Переход от аналогового к z преобразованию. Z преобразование
Лекция 8. Цифровые САУ
Основные положения и определения
Система называется цифровой, если в контуре имеется хотя бы один импульсный элемент. На рисунке 8.1 приведена цифровая САУ на базе микроконтроллера, т.е. функции сумматора и регулятора реализуются программным путем в микроконтроллере, с выхода которого сигналы поступают на объект управления с известной ПФ.
Рисунок 8.1 – Структурная схема цифровой системы
Микроконтроллер приближенно можно описать ПФ запаздывающего звена
Рисунок 8.2 – Выходная характеристика запаздывающего звена
Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ) это модуляция, при которой амплитуда импульса модулированного сигнала У пропорциональна величине информационного сигнала Х, подаваемого на вход модулятора.
Рисунок 8.3 – Виды АИМ
Существует 2 вида АИМ: первого и второго рода. В АИМ 1-го рода амплитуда модулированного сигнала в течение длительности импульса τ повторяет информационный сигнал Х. При АИМ 2-го рода амплитуда импульса в течение длительности импульса τ постоянна. Например, в АЦП используется АИМ 2-го рода.
Рисунок 8.4 – Временная диаграмма работы АЦП
В АЦП преобразование происходит в 2 этапа: дискретизация по времени с периодом Т и квантование по уровню аналогового сигнала.
Поэтому блок АЦП можно представить в виде 2-х элементов: импульсного элемента, осуществляющего дискретизацию по времени и формирователя импульсов, выполняющий квантование по уровню (рисунок 8.5,а). Цифровая система (ЦС), содержащее АЦП, приведена на рисунке 8.5,б.
Рисунок 8.5 – Структурная схема ЦС с АЦП
При увеличении разрядности АЦП (числа квантований) ошибка между значением цифрового сигнала и аналогового уменьшается.
Таблица 8.1 - Относительные ошибки АЦП
Решетчатая функция. Например, .
Разностное уравнение 1-го порядка;
Разностное уравнение 2-го порядка;
Разностное уравнение k-го порядка.
Z-преобразование
Для описания ЦС используется z-преобразование. Для этого необходимо перейти из области t в область р, а затем в область Z.
Преобразование Лапласа имеет вид
.
Приближенно интеграл можно представить в виде суммы
.
Примем , тогда
или
. (8.1)
Пример 1. Найти z-изображение .
.
В правой части уравнения сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен
.
Таблица 8.2 – Примеры перехода из t в Z и P области
F(t) | Р-преобразование | Z-преобразование |
1(t) t t 2 exp(-at) | 1/р 1 /p 2 1 /p 3 1/(p+a) | z / z-1 Tz / (z-1) 2 T 2 z(z+1) /(z-1) 3 z/ (z-e -at) |
Пример 2. Дана x(t) = 1(t). Требуется получить z-изображение другим способом.
Как и при первом способе, получим изображение единичной функции в виде ряда Тейлора
x(z) = 1 + z -1 + z -2 +…..+z - n .
Умножим на z -1 обе части уравнения
x(z) ∙ z -1 = z -1 + z -2 + z - n -1 ,
и вычтем из первого выражения x(z), полученное x(z) ∙ z -1 .
x(z) – x(z) ∙ z -1 = 1.
Пример 3. Дана функция x(t)= t ∙ 1(t). Получить z-изображение.
x(z) ∙ z -1 = Tz -2 + 2Tz -3 + …;
Теоремы Z- преобразования
1) Суммирование и вычитание. Если f 1 (t) и f 2 (t) имеют z-преобразование, то
2) Умножение на константу. Если f(t) имеет z- преобразование F(z), то
3) Сдвиг во временной области. Если f(t) имеет z- преобразование F(z), то
Пример 4. Найти z- преобразование единичной ступенчатой функции 1(t) при задержке ее на один период квантования Т.
4) Об умножении оригинала на экспоненту (смещение в области изображений). Если f(t) имеет изображение f(z), то
5) Теорема о начальном значении. Если f(t) имеет z- преобразование F(z) и если существует предел , то
Из теоремы следует, что значение дискретного сигнала f(t) при t=0 определяется значением F(z) при z = ∞.
6) Теорема о конечном значении. Если f(t) имеет z-преобразование F(z) и если функция (1-z -1)F(z) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса или вне ее, то
Пример 5. Найти конечное значение f(nT) для заданного z-преобразования
Приведем заданную функцию к виду
Определим корни знаменателя, т.е. определим полюса ПФ. Поскольку функция не имеет полюсов на единичной окружности, то
7) Теорема дифференцирования. Если z-преобразование функции f(t,a) есть F(z,a), где а – независимая переменная или константа, то
Пример 6. Определить z-преобразование функции f(t) = te -α t с помощью теоремы дифференцирования.
Обратное z- преобразование
Преобразование Лапласа и его обратное преобразование для непрерывных функций является однозначным. Для z-преобразования обратное z-преобразование не является однозначным. Корректный результат обратного z-преобразования функции F(z) есть f(nT), который равен f(t) только в моменты t = nT.
Рисунок 8.6 иллюстрирует тот факт, что для z-преобразования единичной ступенчатой функции, которое равно z/(z-1) и соответствует последовательности единичных импульсов. Обратное z-преобразование может быть любой функцией, значения которой равны единицы в моменты t=0,T,2T. Неоднозначность обратного z-преобразования является одним из ограничений этого метода.
Ряд Фурье
Непрерывная периодическая функция времени лс(/) с периодом Т , удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле (функция jc(f) - периодическая, кусочно-монотонная на периоде, имеющая конечное число точек разрыва 1-го рода), может быть представлена в виде ряда Фурье
где Асо - период дискретизации по частоте:
Х{к) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):
к - номер коэффициента Фурье, соответствующего частоте к А со. Аналогично, непрерывная периодическая функция частоты Х{со) с периодом Q, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье, симметричного (2.7):
где: At - период дискретизации по времени:
х(п) - коэффициенты Фурье (комплексные числа):
к - номер коэффициента Фурье, соответствующего времени п At.
