Геометрическая оптика – предельно простой случай оптики. По сути, это упрощенная версия волновой оптики, которая не рассматривает и просто не предполагает таких явлений, как интерференция и дифракция. Тут все упрощено до предела. И это хорошо.

Основные понятия

Геометрическая оптика – раздел оптики, в котором рассматриваются законы распространения света в прозрачных средах, законы отражения света от зеркальных поверхностей, принципы построения изображений при прохождении света через оптические системы.

Важно! Все эти процессы рассматриваются без учета волновых свойств света!

В жизни геометрическая оптика, являясь крайне упрощенной моделью, тем не менее, находит широкое применение. Это как классическая механика и теория относительности. Произвести нужный расчет чаще всего гораздо легче в рамках классической механики.

Основное понятие геометрической оптики – световой луч .

Отметим, что реальный световой пучок не распространяется вдоль линии, а имеет конечное угловое распределение, которое зависит от поперечного размера пучка. Геометрическая оптика пренебрегает поперечными размерами пучка.

Закон прямолинейного распространения света

Этот закон говорит нам о том, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно. Иными словами, из точки А в точку Б свет движется по тому пути, который требует минимального времени на преодоление.

Закон независимости световых лучей

Распространение световых лучей происходит независимо друг от друга. Что это значит? Это значит, что геометрическая оптика предполагает, что лучи не влияют друг на друга. И распространяются так, будто других лучей и вовсе нет.

Закон отражения света

Когда свет встречается с зеркальной (отражающей) поверхностью, происходит отражение, то есть изменение направления распространения светового луча. Так вот, закон отражения гласит, что падающий и отраженный луч лежат в одной плоскости вместе с проведенной к точке падения нормалью. Причем угол падения равен углу отражения, т.е. нормаль делит угол между лучами на две равные части.

Закон преломления (Снеллиуса)

На границе раздела сред наряду с отражением происходит и преломление, т.е. луч разделяется на отраженный и преломленный.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на .

Отношение синусов углов падения и преломления является постоянной величиной и равняется отношению показателей преломления этих сред. Еще эта величина называется показателем преломления второй среды относительно первой.

Здесь стоит отдельно рассмотреть случай полного внутреннего отражения. При распространении света из оптически более плотной среды в менее плотную угол преломления по величине больше угла падения. Соответственно, при увеличении угла падения будет увеличиваться и угол преломления. При некотором предельном угле падения угол преломления станет равным 90 градусов. При дальнейшем увеличении угла падения свет не будет преломляться во вторую среду, а интенсивность падающего и отраженного лучей будут равны. Это называется полным внутренним отражением.

Закон обратимости световых лучей

Представим, что луч, распространяясь в каком-то направлении, претерпел ряд изменений и преломлений. Закон обратимости световых лучей гласит, что если пустить навстречу этому лучу другой луч, то он пойдет по тому же пути, что и первый, но в обратном направлении.

Мы продолжим изучать основы геометрической оптики, а в будущем мы обязательно рассмотрим примеры решения задач на применение различных законов. Ну а если сейчас у вас имеются какие-либо вопросы, добро пожаловать за верными ответами к специалистам студенческого сервиса . Мы поможем решить любую задачу!

Рассматривая в предыдущем параграфе явления, происходящие при падении света на границу раздела двух сред, мы считали, что свет распространяется в определенном направлении, указанном па рис. 180, 181 стрелками. Поставим теперь вопрос: что произойдет, если свет будет распространяться в обратном направлении? Для случая отражения света это означает, что падающий луч будет направлен не слева вниз, как на рис. 182, а, а справа вниз, как на рис. 182, б; для случая преломления мы будем рассматривать прохождение света не из первой среды во вторую, как на рис. 182, в, а из второй среды в первую, как на рис. 182, г,

Точные измерения показывают, что и в случае отражения и в случае преломления углы между лучами и перпендикуляром к поверхности раздела остаются неизменными, меняется только направление стрелок. Таким образом, если световой луч будет падать по направлению (рис. 182, б), то луч отраженный пойдет по направлению , т. е. окажется, что по сравнению с первым случаем падающий и отраженный пула поменялись местами. То же наблюдается и при преломлении светового луча. Пусть - падающий луч, - преломленный луч (рис. 182, в). Если свет падает по направлению (рис. 182, г), то преломленный луч идет по направлению , т. е. падающий и преломленный луни обмениваются местами.

