Центр тяжести треугольной призмы. Определение центра тяжести небольших
1. Центр тяжести площади треугольника . Найдем центр тяжести тонкой однородной треугольной пластинки А 1 А 2 А 3 (рис.9.8).
Разобьем площадь треугольника прямыми, параллельными основанию А 1 А 3 , на большое число очень узких полосок. Каждую такую полоску, можно рассматривать как прямолинейный отрезок. Следовательно, центр тяжести каждой полоски находится в ее середине. Но средние точки всех полосок расположены на одной прямой, т.е. на медиане А 2 М 2 . Т.о. центр тяжести площади треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Так как точка пресечения медиан делит каждую медиану в отношении 2/1, следовательно, центр тяжести площади треугольника лежит на одной из его медиан на расстоянии 2/3 этой медианы от вершины треугольника. Если обозначим координаты вершин данного треугольника через (х 1 , у 1) (х 2 ,у 2) (х 3 ,у 3), а координаты центра тяжести х С и у С, то координаты центра тяжести будут равны,
2. Центр тяжести площади многоугольника . Чтобы найти центр тяжести площади какого-нибудь многоугольника А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 (рис.9.9), координаты вершин которого известны, разобьем данный многоугольник диагоналями на три треугольника А 1 А 2 А 3 , А 1 А 3 А 4 и А 1 А 4 А 5 . Площади треугольников обозначим соответственно S 1 , S 2 и S 3 , а их центры тяжести через С 1 (х С1 , у С1), С 2 (х С2 ,у С2) и С 3 (х С3 ,у С3).
Зная координаты вершин нетрудно вычислить площадь треугольников и координаты центров тяжести:
Аналогично получают координаты у.
Подставляя в формулу центра тяжести однородной плоской фигуры, получим: и
3. Центр тяжести дуги окружности . Найти центр тяжести дуги АВ окружности радиуса R с центром в точке О рис.9.9.
Центр тяжести С лежит на оси симметрии дуги АВ, т.е. на радиусе перпендикулярном к хорде АВ. Найти расстояние ОС. Вращая дугу АВ вокруг оси параллельной хорде АВ, получим поверхность АВВ 1 А 1 , представляющую собой часть поверхности шара и называемую шаровым поясом. Площадь этой поверхности равна. На основании первой теоремы Гюльдена. Откуда
Если обозначим половину центрального угла дуги АВ, измеряемого в радианах, через α, то и, следовательно,
4. Центр тяжести кругового сектора . Необходимо найти положение центра тяжести кругового сектора ОАВ радиуса R (рис.9.10). Обозначим половину центрального угла этого сектора через α. Искомый центр тяжести С лежит на оси симметрии данного сектора, т.е. на биссектрисе угла АОВ. Надо найти расстояние ОС. Разделим дугу АВ на n малых равных частей и точки деления соединим с центром О.
Тогда данный сектор разделится на n равных секторов. Рассмотрим сектор Оав. Приближенно его можно принять за треугольник. Следовательно, его центр тяжести лежит на радиусе делящим угол аОв пополам, на расстоянии 2/3R от точки О. В этих центрах приложены веса р i элементарных секторов.
Следовательно, центр тяжести С сектора АОВ совпадает с центром тяжести системы параллельных сил, приложенных вдоль дуги А 1 В 1 , т.е задача сводится к нахождению центра тяжести однородной дуги А 1 В 1 , решенной в предыдущем примере. Поэтому
5. Центр тяжести призмы . Чтобы найти центр тяжести однородной призмы с основанием А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 (рис.9.11), разобьем всю призму на большое число весьма тонких пластинок плоскостями параллельными основанию, проведенных на равных малых расстояниях друг от друга.
Эти пластинки можно считать плоскими многоугольниками. Центры тяжести этих многоугольников лежат на одной прямой С 1 С 2 , соединяющей центры тяжести нижнего и верхнего оснований призмы. Следовательно, искомый центр тяжести совпадает с центром системы параллельных сил р i , равных между собой и приложенных в точках, находящихся на прямой С 1 С 2 . Поэтому центр тяжести однородной призмы находится в середине отрезка, соединяющего центры тяжести нижнего и верхнего оснований этой призмы.
