Аксиоматическая теория натуральных чисел. IV

В качестве основного понятия при
аксиоматическом построении арифметики
натуральных чисел взято отношение
«непосредственно следовать за», заданное на
непустом множестве N.
Элемент, непосредственно следующий за
элементом а, обозначают а".

Аксиома 1. Во множестве N существует
элемент, непосредственно не следующий ни
за каким элементом этого множества. Будем
называть его единицей.
Аксиома 2. Для каждого элемента а из N
существует единственный элемент а",
непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N
существует не более одного элемента, за
которым непосредственно следует а.
Аксиома 4. Всякое подмножество М
множества N, обладает свойствами:
1)единица принадлежит множеству М;
2) из того, что а содержится в М, следует,
что и а" содержится в М, то М совпадает со
множеством N.

Определение натурального числа

Множество N, для элементов которого установлено отношение
«непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4,
называется множеством натуральных чисел, а его элементы натуральными числами.

Сложение

Определение. Сложением натуральных чисел называется
алгебраическая операция, обладающим свойствами:
1) (Ɐa ∈ N) a + 1 = a",
2) (Ɐa, b ∈ N) a + b"=(a+b)".
Число a+b называется суммой чисел a и b, а сами числа a и b
слагаемыми.
Условимся о следующих обозначениях:
1" = 2; 2" = 3; 3" = 4; 4" = 5 и т.д.

Свойства сложения

Теорема 3. Сложение натуральных чисел существует и оно
единственно
Теорема 4. (Ɐ a, b, c ∈ N)(а + b) + с = a + (b + c)
Теорема 5. (Ɐ a, b ∈ N) a+b = b+a

Умножение

Умножением натуральных чисел называется алгебраическая
операция, обладающая свойствами:
1)(Ɐ a ∈ N) a·1 =a;
2)(Ɐ a, b ∈ N) a·b" = a·b + a.
Число a·b называется произведением чисел a и b, а сами числа a и
b - множителями

Свойства умножения

Теорема 7. Умножение натуральных чисел существует, и оно
единственно.
Теорема 8. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b)·c = ac + b·c - дистрибутивность
справа относительно сложения.
Теорема 9. (Ɐ a, b, c ∈ N) а·(b + c) = + a·c - дистрибутивность слева
относительно сложения.
Теорема 10. (Ɐ a, b, c ∈ N) (a·b) ·c = a·(b·с) - ассоциативность
умножения.
Теорема 11. (Ɐ a, b ∈ N) a·b = a·b - коммутативность умножения

Вопросы для самопроверки

1. Можно ли аксиому 3 сформулировать в таком виде: «Для каждого элемента
а из N существует единственный элемент, за которым непосредственно
следует а»?
2. Продолжите определение натурального числа: «Натуральным числом
называется элемент множества ….»
3. Верно ли, что каждое натуральное число получается из предыдущего
прибавлением единицы?
4. Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении
значения выражения:
а) 5·(10 + 4); б) 125·15·6; в) (8·379)·125?

Литература

Стойлова Л. П.
Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений.
М.: Издательский центр «Академия». 2002. - 424 с.

Полисемия

Полисемия, или многозначность слов возникает вследствие того, что язык представляет систему, ограниченную по сравнению с бесконечным многообразием реальной действительности, так что говоря словами академика Виноградова, " Язык оказывается вынужденным разносить бесчисленное множество значений по тем или иным рубрикам основных понятий". (Виноградов "Русский язык" 1947). Нужно различать различное употребление слов в одном лексико-семантическом варианте и действительное различие слова. Так, например, словом (das)Ol можно обозначить ряд различных масел, кроме коровьего (для которого существует слово Butter). Однако из этого не следует, что, обозначая различные масла, слово Ol будет иметь каждый раз другое значение: во всех случаях значение его будет одно и то же, а именно масло(всякое, кроме коровьего). Так же как например значение слова Tisch стол независимо от того, какой вид стола обозначает слово в данном конкретном случае. Иначе обстоит дело, когда слово Ol обозначает нефть. Здесь на первый план выдвигается уже не сходство нефти по линии маслянистости с различными сортами масла, а особое качество нефти - горючесть. И при этом со словом Ol будут соотноситься уже слова, обозначающие различные виды топлива: Kohl, Holz и т.д. Это дает нам возможность выделить у слова Ol два значения (или говоря иначе, два лексико-семантических варианта): 1) масло (не животное) 2) нефть.
Обычно новые значения возникают путем переноса одного из существующих слов на новый предмет или явление. Так образуются переносные значения. В их основе лежит либо сходство предметов, либо связь одного предмета с другим. Известны несколько типов переноса названий. Важнейшие из них - метафора или метонимия.
При метафоре перенос основан на сходстве вещей по цвету, форме, характеру движения и так далее. При всех метафорических изменениях какой-нибудь признак первоначального понятия остается

Омонимия

Многозначность слова настолько большая и многоплановая проблема, что самые разнообразные проблемы лексикологии так или иначе оказываются связанными с нею. В частности с этой проблемой некоторыми своими сторонами соприкасается и проблема омонимии.
Омонимы - это слова, одинаковые по звучанию, но разные по своему значению. Омонимы в ряде случаев возникают их полисемии, подвергнувшейся процессу разрушения. Но омонимы могут возникнуть и в результате случайных звуковых совпадений. Ключ, которым открывают дверь, и ключ - родник или коса - прическа и коса - земледельческое орудие - эти слова имеют различное значение и различное происхождение, но случайно совпавшие в своем звучании.
Омонимы различают лексические (относятся к одной части речи, напр.ключ - для открывания замка и ключ - родник. источник) морфологические (относятся к разным частям речи, напр. три - числительное, три - глагол в повелительном наклонении), лексико- грамматические, которые создаются в результате конверсии, когда данное слово переходит в другую часть речи. например в анг. look- смотреть и look-взгляд. Особенно много лексико-грамматических омонимов в английском языке.
От омонимов нужно отличать омофоны и омографы. Омофонами называют разные слова, которые, различаясь при их принаписании, совпадают в произношении, например: лук - луг, Seite - страница и Saite - струна.
Омографами называют такие разные слова, которые совпадают по написанию, хотя и произносятся различно (как в отношении звукового состава, так и и места ударения в слове), например Замок - замок.

Синонимия

Синонимы - это близкие по значению, но разно звучащие слова, выражающие оттенки одного понятия.
Выделяются три вида синонимов:
1. Понятийные, или идеографические. Они отличаются друг от друга лексическим значением. Это различие проявляется в разной степени обозначаемого признака (мороз - стужа, сильный, мощный, могучий), в характере его обозначения (ватник - стеганка - телогрейка), в обеъеме выражаемого понятия (знамя - флаг, дерзкий - смелый), в степени связанности лексического значения (коричневый - карий, черный - вороной).
2. Синонимы стилевые, или функциональные. Они отличаются друг от друга сферой употребления, например, глаза - очи, лицо - лик, лоб - чело. Синонимы эмоционально - оценочные. Эти синонимы открыто выражают отношение говорящего к обозначаемому лицу, предмету или явлению. Например, ребенка можно торжественно назвать дитя, ласкательно мальчуган и мальчонка, презрительно мальчишка и молокосос, а также усилительно - презрительно щенок, сосунок, сопляк.
3. Антонимы - объединения слов, противоположных по своему лексическому значению, например: верх - низ, белый - черный, говорить- молчать, громко- тихо.

Антонимия

Есть три вида антонимов:
1. Антонимы градуальной и координированной противоположности, например, белый - черный, тихо - громко, близкий - далекий, добрый - злой и так далее. У этих антонимов есть общее в их значении, которое и допускает их противопоставления. Так понятия черный и белый обозначают противоположные цветовые понятия.
2. Антонимы дополняющей и конверсивной противоположности: война -мир, муж - жена, женатый - холостой, можно - нельзя, закрывать - открывать.
3. Антонимы дихотомического деления понятий. Они часто являются однокоренными словами: народный - антинародный, законный - противозаконный, человечный - бесчеловечный.
Интерес представляет собой и т. н. внутрисловная антонимия, когда противопоставляются значения слов, имеющих одну и ту же материальную оболочку. Например, в русском языке глагол одолжить кому-нибудь денег значит "дать в долг", а одолжить у кого-нибудь денег уже означает взять у кого-нибудь в долг. Внутрисловное противопоставление значений получило название энантиосемии.

6. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Аксиоматический метод построения математической теории. Требования к системе аксиом: непротиворечивости, независимости, полноты. Аксиоматика Пеано. Понятие натурального числа с аксиоматических позиций. Модели системы аксиом Пеано. Сложение и умножение натуральных чисел с аксиоматических позиций. Упорядоченность множества натуральных чисел. Свойства множества натуральных чисел. Вычитание и деление множества натуральных чисел с аксиоматических позиций. Метод математической индукции. Введение нуля и построение множества целых неотрицательных чисел. Теорема о делении с остатком.

