Формула n-го члена арифметической прогрессии. Устная работа.(9 мин)
Тема урока: Глава 2 . Арифметическая прогрессия. Формула n –ого члена арифметической прогрессии.
Цели урока:
| Оценка: определяют результаты своей работы на уроке Синтез: формулируют определение арифметической прогрессии, применяют формулу n –ого члена, используют свойства Анализ: сравнивают способы нахождения n –ого члена арифметической прогрессии Применение: демонстрируют применение формулы n –ого члена арифметической прогрессии Понимание: обсуждают вывод формулы n –ого члена арифметической прогрессии Знание: рассказывают определение арифметической прогрессии, формулу n –ого члена |
| Учебно-воспитательные задачи: Образовательная: |
| обеспечить усвоение новых знаний по данной теме, сформировать навыки применения знаний по арифметической прогрессии к задачам реальной ситуации через групповое обучение. |
| Развивающая: развитие способности выражать мысли, познавательных способностей, формирование алгоритмического мышления, расширение кругозора |
| Воспитательная: способствовать выявлению, раскрытию способностей учащихся, возбуждать интерес к предмету, побуждать учащихся к применению полученных знаний |
| Результаты обучения: Учащиеся знают: определение арифметической прогрессии, применяют формулу n –ого члена |
| Учащиеся умеют : применять формулу n –ого члена арифметической прогрессии к практическим задачам, работать в группе, ясно выражать мысли, участвовать в дискуссии, умеют слушать и слышать |
Тип урока : сообщение новых знаний
Форма проведения урока: беседа
Методы обучения :
По источнику получения знаний : словесные, наглядные, практические.
По способу организации познавательной деятельности : объяснительно-иллюстративные, репродуктивные.
Методы воспитания : Организация деятельности, формирование мировоззрения, стимулирование деятельности, осуществление контроля, взаимоконтроля, самоконтроля.
Формы обучения : коллективные, индивидуальные, групповые
Основные понятия темы:
Задание на дом : №206, 207(1,3),
Оборудование, ресурсы, наглядные пособия: учебник,раздаточный материал
Учитель: Шуринова Е.К.
Ход урока
| Этапы урока | |
| Оргмомент. Задачи: обеспечить нормальную внешнюю обстановку на уроке, психологически подготовить детей к общению | Приветствие Проверка подготовленности к уроку Организация внимания школьников Ознакомление с планом проведения урока |
| Проверка домашнего задания. Задачи: установить правильность, полноту и осознанность выполнения всеми учащимися домашнего задания, выявить пробелы в знаниях, устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы | Выявление степени усвоения заданного учебного материала Фронтальный опрос. . Вопросы кроссворда : 1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. 2. Разность последовательно одинаковых членов. 3. Способ задания последовательности. 4. Разность последующего и предыдущего членов прогрессии. 5. Элементы, из которых состоит последовательность. 6. Натуральное число, обозначающее место члена в последовательности. 7. Функция, заданная на множестве натуральных чисел. 8. Последовательность, содержащая конечное число членов. |
| Вызов. Задачи: обеспечить включение школьников в совместную деятельность по определению целей учебного занятия. | Сообщение темы урока Формулирование цели совместно с учениками Сегодня на уроке мы познакомимся с арифметической прогрессией, изучим её свойство, выведем формулу п -го члена арифметической прогрессии и решим задачи на применение этих формул. |
| Актуализация знаний и умений Задачи: психологическая подготовка ученика: сосредоточение внимания, осознание значимости предстоящей деятельности, возбуждение интереса к уроку; учащиеся воспроизводят известные им знания, осознают их, обобщают факты, связывают старые знания с новыми условиями, с новыми данными и т.д. | Деление на группы: Собрать картинку и разделиться на 4 группы. 1) 1, 3, 5, 7, 9, … 2) 5, 8, 11, 14, … 3) -1, -2, -3, -4, … 4) -2, -4, -6, -8, … Давайте вместе с вами найдём закономерности Учащиеся: 1) каждый член числовой последовательности на 2 больше предыдущего; 2) каждый член числовой последовательности на 3 больше предыдущего; 3) каждый член числовой последовательности на 1меньше предыдущего; 4) каждый член числовой последовательности на 2 меньше предыдущего . |
| Осмысление Изучение нового материала. Задачи: обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание изучаемого материала, осознание своих способов проработки учебной информации | Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией. a n +1 = a n + d , n є N Число d называют разностью арифметической прогрессии d = a n +1 – a n Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и то же число, то это арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом. |