Рис. 182. Обратимость световых лучей при отражении (а, б) и при преломлении (в, г). Если , то

Таким образом, как при отражении, так и при преломлении свет может проходить один и тот же путь в обоих противоположных друг другу направлениях (рис. 183). Это свойство света носит название обратимости световых лучей.

Обратимость световых лучей означает, что если показатель преломления при переходе из первой среды во вторую равняется , то при переходе из второй среды в первую он равен . Действительно, пусть свет падает под углом и преломляется под углом , так что . Если при обратном ходе лучей свет падает под углом , то он должен преломляться под углом (обратимость). В таком случае показатель преломления , следовательно, . Например, при переходе луча из воздуха в стекло , а при переходе из стекла в воздух . Свойство обратимости световых лучей сохраняется и при многократных отражениях и преломлениях, которые могут происходить в любой последовательности. Это следует из того, что при каждом отражении или преломлении направление светового луча может быть изменено на обратное.

Рис. 183. К обратимости световых лучей при преломлении

Таким образом, если при выходе светового луна из любой системы преломляющих и отражающих сред заставить световой луч па последнем этапе отразиться точно назад, то он пройдет всю систему в обратном направлении и вернется к своему источнику.

Обратимость направления световых лучей можно теоретически доказать, используя законы преломления и отражения и не прибегая к новым опытам. Для случая отражения света доказательство проводится весьма просто (см. упражнение 22 в конце этой главы). Более сложное доказательство для случая преломления света можно найти в учебниках оптики.

1.8. ПРИНЦИП ОБРАТИМОСТИ ХОДА ЛУЧЕЙ СВЕТА (ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ)

Этот принцип - одно из важных положений геометрической оптики. При преломлении на границе двух сред лучи остаются взаимными, т.е. при изменении направления световых лучей на обратное их взаимное расположение не меняется. Аналогичное положение справедливо и при отражении света. Принцип обратимости хода световых лучей выполняется при любом числе отражений или преломлений, так как он соблюдается при каждом из них.

Законы геометрической оптики имеют большое значение. Во-первых, они устанавливают, что лучи при прохождении через оптическую систему всегда лежат в плоскости падения (образованной падающим лучом и нормалью). Во-вторых, они устанавливают численные зависимости координат лучей при переходе от одной поверхности к другой, т.е. позволяют рассчитать ход луча через сложную оптическую систему. В-третьих, они указывают на возможность анализа оптических систем в обратном ходе лучей.

Геометрическая оптика является теоретическим фундаментом оптических приборов. Технологические основы сборки и юстировки оптических приборов в основном базируются на положениях геометрической оптики. Законы геометрической оптики используются при измерении постоянных оптических систем и деталей, при исследовании оптических свойств приборов и изучении их погрешностей.

Природа вооружила человека прекрасным оптическим инструментом - глазом, но его возможности ограничены. Оптические приборы, созданные человеком, существенно расширили возможности зрения. Например, невооруженный глаз различает предметы величиной порядка 0,1 мм; применение лупы повысило эту возможность до 0,01 мм, а с помощью микроскопа стало возможным различать объекты величиной до 0,15 мкм и т. д.

Оптические приборы в настоящее время получили настолько широкое распространение и развитие, что появилась необходимость выделить отдельные группы приборов, объединенных общими оптическими свойствами и специализированных на решении однородных задач.

