Элементы симметрии правильного тетраэдра. Элементы симметрии многогранников

Элементами симметрии называются вспомогательные геометрические образы (точка, линия, плоскость и их сочетания), с помощью которых мысленно можно совместить в пространстве равные грани кристалла (многогранника). При этом под симметрией кристалла понимается закономерное повторение в пространстве равных его граней, а также вершин и ребер.

Различают три основных элемента симметрии кристаллов – центр симметрии, плоскость симметрии и оси симметрии.

Центром симметрии называется воображаемая точка внутри кристалла, равноудаленная от его элементов ограничения (т. е. противоположных вершин, середин ребер и граней). Центр симметрии является точкой пересечения диагоналей правильной фигуры (куба, параллелепипеда) и обозначается буквой С , а по международной системе Германа-Могена – I.

Центр симметрии в кристалле может быть только один. Однако имеются кристаллы, в которых центр симметрии вообще отсутствует. При решении вопроса о том, имеется ли центр симметрии в Вашем кристалле, необходимо руководствоваться следующим правилом:

«При наличии центра симметрии в кристалле каждой его грани соответствует равная и противоположная ей грань».

На практических занятиях с лабораторными моделями наличие или отсутствие центра симметрии в кристалле устанавливается следующим образом. Кладем кристалл какой-либо его гранью на плоскость стола. Проверяем, присутствует ли сверху равная и параллельная ей грань. Повторяем ту же операцию для каждой грани кристалла. Если каждой грани кристалла отвечает сверху равная и параллельная ей грань, то центр симметрии в кристалле присутствует. Если хотя бы для одной грани кристалла не найдется сверху равной и параллельной ей грани, то центра симметрии в кристалле нет.

Плоскостью симметрии (обозначается буквой Р, по международной символике – m) называется воображаемая плоскость, проходящая через геометрический центр кристалла и разделяющая его на две зеркально равные половины. Кристаллы, имеющие плоскость симметрии, обладают двумя свойствами. Во-первых, две его половины, разделенные плоскостью симметрии, равны по объему; во-вторых, они равны, как отражения в зеркале.

Для проверки зеркального равенства половин кристалла необходимо из каждой его вершины провести воображаемые перпендикуляр к плоскости и продолжить его на то же расстояние от плоскости. Если каждой вершине соответствует с противоположной стороны кристалла зеркально отраженная ей вершина, то плоскость симметрии в кристалле присутствует. При определении плоскостей симметрии на лабораторных моделях кристалл ставится в фиксированное положение и затем мысленно рассекается на равные половины. Проверяется зеркальное равенство полученных половин. Считаем, сколько раз мы можем мысленно рассечь кристалл на две зеркально равные части. Помните, что кристалл при этом должен быть неподвижен!

Число плоскостей симметрии в кристаллах варьирует от 0 до 9. Например, в прямоугольном параллелепипеде находим три плоскости симметрии, т. е. 3Р.

Осью симметрии называется воображаемая линия, проходящая через геометрический центр кристалла, при повороте вокруг которой кристалл несколько раз повторяет свой внешний вид в пространстве, т. е. самосовмещается. Это означает, что после поворота на некоторый угол на место одних граней кристалла становятся другие, равные им грани.

Основной характеристикой оси симметрии является наименьший угол поворота, при котором кристалл первый раз «повторяется» в пространстве. Этот угол называется элементарным углом поворота оси и обозначается α, например:

Элементарный угол поворота любой оси обязательно содержится целое число раз в 360°, т. е. (целое число), где n – порядок оси.

Таким образом, порядком оси называется целое число, показывающее, сколько раз элементарный угол поворота данной оси содержится в 360°. Иначе, порядок оси – это число «повторений» кристалла в пространстве при полном его повороте вокруг данной оси.

Оси симметрии обозначаются буквой L, порядок оси - маленькой цифрой справа внизу, например, L 2 .

В кристаллах возможны следующие оси симметрии и соответствующие им элементарные углы поворота.

Таблица 1

Соотношение осей симметрии и элементарных углов поворота

В любом кристалле существует бесконечное количество осей симметрии первого порядка, поэтому на практике они не определяются.