Основные понятия и определения

Число – это выражение определенного количества.

Натуральное число элемент неограниченно продолжающейся последовательности.

Натуральные числа (естественные числа) - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел - числа, используемые при:

перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);

обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …).

Аксиома – это основные исходные положения (самоочевидные принципы) той или иной теории, из которых путем дедукции, то есть чисто логическими средствами, извлекается все остальное содержание этой теории.

Число, которое имеет только два делителя (само это число и единицу) называется - простым числом.

Составное число - это такое число, которое имеет более двух делителей.

§2. Аксиоматика натурального числа

Натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляется числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на это был дан в работах двух математиков -немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.

Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществляется по сформулированным правилам .

Пять аксиом можно рассматривать как аксиоматическое определение основных понятий:

1 есть натуральное число;

Следующее за натуральным числом есть натуральное число;

1 не следует ни за каким натуральным числом;

Если натуральное число а следует за натуральным числом b и за натуральным числом с , то b и с тождественны;

Если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n , вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Единица – это первое число натурального ряда, а также одна из цифр в десятичной системе счисления.

Считается, что обозначение единицы любого разряда одним и тем же знаком (довольно близким современному) появилось впервые в Древнем Вавилоне приблизительно за 2 тысячи лет до н. э.

Древние греки, считавшие числами лишь натуральные числа, рассматривали каждое из них как собрание единиц. Самой же единице отводится особое место: она числом не считалось.

И. Ньютон писал: «… под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько отвлеченное отношение одной величины к другой величине, условно принятой нами за единицу». Таким образом, единица уже заняла своё законное место среди других чисел.

Арифметические действия над числами имеют самые различные свойства. Их можно описать словами, например: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Можно записать буквами: a+b = b+a. Можно выразить специальными терминами.

Мы применяем основные законы арифметики часто по привычке, не осознавая этого:

1) переместительный закон (коммутативность), – свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами:

a+b = b+a a*b = b*a;

2) cочетательный закон (ассоциативность), – свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами:

(a+b)+с = а+(b+с) (a*b)*с = а*(b*с);

3) распределительный закон (дистрибутивность), – свойство, связывающее сложение и умножение чисел и выражающееся тождествами:

a*(b+с) = а*b+а*с (b+с) *a = b*а+с*а.

После доказательства переместительного, сочетательного и распределительного (по отношению к сложению) законов действия умножения дальнейшее построение теории арифметических действий над натуральными числами не представляет уже принципиальных затруднений.

В настоящее время в уме или на листке бумаги мы делаем лишь самые простые вычисления, все чаще и чаще поручая более сложную вычислительную работу калькуляторам, вычислительным машинам. Однако в основе работы всех вычислительных машин – простых и сложных – лежит самая простая операция – сложение натуральных чисел. Оказывается, самые сложные расчеты можно свести к сложению, только делать эту операцию надо многие миллионы раз.

Аксиоматические методы в математике

Одной из основных причин развития математической логики является широкое распространение аксиоматического метода в построении различных математических теорий, в первую очередь, геометрии, а затем арифметики, теории групп и т.д. Аксиоматический метод можно определить как теорию, которая строится на предварительно выбранной системе неопределяемых понятий и отношений между ними.

В аксиоматическом построении математической теории предварительно выбирается некоторая система неопределяемых понятий и отношений между ними. Эти понятия и отношения называются основными. Далее вводятся аксиомы т.е. основные положения рассматриваемой теории, принимаемые без доказательств. Все дальнейшее содержание теории выводится логически из аксиом. Впервые аксиоматическое построение математической теории было предпринято Евклидом в построении геометрии.

Аксиоматический метод в математике.

Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального ряда. Определение натурального числа.

Сложение натуральных чисел.

Умножение натуральных чисел.

Свойства множества натуральных чисел

Вычитание и деление натуральных чисел.

Аксиоматический метод в математике

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила :

1. Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения.

2. Формулируются аксиомы , которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий.

3. Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся определение , в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию.

4. Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано. Такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Система аксиом должна быть:

а) непротиворечивой: мы должны быть уверены,что, делая всевозможные выводы из данной системы аксиом, никогда не придем к противоречию;

б) независимой : никакая аксиома не должна быть следствием других аксиом этой системы.

в) полной , если в ее рамках всегда можно доказать или данное утверждение, или его отрицание.

Первым опытом аксиоматического построения теории можно считать изложение геометрии Евклидом в его "Началах"(3 в. до н.э.). Значительный вклад в развитие аксиоматического метода построения геометрии и алгебры внесли Н.И. Лобачевский и Э.Галуа. В конце 19 в. итальянским математиком Пеано была разработана система аксиом для арифметики.

Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального числа. Определение натурального числа.

В качестве основного(неопределяемого) понятия в некотором множестве N выбирается отношение , а также используются теоретико-множественные понятия, а также правила логики.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а".

Отношения «непосредственно следовать за» удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиомы Пеано :

Аксиома 1 . В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1 .

Аксиома 2 . Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а" , непосредственно следующий за а .

Аксиома 3 . Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а .

Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N , если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М ; 2) из того, что а содержится в М , следует, что и а" содержится в М.

Определение 1 . Множество N , для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за », удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел , а его элементы - натуральными числами .

В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N . Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, мы получим модель данной системы аксиом.

Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1,2,3,4,... Натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4).

Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1-4.

Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, - это отношение «непосредственно предшествует» , которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.

Определение 2. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а , то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b .

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств .

Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Теорема 2. Каждое натуральное число а , отличное от 1, имеет единственное предшествующее число b , такое, что b" = а.

Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рас­сматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен.

Сложение натуральных чисел

По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отно­шение «непосредственно следовать за» , и понятия «натуральное чис­ло» и «предшествующее число» .

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а", непосредственно следующее за а , т.е. а + 1 = а" и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2 + 4 = 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, 2 + 4 =2+3" =(2+3)". В общем виде имеем, .

Эти факты положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории.

Определение 3 . Сложениемнатуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

Число а + b называется суммой чисел а и b , а сами числа а иb - слагаемыми .

ГОУВПО

Тульский государственный педагогический университет

Имени Л.Н.Толстого

ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ

Тула 2008

Числовые системы

Пособие предназначено для студентов математических специальностей педагогического вуза и разработано в соответствии с госстандартом по курсу «Числовые системы». Изложен теоретический материал. Разобраны решения типовых заданий. Приведены упражнения для решения на практических занятиях.

Составитель -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии ТГПУ им. Л. Н. Толстого Ю. А. Игнатов

Рецензент -

кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа ТГПУ им. Л. Н. Толстого И. В. Денисов

Учебное издание

Числовые системы

Составитель

ИГНАТОВ Юрий Александрович

© Ю. Игнатов, 2008 г.

ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ

Настоящий курс относится к основаниям математики. В нем дается строгое аксиоматическое построение основных числовых систем: натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных, а также кватернионов. В основе лежит теория формальных аксиоматических систем, рассмотренная в курсе математической логики.

В каждом пункте нумерация теорем ведется сначала. При необходимости ссылки на теорему из другого пункта используется ступенчатая нумерация: перед номером теоремы ставится номер пункта. Например, теорема 1.2.3 – это теорема 3 из пункта 1.2.

Натуральные числа

Аксиоматическая теория натуральных чисел

Аксиоматическуя теорию определяют следующие элементы:

Набор констант;

Набор функциональных символов для обозначения операций;

Набор предикатных символов для обозначения отношений;

Список аксиом, связывающих указанные выше элементы.

Для формальной аксиоматической теории указываются еще правила вывода, с помощью которых доказываются теоремы. При этом все утверждения записываются в виде формул, смысл которых не имеет значения, и над этими формулами производятся преобразования по заданным правилам. В содержательной аксиоматической теории правила вывода не указываются. Доказательства проводятся на основе обычных логических построений, учитывающих смысл доказываемых утверждений.

В настоящем курсе строятся содержательные теории основных числовых систем.

Важнейшее требование к аксиоматической теории – ее непротиворечивость. Доказательство непротиворечивости осуществляется построением модели теории в другой теории. Тогда непротиворечивость рассматриваемой теории сводится к непротиворечивости той теории, в которой построена модель.

Для системы целых чисел модель строится в рамках системы натуральных чисел, для рациональных – в системе целых чисел, и т.д. Получается цепочка аксиоматических теорий, в которой каждая теория опирается на предшествующую. Но для первой теории в этой цепочке, а именно теории натуральных чисел, модель строить негде. Поэтому для системы натуральных чисел следует построить такую теорию, для которой существование модели не вызывает сомнений, хотя строго это доказать невозможно.

Теория должна быть очень простой. С этой целью мы рассматриваем систему натуральных чисел только как инструмент для счета предметов. Операции сложения, умножения, отношение порядка должны быть определены после того, как теория в указанном виде будет построена.

