Вопрос 42. Равновесие зарядов на проводнике. Поверхностные заряды. Примеры поля вблизи проводника. Проводник во внешнем электрическом поле.

Проводник – это твердое тело, в котором имеются “свободные электроны”, перемещающиеся в пределах тела.

Носители зарядов в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому равновесие зарядов на проводнике может наблюдаться лишь при выполнении следующих условий:

2) Вектор на поверхности проводника направлен по нормали к каждой точке поверхности проводника.

Действительно, если бы условие 1 не выполнялось, то подвижные носители электрических зарядов, имеющиеся в каждом проводнике, под действием сил поля пришли бы в движение (в проводнике возник бы электрический ток) и равновесие было бы нарушено.

Из 1 следует, что поскольку

Вопрос 43. Электроемкость уединенного проводника. Типы конденсаторов, их электроемкость и другие характеристики.

Электроемкость уединенного проводника – характеристика проводника, указывающая на способность проводника накапливать электрический заряд.

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.

/* Электроемкость шара

Отсюда следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в ваку­уме и имеющий радиус R=C/ (4pe 0)»9×10 6 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С» 0,7 мФ). Следовательно, фарад - очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы - миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). */

Типы конденсаторов, их электроемкость и другие характеристики.

Конденсатор – система, состоящая из двух проводников (обкладок), разделенных слоем диэлектрика обычно конденсатор заряжают симметрично на обкладках

Вопрос 44. Энергия конденсаторов. Плотность энергии электрического поля.

Конденсатор - это система заряженных тел и обладает энергией.
Энергия любого конденсатора:

где С - емкость конденсатора
q - заряд конденсатора
U - напряжение на обкладках конденсатора
Энергия конденсатора равна работе, которую совершит электрическое поле при сближении пластин конденсатора вплотную,
или равна работе по разделению положительных и отрицательных зарядов, необходимой при зарядке конденсатора.

Плотность энергии электрического поля.

1.2.Понятие о плотности заряда

Для упрощения математических расчетов электростатических полей часто пренебрегают дискретной структурой зарядов. Считают, что заряд распределен непрерывно и вводят понятие о плотности заряда.

Рассмотрим различные случаи распределения зарядов.

1.Заряд распределен вдоль линии. Пусть на бесконечно малом участке находится заряд
. Введем величину

. (1.5)

Величина называется линейной плотностью заряда. Ее физический смысл – заряд, приходящийся на единицу длины.

2.Заряд распределен по поверхности. Введем поверхностную плотность заряда:

. (1.6)

Её физический смысл – заряд, приходящийся на единицу площади.

3.Заряд распределен по объёму. Введем объёмную плотность заряда:

. (1.7)

Её физический смысл – заряд, сосредоточенный в единице объёма.

Заряд, сосредоточенный на бесконечно малом участке линии, поверхности или в бесконечно малом объёме можно считать точечным. Напряжённость поля, создаваемого им, определится формулой:

. (1.8)

Для нахождения напряжённости поля, создаваемого всем заряженным телом, нужно применить принцип суперпозиции полей:

. (1.9)

В этом случае, как правило, задача сводится к вычислению интеграла.

1.3.Применение принципа суперпозиции к расчету электростатических полей. Электростатическое поле на оси заряженного кольца

Постановка задачи . Пусть имеется тонкое кольцо радиуса R, заряженное с линейной плотностью заряда τ . Необходимо рассчитать напряжённость электрического поля в произвольной точке А , расположенной на оси заряженного кольца на расстоянии x от плоскости кольца (рис.).

Выберем бесконечно малый элемент длины кольца dl ; заряд dq , находящийся на этом элементе равен dq = τ· dl . Этот заряд создает в точке А электрическое поле напряжённостью
. Модуль вектора напряжённости равен:

. (1.10)

По принципу суперпозиции полей напряжённость электрического поля, создаваемого всем заряженным телом, равна векторной сумме всех векторов
:

. (1.11)

Разложим вектора
на составляющие: перпендикулярные оси кольца (
) и параллельные оси кольца (
).

. (1.12)

Векторная сумма перпендикулярных составляющих равна нулю:
, тогда
. Заменяя сумму интегралом, получим:

. (1.13)

Из треугольника (рис.1.2) следует:

=
. (1.14)

Подставим выражение (1.14) в формулу (1.13) и вынесем за знак интеграла постоянные величины, получим:

. (1.15)

Так как
, то

. (1.16)

С учетом того, что
, формулу (1.16) можно представить в виде:

. (1.17)

1.4.Геометрическое описание электрического поля. Поток вектора напряжённости

Для математического описания электрического поля нужно указать в каждой точке величину и направление вектора , то есть задать векторную функцию
.

Существует наглядный (геометрический) способ описания поля с помощью линий вектора (силовых линий) (рис.13.).

Линии напряжённости проводят следующим образом:

Существует правило: линии вектора напряжённости электрических полей, создаваемых системой неподвижных зарядов, могут начинаться или заканчиваться лишь на зарядах либо уходить в бесконечность.

