Доли, обыкновенные дроби, определения, обозначения, примеры, действия с дробями. Обыкновенные дроби
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Ну-ка, проверь дружок, Ты готов начать урок? Всё ль на месте, Всё ль в порядке, Ручка, книжка и тетрадка? Все ли правильно сидят? Все ль внимательно глядят? Каждый хочет получать Толька лишь оценку пять.
Доли Обыкновенные дроби
Цели и задачи: Познакомить с понятием доля, половина, треть, четверть, обыкновенная дробь, числитель и знаменатель дроби Развивать умение читать и записывать обыкновенную дробь по числителю и знаменателю Воспитывать уважительное отношение к окружающим, внимание
Вопросы к рассмотрению: Доля Половина, треть, четверть Обыкновенная дробь Что показывают числитель и знаменатель дроби Из истории дробей
Мама купила арбуз. Разрезала его на 6 равных частей:
бабушке, дедушке, папе, двум детям и себе.
Что такое доля? Доля – каждая из равных частей единицы. Так как арбуз разрезали на 6 равных частей, значит его разделили на 6 долей и каждый получил «одну шестую» долю арбуза, или, короче «одну шестую арбуза».
Как записывают доли? Для записи любой доли используют горизонтальную чёрточку. Её называют дробной чертой Пишут:
Что показывает число под чертой? Число под чертой показывает на сколько равных частей (долей) разделили единицу целое разделили на 5 равных частей (долей)
Подумай и ответь. Как образуются доли Когда один предмет или единица измерения делятся на равные части. Что показывает число под чертой Число под чертой показывает на сколько равных долей разделили единицу.
Половина. Самая известная доля – это, конечно, половина. Слова с приставкой «пол» можно услышать часто: полчаса, полкилометра… Разделили целое на две части – «половина». Долю называют половина.
Треть. Название доли зависит от того, на сколько равных частей разделили единицу. Разделили на три части – «треть». Долю называют «треть»
Четверть. Если целое разделили на 4 части, то получается или по другому говорят «четверть» .
Как называются другие доли? А если разделить на пять частей, то что ли «пятерть», на шесть – «шестерть»? Таких смешных слов в русском языке нет. Чтобы назвать доли пользуются словами «пятая», «шестая»
Выполни задания. Прочитайте доли Как по другому можно назвать доли четверть, треть, половина.
Одолела нас дремота, Шевельнуться неохота Ну-ка делайте со мною Упражнение такое: Раз – поднялись, потянулись, Два – нагнулись, разогнулись, Три – в ладоши три хлопка Головою три кивка.
Разгадайте ребус и узнаете с чем мы сейчас познакомимся. «Дроби»
Обыкновенная дробь. Записи вида называют обыкновенными дробями … Числитель дроби Черта дроби (дробная черта) Знаменатель дроби
Обыкновенные дроби. Каждый может за версту Видеть дробную черту. Над чертой – числитель, знайте, Под чертою – знаменатель. Дробь такую, непременно, Надо звать обыкновенной. Назовите числитель и знаменатель каждой дроби
При чтении дробей надо помнить: числитель дроби – количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель – порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т.д.) Например: - одна пятая; - две шестых; - восемьдесят три сто пятьдесят вторых
Что показывают числитель и знаменатель дроби? Знаменатель показывает, на сколько долей делят, а числитель – сколько таких долей взято. Прочитайте дроби. Что показывает числитель и знаменатель каждой дроби?
Запишите в виде обыкновенной дроби. Две седьмых Четыре девятых Одна сотая Шесть восьмых Три двадцать пятых Половина
Подумай и ответь. Какая часть фигуры закрашена?
Работа в тетради. №868.
Домашнее задание: Составьте задания по теме обыкновенные дроби,п.23, №901, 902 Окончен урок. И опять перемена. И шум в коридоре опять. Друг другу должны мы Успеть непременно Скорей обо всём рассказать
Урок №128 Дата:
Тема «Доли и дроби».
Цель урока: дать общее представление о долях, научить учащихся называть, записывать и сравнивать доли
Задачи урока:
Обучающие – ввести новое понятие «доля числа», учить определять долю числа, записывать дроби, познакомить с терминами «доля», «дробь», «числитель», «знаменатель»;
Развивающие – развивать логическое мышление, математическую речь, навыки устного счета, внимание, память, мышление;
Воспитывающие – воспитывать коллективизм, аккуратность.
Ход урока
I. Организационный момент
Мы урок начнем с разминки.
Выпрямляем свои спинки,
На носочках потянулись,
Вправо, влево повернулись
И друг другу улыбнулись.
Раз, два, три, четыре, пять –
Урок пора нам начинать.
Я, рада, что у вас хорошее настроение, ведь улыбка - залог успеха в любой работе. Пусть на уроке вам помогут ваша сообразительность, смекалка и те знания, которые вы уже приобрели.
Откройте тетради и запишите дату и классная работа.
II. Актуализация знаний.
Для того, чтобы познакомиться с темой сегодняшнего урока мы должны выполнить несколько заданий. Итак начнём с разминки.
Устный счёт
270 * 2 =540 33: 5 = 6(ост 3)
640: 320= 2 600 * 9 = 54
(46 + 14): 5=12 1: 2= ?
Как 1 разделить на 2? Ответы детей
Проблема?
Вычислив значения выражений и расположив их в порядке возрастания, вы узнаете тему урока, которая поможет нам разрешить данную проблему: (Слайд 2)
О 6300: 100: 7 x 9 = 81
Л 12000: 4000 х 7 х 10 = 210
И 720: 90 x 10 x 8 = 640
Д 90 x 30: 100 x 1000= 27000
Д 16 x 100: 10:40 = 4
Р 450:50 х1000х4 = 32000
О 160:8х100х20=40000
Б 17х3х1000 = 51000
И 9х781000 = 63000
II Сообщение темы урока (Слайд 3)
Тема сегодняшнего урока-«Доли и дроби»
III. Знакомство с темой урока.
– Людям часто приходится делить целое на доли. А помните известный мультик «Апельсин» Посмотрим, как животные делили апельсин. Смотрите внимательно, после просмотра я задам вам вопросы. (Слайд 4)
Как в песенке, животные называют равные части? (Дольки).