6. Центр тяжести пирамиды. Рассмотрим однородный тетраэдр, т.е. однородную треугольную пирамиду А 1 А 2 А 3 А 4 (рис.9.12). Плоскостями параллельными основанию, разобьем пирамиду на множество тонких треугольных пластинок, которые можно считать плоскими треугольниками.
Центры тяжести этих подобных треугольников лежат на одной прямой соединяющей вершину А 4 пирамиды с центром тяжести ее основания (точкой М пересечения медиан треугольника А 1 А 2 А 3 . Следовательно, на этой прямой лежит центр тяжести данной пирамиды. Аналогично разбивая данную пирамиду плоскостями параллельными грани А 2 А 3 А 4 , получим, что ее центр тяжести лежит на прямой А 1 К, причем К – центр тяжести треугольника А 2 А 3 А 4 , т.е. точка пересечения его медиан, а потому искомый центр тяжести пирамиды находится в точке пересечения прямых А 4 М и А 1 К. Найдем расстояние МС. По свойству медиан треугольника имеем:
и. Так как МК‖А 1 А 4 и МК=1/3А 1 А 4. Из подобия треугольников следует, что или 3МС=СА 4 . Но МС+СА 4 =МА 4 , поэтому;4МС=МА 4 , следовательно, МС=1/4МА 4 .
Центр тяжести однородной пирамиды лежит на отрезке, соединяющим вершину пирамиды с центром тяжести ее основания, расстоянии ¼ этого отрезка от центра тяжести основания пирамиды.
Рассматривая конус как предел вписанных в него пирамид, на основании предыдущего результата можно сделать вывод, что центр тяжести однородного конуса лежит на отрезке, соединяющем вершину конуса с центром тяжести его основания, на расстоянии ¾ этого отрезка от вершины конуса.
Лабораторная работа
“ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ЗВЕНЬЕВ
МЕХАНИЗМОВ МЕТОДОМ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА”
1. Цель работы
Ознакомление с определением моментов инерции звеньев механизмов с помощью метода физического маятника.
2. Теоретическая часть
Физическим маятником называется твердое тело произвольной формы, подвешенное на горизонтальной неподвижной оси. Таким физическим маятником может быть, например, шатун 1 , установленный проушиной на ребро неподвижной призмы2 (рис. 1).
Рис. 1. Физический маятник
Если шатун отклонить от вертикального
положения и затем отпустить, то он начнет
совершать колебания в плоскости,
перпендикулярной ребру призмы, вокруг
точки
.
Между периодом колебаний и моментом
инерции шатуна относительно его оси
под действием силы тяжести существует
определенная зависимость:
,
(1)
где
момент
инерции шатуна относительно центра
тяжести,
;
сила
тяжести шатуна,
;
расстояние
от центра тяжести шатуна до оси подвеса,
;
период
колебаний,
;
,
(2)
где
момент
инерции шатуна относительно оси подвеса,
.
Установлено, что наименьшая ошибка при
определении моментов инерции звеньев
методом физического маятника получается
при амплитуде колебания до
.
Кроме того, этот метод можно применять
для звеньев, которые удобно подвешиваются
на ребро трехгранной призмы (шатуны,
кривошипы и другие рычажные звенья,
имеющие проушины).
Вычисление ошибки
при определении момента инерции можно
выполнить, если принять в формуле (1)
и
.
.
(3)
.
(4)
.
(5)
.
(6)
Сначала по формуле (6) определяются
относительные ошибки
и
,
затем по формулам (5) – относительные
ошибки
и
и, наконец, по формулам (4) подсчитываются
относительные и абсолютные ошибки
величины
.
При определении момента инерции необходимо определить также силу тяжести звена и положение его центра тяжести. Сила тяжести звена определяется взвешиванием, положение центра тяжести – в зависимости от величины и формы звена – одним из изложенных ниже способов.
2.1. Определение центра тяжести небольших
Звено 1
кладут на ребро трехгранной
призмы таким образом, чтобы оно находилось
в равновесии (см. рис. 2). На звене отмечают
точки «
»
и «
»,
лежащие против ребра призмы. Затем эти
точки соединяют прямой линией. Пересечение
этой линии с осью симметрии
определит положение центра тяжести
.