На рисунке 1.4 показано изображение электростатического поля точечного заряда с помощью линий вектора , а на рисунке 1.5 - изображение электростатического поля диполя  .

1.5. Поток вектора напряжённости электростатического поля

Поместим в электрическое поле бесконечно малую площадку dS (рис.1,6). Здесь - единичный вектор нормали к площадке. Вектор напряжённости электрического поля образует с нормалью некоторый угол α. Проекция вектора на направление нормали равна E n =E·cos α .

Потоком вектора через бесконечно малую площадку называется скалярное произведение

, (1.18)

Поток вектора напряжённости электрического поля является алгебраической величиной; его знак зависит то взаимной ориентации векторов и .

Поток вектора через произвольную поверхностьS конечной величины определится интегралом:

. (1.20)

Если поверхность замкнутая, интеграл отмечают кружочком:

. (1.21)

Для замкнутых поверхностей нормаль берется наружу (рис.1.7).

Поток вектора напряжённости имеет наглядный геометрический смысл: он численно равен числу линий вектора , проходящих через поверхностьS .

В случае равновесного распределения заряды проводника распределяются в тонком поверхностном слое. Так, например, если проводнику сообщить отрицательный заряд, то из-за наличия сил отталкивания элементов этого заряда они рассредоточатся по всей поверхности проводника.

Исследование при помощи пробной пластинки

Для того чтобы на опыте исследовать, как распределяются заряды на внешней поверхности проводника используют так называемую пробную пластинку. Эта пластинка настолько мала, что при соприкосновении с проводником ее можно рассматривать как часть поверхности проводника. Если эту пластинку приложить к заряженному проводнику, то часть заряда ($\triangle q$) перейдет на нее и величина этого заряда будет равна заряду, который находился на поверхности проводника по площади равной площади пластинки ($\triangle S$).

Тогда величина равная:

\[\sigma=\frac{\triangle q}{\triangle S}(1)\]

называется поверхностной плотностью распределения заряда в данной точке.

Разряжая пробную пластинку через электрометр можно судить о величине поверхностной плотности заряда. Так, например, если зарядить проводящий шар, то можно увидеть, с помощью вышеприведенного метода, что в состоянии равновесия поверхностная плотность заряда на шаре одна и та же во всех его точках. То есть заряд по поверхности шара распределяется равномерно. Для проводников более сложной формы распределение заряда сложнее.

Поверхностная плотность проводника

Поверхность любого проводника является эквипотенциальной, но в общем случае плотность распределения заряда может очень сильно отличаться в разных точках. Поверхностная плотность распределения заряда зависит от кривизны поверхности. В разделе, который был посвящен описанию состояния проводников в электростатическом поле, мы установили, что напряженность поля около поверхности проводника перпендикулярна поверхности проводника в любой его точке и равна по модулю:

где ${\varepsilon }_0$ -- электрическая постоянная, $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды. Следовательно,

\[\sigma=E\varepsilon {\varepsilon }_0\ \left(3\right).\]

Чем больше кривизна поверхности тем, тем больше напряженность поля. Следовательно, на выступах плотность заряда особенно велика. Вблизи углублений в проводнике эквипотенциальные поверхности расположены реже. Следовательно, напряженность поля и плотность зарядов в этих местах меньше. Плотность зарядов при заданном потенциале проводника определяется кривизной поверхности. Она растет с увеличением выпуклости и убывает с увеличением вогнутости. Особенно большая плотность заряда на остриях проводников. Так, напряженность поля на острие может быть настолько велика, что может возникать ионизация молекул газа, который окружает проводник. Ионы газа противоположного знака заряда (относительно заряда проводника) притягиваются к проводнику, нейтрализуют его заряд. Ионы того же знака отталкиваются от проводника, «тянут» за собой нейтральные молекулы газа. Такое явление называют электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается в результате процесса нейтрализации, он как бы стекает с острия. Такое явление называют истечением заряда с острия.

Мы уже говорили, что когда мы вносим проводник в электрическое поле, происходит разделение положительных зарядов (ядер) и отрицательных (электронов). Такое явление носит название электростатической индукции. Заряды, которые появляются в результате, называют индуцированными. Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле.

Поле индуцированных зарядов направлено в сторону противоположную направлению внешнего поля. Поэтому заряды, которые накапливаются на проводнике, ослабляют внешнее поле.

Перераспределение зарядов идет, пока не выполнены условия равновесия зарядов для проводников. Такие как: равенство нулю напряженности поля везде внутри проводника и перпендикулярность вектора напряженности заряженной поверхности проводника. Если в проводнике есть полость, то при равновесном распределении индуцированного заряда поле внутри полости равно нулю. На этом явлении основана электростатическая защита. Если какой-либо прибор хотят защитить от воздействия внешних полей, его окружают проводящим экраном. В таком случае внешнее поле компенсируется внутри экрана возникающими на его поверхности индуцированными зарядами. Такой может быть не обязательно сплошным, но и в виде густой сетки.

