Матричное описание вращения твёрдого тела упрощает многие операции; однако, для того, чтобы полностью описать ориентацию вращающегося твёрдого тела, необходимо использовать все девять элементов матрицы поворота. Непосредственно эти элементы не составляют полной системы обобщённых координат, с помощью которых можно описать ориентацию вращающегося твёрдого тела относительно абсолютной системы координат.

В качестве обобщённых координат можно использовать углы Эйлера j , q и y .

Таблица 3.1. Три системы углов Эйлера

Первая из систем углов Эйлера обычно используется при описании движения гироскопов и соответствует следующей последовательности поворотов (рис. 3.2):

Рисунок 3.2. Первая система углов Эйлера

R j , q , y = R z , j ×R u , q ×R w , y =
=

=
. (3-2)

R j , q , y , может быть также получен в результате выполнения последовательности следующих поворотов вокруг осей неподвижной системы координат: сначала на угол y вокруг оси OZ , затем на угол q вокруг оси OX , затем на угол j вокруг оси OZ .

На рисунке 3.3 показана вторая система углов Эйлера, определяемая следующей последовательностью поворотов:

Поворот на угол j вокруг оси OZ (R z , j).

Поворот на угол q вокруг оси OV (R v , q).

Поворот на угол y вокруг повёрнутой оси OW (R w , y).

Результирующая матрица поворота имеет следующий вид:

R j , q , y = R z , j ×R v , q ×R w , y =
=

=
. (3-3)

Поворот, описываемый матрицей R j , q , y для этой системы углов Эйлера, может быть получен также в результате выполнения последовательных поворотов: на угол y вокруг оси OZ , на угол q вокруг оси OY , на угол j вокруг оси OZ .

Рисунок 3.3. Вторая система углов Эйлера

Ещё одну систему углов Эйлера составляют так называемые углы крена , тангажа и рыскания . Эти углы обычно применяются в авиации для описания движения самолётов.

Они соответствуют следующей последовательности поворотов:

Поворот на угол y вокруг оси OX (R x , y ) – рыскание.

Поворот на угол q вокруг оси OY (R y , q ) – тангаж.

Поворот на угол j вокруг оси OZ (R z , j ) – крен.

Результирующая матрица поворота имеет вид:

R j , q , y = R z , j ×R y , q ×R x , y =
=

=
. (3-4)

Поворот, описываемый матрицей R j , q , y в переменных «крен, тангаж, рыскание» может быть также получен в результате выполнения следующей последовательности поворотов вокруг осей абсолютной и подвижной систем координат: на угол j вокруг оси OZ , затем на угол q вокруг повёрнутой оси OV , на угол y вокруг повёрнутой оси OU (продольная ось аппарата – Z ) (рис. 3.4).

Рисунок 3.4. Крен, тангаж, рысканье (третья система углов Эйлера)

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной точки называется такое его движение, при котором одна точка твердого тела или неизменно с ним связанная остается неподвижной относительно выбранной системы отсчета. Его еще называют сферическим движением , поскольку траектория любой точки тела лежит на поверхности сферы с центром в неподвижной точке. Примером такого движения служит волчок, у которого остается неподвижной точка опоры.

Число степеней свободы свободно движущегося в пространстве твердого тела равно шести. Если во время движения тела одна его точка остается неподвижной, то число степеней свободы такого тела при его вращении вокруг этой неподвижной точки будет равно трем и для оценки его положения необходимо задать три независимых параметра. Сделать это можно различными способами. Например, А.Н. Крылов в качестве таких параметров предложил так называемые корабельные углы, определяющие положение твердого тела (корабля) относительно системы координат, связанной своим началом с его центром тяжести (рис. 3.1).

За оси неподвижной системы координат приняты CXYZ, а за оси жестко связанные с кораблем – Cxyz (рис. 3.1). Ось СХ направлена от кормы к носу корабля, ось CZ –к его правому борту, а ось CY образует с ними правую систему координат (вертикально вверх). Положение подвижной системы координат Cxyz , неизменно связанной с кораблем, относительно неподвижной CXYZ для каждого момента времени определяется тремя углами Крылова: углом дифферента , углом крена , углом рыскания (рис. 3.2).