Для нужд счета система натуральных чисел должна представлять собой последовательность, в которой определен первый элемент (единица) и для каждого элемента определен следующий за ним. В соответствии с этим получаем следующую теорию.

Константа : 1 (единица).

Функциональный символ : «¢». Обозначает унарную операцию «следовать за», то есть а ¢ – число, следующее за а . При этом число а называется предшествующим для а ¢.

Специальных предикатных символов нет. Используются обычное отношение равенства и теоретико-множественные отношения. Аксиомы для них указываться не будут.

Множество, на котором строится теория, обозначается N .

Аксиомы :

(N1) ("a ) a ¢ ¹ 1 (единица не следует ни за каким числом).

(N2) ("a )("b ) (a ¢ = b ¢ ® a = b ) (у каждого числа есть не более одного предшествующего).

(N3) M Í N , 1Î M , ("a )(a ÎM ® a ¢Î M ) Þ M = N (аксиома математической индукции).

Приведенная аксиоматика была предложена (с незначительными изменениями) итальянским математиком Пеано в конце XIX века.

Из аксиом нетрудно вывести некоторые теоремы.

Теорема 1. (Метод математической индукции) . Пусть Р (n ) – предикат, определенный на множестве N . Пусть истинно Р (1) и ("n )(P (n )®P (n ¢)). Тогда Р (n ) – тождественно истинный предикат на N .

Доказательство. Пусть М – множество натуральных чисел n , для которых Р (n ) истинно. Тогда 1ÎM по условию теоремы. Далее, если n ÎM , то P (n ) истиннопо определению М , P (n ¢) истинно по условию теоремы, и n ¢ÎM по определению М . Выполняются все посылки аксиомы индукции, следовательно, M = N . Согласно определению М , это значит, что Р (n ) истинно для всех чисел из N . Теорема доказана.

Теорема 2. Любое число а ¹ 1 имеет предшествующее, и притом только одно.

Доказательство. Пусть М – множество натуральных чисел, содержащее 1 и все числа, имеющие предшествующее. Тогда 1ÎM . Если a ÎM , то a ¢Î M , так как a ¢ имеет предшествующее (здесь даже не используется условие a ÎM ). Значит, по аксиоме индукции M = N . Теорема доказана.

Теорема 3. Любое число отлично от следующего за ним.

Упражнение . Определив натуральные числа 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6, докажите, что 2 ¹ 6.

Сложение натуральных чисел

Для сложения натуральных чисел дается следующее рекурсивное определение.

Определение. Сложением натуральных чисел называется бинарная операция, которая натуральным числам а и b ставит в соответствие число a + b , обладающая свойствами:

(S1) а + 1 = а ¢ для любого а ;

(S2) a + b ¢ = (a + b )¢ для любых а и b .

Требуется доказать, что это определение корректно, то есть операция, удовлетворяющая заданным свойствам, существует. Эта задача кажется очень простой: достаточно провести индукцию по b , считая а фиксированным. При этом требуется выделить множество М значений b , для которых операция a + b определена и удовлетворяет условиям (S1) и (S2). Выполняя индуктивный переход, мы должны предположить, что для b операция выполняется, и доказать, что она выполняется для b ¢. Но в свойстве (S2), которое должно выполняться для b , уже есть ссылка на a + b ¢. Значит, это свойство автоматически предполагает существование операции и для a + b ¢, а значит, и для последующих чисел: ведь для a + b ¢ тоже должно выполняться свойство (S2). Можно подумать, что это только облегчает задачу, делая индуктивный переход тривиальным: доказываемое утверждение просто повторяет индуктивное предположение. Но сложность здесь в доказательстве для базы индукции. Для значения b = 1 тоже должны выполняться свойства (S1) и (S2). Но свойство (S2), как показано, предполагает существование операции для всех значений, следующих за 1. Значит, проверка базы индукции предполагает доказательство не для единицы, а для всех чисел, и индукция теряет смысл: база индукции совпадает с доказываемым утверждением.

Приведенное рассуждение не означает, что рекурсивные определения некорректны или требуют каждый раз тщательного обоснования. Для их обоснования нужно использовать свойства натуральных чисел, которые на данном этапе только устанавливаются. Когда они будут установлены, можно будет доказать законность рекурсивных определений. Пока же докажем существование сложения индукцией по а : в формулах (S1) и (S2) нет связи между сложением для а и а ¢.

Теорема 1. Сложение натуральных чисел всегда выполнимо, причем однозначно.

Доказательство. а) Сначала докажем единственность. Зафиксируем а . Тогда результат операции a + b есть функция от b . Предположим, что есть две такие функции f (b ) и g (b ), обладающие свойствами (S1) и (S2). Докажем, что они равны.

Пусть М – множество значений b , для которых f (b ) = g (b ). По свойству (S1)
f (1) = а + 1 = а ¢ и g (1) = а + 1 = а ¢, значит, f (1) = g (1), и 1ÎМ .

Пусть теперь b ÎM , то есть f (b ) = g (b ). По свойству (S2)

f (b ¢) = a + b ¢ = (a + b )¢= f (b )¢, g (b ¢) = a + b ¢ = (a + b )¢= g (b )¢ = f (b ¢),

значит, b ¢ÎМ . По аксиоме индукции M = N . Единственность доказана.

б) Теперь индукцией по а докажем существование операции a + b . Пусть М – множество тех значений а , для которых операция a + b со свойствами (S1) и (S2) определена для всех b .

Пусть а = 1. Приведем пример такой операции. Полагаем по определению 1 + b = = b ¢. Покажем, что для этой операции выполняются свойства (S1) и (S2). (S1) имеет вид 1 + 1 = 1¢, что соответствует определению. Проверяем (S2): 1+ b ¢ =(b ¢)¢ =
= (1+ b )¢, и (S2) выполняется. Значит, 1ÎМ .

Пусть теперь а ÎМ . Докажем, что а ¢ÎМ . Полагаем по определению
a ¢+ b = (a+ b )¢. Тогда

a ¢+ 1 = (a+ 1)¢ = (а ¢)¢,

a ¢+ b ¢ = (a+ b ¢)¢ = ((a+ b )¢)¢ = (a ¢+ b )¢,

и свойства (S1) и (S2) выполняются.

Таким образом, M = N , и сложение определено для всех натуральных чисел. Теорема доказана.

Теорема 2. Сложение натуральных чисел ассоциативно, то есть

(a + b ) + c = a + (b + c ).

Доказательство. Зафиксируем а и b и проведем индукцию по с . Пусть М – множество тех чисел с , для которых равенство справедливо. Имеем по свойствам (S1) и (S2):

(a + b ) + 1 = (a + b )¢ = (a + b ¢) = a + (b + 1) Þ 1ÎM .

Пусть теперь с ÎM . Тогда

(a + b ) + c ¢ = ((a + b ) + c )¢ = (a + (b + c ))¢ = a + (b + c )¢ = a + (b + c ¢),

и c ¢ÎМ . По аксиоме (N3) М = N . Теорема доказана.

Теорема 3. Сложение натуральных чисел коммутативно, то есть

a + b = b + а . (1)

Доказательство. Зафиксируем а и проведем индукцию по b .

Пусть b = 1, то есть требуется доказать равенство

а + 1 = 1 + а . (2)

Это равенство доказываем индукцией по а .

При а = 1 равенство тривиально. Пусть оно выполняется для а , докажем его для а ¢. Имеем

а ¢ + 1 = (а + 1) + 1 = (1 + а ) + 1 = (1 + а )¢ = 1 + а ¢.

Индуктивный переход завершен. По принципу математической индукции равенство (2) верно для всех а . Тем самым доказано утверждение базы индукции по b .

Пусть теперь формула (1) выполняется для b . Докажем ее для b ¢. Имеем

a + b ¢ = (a + b )¢ = (b + a )¢ = b + a ¢ = b + (a + 1) = b + (1 + a ) = (b + 1) + a = b ¢ + a .

По принципу математической индукции теорема доказана.

Теорема 4. a + b ¹ b .

Доказательство – в качестве упражнения.

Теорема 5. Для любых чисел а и b имеет место один и только один из случаев:

1) a = b .

2) Существует число k такое, что a = b + k .

3) Существует число l такое, что b = a + l .

Доказательство. Из теоремы 4 следует, что имеет место не более чем один из этих случаев, так как, очевидно, слу­чаи 1) и 2), а также 1) и 3) не могут иметь место одновременно. Если бы одновременно имели место случаи 2) и 3), то a = b + k =
= (а + l ) + k = а + (l + k ), что снова противоречит тео­реме 4. Докажем, что хотя бы один из этих случаев всегда имеет место.

Пусть выбрано число а и М – множество тех b, для каждого из которых при данном a имеет место случай 1), 2) или 3).