Можно выделить пять главных видов оптических приборов:

• телескопические системы (зрительные трубы);
• микроскопы;
• фотографические оптические системы;
• проекционные приборы;
• осветительные устройства.

Классификация оптических приборов может быть первоначально основана на двух классах - изображающие и неизображающие. Первые можно делить по значению увеличения, вторые - по энергетике и принципу формирования освещенной площадки. Отметим, что в современных оптических приборах одновременно могут сочетаться признаки двух и более видов приборов. Например, металлографический микроскоп может служить как обычный микроскоп, так же как и фотографический прибор и т.д. Кроме того, есть зеркальные, линзовые и зеркально-линзовые системы. Зеркально-линзовые системы содержат зеркальные и линзовые оптические элементы. Они реализованы в прожекторах, фарах, телескопах, микроскопах, телеобъективах. Линзовые содержат только линзы сферической или асферической формы. Примеры их использования конденсоры - осветительные системы. Оптические телескопы (рефлекторы), которые в качестве светособирающего элемента используют вогнутые зеркала как сферической, так и асферической формы относятся к зеркальным приборам. В качестве элементов оптических систем могут использоваться растровые системы, оптические детали со ступенчатой поверхностью сложного профиля (например, линзы Френеля), световоды и оптическое волокно.

Угол падения волны - это угол между перпендикуляром к границе раздела двух сред в точке падения и падающим лучом. Угол отражения волны - это угол между отраженным лучом и перпендикуляром к отражающей поверхности.

2. Сформулируйте закон отражения света и докажите его с помощью принципа Гюйгенса.

Угол падения равен углу отражения. Луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр, восстановленный в точке падения к отражающей поверхности, лежат в одной плоскости.

Падающая под углом волна достигает разных точек границы раздела в разные моменты времени. Когда волна достигает какой-то точки, эта точка становится источником вторичных волн. Фронт отраженной волны - это плоская поверхность, касательная к сферическим фронтам вторичных волн.

3. В чем состоит принцип обратимости лучей?

Если пустить падающий луч по пути отраженного, то он отразится в направлении падающего.

4. Объясните с помощью принципа Гюйгенса отражение сферического волнового фронта от плоской поверхности.

Огибающей поверхностью сферических волн является сфера. Фронт отраженной от плоского зеркала волны является сферическим, так же, как и фронт падающей волны.

5. Какое изображение называют мнимым? Объясните, как строится изображение точечного источника и предмета конечных размеров в зеркале, а также точечного источника в небольшом зеркале.

Мнимым изображением называется изображение предмета, которое возникает при пересечении продолжений расходящегося пучка лучей. Оно строится в плоском зеркале в симметричной точке относительно зеркала, даже когда зеркало имеет конечные размеры, и изображение можно наблюдать только в конечной области. Волновой фронт точечного источника - это сфера, огибающей поверхностью вторичных волн тоже является сфера. Фронт отраженной волны, как и падающей - сфера. Центр отраженной сферической волны лежит за зеркалом и воспринимается как мнимое изображение источника.

Основные законы геометрической оптики известны ещё с древних времен. Так, Платон (430 г. до н.э.) установил закон прямолинейного распространения света. В трактатах Евклида формулируется закон прямолинейного распространения света и закон равенства углов падения и отражения. Аристотель и Птолемей изучали преломление света. Но точных формулировок этих законов геометрической оптики греческим философам найти не удалось.

Геометрическая оптика является предельным случаем волновой оптики, когда длина световой волны стремится к нулю.

Простейшие оптические явления, например возникновение теней и получение изображений в оптических приборах, могут быть поняты в рамках геометрической оптики.

В основу формального построения геометрической оптики положено четыре закона , установленных опытным путем:

· закон прямолинейного распространения света;

· закон независимости световых лучей;

· закон отражения;

· закон преломления света.

Для анализа этих законов Х. Гюйгенс предложил простой и наглядный метод, названный впоследствии принципом Гюйгенса .