– Кто из вас был внимательным? Сколько долек было в апельсине? (Пять долек).
– Сколько долек поучил каждый? (Одну дольку апельсина).
Как вы думаете, апельсин был разделён на равные части? (Да).
Как по – другому, можно назвать эти равные части? (Доли).
VI. Постановка учебных задач.
Как на языке математики назвать и записать, какую долю (часть) апельсина получил каждый из животных? (Не знаем)
Что, на ваш взгляд, нам следует узнать, чему научиться? (Научиться записывать, называть и сравнивать доли).
В результате совместных рассуждений, мы определили цель урока. (Научиться записывать, называть и сравнивать доли). (Слайд 5)
V. Работа над формированием понятий «Доли» и «Дроби».
Давайте, определим, что же называют долями? Для этого еще раз вспомним, как животные делили апельсин
Сколько частей досталось каждому животному? (По одной части).
Что можно сказать про каждую из частей? Какие это части? (Равные).
Значит, каждому досталось по одной равной части от целого апельсина.
Сделайте вывод, что такое доля. (Доля – это одна или несколько равных частей целого.) (Слайд 6)
(На доске появляется запись: 1 часть из 5). (Слайд 7)
В математике пишут короче: 1/5. Для записи понадобится 2 клеточки, между ними проводим черту. Число под чертой показывает, на сколько равных частей мы разделили предмет, а над чертой – сколько таких частей взяли. Читаем запись, запишите.
Когда мы «делим» натуральные числа, то используем знак (:).
Но в математике есть еще один знак деления, он называется, «дробная черта» - соответственно числа, записанные с этим знаком, называются дробными.
Кто догадался, как называется данная запись? (Дробь).
Верхняя часть дроби называется числителем, а нижняя – знаменателем.
Что обозначает знаменатель в записи дроби? (На сколько частей разделили предмет).
Что обозначает числитель? (Сколько частей взяли).
VI. Отработка умения находить часть от целого и обозначать её дробью.
1) Практическая работа.
Возьмите полоску бумаги длиной 6 см и согните её пополам. Сколько равных частей получилось? (Две равных части).
Верно. Каждая часть – это половина полоски или одна вторая часть полоски.
А как получили1/2 часть полоски? (Согнули полоску пополам и взяли только одну часть).
Закрасьте одну такую долю полоски.
Кто догадался, как можно найти длину половины полоски? (Измерить линейкой.
Запись в тетради. (Слайд 8)
Возьмите полоску длиной 8 см и разделите её на 4 равные части. Чтобы разделить на 4 равные части, надо знать длину 1/4 части. Как узнать длину 1/4части? (8: 4 = 2 см)
Правильно. Разделите по линейке полоску, согните и покажите мне 1/4 часть.
Запись в тетради. (Слайд 9)
ФИЗМИНУТКА.
Потрудились - отдохнём,
Встанем, глубоко вздохнём,
Руки в стороны, вперёд,
Влево, вправо поворот.
3 наклона, прямо встать.
Руки всем вверх поднять.
Руки плавно опустили,
Всем улыбки подарили.
2) Сравнение дробей. (Слайд 10)
Пока мы отдыхали, к нам пришли гости, и мы их будем угощать шоколадкой.
На сколько частей нужно разделить шоколадку? (На три части).
Какую долю получит каждый гость? (1/3)
Запишите дробь. Проверьте себя.
А у нас еще гости, давайте и их угостим шоколадкой.
На сколько частей надо ее разделить? (6 детей, значит на 6 частей)
Какую долю получит каждый гость? (1/6)
Запишите дробь. А теперь давайте сравним доли. Поставьте знак сравнения. Какой знак вы поставили? (1/3 больше, чем 1/6)
Объясните, почему ведь 3 меньше, чем 6? (1/3 часть больше, так как разделили всего на 3 части, а 1/6 часть меньше, потому что чем больше частей, тем меньше часть).
Вывод: чем больше частей, тем меньше доля.
И действительно, сравните части шоколадки на рисунке. 1/3 часть размером получается больше, чем 1/6. (Слайд 11) (Слайд 12)
А теперь посмотрите, как разрезали торт. Сколько частей получилось?
А если мы возьмем одну часть, какая это будет доля?
(Здесь в вопросе ловушка, так как доля – это равная часть, а торт разрезан на неравные части)
Можем ли мы эти части записать дробью? (Нет, так как это не доли, доли – это равные части)
V II. Закрепление нового материала.
Самостоятельная работа с ноутбуками. Один ученик работает у доски. (Слайды 13, 14, 15)
2. Работа по учебнику
1. Стр. 110№324. (уст)
2. Стр. 111 № 325 (пис)
– Прочитаем задание.
– Какую фигуру надо начертить? (Квадрат).
– Чему равна сторона квадрата?
Начерти в тетради квадрат, длина стороны которого 3см. Раздели его на равные части так, чтобы можно было закрасить одну вторую его часть, одну четвёртую.
Почему именно равных?
Нужна доля, значит, части должны быть равными.
На сколько частей будем делить, чтобы получить 1/16? (На 16 частей.)
Сколько клеточек будет в одной шестнадцатой доле? Какой формы будет эта доля? (Квадрат).
Раскрасьте ее, подпишите внизу эту долю.