Пусть b = 1. Если a = 1, то имеем случай 1). Если а ¹ 1,то по теореме 1.1.2 имеем

a = k" = k + 1 = 1 + k,

то есть имеем случай 2) для b = 1. Значит, 1 принадлежит М.

Пусть b принадлежит М. Тогда возможны случаи:

- а = b, значит, b" = b + 1 = а + 1, то есть имеем случай 3)для b" ;

- а = b + k, и если k = 1, то а = b + 1 = b" , то есть имеет место случай 1) для b" ;

если же k ¹ 1, то k = т" и

а = b + т" = b + (т + 1) = b + (1 + m ) = (b + 1) + m = b ¢ + m,

то есть имеет место случай 2) для b" ;

- b = a + l, и b" =(а + l )¢ = а + l ¢, то есть имеем случай 3) для b".

Во всех случаях b" принадлежит М. Тео­рема доказана.

Упражнение . Докажите на основании определения суммы, что 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6.

Умножение натуральных чисел

Определение. Умножением натуральных чисел называется бинарная операция, которая натуральным числам а и b ставит в соответствие число ab (или a×b ), обладающая свойствами:

(P1) а ×1 = а для любого а ;

(P2) аb" = ab + а для любых а и b .

Относительно определения умножения сохраняют силу все замечания, которые были сделаны в предыдущем пункте по поводу определения сложения. В частности, из него еще неясно, что соответствие с данными в определении свойствами существует. Поэтому большое принципиальное значение имеет следующая теорема, аналогичная теореме 1.2.1.

Теорема 1. Умножение натуральных чисел существует и притом только одно. Иными словами, умножение всегда выпол­нимо и однозначно.

Доказательство вполне аналогично доказательству теоремы 1.2.1 и предлагается в качестве упражнения.

Легко доказываются свойства умножения, сформулированные в следующих теоремах. Доказательство каждой теоремы опирается на предыдущие.

Теорема 2. (Правый закон дистрибутивности): (a + b )c = ac + bc.

Теорема 3. Умножение коммутативно: ab = ba .

Теорема 4. (Левый закон дистрибутивности): c (a + b ) = сa + сb.

Теорема 5. Умножение ассоциативно: a (bc ) = (ab )c .

Определение. Полукольцом называется система , где + и × – бинарные операции сложения и умножения, удовлетворяющие аксиомам:

(1) – коммутативная полугруппа, то есть сложение коммутативно и ассоциативно;

(2) – полугруппа, то есть умножение ассоциативно;

(3) выполняется правая и левая дистрибутивность.

С алгебраической точки зрения система натуральных чисел относительно сложения и умножения образует полукольцо.

Упражнение . Докажите на основании определения произведения, что
2×2 = 4, 2×3 = 6.

Упражнения

Докажите тождества:

1. 1 2 + 2 2 + ... + n 2 = .

2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .

Найдите сумму:

3. .

4. .

5. .

6. 1×1! + 2×2! + ... + n×n !.

Докажите неравенства:

7. n 2 < 2n для n > 4.

8. 2 n < n ! для n ³ 4.

9. (1 + x ) n ³ 1 + nx , где x > –1.

10. при n > 1.

11. при n > 1.

12. .

13. Найдите ошибку в доказательстве по индукции, что все числа равны между собой. Доказываем равносильное утверждение: в любом множестве из n чисел все числа равны между собой. При n = 1 утверждение верно. Пусть оно верно для n = k , докажем его для n = k + 1. Возьмем множество из произвольных
(k + 1) чисел. Удалим из него одно число а . Осталось k чисел, по индуктивному предположению они равны между собой. В частности, равны два числа b и с . Теперь удалим из множества число с и включим а . В получившемся множестве по-прежнему k чисел, значит, они тоже равны между собой. В частности, a = b . Значит, a = b = c , и все (k + 1) числа равны между собой. Индуктивный переход завершен, и утверждение доказано.

14. Докажите усиленный принцип математической индукции:

Пусть A (n ) – предикат на множестве натуральных чисел. Пусть А (1) истинен и из истинности A (k ) для всех чисел k < m следует истинность A (m ). Тогда A (n ) истинен для всех n .

Упорядоченные множества

Напомним основные определения, связанные с отношением порядка.

Определение. Отношение f («выше») на множестве М называется отношением порядка , или просто порядком , если это отношение транзитивно и антисимметрично. Система áМ , fñ при этом называется упорядоченным множеством .

Определение. строгого порядка , если оно антирефлексивно, и нестрогого порядка , если рефлексивно.

Определение. Отношение порядка f называется отношением линейного порядка , если оно связно, то есть a ¹ b Þ a f b Ú b f a . Порядок, не являющийся линейным, называется частичным .

Определение. Пусть áМ А – подмножество М . Элемент т множества А называется наименьшим , если он меньше всех других элементов множества А , то есть

("х ÎА )(х ¹ т ® х f т ).

Определение. Пусть áМ , fñ – упорядоченное множество, А – подмножество М . Элемент т множества А называется минимальным , если в множестве А нет меньшего элемента, то есть ("х ÎА )(х ¹ т ® Øт f х ).

Аналогично определяются наибольший и максимальный элементы.

Упражнения

1. Докажите, что транзитивное и антирефлексивное отношение является отношением порядка.

2. Докажите, что отношение делимости M на множестве N есть отношение частичного порядка.

3. Докажите, что в множестве может быть не более одного наибольшего и не более одного наименьшего элемента.

4. Найдите все минимальные, максимальные, наибольшие и наименьшие элементы в множестве {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} для отношения делимости.

5. Докажите, что если в множестве есть наименьший элемент, то он является единственным минимальным.

6. Сколькими способами можно определить линей­ный порядок на множестве из трех элементов? линейный и строгий? линейный и нестрогий?

7. Пусть áМ , fñ – линейно упорядоченное множество. Докажите, что отношение >, определяемое условием

a > b Û a f b & a ¹ b

есть отношение строгого линейного порядка.

8. Пусть áМ , fñ – линейно упорядоченное множество. Докажите, что отношение ³, определяемое условием

a ³ b Û a f b Ú a = b,

есть отношение нестрогого линейного порядка.

Определение. Линейно упорядоченное множество áМ , fñ, в котором каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент, называется вполне упорядоченным . Отношение f в этом случае называется отношением полного порядка .

Согласно теореме 1.4.6, система натуральных чисел – вполне упорядоченное множество.

Определение. Пусть áМ Интервалом, отделенным элементом а , называется множество Р а всех элементов, лежащих ниже а и отличных от а , то есть

Р а = {x Î M ïa fx , x ¹ a }.

В частности, если а – минимальный элемент, то Р а = Æ.

Теорема 1. (Принцип трансфинитной индукции). Пусть áМ , fñ – вполне упорядоченное множество и А Í М . Пусть для каждого элемента а из М из принадлежности к А всех элементов интервала Р а следует, что а Î А . Тогда А = М .

Доказательство.

Пусть А" = М \ А есть теоретико-множест­венная разность множеств М и А. Если А" = Æ, то А = М, и утверждение теоремы выполняется. Если А" ¹ Æ, то, так как М – вполне упорядоченное множество, то множество А" содержит наименьший элемент т. В таком случае, все элементы, предшествующие т и отличные от т, не принадлежат А" и, значит, принадлежат А. Таким образом, Р m Í А. Поэтому по условию теоремы т Î А, и, следо­вательно, т Ï А", в противоречие с предположением.

Пусть áА ; fñ – упорядоченное множест­во. Мы будем предполагать, что А – конечное множество. С каж­дым элементом а множества А сопоставим какую-нибудь точку Т (а ) данной плоскости так, что если элемент а непосредственно следует за элементом b, то точку Т (a ) будем располагать выше точ­ки Т (b) и соединять их отрезком. В результате мы получим граф, отвечающий данному упорядоченному множеству.

Упражнения

9. Пусть áМ , fñ – вполне упорядоченное множество, b Î M, с Î M. Докажите, что или P b = Р с, или P b Ì Р с, или Р с Ì P b .

10. Пусть áМ , f 1 ñ и áL , f 2 ñ – вполне упорядо­ченные множества такие, что
M Ç L = Æ. Во множестве M È L определим бинарное отношение f следующими условиями:

1) если а, b Î M, то, a f b Û a f 1 b ;

2) если а, b Î L, то, a f b Û a f 2 b ;

3) если а Î M, b Î L, то, a f b .

Докажите, что система áМ ÈL , fñ – вполне упорядоченное множество.

Упорядоченные полугруппы

Определение. Полугруппой называется алгебра áА , *ñ, где * – ассоциативная бинарная операция.

Определение. Полугруппа áА , *ñ называется полугруппой с сокращением, если в ней выполняются свойства

a *c = b *c Þ a = b ; c *a = c *b Þ a = b .

Определение. Упорядоченной полугруппой называется си­стема áА , +, fñ, где:

1) система áА , +ñ – полугруппа;

2) система áА , fñ – упорядоченное множество;

3) отношение f монотонно относительно полугрупповой операции, то есть
a f b Þ a + c f b + c, c + a f c + b.