Осей симметрии 5-го и любого порядка выше 6-го в кристаллах вообще не существует. Эта особенность кристаллов формулируется как закон симметрии кристаллов. Закон симметрии кристаллов объясняется специфичностью их внутреннего строения, а именно – наличием пространственной решетки, которая не допускает возможности существования осей 5-го, 7-го, 8-го и так далее порядков.

В кристалле может быть несколько осей одного и того же порядка. Например, в прямоугольном параллелепипеде присутствуют три оси 2-го порядка, т. е. 3L 2.

В кубе - 3 оси 4-го порядка, 4 оси 3-го порядка и 6 осей 2-го порядка. Оси симметрии наивысшего порядка в кристалле называют главными.

Нахождение осей симметрии на моделях во время лабораторных занятий осуществляется в следующем порядке. Кристалл берется кончиками пальцев одной руки за его противоположные точки (вершины, середины ребер или граней). Воображаемая ось ставится перед собой вертикально; запоминается какой-либо характерный внешний вид кристалла. Затем кристалл вращается другой рукой вокруг воображаемой оси до тех пор, пока его первоначальный внешний вид не «повторится» в пространстве. Считаем, сколько раз кристалл «повторяется» в пространстве при полном повороте вокруг данной оси. Это и будет ее порядок. Аналогичным образом проверяются все другие теоретически возможные направления прохождения оси симметрии в кристалле. Данные оси симметрии называются простыми.

Кроме них существуют сложные оси симметрии, называемые зеркально-поворотными и инверсионными. Зеркально-поворотная ось симметрии представляет собой мысленное сочетание простой оси и перпендикулярной ей плоскости симметрии. Зеркально-поворотные оси могут быть тех же порядков, что простые, но на практике используется только ось 4-го порядка, которая обозначается L 4 2 и всегда ровна L 2, но не наоборот.

Инверсионная ось симметрии представляет собой мысленное сочетание простой оси симметрии и центра симметрии. На практике и в теории используются только инверсионные оси 4-го и 6-го порядка. Они обозначаются Li 4 и Li 6 .

Сочетание всех элементов симметрии кристалла, записанное условными обозначениями, называется его формулой симметрии . В формуле симметрии сначала перечисляются оси симметрии, затем плоскости симметрии и последним показывается наличие центра симметрии. Между обозначениями не ставится точек или запятых. Например, формула симметрии прямоугольного параллелепипеда: 3L 3 3PC; куба – 3L 4 4L 3 6L 2 9PC.

Виды симметрии кристаллов

Видами симметрии называются возможные в кристаллах сочетания элементов симметрии. Каждому виду симметрии соответствует определенная формула симметрии.

Всего для кристаллов теоретически доказано наличие 32 видов симметрии. Таким образом, всего существует 32 формулы симметрии кристаллов.

Все виды симметрии объединяются в 7 ступеней симметрии с учетом наличия характерных элементов симметрии.

1. Примитивная – объединяются виды симметрии, представленные только одиночными осями симметрии разного порядка: L 3 , L 4 , L 6 .

2. Центральная – помимо одиночных осей симметрии присутствует центр симметрии; кроме того, наряду с наличием четных осей симметрии появляется еще плоскость симметрии: L 3 С, L 4 PC, L 6 PC.

3. Планальная (план – плоскость, греч.) – присутствуют одиночная ось и плоскости симметрии: L 2 2P, L 4 4P.

4. Аксиальная (аксис – ось, греч.) – присутствуют только оси симметрии: 3L 2 , L 3 3L 2 , L 6 6L 2 .

5. Планаксиальная – присутствуют оси, плоскости и центр симметрии: 3L 2 3PC, L 4 4L 2 5PC.

6. Инверсионно-примитивная – наличие единственной инверсионной оси симметрии: L i 4 , L i 6 .

7. Инверсионно-планальная – наличие, помимо инверсионной оси, простых осей и плоскостей симметрии: L i 4 4L 2 2P, L i 6 3L 2 3P.

В каждую ступень симметрии объединяется разное количество видов симметрии: от 2 до 7.