VIII. Домашнее задание (Слайд 16)
Задание на сообразительность. (Слайд 17, 18)
А теперь проверим вашу сообразительность. Сыр нужно разделить на 8 частей, сделав только 3 разреза. Попробуйте решить ее, можете посовещаться с соседом. Подготовьтесь для объяснения.
После выступления детей с вариантами решения, проверка по слайду.
Какая часть сыра осталась на блюде? (половина, ½, 4/8)
Здесь учитель может подвести детей к тому, что можно брать несколько долей, если осталось 4 части из 8, то это 4/8, значит 4/8 и ½ это равные доли. Пропедевтика изучения обыкновенных дробей.
IX. Итог урока
– Какая тема урока была?
Какие задачи мы перед собой ставили?
– Что такое доля?
– Как называется число, которое пишем над чертой?
– Что показывает числитель?
– Как называется число, которое под чертой?
– Что показывает знаменатель?
– А ещё мы учились сравнивать доли. Какой вывод сделали?
– Урок закончен. Спасибо! (Слайд 19)
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели:
- сформировать понятия “доли” и “дроби”; учить записи, чтению, обозначению с помощью дробного числа части от целого;
- создание условий для развития умений сравнения, обобщения, умозаключения, систематизации; формирования образности и вариативности мышления;
- создание условий для воспитания понимания самоценности и значимости окружающих, экологического мышления.
Оборудование .
1. Актуализация знаний учащихся
Для того, чтобы познакомиться с темой сегодняшнего урока, мы должны выполнить несколько заданий.
Слайд 1
Найдите ошибки, допущенные в решении выражений, не выполняя вычислений, аргументируйте свой ответ.
Результатом успешного выполнения этого задания стало высказывание великого немецкого математика К.Гаусса, подчёркивающее значение математики.
Слайд 1
Какое слово в этом высказывании вам не совсем понятно? (Арифметика)
Где можно узнать или уточнить его значение?
Слайд 2
Давайте проверим, в каких же словарях можно узнать значение этого слова и познакомимся с ним.
Слайд 2
Один из разделов арифметики считался в средние века самым трудным, и люди, овладевшие им, слыли настоящими мудрецами. Давайте постараемся, чтобы наша работа на уроке стала одним из шагов, приближающим нас к вершине мудрости.
2. Знакомство с темой урока.
Но для того, чтобы узнать название этого раздела и, соответственно, темы сегодняшнего урока вам нужно отгадать загадку. Разгадкой данной загадки является многозначное слово.
Она бывает математическая, охотничья и барабанная. (Дробь)
Проверим свою догадку по ребусу.
3. Постановка учебных задач.
Сегодняшний урок я предлагаю провести в форме исследования, для этого нам нужно определить его задачи.
Что вы знаете о дробях? (Предполагаемые ответы детей: в математике есть дробные числа)
Что, на ваш взгляд, нам следовало бы узнать о дробях? (Предполагаемые ответы детей: зачем в математике кроме натуральных чисел нужны дробные, что такое дроби, как их записывать?)
В результате наших совместных рассуждений, мы определили задачи, которые я зафиксировала в виде плана исследования, немного дополнив и скорректировав его.
Чтобы оценить вашу работу на уроке, за каждый правильный ответ я буду давать условный значок дроби, который будет обозначать, что ваши знания попали точно в цель.
4. Формирование понятия о необходимости дополнения натуральных чисел дробными.
Получить ответ на первый пункт нашего плана, нам помогут герои известного мультфильма “38 попугаев” и практическое задание, выполненное нами.
Слайд 5
Однажды друзья решили измерить длину удава. Какую единицу измерения (мерку) они выбрали?
На каждой парте лежит модель удава и мерка, с помощью, которой нужно измерить длину удава. (Учащиеся выполняют задание парами, один ученик выполняет это задание на доске).
С какой трудностью столкнулись вы и герои мультфильма, при измерении длины удава? (Невозможно измерить длину удава только с помощью целых мерок, нужна ещё часть мерки).
Какой длины у вас получился удав? (Три целых мерки и ещё половина мерки)
Какой же длины получился удав у мартышки и слона? (38 попугаев и 1 попугайское крылышко)
Почему героям мультфильма пришлось для измерения длины удава добавить ещё и крылышко, а нам половину мерки? (Потому что целый попугай не уложился, как и целая мерка).
Чем по сравнению с попугаем является крылышко? Половина мерки? (Частью целого попугая, частью целой мерки)
Оказывается, не всегда можно выполнить измерения только с помощью целых мерок. И тут на помощь нам приходят дроби.
Давайте же ответим на первый вопрос нашего исследования.
В чём причина появления необходимости в дробях?(Не всё можно измерить с помощью целых мерок)
Запишем в наше исследование первый вывод (Не всегда можно провести измерения с помощью целых мерок)
В определении дроби нам встретилось слово доли. Следующий сюжет нам поможет выяснить его значение.
5. Работа над формированием понятий “доли” и “дроби”.
Мимо сада, где росли цитрусовые деревья, проезжал путник, и так как время сбора цитрусовых уже прошло, на дереве осталось всего 2 апельсина. Путник сорвал 1 апельсин. После этого к дереву подошли 5 слонят. Им тоже захотелось отведать этих вкусных плодов, но на дереве остался только один апельсин.
Как бы поступили на их месте вы?
Перед каждым из вас лежат две модели апельсина.
Давайте возьмём одну из них и разделим для слонят. Как? (На 5 равных частей)
Пока слонята топтались под деревом и думали, как его разделить, дерево от их топота закачалось… И что же произошло? (апельсин упал и разделился на 5 равных долек)
Слайд 7
Что получил каждый из слонят? (По 1 дольке апельсина)
Давайте, определим, что же называют долями?