Задание: Бесконечно длинная нить, заряженная с линейной плотностью $\tau $, расположена перпендикулярно бесконечно большой проводящей плоскости. Расстояние от нити до плоскости $l$. Если продолжить нить до пересечения с плоскостью, то в месте пересечения получим некоторую точку А. Составьте формулу зависимости поверхностной плотности $\sigma \left(r\right)\ $индуцированных зарядов на плоскости от расстояния до точки А.

Рассмотрим некоторую точку В на плоскости. Бесконечно длинная заряженная нить в точке В создает электростатическое поле, в поле находится проводящая плоскость, на плоскости образуются индуцированные заряды, которые в свою очередь создают поле, которое ослабляет внешнее поле нити. Нормальная составляющая поля плоскости (индуцированных зарядов) в точке В будет равна нормальной составляющей поля нити в этой же точке, если система находится в равновесии. Выделим на нити элементарный заряд ($dq=\tau dx,\ где\ dx-элементарный\ кусочек\ нити\ $), найдем в точке В напряжённость, создаваемую этим зарядом ($dE$):

Найдем нормальную составляющую элемента напряженности поля нити в точке В:

где $cos\alpha $ выразим как:

Выразим расстояние $a$ по теореме Пифагора как:

Подставим (1.3) и (1.4) в (1.2), получим:

Найдем интеграл от (1.5) где пределы интегрирования от $l\ (расстояние\ до\ ближайшего\ конца\ нити\ от\ плоскости)\ до\ \infty $:

С другой стороны, мы знаем, что поле равномерно заряженной плоскости равно:

Приравняем (1.6) и (1.7), выразим поверхностную плотность заряда:

\[\frac{1}{2}\cdot \frac{\sigma}{\varepsilon {\varepsilon }_0}=\frac{\tau }{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\cdot \frac{1}{{\left(r^2+x^2\right)}^{{1}/{2}}}\to \sigma=\frac{\tau }{2\cdot \pi {\left(r^2+x^2\right)}^{{1}/{2}}}.\]

Ответ: $\sigma=\frac{\tau }{2\cdot \pi {\left(r^2+x^2\right)}^{{1}/{2}}}.$

Пример 2

Задание: Рассчитайте поверхностную плотность заряда, который создается около поверхности Земли, если напряженность поля Земли равна 200$\ \frac{В}{м}$.

Будем считать, что диэлектрическая проводимость воздуха $\varepsilon =1$ как у вакуума. За основу решения задачи примем формулу для расчёта напряженности заряженного проводника:

Выразим поверхностную плотность заряда, получим:

\[\sigma=E{\varepsilon }_0\varepsilon \ \left(2.2\right),\]

где электрическая постоянная нам известна и равна в СИ ${\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}^{-12}\frac{Ф}{м}.$

Проведем вычисления:

\[\sigma=200\cdot 8,85\cdot {10}^{-12}=1,77\cdot {10}^{-9}\frac{Кл}{м^2}.\]

Ответ: Поверхностная плотность распределения заряда поверхности Земли равна $1,77\cdot {10}^{-9}\frac{Кл}{м^2}$.

Общие сведения

Мы живём в эпоху синтезированных материалов. Начиная с изобретения вискозы и нейлона, химическая промышленность щедро снабжает нас синтетическими тканями и мы уже не мыслим своё существование без них. Воистину, благодаря им, человечеству удалось полностью удовлетворить потребность в одежде: от ажурных дамских чулок и колготок до лёгких и тёплых свитеров и удобных и красивых курток с синтетическими утеплителями. Синтетические ткани имеют массу других достоинств, в число которых, например, входят прочность при носке и водоотталкивающие свойства, или свойство долго сохранять форму после глажения.

К сожалению, в бочке с мёдом всегда найдётся место для ложки дёгтя. Синтезированные материалы легко электризуются, что мы буквально чувствуем своей собственной кожей. Каждый из нас, стягивая с себя свитер из искусственной шерсти в темноте, мог наблюдать искорки и слышать треск электрических разрядов.

Медики относятся к такому свойству синтетики достаточно настороженно, рекомендуя использовать, по крайней мере, для нижнего белья изделия из натуральных волокон с минимальным количеством добавляемой синтетики.

Технологи стремятся создавать ткани с высокими антистатическими свойствами, используя различные способы снижения электризации, но усложнение технологий ведёт к росту себестоимости производства. Для контроля антистатических свойств полимеров применяют различные методы измерения поверхностной плотности заряда, которая, наряду с удельным электрическим сопротивлением, служит характеристикой антистатических свойств.

Необходимо отметить, что антистатические свойства одежды и обуви очень важны для определенной части чистых производственных помещений, например, в микроэлектронной промышленности, где электростатические заряды, накапливаемые при трении тканей или материалов обуви на их поверхностях, могут разрушать микросхемы.

Крайне высокие требования к антистатическим свойствам тканей одежды и к материалам обуви предъявляет нефтегазовая промышленность - ведь достаточно небольшой искры, чтобы инициировать взрыв или пожар на таких производствах. порой с очень тяжёлыми последствиями в материальном плане и даже с человеческими жертвами.

