Ледовые полюса Земли стремительно исчезают. Полярный водоворот

Ямал - не край Земли, а начало российской Арктики! section class="box-today" Сюжеты Экономический потенциал регионов: Башнефть готова к SPO Досрочная победа Самойлова Быстро или долго /section section class="tags" Теги Вадим Пономарев Ямало-Ненецкий АО Экономический потенциал

Глава 4 В которой глава кремлевской администрации Дмитрий Медведев создал новое российское сословие Дмитрий Медведев производит очень необычное для политика впечатление - он кажется хорошим человеком. По нему видно, что он не очень уверен в себе, - особенно это

Глава 5 В которой глава администрации президента Украины Виктор Медведчук остался последним украинцем, которому верит Путин В начале нулевых Медведчук на фоне украинских политиков выглядел как человек из космоса. Абсолютный европеец, совершенно не похожий на

5. Найти индуктивность цепи, изоб- ражённой на рисунке. Индуктивности всех катушек в схеме одинаковы и равны L, индуктивностями соедини- тельных проводов и влиянием катушек друг на друга пренебречь. Решение. Если на входные клеммы этой цепи подаётся перемен- ное синусоидальное напряжение с круговой частотой ω, то индуктив- ные сопротивления всех катушек будут одинаковы и равны ωL. При этом правила сложения этих сопротивлений будут теми же, что и для схемы, состоящей из резисторов, то есть при последовательном соедине- нии складываются индуктивности, а при параллельном их обратные величины. Для расчёта индуктивности вначале перерисуем схему, например, так, как показано на рисунке слева. Поскольку все индуктивности одинаковы, то из соображений сим- метрии следует, что потенциалы точек A и B в любой момент времени будут совпадать. Поэтому можно замкнуть их проводником. Получим, что катушки индуктивности L1 и L4 , L2 и L3 , L5 и L7 соединены парал- лельно. Значит, схему можно теперь перерисовать так, как показано на рисунке справа, и она будет состоять из катушек с индуктивностями L/2 и L, соединённых последовательно и параллельно. Общая индук- тивность такой схемы будет равна 1 1 7 Lобщ = = = L. 1 1 1 1 15 + + L L 1 L L 3L + + 2 1 1 2 8 + L/2 1 L+ L/2 11 Городской этап. Первый теоретический тур Состоялся 19 февраля 2006 года. 7 класс На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа. 1. Найдите примерную величину давления в центре Земли, считая, что средняя плотность вещества земного шара равна ρ = 5000 кг/м3 . Радиус Земли RЗ = 6400 км. Ускорение свободного падения на поверх- ности Земли g = 10 м/с2 . Решение. На глубине h под поверхностью жидкости давление равно p = ρgh, где ρ её плотность, а g ускорение свободного падения. Но мы не можем воспользоваться этой формулой для нахождения давления в центре Земли, поскольку g не остаётся постоянным по мере продви- жения вглубь Земли. Действительно, представим себе, что нам удалось просверлить скважину до центра Земли. Ясно, что тело, опущенное в неё до этого центра, будет со всех сторон одинаково притягиваться веществом Земли и находиться в состоянии невесомости, то есть уско- рение свободного падения постепенно уменьшается от значения 10 м/с2 на поверхности Земли до нуля в её центре. Поэтому в формулу для дав- ления надо подставить среднее значение ускорения свободного падения, равное g/2. Значит, величина давления в центре Земли примерно равна p = ρgRЗ /2 ≈ 1,6 · 1011 Па = 1, 6 миллиона атмосфер! Замечание. По современным представлениям, Земля состоит из трёх основных слоёв тонкой