На что мы разделили апельсин для слонят? (На части)
Что можно сказать про каждую из частей? Какие это части? (Равные)
Как можно проверить, что полученные части равные? (Путём наложения их друг на друга)
Сделайте вывод, с опорой на рисунок, что такое доля? Это будет ответ на второй вопрос нашего исследования.
Запишем его в исследование.
Давайте с помощью цифр на моделях обозначим, что же получил каждый.
Путник – 1 апельсин.
Слон – 1 дольку. (Каждая пара делает запись вызванный к доске ученик, делает соответствующую запись на слайде)
Давайте сравним цифры, которыми мы записали, что получил путник и каждый из слонят. (Они одинаковые)
А обозначают они одно и тоже или нет?
В первом – случае целый апельсин.
Во втором случае – только одна доля от целого.
Показать, что слон получил не целый апельсин, а только 1 долю из 5, можно с помощи дроби 1/5
Кто из вас попробует объяснить, как числа 1 и 5 в записи дроби связаны с тем, что получил каждый из слонят. (Апельсин разделили на 5 равных частей, и каждый получил только 1 часть)
Давайте обобщим, что же такое доли и дроби.
6. Знакомство с записью и чтением дробей.
Дроби записывают с помощью двух натуральных чисел – числителя и знаменателя, и черты.
Что мы делали для того, чтобы каждый слонёнок получил дольку апельсина? (Разрезали, делили)
Дробь неразрывно связана с действием деления. Черта в записи дроби обозначает знак деления.
Знаменатель показывает, на сколько частей разделили целое. Числитель показывает, сколько таких частей взяли.
Слайд 13
Объяснение правила чтения дробей.
Упражнение в чтении дробей.
Из истории дробей.
Дроби люди использовали давно, но для их записи, они использовали не натуральные числа, как мы сейчас, а специальные значки. Например, ½ обозначали›; ⅓ – ג, ¼ обозначали ﻼ. Для каждой дроби был свой значок и их было так много, что запомнить их было очень сложно. В связи с этим у некоторых народов даже были сложены поговорки. “Попасть в дроби” - у немцев означает попасть в очень сложное положение.
Не случайно в предыдущем сюжете о долях и дробях присутствовали слон и апельсин.
О какой стране вы вспоминаете при упоминании о слоне? (Об Индии)
Так вот, именно в Индии была создана современная система записи дроби с числителем и знаменателем, только там не писали дробной черты. А записывать дробь в точности так, как сейчас стали арабы. А родиной одних из самых вкусных апельсинов и мандаринов является страна Марокко, чьи жители по национальности – арабы.
7. Отработка умения находить часть от целого и обозначать её дробью.
- Перед каждым из вас лежит круг. Нам нужно разделить его на две равные части и обозначить получившиеся части с помощью дроби.Учащиеся путём складывания пополам, а затем с помощью ножниц делят круг на 2 равные части и обозначают их дробными числами.
Что обозначает знаменатель?
Что обозначает числитель?
- Возьмём следующий круг и разделим на четыре равные части.
Учащиеся сначала путём складывания, а затем с помощью ножниц делят круг на 4 равные части и обозначают их дробными числами.
Какой выберем знаменатель для обозначения каждой части? Почему?
Какой выберем числитель? Почему?
Что обозначает знаменатель?
Что обозначает числитель?
Какая дробь у нас получилась?
8. Физминутка с проверкой восприятия нового материала.
Упражнение для снятия зрительного напряжения.
Охотник отправился в лес, дойдя до места, он внимательно огляделся по сторонам и увидел зайца.(Учащиеся с помощью движений и жестов изображают то, что произносит учитель)
Охотник прицелился, а заяц попытался скрыться от настигающей его, выпущенной из ружья дроби. Проследите глазами путь, который проделал заяц.
А теперь сильно-сильно зажмурьте глаза и представьте, что произошло дальше.
Откройте глаза.
Человек, пришедший в лес, оказался не обычным охотником, а фотоохотником. Результатом его охоты стала фотография зайца. Вдобавок ко всему, он оказался творческим человеком. Полученную фотографию, он разрезал на части и сделал пазлы для своего ребёнка.
Посмотрите внимательно, как охотник разрезал фотографию.
Какие части у него получились?
Вам нужно определить с помощью, какой дроби можно обозначить каждую часть.
Для этого выберите знаменатель. Закройте глаза и покажите мне это число с помощью пальцев.
Выберите числитель и изобразите его с помощью пальцев.
Кто назовёт дробь?
9. Подведение итогов исследования.
Давайте по нашему плану, который мы определили в начале урока, расскажем, что же мы узнали о дробях.
Слайд 17
10. Продолжение отработки умения находить часть от целого и обозначать её дробью.
Слайды 18, 19, 20, 21
Выбери числитель.
Выбери знаменатель.
Объясни свой выбор.
Прочитай и запиши дробь.
11. Самостоятельная работа.
Определи по слайдам и запиши с помощью дроби, какую часть сыра получила каждая мышка.
Слайды 22, 23, 24
Проверка самостоятельной работы.
12. Объяснение домашнего задания.
Слайды 26, 27, 28
13. Подведение итогов.
Как мы уже отмечали в ходе урока, нашим предкам наука о дробях казалась очень сложной наукой. А каким вам показалось знакомство с дробями?
14. Игра “Идеальная пара” на закрепление знаний полученных на уроке (Приложение 2)
У одних детей на партах лежат рисунки, изображающие долю от целого, у других – записи дроби. Нужно соотнести рисунок с нужной записью. Образовав пару.
15. Завершение урока.
В завершении нашего урока я хочу угостить всех его участников апельсинами. Но я дам вам не каждому по апельсину, а по одному на двоих.
Как вы думаете, почему? (Чтобы поупражняться в делении на доли, в выборе дроби для обозначения каждой из них, чтобы понять практическую значимость полученных знаний, запомнить кому мы обязаны современной записью дробей)
Какая часть достанется каждому?