Упорядоченную полугруппу áА , +, fñ называют упорядочен­ной группой , если система áА , +ñ – группа.

В соответствии с видами отношения порядка определяются линейно упорядоченная полугруппа, линейно упорядоченная группа, частично упоря­доченная полугруппа, строго упорядоченная полугруппа и т. д.

Теорема 1. В упорядоченной полугруппе áА , +, fñ неравенства можно складывать, то есть a f b, c f d Þ a + c f b + d .

Доказательство. Имеем

a f b Þ a + c f b + c, с f d Þ b + c f b + d,

откуда по транзитивности a + c f b + d . Теорема доказана.

Упражнение 1 . Докажите, что система натуральных чисел – частично упорядоченная полугруппа относительно умножения и отношения делимости.

Легко видеть, что система áN , +, >ñ – строго упорядоченная полугруппа, áN , +, ³ñ – нестрого упорядоченная полугруппа. Можно привести пример такого упорядочивания полугруппы áN , +ñ, в которой порядок не является ни строгим, ни нестрогим.

Упражнение 2 . Определим порядок f в системе натуральных чисел следующим образом: a f b Û a ³ b & a ¹ 1. Докажите, что áN , +, fñ – упорядоченная полугруппа, в которой порядок не является ни строгим, ни нестрогим.

Пример 1. Пусть А – множество натуральных, чисел, не равных единице. Определим отношение f в А следующим образом:

a f b Û ($k ÎN )(a = b + k ) & b ¹ 3.

Доказать, что система áА , +, fñ – частично и строго упорядоченная полугруппа.

Доказательство. Проверим транзитивность:

a f b, b f c Þ a = b + k, b ¹ 3, b = c + l, c ¹ 3 Þ a = c + (k + l ), c ¹ 3 Þ a f c .

Так как a f b Þ a > b , то выполняется антирефлексивность. Из упражнения 2.1.1 следует, что f – отношение строгого порядка. Порядок частичный, так как элементы 3 и 4 не находятся ни в каком отношении.

Монотонность отношения f относительно сложения выполняется. Действительно, условие a f b Þ a + c f b + c могло бы нарушиться, только когда
b + c = 3. Но сумма может быть равна 3, так как в можестве А нет единицы.

Группу из двух элементов линейно и строго упорядочить нельзя. В самом деле, пусть 0 и 1 – ее элементы (0 – нуль группы). Предположим, что 1 > 0. Тогда получим 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.

Теорема 2. Всякую линейно упорядоченную по­лугруппу с сокращением можно линейно и строго упорядочить.

Доказательство. Пусть áА , +, fñ – упорядоченная полугруппа. Отношение строгого порядка > определяется, как в упражнении 2.1.5: a > b Û a f b & a ¹ b . Покажем, что выполняется условие 3) из определения упорядоченной полугруппы.

a > b Þ a f b , a ¹ b Þ a + c f b + c.

Если a + c = b + c то, сокращая, получим a = b , что противоречит условию
а > b . Значит, a + c ¹ b + c , и a + c > b + c . Аналогично проверяется вторая часть условия 3), что доказывает теорему.

Теорема 3. Если áА , +, fñ – линейно и строго упорядо­ченная полугруппа, то:

1) а + с = b + с Û a = b Û с + a = с + b ;

2) а + с f b + с Û а f b Û с + a f с + b.

Доказательство. Пусть а + с = b + с . Если a ¹ b , то в силу связности а f b или
b f a . Но тогда соответственно а + с f b+ с или b + с f a+ с , что противоречит условию а + с = b + с . Аналогично разбираются другие случаи.

Итак, всякая линейно и строго упорядоченная полугруппа – полугруппа с сокращением.

Определение. Пусть áА , +, fñ – упорядоченная полу­группа. Элемент а множества А называют положительным (отри­цательным), если а + а ¹ а и a + a f а (соответственно а f а + а ).

Пример 2. Доказать, что элемент упорядоченной коммутативной полугруппы с сокращением, больший положительного элемента, не обязательно положителен.

Решение. Воспользуемся примером 1. Имеем 2 + 2 f 2, значит, 2 – положительный элемент. 3 = 2 + 1, значит, 3 f 2. В то же время соотношение 3 + 3 f 3 не выполняется, значит, 3 не является положительным элементом.

Теорема 4. Сумма положительных элементов коммута­тивной полугруппы с сокращением положительна.

Доказательство. Если а + а f а и b + b f b , то по теореме 1

а + а + b + b f а + b Þ (а + b )+ (a + b )f а + b.

Остается проверить, что (а + b )+ (a + b )¹ а + b. Имеем:

b + b f b Þ a + b + b f a + b (1)

Предположим, что (а + b )+ (a + b )= а + b. Подставив в (1), получаем

a + b + b f a + b + a + b Þ a f a + a .

В силу антисимметричности а = а + а . Это противоречит тому, что элемент а положительный.

Теорема 5. Если а – положительный элемент линейно и строго упорядоченной полугруппы, то для любого b имеем a + b f b, b + a f b .

Доказательство. Имеем а+ а fа Þ а+ а+ b f а+ b . Если неверно, что a+ b f b, то в силу линейности выполняется a + b = b или b f a+ b . Прибавляя слева а , получаем соответственно а+ а+ b = а+ b или а+ b f а+ а + b . Эти условия противоречат антисимметричности и строгости отношения порядка.

Теорема 6. Пусть áА , +, fñ – линейно и строго упорядо­ченная полугруппа, а ÎА и а + а ¹ a . Тогда элементы:

а, 2*а, 3*а , ...

все различны. Если при этом система áА , +, fñ – группа, то различны и все элементы:

0, а, –а, 2*а, – 2*a, 3*a , –3*а , ...

(под k*a, k Î N, a ÎA , понимается сумма а+ …+ а , содержащая k слагаемых)

Доказательство. Если a + а f а , то a + а + а f а + а , и т.д. В итоге получаем цепочку … f ka f… f 4а f3а f2а f а . В силу транзитивности и антисимметричности все элементы в ней различны. В группе цепочку можно продолжить в другую сторону, прибавляя элемент –а .

Следствие. Конечную полугруппу с сокращением, если чис­ло ее элементов не меньше 2, нельзя линейно упорядочить.

Теорема 7. Пусть áА , +, fñ – линейно упорядоченная группа. Тогда

a f a Û b f b.

Доказательство – в качестве упражнения.

Таким образом, всякая линейно упорядоченная группа либо строго, либо нестрого упорядочена. Для обозначения этих порядков будем пользоваться знаками > и ³ соответственно.

Упражнения

3. Докажите, что сумма положительных элементов линейно и строго упорядоченной полугруппы положительна.

4. Доказать, что всякий элемент линейно и строго упорядо­ченный полугруппы, больший положительного элемента, сам явля­ется положительным.

5. Докажите, что упорядоченная полугруппа линейно упоря­дочена в том и только в том случае, если любое конечное множество ее элементов имеет и только один наибольший элемент.

6. Докажите, что множество положительных элементов ли­нейно упорядоченной группы не пусто.

7. Пусть áА , +, fñ – линейно и строго упорядочен­ная группа. Докажите, что элемент а системы А тогда и только тогда положителен, если а > 0.

8. Докажите, что существует и только один линейный и стро­гий порядок в аддитивной полугруппе натуральных чисел, в кото­ром множество положительных элементов не пусто.

9. Докажите, что мультипликативную полугруппу целых чисел нельзя линейно упорядочить.

Упорядоченные кольца

Определение. Система áА , +, ×, fñ называется упорядоченным полукольцом , если

1) система áА , +, ×ñ – полукольцо;

2) система áА , +, fñ – упорядоченная полугруппа с непустым множеством А + положительных элементов;

3) выполняется монотонность относительно умножения на положительные элементы, то есть если с ÎА + и а f b , то ac f bc , ca f cb .

Положительным элементом упорядоченного полукольца А называ­ется любой положительный элемент упорядоченной полугруппы áА , +, fñ.

Упорядоченное полукольцо áА , +, ×, fñ называ­ется упорядоченным кольцом (полем ), если полукольцо áА , +, ×ñ – кольцо (соответственно поле).

Определение. Пусть áА , +, ×, fñ – упорядоченное полукольцо. Порядок f системы А называется архимедовым, а система А - архимедовски упорядоченной, если, каковы бы ни были по­ложительные элементы а и b системы А , можно указать такое на­туральное число п, что na f b .

Пример 1. Полукольцо натуральных чисел с отношением > (больше) – линейно, строго и архимедовски упорядоченное полукольцо.