| Закрепления новых знаний и умений. Задачи: обеспечить повышение уровня осмысления учащимися изученного материала, глубины его усвоения | 1. Найдите разность арифметической прогрессии, если а8 – а5= - 21,3. Решение: используя формулу п-го члена арифметической прогрессии, имеем: a 8 =d(8-1)+а 1 и а5=d(5-1)+а1. Получим: а8 – а5= - 21,3 7d+ а1 – (4d +а1)= - 21,3 7d+ а1 – 4d - а1= - 21,3 3d = - 21,3 d = - 7,1 Ответ: d = - 7,1 Двое учащихся записывают решение на доске, ответы вписывают в окошечко и проверяют правильность своего решения. 2. Техническая задача. Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду? Решение: а1=7, d = 3. Найдём а8. а8=d(8-1)+а1=3 7+7=28. Значит за восьмую секунду тело прошло 28 метров . Ответ: 28 метров. Приложение1 |
| Проверка новых знаний Задачи: установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления | Работа с учебником. Уровень А: № 208,209 Уровень В: 212 |
| Коррекция знаний. Задачи: скорректировать выявленные проблемы | Организация деятельности учащихся по коррекции выявленных недостатков Индивидуальное задание. Повторное разъяснение учителя. |
| Подведение итогов. Рефлексия. Задачи: инициировать рефлексию учащихся по поводу своего эмоционального состояния, дать оценку работе отдельных учащихся и всего класса | Мобилизация учащихся на рефлексию Оценить по 10-бальной шкале работу на занятии с позиции: „Я" 0________10 „Мы" 0________10 „Дело" 0________10 Выставление оценок. |
Задача 1 На турбазе можно взять лодку напрокат. Стоимость проката определяется следующим образом: за первый час надо заплатить 100 руб., а за каждый последующий (полный или неполный) – 55 руб. Сколько рублей надо заплатить за лодку, взятую на один час, на два часа, на три часа и т.д.?
Вывод: 1. Если d>0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d"> 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d"> 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d" title="Вывод: 1. Если d>0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d"> title="Вывод: 1. Если d>0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d">
1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар" title=": Характеристическое свойство арифметической прогрессии: К аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифмети- ческому двух соседних с ним членов т.е. n > 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар" class="link_thumb"> 23 : Характеристическое свойство арифметической прогрессии: К аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифмети- ческому двух соседних с ним членов т.е. n > 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член арифметической прогрессии 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар"> 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член арифметической прогрессии"> 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар" title=": Характеристическое свойство арифметической прогрессии: К аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифмети- ческому двух соседних с ним членов т.е. n > 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар"> title=": Характеристическое свойство арифметической прогрессии: К аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифмети- ческому двух соседних с ним членов т.е. n > 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член ар">
Задача 1* На турбазе можно взять лодку напрокат. Стоимость проката определяется следующим образом: за первый час надо заплатить 100 руб., а за каждый последующий (полный или неполный) – 55 руб. Сколько рублей надо заплатить за лодку, взятую на двое суток?
План-конспект урока по теме: «Формула n -ого члена геометрической прогрессии». Подготовка к ОГЭ.
Основная цель : закрепить понятие геометрической прогрессии;
познакомить учащихся с формулой n-ого члена геометрической прогрессии;
применение этой формулы и свойства на примерах и задачах.
УМК: Алгебра.9класс.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ (А.Г.Мордкович и др.); под редакцией А.Г.Мордковича.-11-е изд., стер.-М.:Мнемозина, 2009.-255 с.: ил.
Класс: 9
Тип урока: урок изучения нового материала.
Ход урока.
Организационный момент (1 мин)
Учитель приветствует детей.
Устная работа.(9 мин)
Найдите среднее геометрическое чисел 16 и 25; 9 и 36; 49 и 81; 12 и 25.
Решите уравнение: b 2 =3, b 2 =-3, b 3 =-27, x 6 =164.
Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, вес которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи сутки? На восьмые сутки? (256; 128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1;…)
Мы с вами видим, что полученная нами последовательность является... геометрической прогрессией. Давайте вспомним ее определение.
Дается определение : Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Вопрос: - Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? (Делением предыдущего члена на 2 или умножением на 12 ). Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают q .
Проверка домашнего задания (5 мин)
Изучение нового материала.(10 мин)
Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи.
В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты каждая из них делится на две. Сколько бактерий появилось на 5-ой минуте? (см. рис.1)
Сколько их будет через три минуты?
На 1-ой минуте - 2
на 2-ой минуте - 4
на 3-ей минуте - 8
на 4-ой минуте - 16
на 5-ой минуте - 32
Можем продолжить?