А ещё для меня, каждая долька – это олицетворение отдельной личности – вашей, моей, других людей, каждая из которых имеет свою ценность, а отсутствие хотя бы одной из них приводит к разрушению целостности. Но ценность каждой личности становится ещё больше, если эти дольки – личности объединяются.
Поэтому я желаю вам понимать и ощущать свою ценность и, конечно же, никогда не забывать о ценности окружающих.
16. Резервный материал.
“Сказка про дробь”
Установление зависимости величины доли от знаменателя.
Положите перед собой по одной доле круга каждого цвета (получившиеся в ходе выполнения предыдущих заданий).
Расположите в порядке возрастания их величины.
Какие числители у всех дробей? (1)
Как изменяются знаменатели? (Они увеличиваются)
Сделайте вывод как изменяется значение дроби в зависимости от знаменателя. (Если числитель остаётся одинаковым, а знаменатель увеличивается, то значение дроби будет уменьшаться по мере увеличения знаменателя)
Жила была дробь. Она была очень важная и гордая. И были у неё 2 слуги…? Как вы думаете, как их звали? (Числитель и знаменатель). Эта дробь очень не любила знаменатель, постоянно помыкала им и унижала его. Знаменатель очень переживал это и становился всё меньше и меньше, а чем меньше он становился, тем доля, которую обозначала эта дробь становилась всё …(Больше и больше). Но однажды знаменатель не выдержал такой тяжёлой жизни и совсем исчез, т.е. превратился в … (0). Как вы думаете, что же дальше произошло с этой важной и гордой дробью? (Она тоже исчезла, т.к. знаменатель обозначает на сколько частей разделили целое, а деление на 0 невозможно)
Сделайте из этой сказки вывод: математический и жизненный.
Литература:
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
- Советский энциклопедический словарь /под редакцией Прохорова А.М./ – М.: Советская энциклопедия, 1989.
- http://www.it.ru/ Модель апельсина.
Рисунки для создания презентации к уроку взяты из коллекции векторных изображений: Векторный ClipArt. Диск 1. Диск 2. – ООО “Эликтан”, 2004.
Задачи:
1. Научить образовывать доли и дроби.
2. Научить называть и записывать доли и дроби (запись их предусмотрена не во всех программах).
3. Сравнивать доли и дроби.
4. Решать задачи на доли и дроби.
Этот материал изучается в 3-4 классах. Создаётся конкретное представление о доле и дроби на практической основе с использованием дидактического материала. Эта тема служит предварительной основой для изучения в 5-6 классах.
Источники получения долей и дробей:
1. Деление предметов на равные части.
2. Измерение величин.
3. Действия над числами (деление).
В начальной школе доли и дроби получают только на основании деления предмета на равные части, т. к. дети должны получить конкретное представление об этих понятиях.
Конкретное представление о долях создаётся в результате выполнения практической работы с демонстрацией. Учитель делит яблоко на две равные части и говорит, что каждая из равных частей называется половиной и ещё 1\2, показывает, что таких половин две в целом яблоке. Затем учитель делит яблоко на четыре равные части, каждая часть называется - четверть или 1\4 и таких четвёртых долей в целом яблоке четыре. Потом сообщается, что для записи долей необходимо два числа и черта (m\n). Причём, число, стоящее под чертой (дробная черта ), показывает, на сколько равных частей разделили целое (знаменатель ), а число, стоящее над чертой - сколько таких равных частей взяли (числитель ).
Закрепление:
Практическая работа: детям выдаются полоски бумаги, и предлагается разделить их перегибанием на 2 равные части, на 4, на 8, сказать, как называется каждая часть, закрасить 1\2, 1\4, 1\8 отрезка.
Рассматриваются рисунки с геометрическими фигурами, разбитыми на равные части подписанным названием частей. Дети должны объяснить смысл записи.
Предлагается начертить квадрат с заданной длиной стороны, разбить его на 2, 3, 4. 6, 8 равных частей, закрасить одну из них, назвать, записать. Возможны различные варианты разбиения, но должно учитываться одно условие - все части одинаковые.
Несколько позже учитель вводит понятие дроби на практической основе. Детям предлагается разделить отрезок на 4 равные части, назвать каждую из них, обвести сначала одну часть, а потом ещё одну. Учитель, сообщает, что получилось собрание долей - оно называется дробью . Затем учитель учит читать и записывать дроби.
Сравнение долей также происходит на наглядно - практической основе в 2 этапа.
1. Практическая работа: детям выдаётся 2 равные полоски бумаги и предлагается на одной закрасить половину, а на другой четверть, а потом сравнить их наложением. Делается вывод, что одна четверть меньше половины.
2. Работа с иллюстрацией в учебнике или таблицей на доске.
Учащиеся должны выявить название каждой части и визуально сравнить их, причём можно сравнить как доли: 1\2>1\4, так и дроби с одинаковыми знаменателями: 1\8<3\8 и разными знаменателями: 1\2=2\4, 1\4<3\8. Дети находят ответы на вопросы: сколько половин в одной целой, сколько четвёртых долей в одной целой, в половине. В дальнейшем эти задания дети выполняют по представлению, если же появляются затруднения, то опять используется иллюстрация. Формулируются правила: больше та доля, знаменатель которой меньше. Например, 1\2>1\4, так как 2из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой числитель больше. Например, 3\8>2\8, так как 3>2.
Методика работы с задачами на доли и дроби. В 3 классе рассматриваются задачи на доли (по программе Моро), на доли и дроби (по программе Петерсон).
При знакомстве с задачами этого вида учитель предлагает разделить перегибанием полоску бумаги длиной 12см на 4 равные части и вычислить длину каждой части. Возможны вопросы
:
Какова длина всей полоски? (12 см).
На сколько частей надо разделить? (на 4 частей).