Историческая справка

Понятие поверхностной плотности заряда непосредственно связано с понятием электрических зарядов.

Ещё Шарль Дюфе, учёный из Франции, в 1729 году высказал и доказал предположение о существовании зарядов различного типа, названых им «стеклянным» и «смоляным», поскольку они получались при натирании стекла шелком и янтаря (то есть смолы деревьев) шерстью. Бенджамин Франклин, исследовавший грозовые разряды и создавший громоотвод, ввёл современные названия таких зарядов - положительные (+) и отрицательные (–) заряды.

Закон взаимодействия электрических зарядов открыл французский учёный Шарль Кулон в 1785 году; ныне в честь его заслуг перед наукой этот закон носит его имя. Справедливости ради необходимо отметить, что тот же самый закон взаимодействия на 11 лет раньше Кулона открыл британский учёный Генри Кавендиш, использовавший для экспериментов такие же разработанные им крутильные весы, которые впоследствии самостоятельно применил Кулон. К сожалению, работа Кавендиша по закону взаимодействия зарядов долгое время (свыше ста лет) была неизвестна. Рукописи Кавендиша были опубликованы в только 1879 году.

Следующий шаг в исследовании зарядов и расчётов создаваемых ними электрических полей сделал британский учёный Джеймс Клерк Максвелл, объединивший своими уравнениями электростатики закон Кулона и принцип суперпозиции полей.

Поверхностная плотность заряда. Определение

Поверхностная плотность заряда - это скалярная величина, характеризующая заряд, приходящийся на единицу поверхности объекта. Её физической иллюстрацией в первом приближении может служить заряд на конденсаторе из плоских проводящих пластин некоторой площади. Поскольку заряды могут быть как положительными, так и отрицательными, значения их поверхностной плотности заряда могут выражаться положительными и отрицательными величинами. Она обозначается греческой буквой σ (произносится как сигма) и рассчитывается исходя из формулы:

σ = Q/S

σ = Q/S где Q - поверхностный заряд, S - площадь поверхности.

Размерность поверхностной плотности заряда в Международной системе единиц СИ выражается в кулонах на квадратный метр (Кл/м²).

Помимо основной единицы поверхностной плотности заряда, используется кратная единица (Кл/см2). В другой системе измерений - СГСМ - применяется единица абкулон на квадратный метр (абКл/м²) и кратная единица абкулон на квадратный сантиметр (абКл/см²). 1 абкулон равен 10 кулонам.

В странах, где не используются метрические единицы площади, поверхностная плотность заряда измеряется в кулонах на квадратный дюйм (Кл/дюйм²) и абкулонах на квадратный дюйм (абКл/дюйм²).

Поверхностная плотность заряда. Физика явлений

Поверхностная плотность заряда используется для проведения физических и инженерных расчётов электрических полей при конструировании и использовании различных электронных экспериментальных установок, физических приборов и электронных компонентов. Как правило, такие установки и приборы имеют плоскостные электроды из проводящего материала достаточной площади. Поскольку заряды в проводнике располагаются по его поверхности, его другими размерами и краевыми эффектами можно пренебречь. Расчёты электрических полей таких объектов ведутся с использованием уравнений электростатики Максвелла.

Поверхностная плотность заряда Земли

Мало кто из нас помнит тот факт, что мы живём на поверхности гигантского конденсатора, одна из обкладок которого представляет собой поверхность Земли, а вторая обкладка образована ионизированными слоями атмосферы.

Именно поэтому Земля и ведёт себя подобно конденсатору - накапливает электрический заряд и в этом конденсаторе, время от времени, даже возникают пробои межэлектродного пространства при превышении «рабочего» напряжения, более известные нам как молнии. Электрическое поле Земли подобно электрическому полю сферического конденсатора.

Подобно любому конденсатору, Земля может характеризоваться поверхностной плотностью заряда, величина которой, в общем случае, может меняться. При ясной погоде поверхностная плотность заряда на конкретном участке Земли примерно соответствует среднему значению по планете. Локальные значения поверхностной плотности заряда Земли в горах, на возвышенностях, в местах залегания металлических руд и при электрических процессах в атмосфере могут отличаться от средних значений в сторону увеличения.

Оценим её среднее значение при обычных условиях. Как известно, радиус Земли равен 6371 километру.

Экспериментальное исследование электрического поля Земли и соответствующие расчёты показывают, что Земля в целом обладает отрицательным зарядом, среднее значение которого оценивается в 500 000 кулонов. Этот заряд поддерживается приблизительно на одном уровне благодаря целому ряду процессов в атмосфере Земли и в ближайшем космосе.

По известной из школьного курса формуле вычислим площадь поверхности земного шара, она примерно равна 500 000 000 квадратных километров.

Отсюда средняя поверхностная плотность заряда Земли составит примерно 1 10⁻⁹ Кл/м² или 1 нКл/м².