Сингонии

Сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одноименной главной осью симметрии и одинаковым общим уровнем симметрии (син – сходный, гониа – угол, дословно: сингония – сходноугольность, греч.). Переход от одной сингонии к другой сопровождается повышением степени симметрии кристаллов.

Всего выделяют 7 сингоний. В порядке последовательного повышения степени симметрии кристаллов они располагаются следующим образом.

1. Триклинная сингония (клин – угол, наклон, греч.) получила название с учетом той особенности кристаллов, что между всеми гранями углы всегда косые. Кроме С других элементов симметрии нет.

2. Моноклинная (монос – один, греч.) – в одном направлении между гранями кристаллов угол всегда косой. В кристаллах могут присутствовать L 2 , P и С. Ни один из элементов симметрии не повторяется хотя бы дважды.

3. Ромбическая – получила название по характерному поперечному сечению кристаллов (вспомните углы ромбические 1-го рода).

4. Тригональная – названа по характерному поперечному сечению (треугольник) и многогранным углам (тригональный, дитригональный). Обязательно присутствует одна L 3 .

5. Тетрагональная – характерны поперечное сечение в форме квадрата и многогранные углы – тетрагональный и дитетрагональный. Обязательно присутствует L 4 или L i4 .

6. Гексагональная – сечение в форме правильного шестиугольника, многогранные углы – гексагональный и дигексагональный. обязательно присутствие одной L 6 или L i 6 .

7. Кубическая – типична кубическая форма кристаллов. Характерно сочетание элементов симметрии 4L 3 .

Сингонии объединяются в 3 категории : низшую, среднюю и высшую.

Похожая информация.

Методическое обоснование урока. Использование знаний из физики, астрономии, МХК, биологии на уроке геометрии при обобщении систематизации сведений по теме: «Симметрия в пространстве. Правильные многогранники. Элементы симметрии правильных многогранников».

Знакомство с понятием «симметрия» и её видами, элементами симметрии правильных многогранников;

Изучение проявлений симметрии в окружающем нас мире;

Перспективы применения симметрии в различных сферах деятельности человека.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Разработка урока по теме: «Симметрия в пространстве. Правильные многогранники. Элементы симметрии правильных многогранников».

Методическое обоснование урока.

Использование знаний из физики, астрономии, МХК, биологии на уроке геометрии при обобщении систематизации сведений по теме «Симметрия в пространстве. Правильные многогранники. Элементы симметрии правильных многогранников».

Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков учащихся.

Цели урока:

1. Образовательные: обобщение и систематизация сведений о правильных многогранниках и их элементов симметрии, применении симметрии в пространстве.
2. Развивающие:

Развитие умения логически излагать свои мысли, используя литературный язык;

Развитие умения аргументировать;

Развитие умения слушания и распределения внимания во время слушания;

Развитие умения задавать уточняющие вопросы;

Развитие умения полученные знания в нестандартных ситуациях;

Развивать умения выделять главное, сравнивать, обобщать;

Развитие абстрактного и наглядно-образного мышления.

1. Воспитательные: Воспитание любви к предмету, воспитание сознательной дисциплины, формирование навыков контроля и самоконтроля, активизация познавательной деятельности в коллективе и формирование навыков сотрудничества, межпредметная связь. Привитие чувств к прекрасному, эстетическое воспитание.

Принципы обучения.

Дидактические:

1. Систематичности и последовательности обучения.
2. Доступности (опора на знания учащихся).
3. Индивидуализации обучения (учёт психологических типов восприятия материала учащимися, дифференциация дидактического материала к заданиям).
4. Научности.
5. Связь теории с практикой.

Оборудование урока (средства обучения).

1. Магнитная доска.
2. Модели многогранников, модели правильных многогранников. Таблица.
3. ИКТ.
4. Карточки с заданиями.
5. На рабочем столе учащихся: учебники, тетради, ручки и карандаши, линейки. Опорные конспекты.

Структура урока:

1. Организационный этап.
2. Этап проверки домашнего задания.
3. Этап обобщения и систематизации знаний.
4. Подведение итогов урока.
5. Этап информации учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Методы контроля учебной деятельности на данном уроке:

1. Устный и письменный.
2. Фронтальный, групповой, индивидуальный.
3. Итоговый контроль.