Как видно на рис. 3.2, плоскость CXY пересекает плоскость Cxy по некоторой прямой , образующей угол с осьюCX и угол с осью Cx . Плоскость CYZ пересекает плоскость Cхy полинии Cy 1 , образующей угол с осью Cy . Рассмотрим переход от системы CXYZ к системе Cxyz , выполненный с помощью трех поворотов.

Для совмещения системы CXYZ с системой Cxyz достаточно:

1) повернуть систему CXYZ вокруг третьей из координатных осей CZ на угол дифферента , в результате чего получим систему Cx 1 y 1 z 1 , причем Cz 1 =CZ (рис. 3.3);

2) повернуть систему вокруг первой из координатных осей на угол крена , в результате чего получим систему , при этом (рис. 3.4);

3) повернуть систему вокруг второй из координатных осей на угол рыскания (рис. 3.5), в результате чего приходим к системе Cxyz .

Формулы преобразования координат связаны следующими соотношениями:

1) от CXYZ к (рис. 3.3)

X = x 1 cos y - y 1 sin y + 0 ,

Y =x 1 sin y + y 1 cos y + 0 , (3.1)

Z = 0 + 0 + z 1 ,

или в матричной форме:

[X ] ={ a 3 y } т [x 1 ] , или , (3.2)

где - матрица, транспонированная к матрице , описывающей поворот системы CXYZ вокруг третьей координатной оси СZ на угол дифферента y,

; (3.3)

2) от системы к системе (рис. 3.4)

x 1 = x 2 + 0 + 0 ,

y 1 = 0 + y 2 - z 2 , (3.4)

z 1 = 0 + y 2 + z 2 ,

или в матричной форме

[x 1 ] = [x 2 ] , или , (3.5)

где – матрица, транспонированная к матрице , задающей преобразование поворота от осей системы к осям системы вокруг первой из координатных осей на угол крена , при этом = ,

; (3.6)

3) от системы координат к системе Cxyz (рис. 3.5)

x 2 = x cos j + 0 + z sin j,

y 2 = 0 + y + 0 , (3.7)

z 2 = -x sin j + 0 + z cos j,

или в матричной форме [x 2 ]= [x ], или

. (3.8)

Причем поворотная матрица {a 2 j } т – это матрица, транспонированная к матрице { a 2 j }, задающей преобразование поворота от осей системы к осям системы Cxyz на угол рысканияjвокруг второй из координатных осей = , имеет вид

. (3.9)

Для любой точки М тела с координатами x , y , z в подвижной системе координат, жестко связанной с ним, и с ее же координатами X , Y , Z – в неподвижной системе координат можно установить взаимосвязь проекций вектора точки на оси двух систем координат,

, (3.10)

или в матричном виде

или , (3.11)

где углы Крылова являются некоторыми функциями времени: угол дифферента ,угол крена ,угол рыскания .

Матрица транспонирована к матрице направляющих косинусов , задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы CXYZ к осям подвижной системы Cxyz , неизменно связанной с кораблем. Очевидно, что при движении тела координаты x , y , z остаются постоянными в отличие от координат X , Y , Z.

Подставляя в (3.2) соотношения (3.5) и (3.8), получаем:

Сравнивая (3.11) и (3.12), находим, что искомая матрица является произведением трех поворотных матриц

=

=

.(3.13)

Подставляя в (3.2) соотношение (3.5), получаем промежуточное соотношение, которое может понадобиться в дальнейшем, [X ] = [x 2 ]. Промежуточная поворотная матрица = находится как произведение двух матриц поворота:

=

= (3.13a )

Углы Эйлера

В тех случаях, когда угловая скорость вращения в одном направлении значительно больше, чем в двух других (генераторы, моторы, турбины, гироскопы), для определения положения тела в качестве трех независимых параметров выбирают три угла Эйлера: угол прецессии y (t ),угол нутацииq (t ) иугол ротации (собственного вращения) j (t ). Их названия заимствованы из астрономии.