Кинескоп и осциллографическая трубка

Телевидение было бы невозможно без появления устройств, обеспечивающих формирование узкого пучка электронов с высокой плотностью заряда - электронных пушек. Еще недавно одним из основных элементов телевизоров и мониторов являлся кинескоп, или, иначе, электронно-лучевая трубка (ЭЛТ). Производство ЭЛТ в годовом исчислении составляло в недалёком прошлом сотни миллионов единиц.

Кинескоп - это электронно-вакуумный прибор, предназначенный для преобразования электрических сигналов в световые для динамического формирования изображения на покрытом люминофором экране, который может быть монохромным или полихромным.

Конструкция кинескопа состоит из электронной пушки, фокусирующей и отклоняющей систем, ускоряющих анодов и экрана с нанесенным слоем люминофора. В цветных кинескопах (ЦЭЛТ) число элементов, создающих электронные лучи, утраивается по числу отображаемых цветов - красного, зелёного и синего. Экраны цветных кинескопов имеют щелевые или точечные маски, предотвращающие попадание электронных лучей иного цвета на конкретный люминофор.

Люминофорное покрытие представляет собой мозаику из трёх слоёв люминофоров с различным цветовым свечением. Элементы мозаики могут располагаться в одной плоскости или в вершинах треугольника элемента отображения.

Электронная пушка состоит из катода, управляющего электрода (модулятора), ускоряющего электрода, и одного и более анодов. При наличии двух и более анодов, первый анод называется фокусирующим электродом.

Катод кинескопов выполнен в виде полой гильзы, на внешнюю сторону дна которой нанесён оксидный слой из оксидов щелочноземельных металлов, обеспечивающий достаточную термоэмиссию электронов при нагреве до температуры около 800 °С за счёт подогревателя, электрически изолированного от катода.

Модулятор представляет собой цилиндрический стакан с дном, накрывающий собой катод. В центре дна стакана имеется калиброванное отверстие порядка 0,01 мм, называемое несущей диафрагмой, через которую проходит электронный луч.

Поскольку модулятор находится на небольшом расстоянии от катода, его назначение и действие подобно назначению и действию управляющей сетки в электронной лампе.

Ускоряющий электрод и аноды представляют собой полые цилиндры, последний анод выполнен также в виде гильзы с калиброванным отверстием на дне, которое называется выходной диафрагмой. Эта система электродов предназначена для придания электронам необходимой скорости и формирования пятна малых размеров на экране кинескопа, представляя собой электростатическую линзу. Её параметры зависят от геометрии этих электродов и поверхностных плотностей заряда на них, которые создаются путём подачи на них соответствующих напряжений относительно катода.

Одним из еще недавно широко применяемых электронных приборов являлась осциллографическая электронно-лучевая трубка (ОЭЛТ), предназначенная для визуализации электрических сигналов за счёт их отображения электронным лучом на люминесцентном монохромном экране. Основным отличием осциллографической трубки от кинескопа является принцип построения отклоняющей системы. В ОЭЛТ применяется электростатическая система отклонения, потому что она обеспечивает большее быстродействие.

Осциллографическая ЭЛТ представляет собой вакуумированную стеклянную колбу, внутри которой находятся электронная пушка, генерирующая узкий пучок электронов с помощью системы электродов, отклоняющих электронный луч и ускоряющих его, и люминесцентный экран, светящийся при бомбардировке ускоренными электронами.

Отклоняющая система состоит из двух пар пластин, расположенных горизонтально и вертикально. К горизонтальным пластинам - иначе пластинам вертикального отклонения - прикладывается исследуемое напряжение. На вертикальные пластины - иначе пластины горизонтального отклонения - подаётся пилообразное напряжение от генератора развёртки. Под действием напряжений на пластинах происходит перераспределение зарядов на них и за счёт образующегося суммарного электрического поля (вспомним принцип суперпозиции полей!) летящие электроны отклоняются от своей первоначальной траектории пропорционально приложенным напряжениям. Электронный луч рисует на экране трубки форму исследуемого сигнала. Из-за пилообразности напряжения на вертикальных пластинах электронный луч, в отсутствие сигнала на горизонтальных пластинах, движется по экрану слева направо, при этом рисуя горизонтальную линию.

Если на вертикальные и горизонтальные отклоняющие пластины подать два различных сигнала, то на экране можно наблюдать так называемые фигуры Лиссажу.

Так как обе пары пластин образуют собой плоские конденсаторы, заряды которых сосредотачиваются на обкладках, для расчёта конструкции электронно-лучевой трубки применяется поверхностная плотность заряда, характеризующая чувствительность отклонения электронов к воздействующему напряжению.

Электролитический конденсатор и ионистор

Расчеты поверхностного заряда необходимо выполнять и при разработке конденсаторов. В современной электротехнике, радиотехнике и электронике широко используют конденсаторы различных типов, применяемые для разделения цепей постоянного и переменного тока и для накопления электрической энергии.