Рис. 2. Определение центра тяжести звеньев, имеющих ось симметрии
Расстояние «
»
от центра тяжести до точки подвеса
определяют с помощью масштабной линейки.
2.2. Определение центра тяжести крупных
звеньев, имеющих ось симметрии
Звено 1
(см. рис. 3) подвешивают на
нити2
, привязанной к его концам. В
точке подвеса прикрепляют отвес3
.
Точка пересечения нити отвеса с осью
симметрии звена
и определит центр тяжести звена.
2.3. Определение центра тяжести звеньев,
не имеющих оси симметрии
Определение положения центра тяжести
производится при помощи последовательного
подвешивания звена на двух точках (рис.
4). При каждом подвешивании с помощью
отвеса отмечают линии
и
.
Точка
пересечения линий
и
будет
искомым центром тяжести.
3. ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ДЛЯ РАБОТЫ
1) приборы ТММ25 и ТММ25а; 2) секундомер однострелочный типа СМ-60; 3) металлическая масштабная линейка; 4) весы; 5) шнур с отвесом; 6) звено (шатун, кривошип, рычаг), для которого определяется момент инерции.
4. ОПИСАНИЕ ПРИБОРОВ
Основной частью прибора ТММ25 (рис. 5) является закаленная и отшлифованная стальная призма 1 , закрепленная на стойке2 таким образом, чтобы рабочее ребро было обращено вверх. Стойка2 установлена на штативе3 , снабженном двумя установочными винтами4 и круглым уровнем6 для приведения рабочего ребра призмы в горизонтальное положение. Под призмой на стойке2 закреплена клиновидная планка5 , которая служит указателем максимально допустимых амплитуд качания звена.
Прибор ТММ25а (см. рис. 6) состоит из кронштейна 2 , наглухо закрепленного на стене анкерными болтами3 . Призма1 заделана в кронштейне2 .
В инженерной практике случается, что возникает необходимость вычислить координаты центра тяжести сложной плоской фигуры, состоящей из простых элементов, для которых расположение центра тяжести известно. Такая задача является частью задачи определения...
Геометрических характеристик составных поперечных сечений балок и стержней. Часто с подобными вопросами приходится сталкиваться инженерам-конструкторам вырубных штампов при определении координат центра давления, разработчикам схем погрузки различного транспорта при размещении грузов, проектировщикам строительных металлических конструкций при подборе сечений элементов и, конечно, студентам при изучении дисциплин «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов».
Библиотека элементарных фигур.
Для симметричных плоских фигур центр тяжести совпадает с центром симметрии. К симметричной группе элементарных объектов относятся: круг, прямоугольник (в том числе квадрат), параллелограмм (в том числе ромб), правильный многоугольник.
Из десяти фигур, представленных на рисунке выше, только две являются базовыми. То есть, используя треугольники и сектора кругов, можно скомбинировать почти любую фигуру, имеющую практический интерес. Любые произвольные кривые можно, разбив на участки, заменить дугами окружностей.
Оставшиеся восемь фигур являются самыми распространенными, поэтому они и были включены в эту своеобразную библиотеку. В нашей классификации эти элементы не являются базовыми. Прямоугольник, параллелограмм и трапецию можно составить из двух треугольников. Шестиугольник – это сумма из четырех треугольников. Сегмент круга — это разность сектора круга и треугольника. Кольцевой сектор круга — разность двух секторов. Круг – это сектор круга с углом α=2*π=360˚. Полукруг – это, соответственно, сектор круга с углом α=π=180˚.
Расчет в Excel координат центра тяжести составной фигуры.
Передавать и воспринимать информацию, рассматривая пример, всегда легче, чем изучать вопрос на чисто теоретических выкладках. Рассмотрим решение задачи «Как найти центр тяжести?» на примере составной фигуры, изображенной на рисунке, расположенном ниже этого текста.
Составное сечение представляет собой прямоугольник (с размерами a 1 =80 мм, b 1 =40 мм), к которому слева сверху добавили равнобедренный треугольник (с размером основания a 2 =24 мм и высотой h 2 =42 мм) и из которого справа сверху вырезали полукруг (с центром в точке с координатами x 03 =50 мм и y 03 =40 мм, радиусом r 3 =26 мм).