коры, довольно толстой мантии (около 3000 км), сложенной из пород сравнительно небольшой плотности, и тяжёлого (железного) ядра. Ускорение свободного падения также довольно сложным образом зависит от глубины (см. задачу № 3 окруж- ного этапа, стр. 7). С учётом этого расчёт даёт для давления в центре Земли ещё б´льшую величину: pц ≈ 3,6 миллиона атмосфер! o 2. Школьники побывали в музее-имении Л. Н. Толстого Ясная поляна и возвращались в Рязань на автобусах, которые ехали со ско- ростью v1 = 70 км/ч. Пошёл дождь, и водители снизили скорость до v2 = 60 км/ч. Когда дождь кончился, до Рязани оставалось проехать S = 40 км. Автобусы поехали со скоростью v3 = 75 км/ч и въехали в Рязань в точно запланированное время. Сколько времени шёл дождь? Чему равна средняя скорость автобуса? Для упрощения считайте, что автобусы в пути не останавливались. 12 Решение. Средняя скорость автобуса это отношение пройденного пути к затраченному времени. Так как расстояние от Ясной поляны до Рязани из-за дождя не изменилось, и время, проведённое школьни- ками в автобусе, также не изменилось (потому что автобусы въехали в Рязань в точно запланированное время), то средняя скорость совпадает с начальной скоростью vср = 70 км/ч. Пусть дождь шёл в течение времени t. Тогда путь, пройденный за это время, составил v2 t. Время, за которое после дождя автобусы про- ехали оставшееся расстояние, равно S/v3 . Ясно, что время, затраченное автобусами с момента начала дождя до прибытия в Рязань, должно равняться времени, которое потребовалось бы для преодоления того же расстояния с начальной скоростью v1: S v2 t + S t+ = . v3 v1 Отсюда находим время, в течение которого шёл дождь: v1 S S S(v3 − v1) t= − = = 16 минут. v1 − v2 v1 v3 v3 (v1 − v2) 3. Во льдах Арктики в центре небольшой плоской льдины площадью S = 70 м2 стоит белый медведь массой m = 700 кг. При этом надводная часть льдины выступает над поверхностью воды на высоту h = 10 см. На какой глубине под водой находится нижняя поверхность льдины? Плотность воды ρв = 1000 кг/м3 , плотность льда ρл = 900 кг/м3 . Решение. Обозначим через x искомую глубину. Сила тяже- сти, действующая на льдину с медведем, равна, очевидно, g(m + ρл S(h + x)). Она должна равняться силе давления воды на ниж- нюю поверхность льдины, находящуюся на глубине x, то есть ρв gxS, поскольку льдина находится в состоянии равновесия. Отсюда получаем: x = (m + ρл hS)/((ρв − ρл)S) = 1 м. 4. Провода над железной дорогой, питающие током электропоезда, натягиваются с помощью системы, показанной на рисунке. Она кре- пится к столбу и состоит из тросов, блоков с изоляторами и стального груза квадратного сечения со стороной a = 20 см. Сила натяжения тол- стого троса, который идёт от крайнего блока к держателю проводов, равна T = 8 кН. Какова высота h стального груза? Плотность стали равна ρс = 7800 кг/м3 . Ускорение свободного падения g = 10 м/с2 . 13 Решение. Легко видеть, что каждый блок, охваченный двумя горизонтальными участками тросов, даёт выигрыш в силе в 2 раза. Значит, три таких блока, изображённые на рисунке, дадут выиг- рыш в 23 = 8 раз. Сила тяжести, действующая на груз, равна ρс gV , где V = a2 h объём груза. Значит, сила натяжения толстого троса будет в 8 раз больше: T = 8ρс gV . Отсюда получаем, что объём стального груза составляет V = T /(8ρс g), a его длина равна h = T /(8ρс ga2) ≈ 0,32 м = 32 см. 8 класс На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа. 1. Школьники побывали в селе Константиново, на