Чтобы задать эти углы, рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки О . Пусть даны некоторая система отсчета и связанная с ней неподвижная система координат ОXYZ , относительно которой движется твердое тело, и связанная с твердым телом система координат Оxyz , которая движется относительно первой (рис. 3.6 … 3.8). Это означает, что первая и вторая системы координат имеют общее начало O , а углы, образуемые осями Оxyz с осями ОXYZ , изменяются, т.е. система Оxyz
поворачивается вместе с твердым телом вокруг неподвижной точки О (рис. 3.5 … 3.8).

Кинематические уравнения в обобщенных координатах. Углы Эйлера, Крылова, кватернионы.

В курсе теоретической механики сферическое движение задавалось углами Эйлера (рис. 1.2) – углом прецессии y (поворот вокруг неподвижной оси Oz ), углом нутации q (поворот вокруг полуподвижной оси ОК – линии пересечения плоскостей Oxy и O ξη, называемой линией узлов) и углом собственного вращения j (поворот вокруг связанной с телом оси Oz ).

Рис. 1.2. Система ориентационных углов Эйлера твердого тела

Углы Эйлера перечислены здесь в порядке поворотов, которые надо совершить над неподвижной СК Oxyz чтобы она совместилась с подвижной СК O ξηζ. Использование углов Эйлера в сферическом движении делалось для демонстрации принципиальной возможности решения соответствующих задач кинематики. Здесь же у нас стоит задача более оптимально описать такое движение. Кинематические соотношения, выражающие проекции угловой скорости тела на оси связанной СК через угловые скорости указанных углов представляются для углов Эйлера формулами (сверены с программой КИДИМ):

(1.1)

Несмотря на лаконичность такого задания положения тела при сферическом движении (3 степени свободы, 3 координаты), в современной механике оно используется редко. Это объясняется, в частности тем, что формулы вычисления обобщенных скоростей через проекции угловой скорости тела (обратные кинематические соотношения) содержат особенности и несимметричны, что затрудняет анализ результатов и приводит к вычислительным погрешностям. Для углов Эйлера эти соотношения представляются формулами:

(1.2)

Более предпочтительным является использование параметров Родрига-Гамильтона, кватернионов, параметров Кейли-Клейна.

Докажем теорему д’Аламбера-Эйлера .

Перемещение тела, имеющего неподвижную точку, из одного положения в другое, можно осуществить поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку.

Движение тела полностью определяется движением любого треугольника, принадлежащего телу. Поэтому для сферического движения это эквивалентно движению двух точек на некоторой сфере, центр которой совпадает с неподвижной точкой, или движению дуги, соединяющей эти точки. Предположим, что в результате перемещения тела за время Dt некоторая точка А переместилась по сфере в положение В (рис. 1.3). В то же самое время точка, которая находилась в положении В , заняла новое положение С .

Рис. 1.3.

Плоскость ABC пересекает неподвижную сферу по окружности (малого или большого круга). Если D один из полюсов этого круга на сфере, то , т.к. они равнобедренные сферические и , так как они являются двумя положениями одной и той же дуги сферы АВ . по построению (равноудалены от полюса). Следовательно, может быть совмещена с при помощи вращения вокруг оси OD на угол ADB . Теорема доказана.

Параметры Родрига-Гамильтона . Для задания такого поворота, который будем называть конечным поворотом тела , очевидно, надо задать положение оси, направление и угол поворота. Ось поворота можно задать единичным вектором, направленным в ту сторону, откуда поворот тела будет наблюдаться против часовой стрелки. Этот вектор определится своими проекциями на оси некоторой СК (направляющими косинусами его углов с осями этой СК). Таким образом, конечный поворот определится четырьмя скалярными величинами ‑ проекциями единичного вектора оси и величиной угла самого поворота вокруг этой оси.