Какие части: равные по длине или различные? (разделим на 4 равные части).
Как можно назвать каждую часть? (четверть).
Как узнать длину каждой части? (разделить 12 см на 4).
Сколько получится? (3 см).
Проверьте по линейке.
Затем решаются простые задачи на нахождение доли от числа, от величины. Причём по программе Моро в задаче доля задаётся словами: «Длина ленты 10 см. Найдите пятую часть
этой ленты». Рекомендуется делать чертеж к условию задачи, что позволит наглядно применить конкретный смысл доли для решения задачи.
В дальнейшем такие задачи включаются в содержание составных задач. Например: «Найдите площадь четвёртой части квадрата со стороной 9 см.» или «В один магазин привезли 28 кг яблок, во второй четвёртую часть того, что привезли в первый , а в третий магазин на 12 кг больше, чем во второй. Сколько всего килограммов яблок привезли в три магазина вместе?».
Задачи других видов решаются реже, а задачи на дроби и проценты рассматриваются уже в 5-6 классах.
По программе Петерсон рассматриваются задачи всех видов на доли и дроби:
| Виды задач | Задачи на доли | Задачи на дроби |
| Задачи на нахождение части от целого | Длина ленты 10м. Найдите 1\5этой ленты.  10:5=2(м)- длина 1\5 всейленты.
|
Длина ленты 10м. Найдите 3\5этой ленты.  1) 10:5=2(м)- длина 1\5 всейленты. 2) 2*3=6(м)- длина 3\5 всейленты.
|
| Задачи на нахождение целого по его части | От ленты отрезали 4м. Найдите длину всей ленты, если отрезали 1\4 ленты.  4*4=16(м)- длина всей ленты.
|
От ленты отрезали 9м. Найдите длину всей ленты, если отрезали 3\4 ленты.  1)9:3=3(м)- длина 1\4 всейленты. 2) 3*4=12(м)- длина всейленты.
|
| Задачи на нахождение дробного отношения | От ленты длиной 10м отрезали 1м. Какую часть ленты отрезали.  Чаще всего такие задачи решаются устно. Или так 1:10=1/10 - всей ленты.
|
От ленты длиной 10м отрезали 5м. Какую часть ленты отрезали.  Чаще всего такие задачи решаются устно. Или так 5:10=5/10 - всей ленты(сокращать в начальной школе дети не умеют).
|
Лекция 18.Система изучения дробей в начальной школе
1. Понятие дроби.
2. Дроби (доли) в 3 классе.
3. Дроби в 4 классе.
4. Дроби величин.
Понятие дроби
Темы «Доли» и «Дроби» традиционно присутствовали во всех учебниках по математике для начальных классов. В прежних вариантах учебников тема «Доли» рассматривалась во 2 классе системы 1-3 и в 3 классе системы 1-4. Дети знакомились с понятием доли (дроби вида х / к) и дроби (правильной дроби, в которой числитель меньше знаменателя), учились сравнивать дроби с опорой на предметную модель и решать два вида задач с дробями: нахождение дроби от числа и нахождение числа по его дроби.
На сегодня в соответствии с Обязательным минимумом требований к уровню подготовки выпускников начальной школы объем изучения данной темы значительно сократился в учебниках традиционной содержательной ориентации (учебники М.И. Моро и др., учебники Н.Б. Истоминой). В то же время эта тема значительно расширена в альтернативных учебниках системы Л.В. Занкова, системы В.В. Давыдова и «Школы 2100». В этих методических школах расширение объема знакомства с дробями обусловлено стремлением авторов сформировать у ребенка более общее представление о числе. Поскольку сформировать хоть в какой-то мере обобщенное представление об объекте возможно только в процессе произведения умственных операций над данным объектом (сравнение его с объектами другого рода, выделение сходства и различия, проведение аналогий и др.), необходимо иметь для организации данной умственной деятельности хотя бы два вида объектов. Знакомство младших школьников только с натуральными числами не позволяет проводить такую работу. Дроби не являются натуральными числами (поскольку не являются целыми) - это числа рациональные. Не ввода в словарь ребенка эти термины, можно тем не менее организовать работу по сопоставлению этих двух видов чисел и знакомству с некоторыми сходными операциями с этими числами (соотнесение с предметной моделью, запись, сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями и т. п.).
В последней редакции традиционного учебника математики понятие «Доля целого» рассматривается в 4 классе (часть 1) и некоторые сведения о дробях даются на последних страницах учебника для 4 класса (часть 2). Задания на нахождение дроби величин и величины по ее дроби встречаются в тексте учебных пособий несколько раз. Мы полагаем, что данная редакция учебника не является последней, поэтому в настоящем учебном пособии даем материал по данной теме в соответствии с традиционным объемом ее изучения в начальных классах и даже чуть шире - для того, чтобы подготовить студентов для работы по альтернативным программам.
Понятие дроби связано с расширением множества целых чисел до множества рациональных чисел. Теоретически считается, что знакомство младших школьников с долями и дробями имеет целью расширение их представлений о числе, однако, практически этого не происходит, поскольку понятие дроби в том виде, в каком оно всегда рассматривалось в начальной школе, с множеством чисел фактически не связывается.
Дробь в классической методической трактовке курса математики для начальных классов - это скорее способ получения части объекта, при этом искомая часть необходимо удовлетворяет ряду специальных требований.
В математике рассматривается два подхода к определению понятия дроби - аксиоматический (через словесное определение и описание свойств) и практический - на основе измерения длин отрезков.
По определению дробь - это число вида , где тип - целые числа, причем п не равно 0.
Далее определяется ряд операций для чисел этого вида (что понимать под сложением и вычитанием дробей, что понимать под умножением и делением дробей, какую дробь считать большей, а какую - меньшей) и ряд свойств, которыми обладают дроби (например, основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, при этом значение дроби не изменится).