на 6-ой минуте - 64
на 7-ой минуте - 128
на 8-ой минуте - 256
на 9-ой минуте - 512
на 10-ой минуте - 1024
на 11-ой минуте - 2048
на 12-ой минуте - 4096
на 13-ой минуте - 8192
Вывод: следовательно необходима формула для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии.
Рассмотрим геометрическую прогрессию b 1 ; b 2 ; b 3 ,...,b n , со знаменателем q. Имеем:
b 1 = b 1
b 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q 2
b 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 3
b 5 = b 3 q = (b 1 q 3) q = b 1 q 4 и т.д.
Нетрудно догадаться что для любого n справедливо неравенство
b n = b 1 q n - 1
Это n -ого члена геометрической прогрессии.
Попробуем проверить справедливость этой формулы для уже известной нам задачи с бактериями. Посчитаем 5-ый член последовательности
b n = b 1 q n - 1 = b 5 = b 1 q 5-1 = 1·2 4 = 1·16=16.
b n = b 1 q n - 1 = b 11 = b 1 q 11-1 = 1·2 10 = 1·1024=1024.
Закрепление изученного материала: (10)
ПР Пример 1-2.
УЧ: № 17.10(а,б),
№ 17.11(а,б),
№ 17.12(а,б)
Физкультминутка (1 мин)
Подготовка к ОГЭ. (15 мин)
Карточки
Домашнее задание: (1 мин.)
№ 17.10(в,г), 17.12(в,г), 17.14, 17.16
Подведение итогов урока (1 мин)
Задача № 1
Чтобы найти сумму арифметической прогрессии
у нас есть две формулы
.
разность прогрессии
.
d=a2-a1=-5-(-7)=2.
Подставляем все в формулу:
S50=50*(2*(-7)+(50-1)*2)/2=50*(-14+98)/2=50*42=2100
Ответ: S50=2100
Задача № 2
d=a2-a1=3-1=2.
Подставляем все в формулу:
S60=60*(2*1+(60-1)*2)/2=30*(2+118)=30*120=3600
Ответ: S60=3600
Задача № 3
Зная, что an+1=an+4, т.е. a10=a9+4, можно,конечно, вычислить все первые 10 членов последовательности, но это трудоемко. К тому же, если бы потребовалось вычислить 300-ый член, то это заняло бы очень много времени.
Есть способ проще:
В арифметической прогрессии
an=a1+(n-1)d, нам неизвестна только d. Вычислить ее можно по формуле: d=an+1-an
Используя эту формулу и условие задачи, мы видим, что d=4. Тогда:
a10=a1+(10-1)4
a10=3+9*4=39.Ответ: a10=39
Задача № 4
Зная, что bn+1=1/2*bn, т.е. b7=1/2*b6, можно,конечно, вычислить все первые 7 членов последовательности, но это трудоемко. К тому же, если бы потребовалось вычислить 300-ый член, то это заняло бы очень много времени.
Есть способ проще:
В геометрической прогрессии
bn=b1qn-1, нам неизвестна только q. Вычислить ее можно по формуле: bn+1/bn=q
Используя эту формулу и условие задачи, мы видим, что q=1/2. Тогда:
b7=b1(1/2)(7-1)
b7=-128*(1/2)6=-128*1/64=-2.
Ответ: b7=-2
Задача № 5
Чтобы найти сумму первых 4 членов данной геометрической прогрессии
, воспользуемсяформулами
. В нашем случае, удобней воспользоваться первой. Для этого необходимо узнать b1 - первый член прогрессии и q - знаменатель прогрессии
.
b1=62,5*21=125 (из условия задачи). А q=2.
Тогда S4=125*(1-24)/(1-2)=125*(1-16)/(-1)=125*15=1875
Ответ: S4=1875
Задача № 6
В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.
bn=b1qn-1
Тогда b2=b1q2-1=b1q
По условию:
1) b1+b2=75
b1+b1q=75
b1(1+q)=75
2) b2+b3=150
b1q+b1q2=150
b1(q+q2)=150
b1(q+1)q=150
Подставляем из п. 1)
75q=150 = q=2, тогда b1(1+2)=75 = b1=25
b2=25*2=50
b3=25*22=100
Ответ: b1=25, b2=50, b3=100
Задача № 7
В данном случае, вместо того, чтобы воспользоваться формулами
для геометрической прогрессии
, легче решить эту задачу "в лоб". Т.е. найти b2, b3, ..., b7.
