначена столица Владимиро-Суздальского княжества г. Владимир.
Ответ: Владимир.
Источник: Демонстрационный вариант ЕГЭ по истории 2016.
- Биология
Задание 8
Задание:
Сохранение признаков у гетерозисных гибридов растений возможно только при:
1) половом размножении;
2) вегетативном размножении;
3) отдалённой гибридизации;
4) использовании метода полиплоидии.
Решение:
Сохранение признаков у гетерозисных гибридов растений возможно только при вегетативном размножении.
Профильный уровень
Условия задач, и решения
Инструкция по выполнению работы
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 4 задания повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности с развёрнутым ответом. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут). Ответы к заданиям 1–12 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2. Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручек. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха!Часть 1
Ответом к заданиям 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
1. Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут (время московское) и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?
2 . На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 г. По горизонтали указаны номера месяцев; по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией. Сколько месяцев средняя температура была больше 18 градусов Цельсия?
3 . На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображён треугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в см 2 .
4 . В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.
5 . Найдите корень уравнения
6 . Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32°. Найдите угол BOC . Ответ дайте в градусах.
7 . На рисунке изображён график дифференцируемой функции . На оси абсцисс отмечены девять точек: . Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.
8. В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ выразите в см.
Часть 2
9 . Найдите , если и .
10 . Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением ,где = 1500 м/с - скорость звука в воде; - частота испускаемого сигнала (в МГц); - частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.
11 . Весной катер идёт против течения реки в раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
12 . Найдите точку максимума функции .
Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13 . а) Решите уравнение
.б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.14 . Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 имеют длину 6. Точки M и N - середины рёбер AA 1 и A 1 C 1 соответственно. а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB 1 .
15 . Решите неравенство
16 . Две окружности касаются внешним образом в точке K . Прямая AB касается первой окружности в точке A , а второй - в точке B . Прямая BK пересекает первую окружность в точке D , прямая AK пересекает вторую окружность в точке C .
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB , если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.17 . 31 декабря 2013 г. Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какова должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Среднее общее образование
Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)
Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)
Математика
Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения
Разбираем задания и решаем примеры с учителемЭкзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).
Минимальный порог - 27 баллов.
Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.
Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:
- часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
- часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:
«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».
Задание № 1 - проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 - 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.
Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня - 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.
Решение:
1) Найдем количество потраченной воды за месяц:
177 - 172 = 5 (куб м)
2) Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:
34,17 · 5 = 170,85 (руб)
Ответ: 170,85.
Задание № 2 -является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований - это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.
#ADVERTISING_INSERT#
Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?
Решение:
2) 1000 · 3/4 = 750 (акций) - составляют 3/4 от всех купленных акций.
6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) - бизнесмен получил после продажи 1000 акций.
7) 340000 – 325000 = 15000 (руб) - потерял бизнесмен в результате всех операций.
Ответ: 15000.
Задание № 3 - является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.
Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:
Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:
где В = 10, Г = 6, поэтомуS = В +
Г 2
Ответ: 20.S = 18 +
6 2 
Читайте также: ЕГЭ по физике: решение задач о колебаниях
Задание № 4 - задача курса «Теория вероятностей и статистика». Проверяется умение вычислять вероятность события в простейшей ситуации.Пример 4. На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.
Решение: 1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n элементов по k :
у которых все вершины красные.
3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.
4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.
у которых вершины красные или с одной синей вершиной.
у которых вершины красные или с одной синей вершиной.
8) Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.
9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.
10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.
11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин - синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.
Ответ: 10.
Задание № 5 - базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).
Пример 5. Решите уравнение 2 3 + x = 0,4 · 5 3 + x .
Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5 3 + х ≠ 0, получим
2 3 + x = 0,4 или 2 3 + х = 2 , 5 3 + х 5 5 откуда следует, что 3 + x = 1, x = –2.
Ответ: –2.
Задание № 6 по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.
Площадь треугольника ABC равна 129. DE – средняя линия, параллельная стороне AB . Найдите площадь трапеции ABED .
Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам, так как угол при вершине C общий, угол СDE равен углу CAB как соответственные углы при DE || AB секущей AC . Так как DE – средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE = (1/2)AB . Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому
Следовательно, S ABED = S ΔABC – S ΔCDE = 129 – 32,25 = 96,75.
Задание № 7 - проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.
Пример 7. К графику функции y = f (x ) в точке с абсциссой x 0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f ′(x 0).
Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).
(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)
(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)
(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)
–y + 3 = –4x + 16| · (–1)
y – 3 = 4x – 16
y = 4x – 13, где k 1 = 4.
2) Найдём угловой коэффициент касательной k 2 , которая перпендикулярна прямой y = 4x – 13, где k 1 = 4, по формуле:
3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f ′(x 0) = k 2 = –0,25.
Ответ: –0,25.
Задание № 8 - проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.
Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.
Решение. 1) V куба = a 3 (где а – длина ребра куба), поэтому
а 3 = 216
а = 3 √216
2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d = a , d = 6, d = 2R , R = 6: 2 = 3.
Задание № 9 - требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:
- преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.
преобразования числовых рациональных выражений;
преобразования алгебраических выражений и дробей;
преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;
действия со степенями;
преобразование логарифмических выражений;
Пример 9. Вычислите tgα, если известно, что cos2α = 0,6 и
3π < α < π. 4 Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и найдём
tg 2 α = 1 – 1 = 1 – 1 = 10 – 1 = 5 – 1 = 1 1 – 1 = 1 = 0,25. cos 2 α 0,8 8 4 4 4 Значит, tg 2 α = ± 0,5.
3) По условию
3π < α < π, 4 значит, α – угол II четверти и tgα < 0, поэтому tgα = –0,5.
Ответ: –0,5.
#ADVERTISING_INSERT# Задание № 10 - проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q = mv 2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение. Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50, на интервале 2α ∈ (0°; 180°).mv 2 sin 2 α ≥ 50
2· 10 2 sin 2 α ≥ 50
200 · sin 2 α ≥ 50
Так как α ∈ (0°; 90°), то будем решать только
Изобразим решение неравенства графически:
Так как по условию α ∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α < 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.
Задание № 11 - является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.
Пример 11. На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.
Решение: Обозначим a 1 = 5 – количество задач, которые Вася решил 18 марта, d – ежедневное количество задач, решаемых Васей, n = 16 – количество дней с 18 марта по 2 апреля включительно, S 16 = 560 – общее количество задач, a 16 – количество задач, которые Вася решил 2 апреля. Зная, что ежедневно Вася решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём, то можно использовать формулы нахождения суммы арифметической прогрессии:560 = (5 + a 16) · 8,
5 + a 16 = 560: 8,
5 + a 16 = 70,
a 16 = 70 – 5
a 16 = 65.
Ответ: 65.
Задание № 12 - проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.
Найти точку максимума функции y = 10ln(x + 9) – 10x + 1.
Решение: 1) Найдем область определения функции: x + 9 > 0, x > –9, то есть x ∈ (–9; ∞).
2) Найдем производную функции:
4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума x = –8.
Скачать бесплатно рабочую программу по математике к линии УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной 10-11 Скачать бесплатно методические пособия по алгебре
Задание № 13 -повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяющее умение решать уравнения, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cosx ) – 5log 3 (2cosx ) + 2 = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение: а) Пусть log 3 (2cosx ) = t , тогда 2t 2 – 5t + 2 = 0,
log 3 (2cosx ) = 2 ⇔ 2cosx = 9 ⇔ cosx = 4,5 ⇔ т.к. |cosx | ≤ 1, log 3 (2cosx ) = 1 2cosx = √3 cosx = √3 2 2 то cosx = √3 2 x = π + 2πk 6 x = – π + 2πk , k ∈ Z 6 б) Найдём корни, лежащие на отрезке .
Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни
11π и 13π . 6 6
Задание № 14 -повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.Ответ: а) π + 2πk ; – π + 2πk , k ∈ Z ; б) 11π ; 13π . 6 6 6 6 Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Решение: а) Хорда длиной 12 находится на расстоянии = 8 от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2.
Тогда расстояние между хордами составляет либо
= = √980 = = 2√245
= = √788 = = 2√197.
По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.