родине Сергея Есе- нина, и возвращались к себе домой в Рязань на автобусах. Авто- бусы ехали со скоростью v1 = 70 км/ч. Пошёл дождь, и водители сни- зили скорость до v2 = 50 км/ч. Когда дождь кончился, автобусы вновь поехали с прежней скоростью и въехали в Рязань на 10 минут позже, чем было запланировано. Сколько времени шёл дождь? Решение. Сделаем рисунок и введём на нём следующие обозначе- ния: К Константиново; R Рязань; AB участок, который автобус проехал под дождём за искомое время t; AC участок, который про- ехал бы автобус за то же время t, если бы не было дождя. Ясно, что BC = AC − AB = (v1 − v2)t. С другой стороны, автобус прошёл путь KA + AB + CR за то же время, за какое было заплани- 14 ровано пройти весь путь KR. Значит, BC = v1 ∆t, где ∆t = 10 минут время, на которое опоздали автобусы. Приравнивая полученные выра- жения, имеем: (v1 − v2)t = v1 ∆t, откуда t = v1 ∆t/(v1 − v2). 2. В двухлитровую пластиковую бутыль через короткий шланг накачи- вается воздух до давления 2 атм. Шланг пережимается, и к нему присо- единяется герметичный тонкостенный полиэтиленовый пакет большой ёмкости (больше 10 литров) без воздуха внутри. Бутыль вместе с паке- том кладут на одну чашку весов и уравновешивают гирями, которые помещают на другую чашку, а затем зажим ослабляется. Воздух из бутыли перетекает в пакет, и равновесие весов нарушается. Груз какой массы и на какую чашку весов нужно положить, чтобы равновесие весов восстановилось? Плотность воздуха равна 1,3 кг/м3 , ускорение свобод- ного падения считать равным 10 м/с2 . Решение. Суммарная масса воздуха внутри бутыли и пакета после перетекания воздуха из бутыли в пакет не изменилась. Следовательно, суммарная сила тяжести, действующая на обе оболочки и воздух внутри них, осталась прежней. Однако изменился суммарный объём, который занимают вместе бутыль и пакет, так как после ослабле- ния зажима часть воздуха из бутыли перешла в пакет. Давление в пакете стало равным 1 атм, значит, такое же давление установилось и в бутыли. Воздух, который в бутыли занимал объём 2 л при дав- лении 2 атм, теперь при давлении 1 атм занимает объём 4 л. Таким образом, в пакете оказалось 2 литра воздуха, и суммарный объём уве- личился на 2 литра. На бутыль и пакет со стороны воздуха действует выталкивающая (Архимедова) сила. Приращение этой силы равно: ∆FА = 0,002 м3 · (1,3 кг/м3) · (10 м/с2) = 0,026 Н. Таким образом, для того, чтобы равновесие весов восстановилось, нужно на ту же чашку, где находится бутыль и пакет, добавить гирьки суммарной массой М = ∆FА /g = 2,6 г. 3. В калориметре находится m = 100 г расплавленного металла гал- лия при температуре его плавления tпл = 29,8 ◦ C. Его начали медленно охлаждать, оберегая от внешних воздействий, и в результате темпера- тура понизилась до t = 19,8 ◦ C, а галлий остался жидким. Когда пере- охлаждённый таким образом жидкий галлий размешали палочкой, он частично перешёл в твердое состояние. Найдите массу отвердевшего галлия и установившуюся в калориметре температуру. Удельная теп- лота плавления галлия λ = 80 кДж/кг, удельная теплоёмкость жидкого галлия c = 410 Дж/(кг · ◦ C). Теплоёмкостью калориметра и палочки пренебречь. 