Накопительная функция конденсатора напрямую зависит от величины его ёмкости. Типичный конденсатор представляет собой пластины из проводника, называемые обкладками конденсатора (как правило, их материалом служат различные металлы), разделённые слоем диэлектрика. Диэлектриком в конденсаторах служат твёрдые, жидкие или газообразные вещества, имеющие высокую диэлектрическую проницаемость. В простейшем случае диэлектриком является обычный воздух.

Можно сказать, что накопительная ёмкость конденсатора для электрической энергии прямо пропорциональна поверхностной плотности зарядов на его обкладках или площади обкладок, и обратно пропорциональна расстоянию между его обкладками.

Таким образом, доступны два пути увеличения накопленной конденсатором энергии - увеличение площади обкладок и уменьшение зазора между ними.

В электролитических конденсаторах большой ёмкости в качестве диэлектрика применяется тонкая оксидная плёнка, нанесённая на металл одного из электродов - анода - другим электродом выступает электролит. Главная особенность электролитических конденсаторов состоит в том, что они, по сравнению с другими типами конденсаторов, обладают большой ёмкостью при достаточно небольших габаритах, кроме того, они являются полярными электрическими накопителями, то есть должны включаться в электрическую цепь с соблюдением полярности. Ёмкость электролитических конденсаторов может достигать порядка десятков тысяч микрофарад; для сравнения: ёмкость металлического шара с радиусом, равным радиусу Земли, составляет всего 700 микрофарад.

Соответственно поверхностная плотность заряда таких конденсаторов, находящихся под напряжением, может достигать значительных величин.

Другим способом повышения ёмкости конденсатора является увеличение поверхностной плотности заряда за счёт развитой поверхности электродов, что достигается применением материалов с повышенной пористостью и использованием свойств двойного электрического слоя.

Технической реализацией этого принципа является ионистор (другие названия суперконденсатор или ультраконденсатор), представляющий собой конденсатор, «обкладками» которого служит двойной электрический слой на границе раздела электрода и электролита. Функционально ионистор представляет собой гибрид конденсатора и химического источника тока.

Двойной межфазный электрический слой - это слой ионов, образующийся на поверхности частиц в результате адсорбции ионов из раствора или ориентирования полярных молекул на границе фаз. Ионы, непосредственно связанные с поверхностью, называются потенциалопределяющими. Заряд этого слоя компенсируется зарядом второго слоя ионов, называемых противоионами.

Поскольку толщина двойного электрического слоя, то есть расстояние между «обкладками» конденсатора, крайне мала (размером с ион), запасённая ионистором энергия выше по сравнению с обычными электролитическими конденсаторами того же размера. К тому же использование двойного электрического слоя вместо обычного диэлектрика позволяет намного увеличить эффективную площадь поверхности электрода.

Пока типичные ионисторы по плотности запасаемой энергии уступают электрохимическим аккумуляторам, но перспективные разработки суперконденсаторов с применением нанотехнологий уже сравнялись с ними по этому показателю и даже превосходят их.

Например, аэрогелевые суперконденсаторы разработки фирмы Ness Cap., Ltd с электродами из вспененного углерода имеют объёмную ёмкость, в 2000 раз превосходящую объёмную ёмкость электролитического конденсатора одинакового с ним размера, а удельная мощность превосходит удельную мощность электрохимических аккумуляторов в 10 раз.

К другим ценным качествам суперконденсатора, как устройства накопления электрической энергии, относятся малое внутреннее сопротивление и очень малый ток утечки. Кроме того, суперконденсатор имеет малое время зарядки, допускает высокие токи разряда и практически неограниченное число циклов заряд-разряд.

Суперконденсаторы находят применение для длительного хранения электрической энергии и при питании нагрузки высокими токами. Например, при утилизации энергии торможения гоночными болидами Формулы 1 с последующей рекуперацией накопленной в ионисторах энергии. Для гоночных машин, где важен каждый грамм и каждый кубический сантиметр объёма, суперконденсаторы с плотностью запасаемой энергии, достигающей 4000 Вт/кг, являются отличной альтернативой литий-ионным аккумуляторам. Ионисторы также стали привычными в легковых автомобилях, где они используются для питания аппаратуры во время работы стартера и для сглаживания скачков напряжения при пиковых нагрузках.

Эксперимент. Определение поверхностной плотности заряда оплётки коаксиального кабеля

В качестве примера рассмотрим расчёт поверхностной плотности заряда на оплётке коаксиального кабеля.

Для вычисления поверхностной плотности заряда, накапливаемого оплёткой коаксиального кабеля, учитывая то обстоятельство, что центральная жила вместе с оплёткой образуют цилиндрический конденсатор, воспользуемся зависимостью заряда конденсатора от приложенного напряжения:

Q = C U где Q - заряд в кулонах, C - ёмкость в фарадах, U - напряжение в вольтах.

Возьмём отрезок радиочастотного коаксиального кабеля малого диаметра (при этом выше его ёмкость и её проще измерить) длиной L равной 10 метрам.

Мультиметром измерим ёмкость отрезка кабеля, микрометром - диаметр оплётки d

Ск = 500 пФ; d = 5 мм = 0,005 м

Подадим на кабель калиброванное напряжение 10 вольт от источника питания, подсоединив оплётку и центральную жилу кабеля к клеммам источника.