В помощь для выполнения расчета привлечем программу MS Excel или программу OOo Calc . Любая из них легко справится с нашей задачей!
В ячейках с желтой заливкой выполним вспомогательные предварительные расчеты .
В ячейках со светло-желтой заливкой считаем результаты .
Синий шрифт – это исходные данные .
Черный шрифт – это промежуточные результаты расчетов .
Красный шрифт – это окончательные результаты расчетов .
Начинаем решение задачи – начинаем поиск координат центра тяжести сечения.
Исходные данные:
1. Названия элементарных фигур, образующих составное сечение впишем соответственно
в ячейку D3: Прямоугольник
в ячейку E3: Треугольник
в ячейку F3: Полукруг
2. Пользуясь представленной в этой статье «Библиотекой элементарных фигур», определим координаты центров тяжести элементов составного сечения xci и yci в мм относительно произвольно выбранных осей 0x и 0y и запишем
в ячейку D4: =80/2= 40,000
xc 1 = a 1 /2
в ячейку D5: =40/2=20,000
yc 1 = b 1 /2
в ячейку E4: =24/2=12,000
xc 2 = a 2 /2
в ячейку E5: =40+42/3=54,000
yc 2 = b 1 + h 2 /3
в ячейку F4: =50=50,000
xc 3 = x 03
в ячейку F5: =40-4*26/3/ПИ()=28,965
yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π
3. Рассчитаем площади элементов F 1 , F 2 , F 3 в мм2, воспользовавшись вновь формулами из раздела «Библиотека элементарных фигур»
в ячейке D6: =40*80=3200
F 1 = a 1 * b 1
в ячейке E6: =24*42/2=504
F2 = a2 *h2 /2
в ячейке F6: =-ПИ()/2*26^2=-1062
F3 = -π/2*r3 ^2
Площадь третьего элемента – полукруга – отрицательная потому, что это вырез – пустое место!
Расчет координат центра тяжести:
4. Определим общую площадь итоговой фигуры F 0 в мм2
в объединенной ячейке D8E8F8: =D6+E6+F6=2642
F 0 = F 1 + F 2 + F 3
5. Вычислим статические моменты составной фигурыSx и Sy в мм3 относительно выбранных осей 0x и 0y
в объединенной ячейке D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6=60459
Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3
в объединенной ячейке D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6=80955
Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3
6. И в завершение рассчитаем координаты центра тяжести составного сеченияXc и Yc в мм в выбранной системе координат 0x — 0y
в объединенной ячейке D11E11F11: =D10/D8=30,640
Xc = Sy / F 0
в объединенной ячейке D12E12F12: =D9/D8=22,883
Yc =Sx /F0
Задача решена, расчет в Excel выполнен — найдены координаты центра тяжести сечения, составленного при использовании трех простых элементов!
Заключение.
Пример в статье был выбран очень простым для того, чтобы легче было разобраться в методологии расчетов центра тяжести сложного сечения. Метод заключается в том, что любую сложную фигуру следует разбить на простые элементы с известными местами расположения центров тяжести и произвести итоговые вычисления для всего сечения.
Если сечение составлено из прокатных профилей – уголков и швеллеров, то их нет необходимости разбивать на прямоугольники и квадраты с вырезанными круговыми «π/2»- секторами. Координаты центров тяжести этих профилей приведены в таблицах ГОСТов, то есть и уголок и швеллер будут в ваших расчетах составных сечений базовыми элементарными элементами (о двутаврах, трубах, прутках и шестигранниках говорить нет смысла – это центрально симметричные сечения).
Расположение осей координат на положение центра тяжести фигуры, конечно, не влияет! Поэтому выбирайте систему координат, упрощающую вам расчеты. Если, например, я развернул бы в нашем примере систему координат на 45˚ по часовой стрелке, то вычисление координат центров тяжести прямоугольника, треугольника и полукруга превратилось бы в еще один отдельный и громоздкий этап расчетов, который «в уме» не выполнишь.
Представленный ниже расчетный файл Excel в данном случае программой не является. Скорее – это набросок калькулятора, алгоритм, шаблон по которому следует в каждом конкретном случае составлять свою последовательность формул для ячеек с яркой желтой заливкой .