Для линейно упорядоченного кольца áА , +, ×, 0, fñ система áА , +, 0, fñ – линейно упорядоченная группа. Отсюда следует согласно теореме 2.2.7, что порядок f либо строгий, либо нестрогий. Во мно­жестве А можно ввести (упражнения 2.1.5. и 2.1.6) новый линейный порядок, который будет строгим, если порядок f нестрогий, и нестрогим, если порядок f – строгий. В связи с этим замечанием в линейно упорядоченном кольце А обычно рассматривают два бинарных отношения порядка, одно из которых, строгое, обозначают знаком>, а второе, нестро­гое, знаком ³.

Для дальнейшего полезно напомнить, что в линейно упорядо­ченном кольце элемент а положителен тогда и только тогда, если а > 0 (упражнение 2.2.7).

Теорема 1. Пусть система áА , +, ×, 0, >ñ – линейно упоря­доченное кольцо. Тогда для любого элемента а из А либо а = 0, либо а > 0, либо –а > 0.

Доказательство. В силу линейности и строгости между элементами
а+ а и а имеет место одно и только одно из соотношений a+ a >a, a+ a = a, a+ a < a . В первом случае а – положительный элемент. Во втором прибавляем к обеим частям –а и получаем а = 0. В третьем случае прибавляем к обеим частям –а – а – а и получаем –a < –a – a , откуда –a – положительный элемент.

Теорема 2. Сумма и произведение положительных элементов линейно упорядоченного кольца положительны.

Доказательство – в качестве упражнения.

Теорема 3. В линейно упорядоченном кольце квадрат любого ненулевого элемента положителен.

Доказательство – в качестве упражнения.

Теорема 4. В линейно упорядоченном поле если a > 0, то a –1 > 0.

Доказательство – в качестве упражнения.

Теорема 5. (Критерий порядка ) . Кольцо áА , +, ×, 0ñ тогда и только тогда можно линейно и строго упорядочить (т. е. ввести линейный и строгий порядок), если множество А имеет подмножест­во А + , удовлетворяющее условиям:

1) а ÎА + Þ а ¹ 0 & –а ÏА + ;

а ¹ 0 Þ а ÎА + Ú –а ÎА + ;

2) а, b ÎА + Þ а+ b ÎА + & аb ÎА + .

Доказательство. Пусть сначала áА , +, ×, 0, >ñ – линейно упорядоченное кольцо. В роли искомого подмножества А + в таком случае в силу теорем 1 и 2 может выступить множество положительных элементов системы А .

Пусть теперь А + – подмножество кольца áА , +, ×, 0ñ, удов­летворяю­щее условиям теоремы. Попробуем ввести линейный по­рядок > в кольце áА , +, ×, 0ñ. Определим это отношение так:

а > b Û а – b Î А + .

Легко проверяется, что введенное нами от­ношение связно, антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно, монотонно относительно сложения и умножения на любой элемент из А + .

Множество А + с упомянутыми в условии теоремы 4 свойст­вами называют положительной частью кольца áА , +, ×, 0ñ. В даль­нейшем при введении порядка в каком-нибудь кольце мы будем искать в нем «положительную часть». Если такая часть в кольце существует, то кольцо можно упорядочить, если нет, то нельзя, если таких несовпадающих положительных частей несколько, то можно упорядочить несколькими способами.

Из сказанного следует, что при определении линейно упорядо­ченного кольца в качестве основного отношения вместо бинарного отношения > можно брать унарное отношение «положительная часть».

Теорема 6. (Критерий однозначности линейного порядка ) . Пусть А + и А ++ – положительные части кольца áА , +, ×, 0ñ. Тогда

А + = А ++ Û А + Í А ++ .

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;

Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий;

Формулируются аксиомы - предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;

Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, т.е. по названным выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно.

При аксиоматическом построении теории по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования. Прежде всего, она должна быть непротиворечивой и независимой.

Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.

Если система аксиом не обладает этим свойством, она не может быть пригодной для обоснования научной теории.

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.

При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Но если выбор аксиом условен, то сама наука или отдельная теория не зависят от каких-либо условий, - они являются отражением реального мира.

Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществляется по сформулированным правилам. Изучая этот материал, мы должны увидеть, как из основных понятий и аксиом можно вывести всю арифметику натуральных чисел. Конечно, его изложение в нашем курсе будет не всегда строгим - некоторые доказательства мы опускаем в силу их большой сложности, но каждый такой случай будем оговаривать.

Упражнение

1. В чем суть аксиоматического способа построения теории?

2. Верно ли, что аксиома - это предложение, которое не требует доказательства?

3. Назовите основные понятия школьного курса планиметрии. Вспомните несколько аксиом из этого курса. Свойства каких понятий в них описываются?

4. Дайте определение прямоугольника, выбрав в качестве родового понятие параллелограмма. Назовите три понятия, которые в курсе геометрии должны предшествовать понятию «параллелограмм».

5. Какие предложения называют теоремами? Вспомните, какова логическая структура теоремы и что значит доказать теорему.

Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа

В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Известными также считаются понятие множества, элемента множества и другие теоретико-множественные понятия, а также правила логики.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а".

Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах.

Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент a ", непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М ; 2) из того, что а содержится в М , следует, что и а" содержится в М.

Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.

Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.

Определение. Множество N, для элементов которого установ­лено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.

В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N. Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве

множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, мы получим модель данной системы аксиом. В математике доказано, что между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение «непосредственно следовать за», и все такие модели будут отличаться только природой элементов, их названием и обозначением. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел:

Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, которое мы будем считать известными.

Рассматривая натуральный ряд чисел в качестве одной из моделей аксиом 1-4, следует отметить, что они описывают процесс образования этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описывает бесконечность натурального ряда, и на ней основано доказательство утверждений о натуральных числах.

Вообще моделью системы аксиом Пеано может быть любое счетное множество, например:!..

Рассмотрим, например, последовательность множеств, в которой множество {оо} есть начальный элемент, а каждое последующее множество получается из предыдущего приписыванием еще одного кружка (рис. 108, а). Тогда N есть множество, состоящее из множеств описанного вида, и оно является моделью системы аксиом Пеано. Действительно, в множестве N существует элемент {оо}, непосредственно не следующий ни за каким элементом данного множества, т.е.

существует единственное множество, которое получается из А добавлением одного кружка, т. е. выполняется аксиома 2. Для каждого множества А существует не более одного множества, из которого образуется множество А добавлением одного кружка, т.е. выполняется аксиома 3. Если М Ì N и известно, что множество А содержится в М, следует, что и множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве А, также содержится в М, то М = N (и значит, выполняется аксиома 4).

Заметим, что в определении натурального числа ни одну из аксиом опустить нельзя - для любой из них можно построить множество, в котором выполнены остальные три аксиомы, а данная аксиома не выполняется. Это положение наглядно подтверждается примерами, приведенными на рисунках 109 и 110. На рисунке 109,а изображено множество, в котором выполняются аксиомы 2 и 3, но не выполнена ак­сиома 1 (аксиома 4 не будет иметь смысла, так как в множестве нет элемента, непосредственно не следующего ни за каким другим). На рисунке 109,б показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 3 и 4, но за элементом а непосредственно следуют два элемента, а не один, как требуется в аксиоме 2. На рисунке 109,в изображено множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 4, но элемент с непосредственно следует как за элементом а, так и за элементом b. На рисунке 110 показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 3, но не выполняется аксиома 4 - множество точек, лежащих на луче, оно содержит непосредственно следующее за ним число, но оно не совпадает со всем множеством точек, показанных на рисунке.

То обстоятельство, что в аксиоматических теориях не говорят об «истинной» природе изучаемых понятий, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, - оказывается, что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними. Однако в этой кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логическим путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие аксиомам.

Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1-4.

Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, - это отношение «непосредственно предшествует», которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.

Определение. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b.

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они формулируются в виде теорем и доказываются с помощью аксиом 1 – 4.

Теорема 1 . Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.

Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число b, такое, что b ¢ = а.

Доказательство. Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествующее. Если число а содержится в М, то и число а" также есть в М, поскольку предшествующим для а" является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множеству М, следует, что и число а" принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Зна­чит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число.

Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют единственное предшествующее число.

Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. И конечно, знание аксиоматической теории поможет учителю методически грамотно организовать усвоение детьми особенностей натурального ряда чисел.

Упражнения

1.Можно ли аксиому 3 сформулировать в таком виде: «Для каждого элемента а из N существует единственный элемент, за которым непосредственно следует а»?

2.Выделите условие и заключение в аксиоме 4, запишите их, используя символы Î, =>.

3.Продолжите определение натурального числа: «Натуральным числом называется элемент множества Î, Þ.

Сложение

По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отношение «непосредственно следовать за», и понятия «натуральное число» и «предшествующее число».

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а", непосредственно следующее за а, т.е. а + 1 = а", и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2 + 4 равна числу 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, сумму а + b" можно найти, если известна сумма а + b. Эти факты и положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.

Определение. Сложением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1) ("а Î N ) а + 1=а",

2) (" а , b Î) а + b" = (а + b)".