По приведенной выше формуле рассчитаем заряд, накопленный на оплётке:

Q = Сk Uk = 500 10 = 5000 пКл = 5 нКл

Считая оплётку отрезка кабеля сплошным проводником, найдём её площадь, вычисляемую по известной формуле площади цилиндра:

S = π d L = 3,14 0,005 10 = 0,157 м²

и вычислим примерную поверхностную плотность заряда оплётки кабеля:

σ = Q/S = 5/0,157 = 31,85 нКл/м²

Естественно, при повышении напряжения, приложенного к оплётке и центральной жиле коаксиального кабеля, повышается и накапливаемый заряд и, следовательно, растёт и поверхностная плотность заряда.

Электростатика. Применение теоремы Остроградского–Гаусса для расчета полей в вакууме

Закон Кулона позволяет рассчитать поле любой системы зарядов, т. е. найти его напряженность в любой точке, суммируя векторно напряженности, созданные отдельными зарядами (так как векторы напряженности подчиняются принципу суперпозиции). Напряженностью называют векторную физическую величину, характеризующую силу действия электростатического поля на положительный заряд. По направлению вектор напряженности совпадает с этой силой. Для задач, обладающих симметрией, вычисления можно значительно упростить; в этих случаях удобно воспользоваться теоремой Остроградского–Гаусса для потока вектора напряженности через некоторую замкнутую поверхность (рис. 1.1). Пусть все зарядыQ i сосредоточены внутри замкнутой поверхности площадьюS.

На элементе поверхности площадью dS заряды создают соответственно напряженностипричем полная

напряженность равна .

Поток Ф вектора напряженностичерез рассматриваемую замкнутую поверхность

Потоки векторов напряженности (скаляры) суммируются алгебраически. Учитывая значения Ф i , можно переписать:

где (– единичный вектор внешней нормали к элементу поверхности площадьюdS );– проекция векторана;Q i – заряды, расположенные внутри поверхности.

Теорема Остроградского–Гаусса формулируется следующим образом. Поток векторачерез любую замкнутую поверхность пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Возможны три случая обращения в нуль потока вектора напряженности через замкнутую поверхность:

а) алгебраическая сумма зарядов внутри поверхности равна нулю, ;

б) зарядов внутри поверхности нет, но есть поле, связанное с внешними зарядами, ; в) нет ни поля, ни внутренних зарядов.

Заряды могут быть распределены различным образом, причем они могут вноситься в рассматриваемое пространство, перемещаться в нем и изыматься из него, поэтому их называют свободными зарядами.

Если заряд dQ непрерывно распределен в некотором малом объемеdV . В этом случае вводится понятие объемной плотности заряда

ρ = dQ/dV (выражается в кулонах на кубический метр). Если заряды непрерывно распределены по поверхности проводника, то вводится понятие поверхностной плотности σ= dQ/dS , гдеdS – площадь элемента поверхности проводника, на котором расположен элементарный зарядdQ. Единицей поверхностной плотности является 1 Кл/м2 . Если заряды равномерно распределены вдоль линии, в этом случае вводится понятие линейной плотности зарядов λ= dQ/dl , гдеdl – длина отрезка линии, на котором распределен зарядdQ . Единица линейной плотности – 1 Кл/м.

Вектор напряженности на поверхности заряженного проводника всегда перпендикулярен поверхности (например для заряженного шара, рис. 1.2), так как в противном случае заряды двигались бы вдоль поверхности под действием касательной составляющей напряженности. Таким образом, у поверхности проводника

а внутри сплошного проводника

Рис. 1.2. Поле заряженного металлического шара

Если заряды распределены по объему диэлектрика с объемной плотностью ρ, то теорема Остроградского–Гаусса записывается в виде:

где dV – элемент объема;V – объем, ограниченный поверхностьюS .

Когда заряды распределены по поверхности проводника, а поверхность интегрирования совпадает с последней, то

.

Тогда на поверхности проводника напряженность пропорциональна поверхностной плотности заряда:

Поле положительного точечного заряда обладает сферической симметрией относительно точки, в которой он расположен, и характеризуется напряженностью, направленной по радиусам, проведенным из этой точки, и равной

т. е. подчиняется закону Кулона (для отрицательного заряда вектор направлен к этой точке). Таким же закономерностям подчиняется поле заряженного металлического шара. Заряд на шаре распределяется равномерно по поверхности. Тогда для металлического шара радиусомR 0 напряженность поля определяется в соответствии с формулой (1.2).

Если внутри заряженного шара или другого металлического проводника имеется полость, в которую не внесены заряды, то поле внутри этой полости не может создаваться зарядами, находящимися на поверхности проводника. Так как поле внутри полости не связано ни с какими зарядами, то оно отсутствует, т. е. Е пол = 0.