b1=64 (по условию).
b2=b1*1/2=64*1/2=64/2=32
b3=b2*1/2=32/2=16
b4=16/2=8
b5=8/2=4
b6=4/2=2
b7=2/2=1 Ответ: b7=1
| Карточка 1 №1 . Дана арифметическая прогрессия: -7; -5; -3; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов. №2 . Дана арифметическая прогрессия: 1; 3; 5; … . Найдите сумму первых шестидесяти её членов. №3. Арифметическая прогрессия (a n) задана условиями: a 1 =3, a n+1 =a n +4. Найдите a 10 . №4. Геометрическая прогрессия (b n) задана условиями: b 1 = –128, b n+1 =1/2*b n . Найдите b 7 . №5. Геометрическая прогрессия задана условием b n =62,5*2 n . Найдите сумму первых её 4 членов. №6 №7. Геометрическая прогрессия (b n) задана условиями: b 1 =64, b n+1 =b n *1/2. Найдите b 7 . |
| Карточка 1 №1 . Дана арифметическая прогрессия: -7; -5; -3; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов. №2 . Дана арифметическая прогрессия: 1; 3; 5; … . Найдите сумму первых шестидесяти её членов. №3. Арифметическая прогрессия (a n) задана условиями: a 1 =3, a n+1 =a n +4. Найдите a 10 . №4. Геометрическая прогрессия (b n) задана условиями: b 1 = –128, b n+1 =1/2*b n . Найдите b 7 . №5. Геометрическая прогрессия задана условием b n =62,5*2 n . Найдите сумму первых её 4 членов. №6 . В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии. № 7. Геометрическая прогрессия (b n ) задана условиями: b 1 =64, b n+1 =b n *1/2. Найдите b 7 . |
Задача №3 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 1C5D03
Показать решение задачи
Дана арифметическая прогрессия: -6; -2; 2; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов.
Чтобы найти сумму арифметической прогрессии
у нас есть две формулы
.
a50 мы не знаем, поэтому воспользуемся второй формулой. Для этого найдем d - разность прогрессии
.
d=a2-a1=-2-(-6)=4.
Подставляем все в формулу:
S50=50*(2*(-6)+(50-1)*4)/2=50*(-12+196)/2=50*92=4600
Ответ: S50=4600
Задача №4 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - FD1ABB
Показать решение задачи
Дана арифметическая прогрессия: -1; 2; 5; … . Найдите сумму первых пятидесяти пяти её членов.
Чтобы найти сумму арифметической прогрессии
у нас есть две формулы
.
a55 мы не знаем, поэтому воспользуемся второй формулой. Для этого найдем d - разность прогрессии
.
d=a2-a1=2-(-1)=3.
Подставляем все в формулу:
S55=55*(2*(-1)+(55-1)*3)/2=55*(-2+162)/2=55*80=4400
Ответ: S55=4400
Задача №19 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 34D7F8
Показать решение задачи
Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 17; 14. Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте?
n-ый член арифметической прогрессии
равен a1+(n-1)d
a1=20
d=a2-a1=17-20=-3
a91=a1+(n-1)d=20+(91-1)(-3)=20-270=-250
Ответ: a91=-250
Задача №22 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 4CBA5B
Показать решение задачи
Записаны первые три члена арифметической прогрессии: -4; 2; 8; … Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 81-м месте?
n-ый член арифметической прогрессии
равен a1+(n-1)d
a1=-4
d=a2-a1=2-(-4)=6
a81=a1+(n-1)d=-4+(81-1)6=-4+480=476
Ответ: a81=476
Задача №79 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 4C12DC
Показать решение задачи
Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: -7; -5; -3; … Найдите её шестнадцатый член.
n-ый член арифметической прогрессии
равен a1+(n-1)d
a1=-7 (по условию)
a2=-5 (по условию)
d=a2-a1=-5-(-7)=2
a16=a1+(n-1)d=-7+(16-1)2=-7+30=23
Ответ: a16=23
Задача №82 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 4D6C7C
Показать решение задачи
Дана геометрическая прогрессия (b n), знаменатель которой равен 2, b 1 =16. Найдите b 4 .
Каждый член геометрической прогрессии
можно выразить через первый член.
bn=b1qn-1
Следовательно, b4=b1q4-1=b1q3=16*23=16*8=128
Ответ: 128
Срочный вклад, положенный в сберегательный банк ежегодно увеличивался на 5%. Каким станет вклад через 8 лет, если вначале он был равен 1000 руб.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;…) Вопрос: Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? (Умножением предыдущего на 1,05).