15 Решение. При отвердевании галлия выделяется теплота кристалли- зации, что приводит к нагреванию системы до температуры плавления галлия tпл = 29,8 ◦ C, поскольку только при этой температуре жидкий и твёрдый галлий будут находиться в равновесии. Количество теплоты, выделяющееся при отвердевании массы m1 галлия, равно λm1 . Оно идёт на нагревание всего галлия до темпера- туры плавления; для этого требуется количество теплоты cm(tпл − t). Следовательно, m1 = cm(tпл − t)/λ ≈ 5,1 г. Заметим, что если бы переохлаждение было очень сильным, то теп- лоты кристаллизации могло бы не хватить для нагревания всей массы галлия до температуры плавления. Однако, поскольку m1 < m, то в нашем случае галлий действительно нагреется до этой температуры. 9 класс На выполнение задания отводилось 4 астрономических часа. 1. Цилиндр массой M поместили на рельсы, наклоненные под углом α к горизонту (вид сбоку показан на рисунке). Груз какой мини- мальной массы m нужно прикрепить к намо- танной на цилиндр нити, чтобы он покатился вверх? Проскальзывание отсутствует. Решение. На цилиндр действуют при- ложенная к его центру сила тяжести M g и приложенная к его краю сила натяже- ния нити, равная mg. Цилиндр покатится вверх, если момент силы тяжести относи- тельно оси, проходящей через точку А пер- пендикулярно плоскости рисунка, будет меньше момента силы натяжения нити. Поскольку плечи сил тяжести и натяже- ния нити равны R sin α и R(1 − sin α), то искомое условие имеет вид: M gR sin α < mgR(1 − sin α), или m > (M sin α)/(1 − sin α). 2. Алюминиевая проволока диаметром d = 2,5 мм, не слишком гну- тая, покрыта льдом. Общий диаметр проволоки со льдом равен D = 3,5 мм. Температура льда и проволоки t = 0 ◦ C. По проволоке пустили ток силой I = 15 А. За какое время лёд растает? Плотность льда ρл = 0,9 г/см3 , а его удельная теплота плавления λ = 340 кДж/кг. Удельное сопротивление алюминия ρ = 2,8 · 10−8 Ом · м. 16 Решение. При прохождении тока через проволоку в ней выделя- ется тепло, равное по закону Джоуля-Ленца Q = I 2 Rτ , где τ искомое время таяния льда, а R сопротивление проволоки. Это сопротивление, согласно известной формуле, равно R = ρl/S = 4ρl/πd2 (здесь l длина проволоки, S площадь её поперечного сечения). Это количество теп- лоты расходуется на плавление льда: Q = λm. Масса льда m равна произведению его плотности на объём: m = ρл V = ρл (1/4)π(D2 − d2)l. Приравнивая полученные выражения для количеств теплоты, окон- чательно получаем: τ = λρл π 2 d2 (D2 − d2)/(16I 2 ρ) ≈ 19 мин. 3. Электрическая цепь состоит из трёх резисторов с известными сопро- тивлениями R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, R4 = 60 Ом, одного резистора с неиз- вестным сопротивлением R3 и одного переменного резистора (см. рис.) При измерении сопротивления RАВ между точками А и В этой электрической цепи выяснилось, что оно не зависит от сопротивления переменного резистора. Найдите величины сопротивлений неизвестного резистора R3 и всей цепи RАВ. Решение. Идея решения заключается в том, что при условиях задачи ток через переменный резистор не идёт, и напряжение на нём равно нулю (в противном случае изменение сопротивления этого рези- стора неизбежно приводило бы к изменению величины RАВ). Отсюда вытекает, что напряжения U1 и U3 на резисторах R1 и R3 совпадают. Так как R1 R3 U1 = UAB · , U3 = UAB · , R1 + R2 R3 + R4 то отсюда R1 R4 = R2 R3 , и сопротивление неизвестного рези- стора R3 = R1 R4 /R2 = 40 Ом. Сопротивление всей цепи можно найти, пользуясь формулой для параллельного соединения резисторов: 1 1 1 (R1 + R2)R4 = + , откуда RAB = ≈ 33 Ом. RAB R1 + R2 R3 + R4 R2 + R4 4. В секстанте, который позволяет определять угол ϕ возвышения Солнца над горизонтом в полдень и, таким образом, широту местности, используются два плоских