Практический интерес представляет поле, созданное длинной равномерно заряженной проволокой (цилиндром) радиусом R 0 (рис. 1.3). Выбрав поверхность интегрирования в виде коаксиального цилиндра радиусомR и высотойh и введя линейную плотность заряда

убеждаемся, что в силу цилиндрической симметрии напряженность на боковой поверхности цилиндра везде одинакова по модулю и направлена по радиусам, а поток напряженности через основания отсутствует.

В этом случае напряженность поля меняется обратно пропорционально первой степени расстояния. На поверхности проволоки получаем

Найдем теперь напряженность поля безграничной плоской металлической пластины (рис. 1.4). Пусть пластина равномерно заряжена. В качестве поверхности интегрирования выберем поверхность

прямоугольного параллелепипеда, две грани которого площадью S параллельны заряженной пластине. Поверхностная плотность заряда равна

σ = Q /2S , так как пластина имеет две стороны и заряд распределен по обеим сторонам. Вследствие симметрии поток вектора напряженности для граней отличен от нуля. Следовательно,

Для двух параллельных пластин (рис. 1.5), имеющих одинаковую по модулю плотность заряда, по принципу суперпозиций получим: а) для поля между пластинами

б) для поля снаружи пластин

.

Можно сделать вывод, что заряды собираются на обращенных друг к другу сторонах пластин с поверхностной плотностью σ1 = σ. Напряженность, определяемая выражением (1.3), не зависит от расстояния и одинакова во всех точках. Такие поля называют однородными. Реальных бесконечных проволок и пластин не бывает, но полученные формулы сохраняют значение для областей, достаточно близких к заряженным телам (расстояние до исследуемой точки поля должно быть много меньше линейного размера заряженного тела). Распределение линий напряженности можно получить на опыте, поместив электроды той или иной формы в жидкий диэлектрик (вазелиновое масло) и насыпав на поверхность масла мелкий диэлектрический порошок (хинин). Частицы порошка при этом располагаются примерно вдоль линий напряженности.

Теорему Остроградского–Гаусса можно использовать не только в интегральной форме, связывающей значения напряженностиЕ в некоторых точках поля с зарядами, расположенными в других точках, но и в дифференциальной форме. Свяжем величины, относящиеся к одной и той же точке поля.

Пусть в некоторой точке А с координатами (х ,у ,z ) существует напряженностьгдеi ,j ,k – направляющие векторы в декартовой системе координат.

Выделим около точки А (рис. 1.6) прямоугольный параллелепипед бесконечно малого объемаdV = dx`dy`dz .

Рис. 1.6. К теореме Остроградского–Гаусса

Объемная плотность заряда в нем равна ρ. Она зависит от координат выбранной точки поля р = f (x ,у ,z ). Поток векторачерез правую

. Таким же образом для верхней и нижней граней получим,

а для задней и передней граней . Применим теорему Остроградского–Гаусса к этому объему:

,окончательно получим выражение. В векторном анализе сумма, стоящая

В этой форме теорема приложима к отдельным точкам поля.

Теорема Остроградского–Гаусса не является следствием закона Кулона. Она – одна из основных теорем векторного анализа, связывающая объемный интеграл с поверхностным. В физике эта теорема применяется к центральным силам, зависящим от расстояния по законуR n , гдеn –любое число. Таким образом, кулоновский закон является частным случаем теоремы Остроградского–Гаусса.

Рассмотрим работу электростатических сил при перемещении частицы с зарядом q из одной Точки поля в другую по произвольному пути 1А 2 (рис. 1.7):

где E i – проекция векторана направлениеdl . Эта работа будет зависеть только от положения начальной и конечной точек пути, а не от его формы, т. е. поле является потенциальным:

где φ1 , φ2 – потенциалы начальной и конечной точек траектории. Потенциал является скалярной характеристикой точки поля.U = φ1 – φ2 – разность потенциалов или изменение потенциальной энергии единичного положительного заряда, переносимого в электростатическом поле.

Таким образом, работа электростатических сил пропорциональна разности потенциалов U начальной и конечной точек пути. Единицей потенциала и разности потенциалов является Вольт (В).

Работа электростатических сил по любому замкнутому пути равна нулю:

Этот интеграл называется циркуляцией вектора напряженности . Равенство нулю циркуляции означает, что в электростатическом поле нет замкнутых линий напряженности: они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно положительных или отрицательных) или уходят в бесконечность.

В электростатическом поле можно построить (рис. 1.7) поверхности, представляющие собой множество точек равного потенциала (эквипотенциальные поверхности). Докажем, что линии напряженности нормальны к этим поверхностям. Если перемещать заряд вдоль эквипотенциальной поверхности, то работа будет равна нулю. Но напряженность поля на поверхности может быть отлична от нуля. Поэтому из определения элементарной работы

следует, что при , следовательно,, причем векторdl направлен по касательной к поверхности.

Следовательно, во всех точках поверхности равного потенциала напряженность направлена по нормали к этой поверхности. Из расчета полей симметричных проводников при помощи теоремы Остроградского–Гаусса видно, что поверхность проводника в электростатическом поле всегда эквипотенциальна.

Напряженность электростатического поля связана с потенциалом в каждой точке поля соотношением