Такой подход отражен в учебниках для 5-6 классов, что позволяет говорить о возможности формирования понятия дроби как числа.
В учебниках математики для начальных классов отражен другой подход к определению понятия рационального числа (дроби) - через измерение длины отрезка. Для описания результата этого процесса используют дробь.
Суть процесса состоит в следующем: если удается разделить некоторый объект А (например, отрезок) на b равных частей (т. е. взятую мерку b уложить по длине отрезка без остатка) и взять с таких частей, то, результат этой операции можно выразить так:
Получена часть объекта А. При этом не рассматривается как самостоятельное число, а только как « - ая часть объекта А».
Например, для ученика начальных классов фактически не имеет смысла символ сам по себе, так как непонятно, что именно разделено на 4 равные части. В то же время словосочетание « часть яблока» имеет смысл: из него ребенку ясно, что яблоко было разделено на 4 равные части и взята 1 часть.
Таким образом, программой начальных классов не предусмотрено формирование понятия дроби как числа. Сведения о дробях ребенок получает только через практические действия над реальными объектами, величинами, множествами и описание этих действий на языке специальных символов (дробей). Все эти действия считаются подготовкой к знакомству с дробями в 5-6 классе. Данный подход к формированию представлений о долях и дробях реализован во всех альтернативных учебниках математики для начальных классов.
Методическая проблема знакомства ребенка с дробями состоит в выборе учителем целесообразного множества исходных объектов и практических операций, которые ученик будет выполнять над ними. Понятие дроби будет отождествляться с результатом этой операции. Термин «целесообразное множество» подразумевает, что множество выбранных объектов должно делиться нацело, иначе нельзя воплотить требование «равные части», при этом в случае геометрической фигуры можно иметь в виду и равновеликие части, например:
Сформированность представлений о дробях отражается в умении выполнять следующие операции:
1) записывать дробь, ориентируясь на объект или рисунок;
2) сравнивать дроби с опорой на объект или рисунок;
3) находить «дробь от числа» (делением объекта или множества на равные части);
4) восстанавливать число по известной его дроби (обратная операция).
Все эти умения формируются на основе принципа наглядности и неотрывности от предметного содержания.
Дроби (доли) в 3 классе
Словом «доля» в 3 классе называют дробь вида . Долю получают делением объекта на несколько равных частей.
Запись вида , подразумевает, что объект разделили на две или четыре равных части и взяли одну из них. Запись такого вида в последней редакции учебника математики для 3 класса (2001) не рассматривается.
Детям сообщается словесное название полученной части: одна двенадцатая доля, одна шестая доля...
Используя рисунок круга, разделенного на несколько равных частей дети сравнивают доли, обозначая результат сравнения словом (а не знаком).
Например:
Назови, какие доли круга получились на каждом чертеже. Сравни, какая доля больше: одна восьмая или одна четвертая; одна третья или одна шестая.
Приведем пример задания на нахождение доли величины:
Длина ленты 9 дм. Отрезали одну треть этой ленты. Сколь-:о дециметров ленты отрезали?
Выполнение:
Данное задание является типовой задачей на нахождение доли величины. Смысл задания соответствует процессу нахождения доли объекта. Для иллюстрации этого смысла дети чертят в тетради отрезок длиной 9 дм (модель заданного в задаче объекта). Повторяют способ действия для получения одной третьей части (доли) объекта: разделим отрезок на три равные части. Запись 9 дм: 3 = 3 дм. Затем выполняют операцию разделения на отрезке и измеряют полученную третью часть (проверка).
Приведем пример задания (задачи) на нахождение числа по его доле:
Длина одной третьей части отрезка равна 4 см. Узнай длину всего отрезка.
Выполнение:
Данная задача является обратной по отношению к приведенной выше.
Для построения модели ситуации данной задачи следует рассуждать так. Нарисуем произвольный отрезок. Его длину мы не знаем. Обозначим ее знаком вопроса:
В задаче дана длина одной третьей части отрезка - разделим его на три равные части (приблизительно, поскольку это лишь рабочий рисунок к задаче) и подпишем над одной частью ее длину:
Поскольку все три части отрезка равные, значит, каждая из них должна иметь длину 4 см. Тогда длина всего отрезка 4 см 3 = 12 см.
Например:
Квадратный лист бумаги со стороной 2 дм разрезали на пять равных частей прямоугольной формы. Найди площадь одной части.
Задачу решают практическим способом, поскольку способы вычисления площади по формуле дети узнают в 4 классе.
В начальных классах школы учится 210 человек. Одну третью часть всех учеников составляют третьеклассники. Сколько детей учится в первых и вторых классах этой школы?
Задачу решают, сопровождая ее наглядным изображением ситуации. Рассуждают так. Чтобы найти одну третью часть от всего количества детей, разделим его на 3:
210: 3 = 70 (чел.) - это третьеклассники
На всех остальных детей приходится две части, значит 70 2 = - 140 (чел.).
Или по другому: все остальные дети учатся в 1 и 2 классе, значит, 210- 70= 140 (чел).
За полгода в районную библиотеку поступило 200 книг для детей. Это составляет четвертую часть всех поступивших книг. Сколько всего книг поступило в библиотеку за эти полгода?
Задачу решают, сопровождая ее наглядным изображением ситуации. Рассуждают так:
Обозначим произвольным отрезком все поступившие книги - мы не знаем сколько их:
Известна четвертая часть всех книг – разделим отрезок на 4 равные части (приблизительно) и обозначим известную часть.
Поскольку все четыре части равны, значит, на каждую из них должно приходиться по 200 книг, значит, 200 4 = 800 (кн.) поступило в библиотеку.