Число а + b называется суммой чисел а и b, а сами числа а и b - слагаемыми.

Как известно, сумма любых двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел а и b сумма а + b - единственна. Другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна. Особенностью определения является то, что заранее не известно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственна ли она? Поэтому при аксиоматическом построении теории на­туральных чисел доказывают следующие утверждение:

Теорема 3. Сложение натуральных чисел существует и оно един­ственно.

Эта теорема состоит из двух утверждений (двух теорем):

1)сложение натуральных чисел существует;

2)сложение натуральных чисел единственно.

Как правило, существование и единственность связывают вместе, но они чаще всего не зависят друг от друга. Существование какого-либо объекта не подразумевает его единственность. (Например, если вы говорите, что у вас есть карандаш, то это не значит, что он только один.) Утверждение о единственности означает, что не может существовать двух объектов с заданными свойствами. Единственность часто доказывается методом от противного: предполагают, что имеется два объекта, удовлетворяющих данному условию, а затем выстраивают цепочку дедуктивных умозаключений, приводящую к противоречию.

Чтобы убедиться в истинности теоремы 3, сначала докажем, что если в множестве N существует операция, обладающая свойствами 1 и 2, то эта операция единственная; затем докажем, что операция сложения со свойствами 1 и 2 существует.

Доказательство единственности сложения. Допустим, что в множестве N существует две операции сложения, обладающие свойствами 1 и 2. Одну из них обозначим знаком + , а другую - знаком Å. Для этих операций имеем:

1) а + 1 = а"; 1) а Å =а"\

2) а + b" = (а + b)" 2) а Å b" = (а Å b)".

Докажем, что

("a, b Î N )a + b=a Å b . (1)

Пусть число а выбрано произвольно, а b М b, для которых равенство (1) истинно.

Нетрудно убедиться в том, что 1 Î М. Действительно, из того, что а + 1 = а" = а Å 1 следует, что а + 1 =а Å 1.

Докажем теперь, что если b Î М, то b" Î М, т.е. если а + b = а Å b, то а + b" = а Å b". Так как а + b - а Å b, то по аксиоме 2 (а + b)" = (а Å b)", и тогда а + b" - (а + b)" = (а Å b)" = а Å b". Поскольку множество М содержит 1 и вместе с каждым числом b содержит и число b¢ то по аксиоме 4, множество М совпадает с N , а значит, равенство (1) b. Так как число а было выбрано произвольно, то равенство (1) верно при любых натуральных а и b, т.е. операции + и Å на множестве N могут отличаться друг от друга только обозначениями.

Доказательство существования сложения. Покажем, что алгебраическая операция, обладающая свойствами 1 и 2, указанными в определении сложения, существует.

Пусть М - множество тех и только тех чисел а, для которых можно определить а + b так, чтобы были выполнены условия 1 и 2. Покажем, что 1 Î М. Для этого при любом b положим

1+b=b¢. (2)

1)1 + 1 = 1¢ - по правилу (2), т.е. выполняется равенство а + 1 = а" при а = 1.

2)1 + b" = (b" )¢b = (1 + b)" - по правилу (2), т. е. выполняется равенство а + b" = (а + b)" при а = 1.

Итак, 1 принадлежит множеству М.

Предположим, что а принадлежит М. Исходя из этого предположения, покажем, что и а" содержится в М, т.е. что можно определить сложение а" и любого числа b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2. Для этого положим:

а" + b = (а + b)". (3)

Так как по предположению число а + b определено, то по аксиоме 2, единственным образом определяется и число (а + b)". Проверим, что при этом выполняются условия 1 и 2:

1)а" + 1 = (а + 1)" = (а")". Таким образом, а" + 1 = (a ")".

2)а" + b" = (а+ b¢)" = ((а + b)")" = (а" + b)". Таким образом, а" + b" = = (а" + b)".

Итак, показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым числом а содержит число а". По аксиоме 4, заключаем, что множество М есть множество натуральных чисел. Таким образом, существует правило, которое позволяет для любых натуральных чисел а и b однозначно найти такое натуральное число а + b, что выполняются свойства 1 и 2, сформулированные в определении сложения.

Покажем, как из определения сложения и теоремы 3 можно вывести хорошо известную всем таблицу сложения однозначных чисел.

Условимся о следующих обозначениях: 1" = 2; 2"=3; 3¢ =4; 4"= 5 и т.д.

Составляем таблицу в такой последовательности: сначала к любому однозначному натуральному числу прибавляем единицу, затем - число два, потом - три и т.д.

1 + 1 = 1¢ на основании свойства 1 определения сложения. Но 1¢ мы условились обозначать 2, следовательно, 1 + 1=2.

Аналогично 2+1=2" = 3;3 + 1=3" = 4 и т.д.

Рассмотрим теперь случаи, связанные с прибавлением к любому однозначному натуральному числу числа 2.

1+2 = 1 + 1¢ - воспользовались принятым обозначением. Но 1 + 1¢ = = (1 + 1)" согласно свойству 2 из определения сложения, 1 + 1 - это 2, как было установлено выше. Таким образом,

1 +2 = 1 + 1" = (1 +1)" = 2" = 3.

Аналогично 2 + 2 = 2 + 1" = (2 + 1)" = 3" = 4; 3 + 2 = 3 + 1¢ = (3 + 1)" = = 4" = 5 и т.д.

Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу сложения однозначных чисел.

Следующий шаг в аксиоматическом построении системы натуральных чисел - это доказательство свойств сложения, причем первым рассматривается свойство ассоциативности, затем коммутативности и др.

Теорема 4. (" а,b,с Î N )(а + b) + с = а + (b + с).

Доказательство. Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых равенство (а+b) +с = а+(b+с) верно.

Докажем сначала, что 1 Î М, т.е. убедимся в справедливости равенства (а + b) + 1 = а + (b + 1) Действительно, по определению сложения, имеем (а + b) + 1 = (а + b)" = а + b" = а + (b + 1).

Докажем теперь, что если с Î М, то с" Î М, т.е. из равенства (а + b) + с = а + (b + с) следует равенство (а + b) + с" = а + (b + с"). (а + b) + с" = ((а + b) + с)". Тогда на основании равенства (а + b) + с = а + (b + с) можно записать: ((а + b) + с)" = (a + (b + с))". Откуда, по определению сложения, получаем: (a + (b + с))" = а + (b + с)" =а + (b + с").

М содержит 1, и из того, что с содержится в М, следует, что и с" содержится в М. Следовательно, согласно аксиоме 4, М = N, т.е. равенство (а + b) + с = а + (b + с) истинно для любого натурального числа с, а поскольку числа а и b выбирались произвольно, то оно истинно и для любых натуральны чисел а и b, что и требовалось доказать.

Теорема 5. (" а, b Î N) а + b = b + а.

Доказательство. Состоит их двух частей: сначала доказывают, что ("a Î N) а +1 = 1+a , а затем, что (" а, b Î N) а + b=b + а.

1 .Докажем, что ("а ÎN) a + 1=1+а. Пусть М - множество всех тех и только тех чисел а, для которых равенство а + 1 = 1 + а истинно.

Так как 1+1=1 + 1- истинное равенство, то 1 принадлежит множеству М.

Докажем теперь, что если а Î М, то а" Î М, т. е. из равенства а + 1 = 1 + а следует равенство а" + 1 = 1 + а". Действительно, а" + 1 = (а + 1) + 1 по первому свойству сложения. Далее, выражение (а + 1) + 1 можно преобразовать в выражение (1 + а) + 1, воспользовавшись равенством а + 1 = 1 + а. Затем, на основании ассоциативного закона, имеем: (1 + а) + 1 = 1 + (а + 1). И наконец, по определению сложения, получаем: 1 +(а + 1) = 1 +а".

Таким образом, мы показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым числом а содержит и число а". Следовательно, согласно аксиоме А, М = И, т.е. равенство а + 1 = 1 + а истинно для любого натурального а.

2 . Докажем, что (" а, b Î N ) а + b = b + а. Пусть а – произвольно выбранное натуральное число, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел b, для которых равенство а + b =b + а истинно.

Так как при b = 1 получаем равенство а + 1 = 1 + а, истинность которого доказана в пункте 1, то 1 содержится в М.

Докажем теперь, что если b принадлежит М, то и b" также принадлежит М, т.е. из равенства а + b =b + а следует равенство а + b" = b" + а. Действительно, по определению сложения, имеем: а + b" = (а + b)". Так как а + b = b + а, то (а + b)" =(b + а)". Отсюда, по определению сложения: (b + а)" = b + а" = b + (a + 1). На основании того, что а + 1 = 1 + а, получаем: b + (а + 1) = b + (1 + а). Применив ассоциативное свойство и определение сложения, выполняем преобразования: b + (1 + a) = (b+1) + а = b" + а.