Итак, как найти центр тяжести любого сечения вы теперь знаете! Полный расчет всех геометрических характеристик произвольных сложных составных сечений будет рассмотрен в одной из ближайших статей в рубрике « ». Следите за новостями на блоге.
Для получения информации о выходе новых статей и для скачивания рабочих файлов программ прошу вас подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце статьи или в окне вверху страницы.
После ввода адреса своей электронной почты и нажатия на кнопку «Получать анонсы статей» НЕ ЗАБЫВАЙТЕ ПОДТВЕРЖДАТЬ ПОДПИСКУ кликом по ссылке в письме, которое тут же придет к вам на указанную почту (иногда - в папку « Спам» )!
Несколько слов о бокале, монете и двух вилках, которые изображены на «значке-иллюстрации» в самом начале статьи. Многим из вас, безусловно, знаком этот «трюк», вызывающий восхищенные взгляды детей и непосвященных взрослых. Тема этой статьи – центр тяжести. Именно он и точка опоры, играя с нашим сознанием и опытом, попросту дурачат наш разум!
Центр тяжести системы «вилки+монета» всегда располагается на фиксированном расстоянии по вертикали вниз от края монеты, который в свою очередь является точкой опоры. Это положение устойчивого равновесия! Если покачать вилки, то сразу становится очевидным, что система стремится занять свое прежнее устойчивое положение! Представьте маятник – точка закрепления (=точка опоры монеты на кромку бокала), стержень-ось маятника (=в нашем случае ось виртуальная, так как масса двух вилок разведена в разные стороны пространства) и груз внизу оси (=центр тяжести всей системы «вилки+монета»). Если начать отклонять маятник от вертикали в любую сторону (вперед, назад, налево, направо), то он неизбежно под действием силы тяжести будет возвращаться в исходное устойчивое состояние равновесия (это же самое происходит и с нашими вилками и монетой)!
Кто не понял, но хочет понять – разберитесь самостоятельно. Это ведь очень интересно «доходить» самому! Добавлю, что этот же принцип использования устойчивого равновесия реализован и в игрушке ванька–встань-ка. Только центр тяжести у этой игрушки расположен выше точки опоры, но ниже центра полусферы опорной поверхности.
Всегда рад вашим комментариям, уважаемые читатели!!!
Прошу, УВАЖАЯ труд автора, скачивать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.
Медиана треугольника есть диаметр, делящий пополам хорды, параллельные основанию, поэтому на ней лежит центр тяжести (п° 217) площади треугольника. Следовательно, три медианы треугольника, пересекаясь, определяют центр тяжести площади треугольника.
Элементарные соображения показывают, что медианы треугольника пересекаются в точке, отстоящей на две трети длины каждой из них от соответствующей вершины. Поэтому центр тяжести площади треугольника лежит на любой его медиане на расстоянии двух третей ее длины от вершины.
219. Четырехугольник.
Центр тяжести площади четырехугольника определяется пересечением двух прямых, которые мы получаем, применяя распределительное свойство центров тяжести (п° 213).
Сначала делим четырехугольник диагональю на два треугольника. Центр тяжести четырехугольника лежит на прямой, соединяющей центры тяжести этих треугольников. Эта прямая и есть первая из двух искомых прямых.
Вторую прямую получим таким же способом, разбивая четырехугольник на два треугольника (отличных от предыдущих) посредством другой диагонали.
220. Многоугольник.
Мы знаем способы нахождения центров тяжести площади треугольника и четырехугольника. Чтобы определить центр тяжести площади многоугольника с произвольным числом сторон, предположим, что мы умеем находить центр тяжести площади многоугольника с меньшим числом сторон.
Тогда можно поступить так же, как в случае четырехугольника. Площадь данного многоугольника делят на две части двумя разными способами проведением диагоналей. В каждом из двух случаев соединяют прямой центры тяжести отдельных частей. Эти две прямые пересекаются в искомом центре тяжести.
221. Дуга окружности.