б) Обозначим центры оснований за О 1 и О 2 . Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания - к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание - H (H ∈ β). Тогда AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.
Значит, искомый угол равен
∠ABH = arctg AH = arctg 28 = arctg14. BH 8 – 6 Задание № 15 - повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.
Пример 15. Решите неравенство |x 2 – 3x | · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 .
Решение: Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:
1) Пусть x 2 – 3x = 0, т.е. х = 0 или х = 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.
2) Пусть теперь x 2 – 3x > 0, т.е. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x 2 – 3x ) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 и разделить на положительное выражение x 2 – 3x . Получим log 2 (x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 –1 или x ≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x ∈ (–1; –0,5].
3) Наконец, рассмотрим x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x – x 2) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 . После деления на положительное выражение 3x – x 2 , получим log 2 (x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Учитывая область, имеем x ∈ (0; 1].
Объединяя полученные решения, получаем x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Ответ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Задание № 16 - повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.
Решение: а)
1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF = BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.
2) Пусть EF = DH = x , тогда BE = 2x , BF = x √3 по теореме Пифагора.
3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.
BD – биссектриса ∠B, значит ∠ABD = ∠DBC = 15˚.
4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.
2x = 4 – 2x 2x (√3 + 1) 4 1 = 2 – x √3 + 1 2 √3 – 1 = 2 – x
x = 3 – √3
EF = 3 – √3
2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3 ) · 2(3 – √3 )
S DEFH = 24 – 12√3.
Ответ: 24 – 12√3.
Задание № 17 - задание с развернутым ответом, это задание проверяет применение знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, умение строить и исследовать математические модели. Это задание - текстовая задача с экономическим содержанием.Пример 17. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х - целое число. Найдите наибольшее значение х , при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.
Решение: В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит (24,2 + х ), а в конце - (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 = (26,62 + 1,1х ). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х) , а в конце - (26,62 + 2,1х ) + (26,62 + 2,1х ) · 0,1 = (29,282 + 2,31х ). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство
(29,282 + 2,31x ) – 20 – 2x < 17
29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17
0,31x < 17 + 20 – 29,282
0,31x < 7,718
x < 7718 310 x < 3859 155 x < 24 139 155 Наибольшее целое решение этого неравенства - число 24.
Ответ: 24.
Задание № 18 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 18 необходим, кроме прочных математических знаний, также высокий уровень математической культуры.При каких a система неравенств
x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1 y + a ≤ |x | – a имеет ровно два решения?
Решение: Данную систему можно переписать в виде
x 2 + (y – a ) 2 ≤ 1 y ≤ |x | – a Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а ). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y = | x | – a , причём последний есть график функции
y = | x | , сдвинутый вниз на а . Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.
Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR – прямоугольный равнобедренный. Точка Q имеет координаты (0, а ), а точка R – координаты (0, –а ). Кроме того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,
Qr = 2a = √2, a = √2 . 2 Ответ: a = √2 . 2
Задание № 19 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 19 необходимо уметь осуществлять поиск решения, выбирая различные подходы из числа известных, модифицируя изученные методы.Пусть Sn сумма п членов арифметической прогрессии (а п ). Известно, что S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.
а) Укажите формулу п -го члена этой прогрессии.
б) Найдите наименьшую по модулю сумму S n .
в) Найдите наименьшее п , при котором S n будет квадратом целого числа.
Решение : а) Очевидно, что a n = S n – S n – 1 . Используя данную формулу, получаем:
S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n ,
S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n + 27
значит, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.
Б) Так как S n = 2n 2 – 25n , то рассмотрим функцию S (x ) = | 2x 2 – 25x| . Ее график можно увидеть на рисунке.
Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х = 1, х = 12 и х = 13. Поскольку, S (1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S (12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S (13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.
в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn положительно, начиная с n = 13. Так как S n = 2n 2 – 25n = n (2n – 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n = 2n – 25, то есть при п = 25.
Осталось проверить значения с 13 до 25:
S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.
Получается, что при меньших значениях п полный квадрат не достигается.
Ответ: а) a n = 4n – 27; б) 12; в) 25.
________________
*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень - 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии - областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.