Воспользуемся для задания таких четырех величин параметрами Родрига-Гамильтона, которые обозначим здесь λ 0 , λ 1 , λ 2 , λ 3 . Последние три параметра обычно объединяют в вектор ={λ 1 , λ 2 , λ 3 } T . Таким образом, будем рассматривать совокупность скалярной и векторной величин λ 0 , . Эти параметры вводятся через элементы конечного поворота и могут быть определены следующим образом. Пусть ‑ направляющий орт оси, вокруг которой поворот совершается, а ψ ‑ величина угла поворота. Тогда

Введение

Наконец-то мы подошли к довольно интересной теме - выбору параметров, однозначно определяющих ориентацию твердого тела в пространстве. Исторически наиболее популярными являются углы поворота - они в первую очередь упоминаются в классических учебниках теоретической механики.

Рис.1. Углы Эйлера - параметры, знакомые каждому, кто занимался компьютерной графикой и моделированием пространственного движения тел. И каждый, кому они знакомы, знает, насколько проблематичным бывает их использование.

Обычно углы поворота используют совместно с декартовой системой координат, при этом говорят, что связанная система координат может быть совмещена с базовой путем трех последовательных поворотов вокруг её осей. При этом каждый следующий поворот осуществляется вокруг оси, полученной после предыдущего поворота. Кроме того, следующий поворот не должен происходить вокруг оси, относительно которой совершен предыдущий поворот. В связи с этим существует 12 различных комбинаций углов поворота, самыми известными из которых являются углы Эйлера (рисунок 1). Базовую систему координат поворачивают на угол вокруг оси Z (угол прецессии), затем на угол вокруг оси X (угол нутации), и снова вокруг оси Z на угол (угол собственного вращения) до совмещения её со связанной системой координат.

Использование углов Эйлера всем хорошо - их число совпадает с числом вращательных степеней свободы твердого тела, а значит они не порождают избыточных уравнений связей. Но, даже не прибегая к громоздким формулам, по рисунку 1, можно догадаться, где кроется проблема.

Существует два значения угла нутации, при которых происходит вырождение кинематических уравнений Эйлера (рисунок 2) - и . Предположим, что угол нутации принял одно из этих значений - тогда угол прецессии и угол собственного вращения описывают поворот вокруг одной и той же оси Z и принципиально неразличимы друг от друга. При использовании кинематических уравнений Эйлера мы получаем ноль в знаменателе и NaN в фазовых координатах. Приплыли, процедура интегрирования рухнула.

Другой вариант углов поворота - самолетные углы: - рыскание, - тангаж и - крен (рисунок 3).

Данные параметры поворота вырождаются при тангажах , при этом неразличимы становятся крен и рыскание. Матерые симуляторщики знают, как сходит с ума КПП при выходе на крутые тангажи.

Все возможные комбинации углов поворота имеют вырождение. Для моделирования и закладки в алгоритмы систем управления ориентацией область их применения ограничивается критическими значениями параметров. В прошлой статье мы показали, что не подходят и параметры конечного поворота, а использование непосредственно компонентов тензора поворота затрудняется излишне глубокими зависимостями между ними, что порождает высокий порядок системы уравнений движения.

Однако, ещё великий Леонард Эйлер ввел в рассмотрение четыре параметра, которые не имеют вырождения. На его публикацию по этому поводу тогдашний научный мир особого внимания не обратил. Данная идея, независимо от Эйлера была развита Олидом Родригом, а в работах Уильяма Гамильтона получила окончательное теоретическое обоснование. Встречайте -

1. Кватернионы и действия над ними

Кватернионом называют число вида

Где называют компонентами кватерниона. Сами числа (1) образуют множество гиперкомплексных чисел , включающее в себя все действительные числа и множество комплексных чисел . Математики эпохи, когда работал Гамильтон, уже знали о комплексных числах и о том, как построенные на их основе методы позволяют решать задачи планиметрии и естественным было желание расширить понятие комплексного числа для применения подобных методов к пространственным задачам. Проблема была в том, что добавление второй мнимой единицы не решало проблемы. Гамильтону пришла в голову мысль, что подобные расширенные комплексные числа могут быть не трех-, а четырехкомпонентными. Работая в этом направлении, в порыве вдохновения на одной из прогулок он вывел правило умножения таких чисел, что окончательно сложило мозаику новорожденной теории.