Ход урока.

1. Организационный этап.

Взаимное приветствие учителя и учащихся.

Сообщение темы урока, плана работы на уроке обобщения и систематизации сведений по теме.

Постановка цели.

1. Этап проверки домашнего задания. Заготовки моделей многогранников.
2. Этап всесторонней проверки знаний.

1. Математический диктант с взаимопроверкой (письменно и карточки сдают учителю). Приложение 1.
2. Фронтальный опрос:

1. Симметрия в планиметрии.
2. Виды симметрии.
3. Свойство симметрии.
4. Фигуры, симметричные сами себе.

1. План урока.

Цели:

1. Знакомство с понятием «симметрия» и её видами, элементами симметрии правильных многогранников;
2. Изучение проявлений симметрии в окружающем нас мире;
3. Перспективы применения симметрии в различных сферах деятельности человека.

1. Симметрия в пространстве. Рассказ учителя с обсуждением.
2. Симметрия в природе. Выступление ученика. Ответы на вопросы учащихся.
3. Симметрия в искусстве: архитектуре, скульптуре, живописи. Выступление ученика. Ответы на вопросы учащихся.
4. Правильные многогранники. Рассказ ученика по готовым моделям.

Вопросы предлагаются учащимся заранее.

Вопросы и задания.

Общие:

1. Понятие многогранника.
2. Понятие пирамиды. Изготовить модели.
3. Понятие призмы. Изготовить модели.

Индивидуальные:

1. Из справочной литературы сделать подборку материалов о правильных многогранниках.
2. Подготовить сообщения: «Симметрия в пространстве», «Симметрия в природе», «симметрия в искусстве».
3. Изготовить модели правильных многогранников.

Групповые:

1. Приведите примеры применения симметрии в пространстве, природе, искусстве.
2. Подготовить информацию о древнегреческом учёном Платоне.

1. Симметрия в пространстве.

«Симметрия ….есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство». Эти слова принадлежат известному математику Герману Вейлю.

В планиметрии мы рассматривали фигуры, относительно точки и прямой. В стереометрии рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости.

1. Точки А иА 1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О - середина отрезка АА 1 . точка О Чертёж.
2. Точки А и А 1 называются симметричными относительно Прямой а (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Чертёж. Лист, снежинка, бабочка – примеры осевой симметрии. Приложение 2.
3. Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаём вопросов, не делаем открытий. Немецкий философ Иммануил Кант говорил о зеркальном отражении так: «Что может более похоже на мою руку или моё ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И всё же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место постоянной руки…».

Это и есть симметрия относительно плоскости.

Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если плоскость проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе. Чертёж.

1. Введём понятия центра, оси и плоскости симметрии фигуры.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.

1. Симметрия в природе.

«Раз, стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия приятна для глаз? Что такое симметрия? Это врождённое чувство, отвечал я сам себе. На чём же оно основано? Разве во всём жизни симметрия?» - задавал вопросы Николенька Иртеньев из «Отрочества» Л.Толстого.

Почему же в природе царит симметрия? Почему симметрично всё живое от микроорганизмов до человека?

Господство симметрии в природе объясняется силой тяготения, действующей во всей Вселенной. Действием тяготения или его отсутствие объясняется тем, что и космические тела, плавающие во Вселенной, и микроорганизмы, взвешенные в воде, обладают высшей формой симметрии – сферической (при любом повороте относительно центра фигуры совпадает сама с собой). Все организмы, растущие в прикреплённом состоянии (деревья) или живущие на дне океана (морские звёзды), т.е. организмы, для которых направление силы тяжести является решающим, имеют ось симметрии. Для животных способных передвигаться в воде, воздухе или по земле, кроме направления силы тяжести, важным оказывается и направление движения животного. Такие животные имеют плоскость симметрии. Биологи эту плоскость называют билатеральной, а тип симметрии – зеркальным.

Примеры симметрии в живой природе - насекомые, а именно, красивейшие создания земли – бабочки, которая являет собой пример зеркальной симметрии. Приложение 2.