Пусть требуется определить центр тяжести дуги окружности АВ длины s. Отнесем окружность к двум взаимно перпендикулярным диаметрам ОХ и OY, из которых первый проходит через середину С дуги АВ. Центр тяжести лежит на оси ОХ, являющейся осью симметрии. Достаточно поэтому определить 5. Для этого имеем формулу:
Пусть будут: а - радиус окружности, с - длина хорды АВ, - угол между осью ОХ и радиусом, проведенным к элементу значения , соответствующие концам дуги АВ. Имеем:
Тогда, принимая В за переменную интегрирования и выполняя интегрирование вдоль дуги АВ, получим:
Следовательно, центр тяжести дуги окружности лежит на радиусе, проведенном через середину дуги, в точке, расстояние которой от центра окружности есть четвертая пропорциональная длины дуги, радиуса и хорды.
222. Круговой сектор.
Сектор, заключенный между дугой окружности и двумя радиусами ОА и ОВ, может быть разложен промежуточными радиусами на бесконечно малые равные между собою секторы. Эти элементарные секторы можно рассматривать как бесконечно узкие треугольники; центр тяжести каждого из них, по предыдущему, лежит на радиусе, проведенном через середину элементарной дуги этого сектора, на расстоянии двух третей длины радиуса от центра окружности. Равные между собою массы всех элементарных треугольников, сосредоточенные в их центрах тяжести, образуют однородную дугу окружности, радиус которой равен двум третям радиуса дуги сектора. Рассматриваемый случая приводится, таким образом, к отысканию центра тяжести этой однородной дуги, т. е. к задаче, решенной в предыдущем п°.
223. Тетраэдр.
Определим центр тяжести объема тетраэдра. Плоскость, проходящая через одно из ребер и через середину противоположного ребра, есть диаметральная плоскость, которая делит пополам хорды, параллельные этому последнему ребру: она содержит поэтому центр тяжести объема тетраэдра. Следовательно, шесть плоскостей, тетраэдра, из которых каждая проходит через одно из ребер и через середину противоположного ребра, пересекаются в одной точке, представляющей собой центр тяжести объема тетраэдра.
Рассмотрим тетраэдр ABCD (фиг. 37); соединим вершину А с центром тяжести I основания BCD; прямая AI есть пересечение диаметральных плоскостей, проходящих
через ребра АВ и поэтому она содержит искомый центр тяжести. Точка находится на расстоянии двух третей медианы ВН от вершины В. Точно так же возьмем на медиане АН точку К на расстоянии двух третей ее длины от вершины . Прямая В К пересечет прямую А в центре тяжести тетраэдра. Проведем из подобия треугольников АВН и ЮН видно, что IK есть третья часть АВ) далее, из подобия треугольников и ВГА заключаем, что есть третья часть .
Следовательно, центр тяжести объема тетраэдра лежит на отрезке, соединяющем любую вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, на расстоянии трех четвертей длины этого отрезка от вершины.
Заметим еще, что прямая, соединяющая середины Я и L двух противоположных ребер (фиг. 38) есть пересечение диаметральных плоскостей, проходящих через эти ребра, она также проходит через центр тяжести тетраэдра. Таким образом, три прямые, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в его центре тяжести.
Пусть Н и - середины одной пары противоположных ребер (фиг. 38) и М, N - середины двух других противоположных ребер. Фигура HNLM есть параллелограм, стороны которого соответственно параллельны остальным
двум ребрам. Прямые HL и MN, соединяющие середины двух противоположных ребер, суть диагонали этого параллелограма, а значит, они в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, центр тяжести тетраэдра лежит в середине отрезка, соединяющего середины двух противоположных ребер тетраэдра.
224. Пирамида с многоугольным основанием.
Центр тяжести пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину пирамиды с центром тяжести основания на расстоянии трех четвертей длины этого отрезка от вершины.
Чтобы доказать эту теорему, разложим пирамиду на тетраэдры плоскостями, проведенными через вершину пирамиды и через диагонали основания ABCD (например BD на фиг. 39).
Проведем плоскость пересекающую ребра на расстоянии трех четвертей их длины от вершины. Эта плоскость содержит центры тяжести тетраэдров, а следовательно, и пирамиды. Массы тетраэдров, которые мы предполагаем сосредоточенными в их центрах тяжести, пропорциональны их объемам, следовательно и площадям из оснований (фиг. 39) или также площадям треугольников bad, bed,..., подобных предыдущим и расположенным в секущей плоскости abcd... Таким образом, искомый центр тяжести совпадает с центром тяжести многоугольника abcd. Последний же лежит на прямой, соединяющей вершину S пирамиды с центром тяжести (подобно расположенным) многоугольника основания.