Так вот, перемножение кватернионов сводится к алгебраической операции перемножения сумм, с той лишь разницей, что требуется определить правила умножения мнимых единиц. Традиционно, каждая из мнимых единиц возведенная в квадрат дает -1

А их попарные произведения хорошо описываются диаграммой

Смысл которой прост - если перемножать пары мнимых единиц в порядке, указанном стрелкой, то получается третья мнимая единица со знаком "+". Если порядок перемножения изменить на противоположный - получится третья мнимая единица со знаком "-". Не напоминает правило векторного перемножения ортов в декартовых координатах? Это оно и есть, то есть мы получаем

Пользуясь этими правилами перемножим два кватерниона

Ого! Не слабо, но мы смело приводим подобные слагаемые

И, ну наверняка вы видите тут до боли знакомые действия над векторами. Пусть у нас будут заданы векторы

Тогда каждый кватернион можно представить парой скаляр-вектор

А результат их умножения

Не трудно просто сравнить эту формулу с результатом умножения, которое мы выполнили, при этом считая мнимые единицы ортами декартова базиса. Таким образом, кватернионы включают в себя и векторы трехмерного пространства, и например, кватернионы вида и , будут скалярами, и их произведение эквивалентно произведению скалярных величин

А кватернионы вида и называются векторными кватернионами, и их произведение

Дает скалярное, со знаком минус, и векторное произведение составляющих их векторов.

Из-за наличия в результате произведения векторного умножения, операция умножения кватернионов не коммутативна

Ну и надо ли говорить, что обнуляя два последних коэффициента у каждого из кватернионов мы получим произведение комплексных чисел? Думаю не стоит, ибо мы не погружаемся в комплексную область, а если и говорим о комплексных числах, то там где это требуется.

Не стану так же говорить о том, что сложение кватернионов и умножение их на число аналогично соответствующим операциям в комплексной области. А вот о чем надо поговорить, так о сопряжении кватерниона

О связанной с ним операции вычисления нормы

И операции вычисления обратного кватерниона

И ещё одно полезное свойство, касающееся сопряжения произведения кватернионов

Кроме того, норма обратного кватерниона - величина обратная норме исходного

Эти операции имеют непосредственное отношение к тому, для чего в наши дни используют гиперкомплексные числа

2. Кватернион как линейный оператор поворота

Теперь посмотрим на вот такой фокус. Пусть - один кватернион, а - другой кватернион. Докажем небольшую теорему

Преобразование вида не меняет нормы кватерниона .

Проверяется это утверждение прямым вычислением

Действительно, норма кватерниона не изменяет при подобном преобразовании. А если кватернион будет векторным кватернионом, то не изменится норма вектора, которым он определяется. То есть описанное преобразование над вектором, не меняет его длины, оно будет ортогональным, или преобразованием поворота! Дело за малым - выяснить, вокруг какой оси и на какой угол происходит поворот, определяемый конкретным кватернионом. Для этого возьмем (нам ведь никто не мешает так сделать) и представим кватернион в виде

Величину, стоящую в скобках называют вензором (не путать с тензором!) кватерниона. Поупражняемся над его векторной частью

Никто не мешает делать нам эквивалентных преобразований, вот мы и делаем их. Теперь введем замену

На каком основании? Да на том, что сумма квадратов этих величин всегда даст единицу, а если это так, то никто не мешает представить данные величины как синус и косинус некоторого угла. Почему угол делим на два? Нам так хочется, потом это нам пригодится, ведь угол можно взять произвольный. Исходя из введенной замены мы можем переписать кватернион в виде

Заметим, что вектор , введенный нами, является единичным, так как

В довершении позволим себе ещё одно допущение - пусть кватернион будет единичным, то есть

Теперь аккуратно выполним ортогональное преобразование над векторным кватернионом

Теперь умножим результат (2) на обратный кватернион

Углы Эйлера-Крылова

Однозначно задать угловое положение твердого тела в пространстве позволяют три угла Эйлера-Крылова и, отсчитываемые против часовой стрелки. На рисунке показана одна из разновидностей углов Крылова - так называемые самолетные углы, используемые в авиации