зеркала, от которых свет поочерёдно отра- жается и угол α между которыми регулируется. Изображение Солнца в этих зеркалах при измерениях с помощью секстанта необходимо сов- местить с линией горизонта, подбирая угол α. Найдите связь угла α с 17 углом ϕ и объясните, почему использование секстанта сильно упрощает задачу нахождения угла ϕ, особенно при качке корабля. Решение. Построим ход луча света от Солнца в секстанте при двух отражениях света от плоских зеркал, угол между которыми равен α (см. рис.). Обозначим вершину угла α точкой O, точки падения луча на первое и второе зеркала A и B, точку пересечения перпендикуляров, восставленных к зеркалам в точках A и B через C, точку пересечения входящего в прибор и выходящего из него лучей через D. В момент снятия показаний при правильном положении зеркал прямая BD гори- зонтальна, а углы падения света на зеркала равны, соответственно, i1 и i2 . В четырёхугольнике AOBC два угла OBC и OAC прямые, поэтому угол BCA равен (π − α), а смежный с ним равняется α. Но этот же угол является внешним углом треугольника ABC, поэтому α = i1 + i2 . В свою очередь, угол ϕ возвышения Солнца над горизон- том равен углу BDA в треугольнике ABD, остальные углы которого равны, соответственно, 2i1 и 2i2 . Поэтому ϕ = π − 2(i1 + i2) = π − 2α. Таким образом, α = (π − ϕ)/2 и не зависит от угла падения света на зеркала. Поэтому даже при качке корабля и изменении угла i1 луч света от Солнца, выходящий из секстанта, сохраняет своё направление (горизонтальное при правильном подборе угла α). При этом совместить изображение Солнца с горизонтом гораздо проще, чем визировать на угломерном инструменте сразу два направления на Солнце и на гори- зонт, да ещё если всё качается! 18 10 класс На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов. 1. Однажды летним утром кузнечик сидел на асфальте. Когда Солнце поднялось на угол ϕ над горизонтом, он прыгнул в сторону Солнца с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту. С какой скоростью движется по асфальту тень кузнечика спустя время t после прыжка? Решение. Направим ось X по горизонтали в сторону Солнца, ось Y вертикально вверх, а начало координат поместим в точку, где сидел кузнечик. Закон движения кузнечика имеет вид: gt2 2v0 sin α x(t) = v0 cos α · t, y(t) = v0 sin α · t − , причём 0 ёg шайба начнёт скользить по доске сразу же, при α = 0. Пусть теперь ω 2 R ёg, и α = 0. Определим, при каких условиях возможно скольжение шайбы к шарниру и от него. 1. Шайба будет скользить к шарниру, если начнёт выпол- няться условие sin α − ё cos α > ω 2 R/g. Введём обозначение: 1 ё β = arctg ё = arccos = arcsin . Тогда приведённое 1 + ё2 1 + ё2 условие можно записать в виде: ω2R ω2R sin(α − β) > , или α > β + arcsin . g ё2 + 1 g ё2 + 1 ω2R π Отметим, что ввиду того, что ё < 1, имеем β + arcsin , < g 1+ 2 ё2 поэтому, начиная с некоторой величины угла α, рассматриваемое усло- вие будет выполняться. 2. Аналогично, шайба может начать скользить от шарнира, если sin α − ё cos α < ω 2 R/g. ω2R Это условие можно записать в виде: α > π − β − arcsin , g ё2 + 1 однако при 0 < α < π/2 оно не выполняется. Комбинируя полученные результаты, приходим к ответу: при ω 2 R > ёg шайба начнёт скользить по доске при α = 0; при ω 2 R ёg < g шайба начнёт скользить по доске к шарниру при ω2R α > arctg ё + arcsin . g ё2 + 1 3. Два космических корабля с массами m1 и m2 летят с выключенными двигателями в поле тяготения звезды, масса которой M много больше 20