Итак, мы доказали, что 1 содержится в множестве М и вместе с каждым числом b множество М содержит и число b¢, непосредственно следующее за b¢. По аксиоме 4 получаем, что М = И, т.е. равенство a + b = b + а истинно для любого натурального числа b, а также для любого натурального а, поскольку его выбор был произвольным.

Теорема 6 .("а,b Î N) а + b ¹ b.

Доказательство. Пусть а - натуральное число, выбранное произвольно, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество тех и только тех натуральных чисел b, для которых теорема 6 верна.

Докажем, что 1 Î М. Действительно, так как а + 1 = а" (по определению сложения), а 1 не следует ни за каким числом (аксиома 1), то а + 1 ¹ 1.

Докажем теперь, что если b Î М, то b" Î М, т.е. из того, что а +b Î b слеледует, что а + b" ¹ b". Действительно, по определению сложения, а + b" = (а + b)", но поскольку а +b Î b, то (а + b)" ¹ b" и, значит, а +b¢ =b¢.

По аксиоме 4 множества М и N совпадают, следовательно, для любых натуральных чисел а +b Î b, что и требовалось доказать.

Подход к сложению, рассматриваемый при аксиоматическом построении системы натуральных чисел, является основой начального обучения математике. Получение чисел путем прибавления 1 тесно связывается с принципом построения натурального ряда, а второе свойство сложения используется при вычислениях, например, в таких случаях: 6 + 3 = (6+ 2)+ 1=8 + 1= 9.

Все доказанные свойства изучаются в начальном курсе математики и используются для преобразования выражений.

Упражнения

1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы?

2. Используя определение сложения, найдите значение выражений:

а) 2 + 3; б) 3 + 3; в) 4 + 3.

3. Какие преобразования выражений можно выполнять, используя свойство ассоциативности сложения?

4. Выполните преобразование выражения, применив ассоциативное свойство сложения:

а) (12 + 3)+17; б) 24 + (6 + 19); в) 27+13+18.

5. Докажите, что ("а, b Î N) а + b ¹ а.

6. Выясните, как формулируются в различных учебниках математики для начальной школы:

а) коммутативное свойство сложения;

б) ассоциативное свойство сложения.

7 .В одном из учебников для начальной школы рассматривается правило прибавления числа к сумме на конкретном примере (4 + 3) + 2 и предлагаются следующие пути нахождения результата:

а) (4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9;

б) (4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9;

в) (4 + 3) + 2 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9.

Обоснуйте выполненные преобразования. Можно ли утверждать что правило прибавления числа к сумме есть следствие ассоциативного свойства сложения?

8 .Известно, что а + b = 17. Чему равно:

а) а + (b + 3); б) (а + 6) + b; в) (13+b )+a ?

9 .Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида а + b + с. Дайте обоснование этим способам и проиллюстрируйте йх на конкретных примерах.

Умножение

По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.

Предварим определение умножения следующими рассуждениями. Если любое натуральное число а умножить на 1, то получится а, т.е. имеет место равенство а× 1 = а и мы получаем правило умножения любого натурального числа на 1. Но как умножать число а на натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 7×5 = 35, то для нахождения произведения 7×6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7×6=7×(5 + 1) = 7×5 +7. Таким образом, произведение а×b" можно найти, если известно произведение: а×b" = а×b + а.

Отмеченные факты и положены в основу определения умножения натуральных чисел. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.

Определение. Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:

1) ("a Î N ) а× 1 = а;

2) ("a, Î N ) а×b" = а×b + а.

Число а×b называется произведением чисел а и b, а сами числа а и b- множителями.

Особенностью данного определения, так же как и определения сложения натуральных чисел, является то, что заранее неизвестно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственная ли она. В связи с этим возникает необходимость в доказательстве этого факта.

Теорема 7. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.

Используя определение умножения, теорему 7 и таблицу сложения, Можно вывести таблицу умножения однозначных чисел. Делаем это в такой последовательности: сначала рассматриваем умножение на 1, затем на 2 и т.д.

Легко видеть, что умножение на 1 выполняется по свойству 1 в определении умножения: 1×1 = 1; 2×1=2; 3×1=3 и т.д.

Рассмотрим теперь случаи умножения на 2: 1×2 = 1×1"= 1×1 + 1 = 1 + 1=2- переход от произведения 1×2 к произведению 1×1¢ осуществлен согласно принятым ранее обозначениям; переход от выражения 1×1 к выражению 1×1+1 - на основе второго свойства умножения; произведение 1×1 заменено числом 1 в соответствии с уже полученным результатом в таблице; и, наконец, значение выражения 1+1 найдено в соответствии с таблицей сложения. Аналогично:

2×2 = 2×1" = 2×1 +2 = 2 + 2 = 4;

3×2 = 3×1¢ = 3×1 + 3 = 3 + 3 = 6.

Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.

Как известно, умножение натуральных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. При аксиоматическом построении теории удобно доказывать эти свойства, начиная с дистрибутивности.

Но в связи с тем, что свойство коммутативности будет доказано позже, необходимо рассматривать дистрибутивность справа и слева относительно сложения.

Теорема 8 . ("a,b,c Î N ) (а + b)×с =а×с + b×с.

Доказательство. Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых верно равенство (a + b)×с = а×с + b×с.

Докажем, что 1 Î М, т.е. что равенство (a + b)× 1 = а ×1 + b× 1 истинно. Согласно свойству 1 из определения умножения имеем: (а + b)× 1=а+b=а× 1+ b ×1.

Докажем теперь, что если с Î М, то с" Î М, т.е. что из равенства (a + b)с = а×с + b×с следует равенство (а + b)×с" = а×с" + b×с". По определению умножения, имеем: (a + b)×с" = (a + b)×с + (a + b). Так как (а + b)×с=а×с + b×с, то (a + b)×с + (a + b) = (а×с + b×с) + (а + b). Используя ассоциативное и коммутативное свойство сложения, выполняем преобразования: (a ×с + b×с) + (а + b) = (a ×с + b×с + а) + b = (a×с + a + b×с) + b = = ((а×с + a ) + b×с) + b = (а×с + a ) + (b×с + b). И наконец, по определению умножения, получаем: (а×с + a) + (b×с + b) =а×с" + b×с".

Итак, мы показали, что множество М содержит 1, и из того, что оно содержит с, следует, что и с" содержится в М. По аксиоме 4 получаем, что М = N. Это означает, что равенство (a + b)×с = а×с + b×с верно для любых натуральных чисел с, а также для любых натуральных a и b, поскольку они были выбраны произвольно.

Теорема 9 . (" а, b, с Î N ) а×(b + с) =а×b + а×с.

Это свойство дистрибутивности слева относительно сложения. Доказывается оно аналогично тому, как это сделано для дистрибутивности справа.

Теорема 10 .(" a,b,c Î N)(a×b)×c=a×(b×c).

Это свойство ассоциативности умножения. Его доказательство основывается на определении умножения и теоремах 4-9.

Теорема 11 . ("a,b, Î N ) a×b .

Доказательство этой теоремы по форме аналогично доказательству коммутативного свойства сложения.

Поход к умножению, рассматриваемый в аксиоматической теории, является основой обучения умножению в начальной школе. Умножение на 1, как правило, определяется, а второе свойство умножения используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел и вычислениях.

В начальном курсе изучаются все рассмотренные нами свойства умножения: и коммутативность, и ассоциативность, и дистрибутивность.

Упражнения

1 . Используя определение умножения, найдите значения выражений:

а) 3×3; 6) 3×4; в) 4×3.

2. Запишите свойство дистрибутивности умножения слева относительно сложения и докажите его. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Почему возникла необходимость в рассмотрении дистрибутивности умножения слева и справа относительно сложения?

3. Докажите свойство ассоциативности умножения натуральных чисел. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Изучается ли это свойство в начальной школе?

4. Докажите свойство коммутативности умножения. Приведите примеры его использования в начальном курсе математики.

5. Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения:

а) 5×(10 + 4); 6)125×15×6; в) (8× 379)× 125?

6. Известно, что 37 - 3 = 111. Используя это равенство, вычислите:

а) 37×18; б)185×12.

Все выполненные преобразования обоснуйте.

7 . Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответ обоснуйте:

а) 8962×8 + 8962× 2; б) 63402×3 + 63402×97; в) 849+ 849×9.

8 . Какие свойства умножения будут использовать учащиеся начальных классов, выполняя следующие задания:

Можно ли, не вычисляя, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

а) 3×7 + 3×5; б) 7×(5 + 3); в) (7 + 5)×3?

Верны ли равенства:

а) 18×5×2 = 18× (5×2); в) 5×6 + 5×7 =(6 + 7)×5;

б) (3×10)×17 = 3×10×17; г) 8×(7 + 9) = 8×7 + 9×8?

Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:

а) 70×32+ 9×32... 79×30 + 79×2;

б) 87×70 + 87×8 ... 80×78 +7×78?