Почти все кристаллы в природе – симметричны. Приложение 3.

1. Симметрия в искусстве (архитектуре, скульптуре, живописи, литературе , музыке, танцах).

Наблюдая окружающий его мир, человек, исторически пытался более или менее реалистично отобразить его в различных видах искусства, поэтому очень интересно рассмотреть симметрию в живописи, скульптуре, архитектуре, литературе, музыке и танцах.

Симметрию в живописи мы можем увидеть уже в наскальных рисунках первобытных людей. В древние века значительной частью искусства рисования – были иконы, при создании которых художники использовали свойства зеркальной симметрии. Глядя на них сегодня, поражаешься удивительной симметричностью в обликах святых, хотя иногда происходит интересная вещь – в асимметричных изображениях мы ощущаем симметрию, как норму, от которой художник уклоняется под влиянием внешних факторов.

Элементы симметрии можно увидеть в общих планах зданий. Приложение 4. Скульптура и живопись тоже дают множество ярких примеров использования симметрии для решения эстетических задач. Примерами являются гробница Джулиано Медичи работы великого Микеланжело, мозаика апсиды собора Св. Софии в Киеве, где изображены две фигуры Христа, один причащает хлебом, другой – вином.

Зеркально – симметричное раздвоение фигуры Христа позволило одновременно изображать два важнейших момента евхаристии: причащение вином, обозначавшим кровь Христа. Зеркальное раздвоение Христа было одним из излюбленных приёмов иконографии тайной вечери. Приложение 5.

Симметрия, вытесняемая из живописи и архитектуры, постепенно занимала новые сферы жизни людей – музыку и танцы. Так в музыке 15 – ого века было открыто новое направление – имитационная полифония, являющаяся музыкальным аналогом орнамента, позже появились – фуги, звуковые версии сложного узора. В современном песенном жанре, как я считаю, припев – это пример простейшей переносной симметрии вдоль оси (текста песни). В танцах, использующих постоянно повторяющиеся фигуры и па, мы так же находим симметрию, смотрите на рисунок. Приложение 6.

Литература тоже не обошла своим вниманием симметрию. Так примером симметрии в литературе могут служить палиндромы, это такие части текста, обратная и прямая последовательность букв которых совпадают. Например, «А роза упала на лапу Азора» (А. Фет), «Уж редко рукою окурок держу». Как частный случай палиндромов, мы знаем много слов в русском языке, являющихся перевёртышами: кок, топот, казак и многие другие. На использовании таких слов часто строятся загадки – ребусы.

1. Правильные многогранники.

В геометрии фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей). Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани-равные правильные многогранники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранника является куб.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще при 6.

При 6 угол каждого многоугольника больше или равен 120 . С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов. Но 120

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной 3, 4, 5 правильных треугольников, 3 квадратов или 3 правильных пятиугольников. Значит, есть только 5 правильных многогранников. Приложение 7.

1. Тетраэдр – четырёхгранник.
2. Гексаэдр – шестигранник (куб).
3. Октаэдр – восьмигранник.
4. Икосаэдр – двадцатигранник.
5. Додекаэдр - двенадцатигранник.

Правильные многогранники с древних времён привлекли к себе внимание учёных, архитекторов, художников.

Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий учёный Платон. Поэтому их называют телами Платона. Правильным многогранникам посвящена 13 книга «Начал» Евклида. Платон считал, что атомы огня имеют форму тетраэдра, земли- гексаэдра, воздуха- октаэдра, воды- икосаэдра, вся вселенная – форму додекаэдра.

Герои картины испанского живописца С.Дали в «Тайной вечере» сидят на фоне огромного додекаэдра. Приложение 5. Художник А. Дюдер в гравюре «Меланхолия» дал перспективное изображение додекаэдра. Приложение 8.

В эпоху возрождения меланхолический темперамент отождествляли с творческим началом. На гравюре Дюрера Меланхолия окружена атрибутами зодчества и геометрии, отчего математики любят считать этот шедевр графического искусства олицетворением творческого духа математика, а саму Меланхолию – представительницей математики в мире прекрасного.

1. Этап закрепления и обобщения.