Каждая точка, до которой доходит световое возбуждение, является , в свою очередь, центром вторичных волн ; поверхность, огибающая в некоторый момент времени эти вторичные волны, указывает положение к этому моменту фронта действительно распространяющейся волны.

Основываясь на своем методе, Гюйгенс объяснил прямолинейность распространения света и вывел законы отражения и преломления .

Закон прямолинейного распространения света :

· свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно .

Доказательством этого закона является наличие тени с резкими границами от непрозрачных предметов при освещении их источниками малых размеров.

Тщательные эксперименты показали, однако, что этот закон нарушается, если свет проходит через очень малые отверстия, причем отклонение от прямолинейности распространения тем больше, чем меньше отверстия.

Тень, отбрасываемая предметом, обусловлена прямолинейностью распространения световых лучей в оптически однородных средах.

Астрономической иллюстрацией прямолинейного распространения света и, в частности, образования тени и полутени может служить затенение одних планет другими, например затмение Луны , когда Луна попадает в тень Земли (рис. 7.1). Вследствие взаимного движения Луны и Земли тень Земли перемещается по поверхности Луны, и лунное затмение проходит через несколько частных фаз (рис. 7.2).

Закон независимости световых пучков :

· эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того , действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены.

Разбивая световой поток на отдельные световые пучки (например, с помощью диафрагм), можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо.

Закон отражения (рис. 7.3):

· отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром , проведенным к границе раздела двух сред в точке падения ;

· угол падения α равен углу отражения γ: α = γ

Рис. 7.3 Рис. 7.4

Для вывода закона отражения воспользуемся принципом Гюйгенса. Предположим, что плоская волна (фронт волны АВ со скоростью с , падает на границу раздела двух сред (рис. 7.4). Когда фронт волны АВ достигнет отражающей поверхности в точке А , эта точка начнет излучать вторичную волну .

· Для прохождения волной расстояния ВС требуется время Δt = BC / υ . За это же время фронт вторичной волны достигнет точек полусферы, радиус AD которой равен: υ Δt = ВС. Положение фронта отраженной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC , а направление распространения этой волны – лучом II. Из равенства треугольников ABC и ADC вытекает закон отражения : угол падения α равен углу отражения γ.

Закон преломления (закон Снелиуса ) (рис. 7.5):

· луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости;

· отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред .

Рис. 7.5 Рис. 7.6

Вывод закона преломления. Предположим, что плоская волна (фронт волны АВ ), распространяющаяся в вакууме вдоль направления Iсо скоростью с , падает на границу раздела со средой, в которой скорость ее распространения равна u (рис. 7.6).

Пусть время, затрачиваемое волной для прохождения пути ВС , равно Dt . Тогда ВС = с Dt . За это же время фронт волны, возбуждаемой точкой А в среде со скоростью u , достигнет точек полусферы, радиус которой AD = u Dt . Положение фронта преломленной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC , а направление ее распространения – лучом III. Из рис. 7.6 видно, что

Отсюда следует закон Снелиуса :

Несколько иная формулировка закона распространения света была дана французским математиком и физиком П. Ферма.

Физические исследования относятся большей частью к оптике, где он установил в 1662 г. основной принцип геометрической оптики (принцип Ферма). Аналогия между принципом Ферма и вариационными принципами механики сыграла значительную роль в развитии современной динамики и теории оптических инструментов.

Согласно принципу Ферма , свет распространяется между двумя точками по пути, для прохождения которого необходимо наименьшее время .

Покажем применение этого принципа к решению той же задачи о преломлении света.

Луч от источника света S , расположенного в вакууме идет до точки В , расположенной в некоторой среде за границей раздела (рис. 7.7).

В каждой среде кратчайшим путем будут прямые SA и AB . Точку A охарактеризуем расстоянием x от перпендикуляра, опущенного из источника на границу раздела. Определим время, затраченное на прохождение пути SAB :

.