Углы Эйлера-Крылова

Неподвижная система отсчета, в которой рассматривается угловое положение твердого тела (летательного аппарата), образована правой тройкой векторов. Ось направляется по местной вертикали от центра Земли, ось располагается в плоскости горизонта и направляется на географический север (N, North), а ось дополняет систему координат до правой. С подвижным объектом - например, летательным аппаратом (ЛА), - жестко связана подвижная система координат. Её ось направляется вдоль строительной (продольной) оси летательного аппарата, ось - вдоль нормальной в направлении зенита, а ось - вдоль поперечной в направлении правого борта ЛА. Угловое положение (ориентация) ЛА в системе координат задается курсом (), тангажом () и креном (). Наличие знака минус перед самолетными углами обусловлено тем, что их положительные значения, в отличие от классических углов Эйлера-Крылова, отсчитывается по ходу часовой стрелки. Итоговое положение ЛА определяется последовательностью поворотов

Выставка по сигналам MEMS акселерометра

Процедура определения начальных угловых координат называется выставкой. Для выставки крена и тангажа с помощью трёхосного MEMS акселерометра, выдающего ускорения, и по осям X, Y и Z связанной с ним подвижной системы координат OXYZ, соответствующие значения углов можно найти по проекциям вектора ускорения свободного падения g=9,81 м/с2 на каждую из осей, используя математический аппарат матриц поворота (3.1)

представляет собой значения с соответствующих выходов трехосного акселерометра.

Выразим из (3.2) вектор ускорения свободного падения, для чего умножим обе части равенства слева на матрицу:

Из первых двух уравнений системы (3.4) получим

Калибровка MEMS акселерометра

Погрешность определения угловых координат объекта по сигналам трёхосных MEMS акселерометров во многом зависит от точности определения поправочных коэффициентов, вычисляемых в ходе калибровки.

Ошибки показаний трёхосного акселерометра (ТОА) возникают из-за трех факторов :

Наличие постоянного смещения;

«просачивание» сигнала из одного канала в другой, вызванное неколлинеарностью троек векторов, образующих две системы координат: связанную с калибровочной поворотной платформой OXYZ и связанную с ТОА (3.4);

Собственные фликкер-шумы.

Неколлинеарность осей систем координат объекта и систем координат акселерометра

Из этого следует, что математическая модель сигнала трёхосного MEMS акселерометра будет выглядеть следующим образом :

где - вектор показаний акселерометра, - диагональная матрица масштабных коэффициентов, - матрица коррекции, - проекции вектора ускорения свободного падения на оси правой тройки векторов системы координат, связанной с акселерометром, - вектор постоянных смещений, - вектор собственных шумов ТОА.

Без учета шума систему уравнений (3.6), выполнив операции умножения матриц и векторов, можно записать в виде:

Из (3.7) следует, что для нахождения калибровочных параметров для одной из осей требуется количество измерений, равное количеству неизвестных параметров этой оси: для оси Z - 2, для оси Y-3, для оси X-4.

Калибровка трёхосного MEMS акселерометра подразумевает установку датчика в априорно известные положения и решение переопределенной системы уравнений для его выходных сигналов. При выполнении данной процедуры принято устанавливать акселерометр в 12 фиксированных положений

12 калибровочных положений MEMS акселерометра

В показано, что для уменьшения погрешности оценивания следует выполнять усреднение калибровочных коэффициентов, найденных по числу сочетаний. Однако, с целью уменьшения времени калибровки можно использовать только шесть так называемых ортогональных положений: 2), 4), 6), 7), 8) и 11); в этом случае уменьшение числа сочетаний до приводит к увеличению погрешности измерения элементов матрицы масштабных коэффициентов k и элементов вектора смещений b не более чем на 0,21% и 0,02% соответственно. Следует отметить, что погрешность измерения элементов матрицы коррекции T может возрастать до сотен процентов, но, так как недиагональные элементы T обычно не превосходят, при малых углах крена и тангажа (не более 30°), погрешность измерения указанных углов увеличивается не более чем на 0,5°.