Предлагаются модели многогранников: 1) дать характеристику; 2) выбрать из данных моделей многогранников – тела Платона.

6. Этап проверки знаний по изученной теме.

Выполнить практическую работу. Групповая работа. Приложение 9.

7. Вывод урока делают сами ученики.

Итак, что мы сегодня узнали? Что Вам запомнилось из нашей сегодняшней темы?

1. Симметрия в пространстве.
2. Симметрия в природе.
3. Симметрия в искусстве: архитектуре, скульптуре, живописи.
4. Правильные многогранники.

8.Итоги урока.

Выставление оценок за урок учащиеся сдают листочки с практической работой.

9. Информация о домашнем задании.

1) Нарисовать: геометрические фигуры, предметы, живые существа, которые имеют ось (центр) симметрии.

2)Индивидуальное творческое задание учащимся, которые получили хорошие и отличные оценки за урок. Написать реферат на тему: «Симметрия в быту, технике и физике».

10. Список литературы.

1. Детская энциклопедия, 3-е издание, «Педагогика», М., 1973.
2. Л. Тарасов, Этот удивительно симметричный мир, «Просвещение», М., 1980.
3. И. Ф. Шарыгин, Л. Н. Ерганжиева. Наглядная геометрия, «МИРОС», 1995.
4. Интернет – ресурсы.

Приложение 1.

Математический диктант.

1. Какие виды симметрии вам знакомы из планиметрии?
2. Какие свойства симметрии вы знаете?
3. Какие многоугольники имеют: 1) Центр симметрии;

1. Ось симметрии?

1. Какие многогранники имеют симметрию? Перечислить.

Допишите пропущенные слова вместо …… .

5. Многогранник, у которого …… правильные …… называется правильным.

6. Куб – правильный многогранник, у которого ….. квадрат.

7. Тетраэдр – правильный …… , у которого грани - …… .

Приложение 2.

Симметрия в природе.

Приложение 3.

Кристаллы.

Приложение 4.

Симметрия в искусстве.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Наше знакомство с многогранниками продолжается.

Вспомним, что многогранник называется правильным, если выполнены следующие условия:

1.многогранник выпуклый;

2. все его грани являются равными правильными многоугольниками;

3. в каждой его вершине сходится одинаковое число граней;

4. все его двугранные углы равны.

На прошлых занятиях вы узнали об единственности существования пяти видов правильных многогранников:

тетраэдра, октаэдра, икосаэдра, гексаэдра(куба) и додекаэдра.

Сегодня мы рассмотрим элементы симметрии изученных правильных многогранников.

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

Его осью симметрии является прямая, проходящая через середины противоположных рёбер.

Плоскостью симметрии является плоскость, проходящая через любое ребро перпендикулярно противоположному ребру.

Правильный тетраэдр имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии.

Куб обладает одним центром симметрии- это точка пересечения его диагоналей.

Осями симметрии являются прямые проходящие через центры противоположных граней и середины двух противоположных рёбер, не принадлежащих одной грани.

Куб имеет девять осей симметрии, которые проходят через центр симметрии.

Плоскость, проходящая через любые две оси симметрии, является плоскостью симметрии.

Куб имеет девять плоскостей симметрии.

Правильный октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии: три оси симметрии проходят через противоположные вершины, шесть - через середины ребер.

Центр симметрии октаэдра - точка пересечения его осей симметрии.

Три из 9 плоскостей симметрии тетраэдра проходят через каждые 4 вершины октаэдра, лежащие в одной плоскости.

Шесть плоскостей симметрии проходят через две вершины, не принадлежащие одной грани, и середины противоположных ребер.

Правильный икосаэдр имеет 12 вершин. Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии: Через первую пару противоположных вершин проходят пять плоскостей симметрии (каждая их них проходит через ребро, содержащее вершину, перпендикулярно противоположному углу).

Для третьей пары получим — 3 новых плоскости, а для четвертой — две плоскости и для пятой пары только одна новая плоскость.

Через шестую пару вершин не пройдет ни одной новой плоскости симметрии.