Для нахождения минимума найдем первую производную от τ по х и приравняем ее к нулю:

отсюда приходим к тому же выражению, что получено исходя из принципа Гюйгенса: .

Принцип Ферма сохранил свое значение до наших дней и послужил основой для общей формулировки законов механики (в том числе теории относительности и квантовой механики).

Из принципа Ферма вытекает несколько следствий.

Обратимость световых лучей : если обратить луч III (рис. 7.7), заставив его падать на границу раздела под углом β, то преломленный луч в первой среде будет распространяться под углом α, т. е. пойдет в обратном направлении вдоль луча I.

Другой пример – мираж , который часто наблюдают путешественники на раскаленных солнцем дорогах. Они видят впереди оазис, но когда приходят туда, кругом оказывается песок. Сущность в том, что мы видим в этом случае свет, прошедший над песком. Воздух сильно раскален над самой дорогой, а в верхних слоях холоднее. Горячий воздух, расширяясь, становится более разреженным и скорость света в нем больше, чем в холодном. Поэтому свет проходит не по прямой, а по траектории с наименьшим временем, заворачивая в теплые слои воздуха.

Если свет распространяется из среды с большим показателем преломления (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления (оптически менее плотной)( > ), например из стекла в воздух, то, согласно закону преломления, преломленный луч удаляется от нормали и угол преломления β больше, чем угол падения α (рис. 7.8 а ).

С увеличением угла падения увеличивается угол преломления (рис. 7.8 б , в ), до тех пор, пока при некотором угле падения () угол преломления не окажется равным π/2.

Угол называется предельным углом . При углах падения α > весь падающий свет полностью отражается (рис. 7.8 г ).

· По мере приближения угла падения к предельному, интенсивность преломленного луча уменьшается, а отраженного – растет.

· Если , то интенсивность преломленного луча обращается в нуль, а интенсивность отраженного равна интенсивности падающего (рис. 7.8 г ).

· Таким образом , при углах падения в пределах от до π/2 , луч не преломляется , а полностью отражается в первую среду , причем интенсивности отраженного и падающего лучей одинаковы. Это явление называется полным отражением.

Предельный угол определим из формулы:

;

.

Явление полного отражения используется в призмах полного отражения (Рис. 7.9).

Показатель преломления стекла равен n » 1,5, поэтому предельный угол для границы стекло – воздух = arcsin (1/1,5) = 42°.

При падении света на границу стекло – воздух при α > 42° всегда будет иметь место полное отражение.

На рис. 7.9 показаны призмы полного отражения, позволяющие:

а) повернуть луч на 90°;

б) повернуть изображение;

в) обернуть лучи.

Призмы полного отражения применяются в оптических приборах (например, в биноклях, перископах), а также в рефрактометрах, позволяющих определять показатели преломления тел (по закону преломления, измеряя , определяем относительный показатель преломления двух сред, а также абсолютный показатель преломления одной из сред, если показатель преломления второй среды известен).

Явление полного отражения используется также в световодах , представляющих собой тонкие, произвольным образом изогнутые нити (волокна) из оптически прозрачного материала.

В волоконных деталях применяют стеклянное волокно, световедущая жила (сердцевина) которого окружается стеклом – оболочкой из другого стекла с меньшим показателем преломления. Свет, падающий на торец световода под углам больше предельного , претерпевает на поверхности раздела сердцевины и оболочки полное отражение и распространяется только по световедущей жиле.

Световоды используются при создании телеграфно-телефонных кабелей большой емкости . Кабель состоит из сотен и тысяч оптических волокон тонких, как человеческий волос. По такому кабелю, толщиной в обычный карандаш, можно одновременно передавать до восьмидесяти тысяч телефонных разговоров.

Кроме того, световоды используются в оптоволоконных электронно-лучевых трубках, в электронно-счетных машинах, для кодирования информации, в медицине (например, диагностика желудка), для целей интегральной оптики.