225. Призма. Цилиндр. Конус.
На основании симметрии, центры тяжести призмы и цилиндра лежат на середине отрезка, соединяющего центры тяжести оснований.
Рассматривая конус, как предел вписанной в него пирамиды с той же вершиной, убеждаемся, что центр тяжести конуса лежит на отрезке, соединяющем вершину конуса с центром тяжести основания, на расстоянии трех четвертей длины этого отрезка от вершины. Можно также сказать, что центр тяжести конуса совпадает с центром тяжести сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и проведенной на расстоянии одной четверти высоты конуса от основания.
Понятие центра тяжести возникло уже в древности; большой вклад в разработку теории центров тяжести внес Архимед. Несмотря на то, что понятие центра тяжести сейчас в большей мере изучается на уроках физики, нежели математики, оно играет большую роль и в геометрии. В частности, уже Архимеду понятие центра тяжести облегчило нахождение площадей некоторых фигур (например, сегмента параболы), а также объемов различных пространственных тел (в частности, шара).
В трактате «О равновесии плоских тел, или о центрах тяжести плоских фигур» Архимед излагает теорию центров тяжести аксиоматически, подобно тому, как излагает геометрию Евклид в книге «Начала». Вначале дается некоторое количество «допущений», то есть аксиом.
Здесь под «равными» опять-таки подразумеваются равновеликие, в данном случае – имеющие одинаковый вес. Смысл предложения в том, что если некие фигуры, будучи подвешенными, находятся в равновесии, то равновесие не нарушится при замене любой из них на равную по весу фигуру.
 |
|
Рис. 2. Две фигуры, равные по весу третьей, равны |
На основании этих предположений Архимед доказывает ряд следствий.
Доказательства в книге «О равновесии...» в основном осуществляются методом «от противного». Рассмотрим, например, следствие 1. Пусть данные тяжести, уравновешивающиеся на одной и той же длине, не равны. Тогда после отнятия чего-то от большей и прибавления к меньшей равновесие должно нарушиться (согласно аксиомам 2 и 3), а это противоречит тому, что равные тела на равных длинах уравновешиваются (согласно аксиоме 1).
|
Для того, чтобы это доказать, Архимед отдельно рассматривает два случая: данные веса соизмеримы либо несоизмеримы. В первом случае веса обоих тел являются кратными некоторому весу P 0: P 1 = n 1 P 0 , P 2 = n 2 P 0 . Архимед заменяет тело с весом P 1 на n 1 тел весом P 0 каждое, а тело с весом P 2 на n 2 тел весом P 0 каждое, причем располагает все эти (n 1 + n 2) тел на одной прямой так, чтобы центры тяжести соседних располагались на равном расстоянии друг от друга.
При этом, согласно предположению 6, такого рода замена не влияет на положение центра тяжести. А поскольку по следствию 3 у этих (n 1 + n 2) тел центр тяжести находится посередине, то и у исходных двух тел он находится там же. Отсюда и вытекает, что l 1 /l 2 = P 2 /P 1 .
В случае несоизмеримых весов Архимед снова ведет доказательство от противного: он предполагает, что тела с весами и подвешенные на отрезках, удовлетворяющих условию не уравновесятся. Значит, вес будет либо больше, либо меньше, чем необходимо для равновесия. Если он больше, то отнимем от некоторый вес так, чтобы оставшийся вес был, с одной стороны, все еще больше, чем нужно для равновесия, а с другой, чтобы он был соизмерим с Тогда, с одной стороны, (так как больше, чем нужно для равновесия), а с другой стороны, (потому что Получается противоречие, значит, не может быть больше, чем необходимо для равновесия. Если же меньше, чем необходимо для равновесия, значит, больше, и относительно можно провести все те же рассуждения. Итак, закон рычага доказан.
(Известно, что рычаг занимал большое место в деятельности Архимеда – не только механика-теоретика, но и конструктора реально использовавшихся механических приспособлений; часто цитируют слова Архимеда «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю»).
|