Дроби в 4 классе
В 4 классе ставится задача нахождения нескольких долей целого. Например:
Длина отрезка 10 см. Он разделен на 5 равных частей. Сколько сантиметров в четырех пятых долях этого отрезка? Рассмотри чертеж и решение:
1) Найдем, сколько сантиметров в одной пятой доле отрезка: 10 см: 5 = 2 см.
2) Найдем, сколько сантиметров в четырех пятых долях отрезка:
2 см 4 = 8 см. Ответ: 8 см.
Работа над данным понятием идет исключительно в словесных обозначениях: детям сообщается термин и дается его практическая иллюстрация. Символьное обозначение дроби на данном этапе не рассматривается.
Например:
Начерти отрезок длиной 60 мм. Раздели его на 6 равных частей. Сколько миллиметров в пяти шестых долях этого отрезка?
В данном случае речь идет только о пяти долях из шести имеющихся, но не о дроби 5 / 6 .
Знакомство с символикой и операция сравнения дробей рассматривается на последних страницах учебника математики для 4 класса (часть 2).
Рассматривается способ записи дроби: ; 5 / 6 ; 3 / 5 .
Правильный способ чтения этой записи и смысл каждого ее элемента: число, записанное под чертой, показывает, на сколько равных частей разделено целое число; число, записанное над чертой, показывает, сколько взято таких частей.
Слова «числитель» и «знаменатель» детям не сообщаются.
Сравнение дробей проводится с опорой на рисунок. Следует обращать внимание на то, что необходимо сравнивать соизмеримые части одного объекта, поскольку для ученика начальной школы дроби - это только части объекта или множества.
Например:
Что больше: или ? или ? или ? или ?
Отвечая на вопросы, ученики сравнивают соответствующие части равных полосок (для наглядности их можно закрасить разными цветами).
Рассуждения:
Сравниваю одну восьмую долю полоски и одну четвертую долю такой же полоски. Одна четвертая доля больше, чем одна восьмая доля одной и той же полоски.
Дроби величин
Задания, требующие нахождения дробей (долей) величин и величин по заданным долям используются для выработки умения находить доли от числа и число по доле не только с опорой на наглядную модель, но и с использованием смысла понятия доля.
Доля - это одна из нескольких равных частей величины.
Например:
6 листов составляют половину тетради. Сколько всего листов в тетради?
Задача может быть решена с опорой на рассуждение: половин в тетради может быть только две. Если в каждой по 6 листов, то вся тетрадь содержит 6 2 = 12 (листов).
Маленькая перемена длится 5 минут, что составляет четвертую часть большой перемены. Сколько минут длится большая перемена?
Рассуждение:
Четвертых частей может быть только 4. Если в каждой из них по 5 минут, то вся перемена 5 4 = 20 (мин).
Чему равна треть суток? Половина суток? Четверть часа? Три четверти года?
Для ответов на все вопросы используют смысл понятия доля (несколько долей) величины и знание соотношения единиц времени. Сутки - это 24 часа.
Треть суток 24: 3 = 8 (ч). Половина суток 24: 2 = 12 (ч). Час - это 60 мин. Четверть часа 60: 4 = 15 (мин). Год - это 12 месяцев. Четверть года 12: 4 = 3 (мес). Три четверти года 3-3 = 9 (мес).
Начерти отрезок, длина которого 48 мм. Чему равна длина третьей части отрезка?
Рассуждение:
Третьих частей в отрезке может быть только три. 48 мм: 3 = 16 мм - длина одной третьей части.
Начерти отрезок, пятая часть которого равна 17 мм.
Рассуждение:
Пятых частей в отрезке может быть только 5. Если каждая из них равна 17 мм, то весь отрезок 17 мм 5 - 85 мм.
В данном контексте следует рассматривать и действия с дробями, изучаемые в начальных классах по некоторым альтернативным программам (учебник И.И. Аргинской, учебник Л.Г. Петерсон). Задания «на действия с дробями» построены на том же принципе понимания ребенком дроби как доли (или нескольких долей) предмета или множества, они не предполагают произведения действий с дробями как таковыми по принципам, определенным аксиоматикой рациональных чисел (т. е. не имеются в виду специфические преобразования знаменателей и числителей и т. п., по специальным правилам, как это делается в 5-6 классах средней школы).
Результаты действий с дробями ребенок формирует как результаты операций над объектами, данными в предметной модели или рисунке.
Например:
| + = + = |
Рассуждения:
Одна четвертая доля полоски и еще одна такая же доля полоски - вместе две четвертых доли полоски.
Одна четвертая доля полоски и еще две таких же доли, вместе получается три четвертых доли полоски.
Следует отметить, что с точки зрения введенного определения дроби, как части объекта, числа, множества, является некорректной работа с неправильными дробями.
Неправильная дробь - это дробь, у которой числитель больше, чем знаменатель, например:
; ; и т. п.
В ряде альтернативных учебников (И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон) практикуются задания, в которых дети должны действовать с неправильными дробями: сравнивать их, расставлять по возрастанию или убыванию и т. п.
Для того чтобы подобные задания были корректными, следует использовать другое определение дроби (как рационального числа, заданного соответственным определением; см. выше), как это сделано в учебниках средней школы.
С точки зрения используемого в начальной школе определения выражение вида не имеет смысла, поскольку оно должно пониматься так: некий предмет (яблоко, полоску) разделили на 4 равные части, а затем взяли 7 таких частей. Речь идет об одном предмете, поэтому взять 7 частей неоткуда!
Даже если речь идет о множестве: «в классе 36 детей», то одна четвертая доля этого количества равна 9 детям, а долей должны соответствовать количеству 64 человека - при том, что изначально их было 32!
Таким образом, при желании знакомить учеников начальной школы с неправильными дробями следует по-другому построить методику их знакомства с понятием «Дроби» (сделать это на основе аксиоматического определения) и не использовать понятие «Доли» вообще.