Правильный додекаэдр состоит из двенадцати правильных пятиугольников. Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии: плоскости симметрии проходят через ребро, содержащее вершину, перпендикулярно противоположному ребру. Поэтому через первую пару противоположных пятиугольников проходит 5 плоскостей, через вторую пару — 4, через третью — 3, четвертую — 2, пятую — 1.

Решим несколько заданий, применяя полученные знания.

Доказать, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры его граней, равны.

Так как все грани правильного тетраэдра равны и любая из них может считаться основанием, а три другие- боковыми гранями, то достаточно будет доказать равенство отрезков ОМ и ON.

Доказательство:

1.Дополнительное построение: проведём прямую DN до пересечения со стороной АС, получим точку F;

проведём прямую DM до пересечения со стороной АВ, получим точку Е.

Затем соединим вершину А с точкой F;

вершину С с точкой Е.

2.Рассмотрим треугольники ДЕО и ДОФ они

прямоугольные, т.к. ДО высота тетраэдра, тогда они равны по гипотенузе и катету: ДО-общая, ДЕ=ДФ(высоты равных граней тетраэдра)).

Из равенства данных треугольников следует, что OE=OF, ME=NF(середины равных сторон),

угол DEO равен углу DFO.

3. из выше доказанного следует что треугольники ОЕМ и ОФН равны по двум сторонам и углу между ними (см пн. 2).

А из равенства этих треугольников следует, что ОМ = ON.

Что и требовалось доказать.

Существует ли четырёхугольная пирамида, у которой противоположные грани перпендикулярны к основанию?

Докажем, что такой пирамиды не существует методом от противного.

Доказательство:

1. Пусть ребро РА1 перпендикулярно основанию пирамиды и ребро РА2 так же перпендикулярно основанию.

2.Тогда по теореме(две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны), мы получим что ребро РА1 параллельно ребру РА2.

3.Но пирамида имеет общую точку для всех боковых рёбер(а значит и граней)- вершину пирамиды.

Мы получили противоречие, таким образом не существует четырёхугольной пирамиды, противоположные грани которой перпендикулярны к основанию.

Понятие правильного многогранника (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр).

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.

Свойства.

· Все рёбра правильного многогранника равны друг другу;

· Все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром, равны.

Существует только пять типов правильных многогранников:

· Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

· Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

· Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

· Куб (гексаэдр) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

· Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников.

Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Тогда сумма плоских углов при каждой вершине равна .

2. Теорема Эйлера .

Теорема Эйлера . Для числа граней Г, числа вершин В и числа рёбер Р любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2.

Пусто n – число рёбер каждой грани, а m – число рёбер сходящихся в каждой вершине. Так как каждое ребро принадлежит двум граням, то n Г=2Р. Каждое ребро содержит по две вершины, значит m В=2Р. Из последних двух равенств и теоремы Эйлера составим систему

.

Решая эту систему, получим , и .

Найдём число вершин, рёбер и граней правильных многогранников:

· Правильный тетраэдр (n =3, m =3)

Р=6, Г=4, В=4.

· Правильный октаэдр (n =3, m =4)

Р=12, Г=8, В=6.

· Правильный икосаэдр(n =3, m =5)

Р=30, Г=20, В=12.

· Куб(n =4, m =3)

Р=12, Г=6, В=8.

· Правильный додекаэдр(n =5, m =3)

· Р=30, Г=12, В=20.

Элементы симметрии правильных многогранников.

Рассмотрим элементы симметрий правильных многогранников.

Правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр (рис.1) не имеет центра симметрии.

Оси симметрий тетраэдра (рис.2) проходят через середины двух противоположных рёбер, таких осей симметрий три.

Рис. 2

Рассмотрим плоскости симметрий тетраэдра (рис. 3). Плоскость α, проходящая через ребро AB перпендикулярно ребру CD , будет являться плоскостью симметрии правильного тетраэдра ABCD . Таких плоскостей симметрий шесть.

Рис. 3

Симметрия куба

1. Центр симметрии - центр куба (точка пересечения диагоналей куба) (рис. 4).

2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; шесть плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра (рис. 5).

Рис. 5

3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней; четыре оси симметрии, проходящие через противолежащие вершины; шесть осей симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рис. 6).