На основании (2.8) и (2.11) можно записать соотношение для периодов функций и периодов дискретизации во временной и частотной областях:
Т Аса = Q At.
Сравнивая ряды (2.7) и (2.10), легко заметить взаимозаменяемость независимых переменных время-частота.
Z-преобразование и его свойства
При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют преобразование сигналов и характеристик устройств, получившее название Z-преобразования.
Пусть имеется некоторая числовая последовательность
Эта последовательность может быть как конечной, так и бесконечной и содержит отсчетные значения некоторого сигнала. Поставим ей в соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной г.
Такая сумма, если она существует, носит название Z-преобразования последовательности {х к }. Это одностороннее Z-преобразование. Если же
то такое преобразование называют двухсторонним Z-преобразованием.
Здесь М >0 и i?>0 - постоянные вещественные числа. Тогда, из теории функций комплексного переменного следует, что этот ряд сходится для всех значений г, таких, что |z|>/?. Например, дискретный сигнал {х к } = (1,1,1,...) имеет Z-преобразование
являющееся суммой геометрической прогрессии, и сходится при любых z в кольце z > 1. При этом, суммируя, получаем
На границе области аналитичности при z = 1 эта функция имеет единственный простой полюс.
Рассмотрим теперь обратное Z-преобразование. Пусть X(z) - функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области |z|>/?. Умножим обе части равенства, определяющего Z-преобразование, на z k ~ l и получим
Теперь вычислим интегралы от обеих частей этого равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, целиком находящуюся в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции X (z ). Из теоремы Коши следует, что
Тогда интегралы от всех слагаемых в правой части выражения равны нулю, кроме интеграла от слагаемого x k z ~ l , равного х к 2л j . Таким образом, получаем
Данная формула называется обратным Z-преобразоеанием.
Исследуем связь Z-преобразования с преобразованиями Лапласа и Фурье. Запишем выражение для модулированной импульсной последовательности {ШИП).
Преобразование Лапласа от него имеет вид
Если формально положить z = ехр(/?Д),
то это выражение совпадает с формулой для Z-преобразования.
Если же в формуле для Z-преобразования положить Z = ехр(у Д), то выражение
будет преобразованием Фурье от МИП, т. е. спектром МИП.
Рассмотрим некоторые свойства Z-преобразования.
- 1. Линейность. Если и к = а х к + р у к , то U(z) = ос X (z) + /?E(z).
- 2. Z-преобразование смещенного сигнала. Если Ук =х к-и то E(z) = z _1 X(z). Таким образом, символ z -1 служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации Д) в Z-области.
- 3. Z-преобразование свертки. Если fm = ^хкут_к - дискретная свертка двух дискретных сигналов, то F(z) = X(z) Z(z)
Контрольные вопросы
Записать преобразование Лапласа.
Записать преобразование Фурье.
Записать ряд Фурье.
Записать Z-преобразование.
Записать обратное Z-преобразование.
Записать свойства Z-преобразования.
При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют так называемое z-преобразование, играющее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральные преобразования Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам. В данном параграфе излагаются основы теории этого функционального преобразования и некоторые его свойства.
Определение z -преобразования. Пусть - числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчетные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменнойz :
Назовем эту сумму, если она существует, z -преобразованием последовательности{х к }. Целесообразность введения такого математического объекта связана с тем, что свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя ихz-преобразования обычными методами математического анализа.
На основании формулы (2.113) можно непосредственно найти z-преобразования дискретныхсигналов с конечным числом отсчетов. Так, простейшему дискретному сигналу с единс твенным отсчетом соответствует .
Если же, например,
Сходимость ряда. Если в ряде (2.113) число слагаемых бесконечно велико, то необходимо исследовать его сходимость. Из теории функций комплексного переменного известно следующее. Пусть коэффициенты рассматриваемого ряда удовлетворяют условию
при любых . ЗдесьМ > 0 иR 0 > 0 - постоянные вещественные числа. Тогда ряд (2.113) сходится при всех значенияхz, таких, что |z| >R 0 . В этой области сходимости сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменнойz, не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек.
Рассмотрим,например,дискретный сигнал , образованный одинаковыми единичными отсчетами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится при любыхzв кольце .
Суммируя прогрессию, получаем
На границе области аналитичности при z= 1эта функция имеет единственный простой полюс.
Аналогично получается z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , гдеа - некоторое вещественное число. Здесь
Данное выражение имеет смысл в кольцевой области .
z -преобразование непрерывных функций. Полагая, что отсчеты есть значения непрерывной функцииx (t ) в точках , любому сигналуx (t ) можно сопоставить егоz-преобразование при выбранном шаге дискретизации:
Например, если , то соответствующееz-преобразование
.
является аналитической функцией при .
Обратное z -преобразование. ПустьX (z) - функция комплексной переменнойz, аналитическая в кольцевой области |z| >R 0 . Замечательное свойствоz-преобразования состоит в том, что функцияX (z) определяет всю бесконечную совокупность отсчетов .
Действительно, умножим обе части ряда (2.113) на множитель :
. (2.115)
а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции X (z). При этом воспользуемся –фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши:
.
Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером т, поэтому
Данная формула называется обратным z -преобразованием .
Связь с преобразованиями Лапласа и Фурье . Определим при сигнал вида идеальнойМИП:
.
Преобразовав его по Лапласу, получим изображение
которое непосредственно переходит в z-преобразование, если выполнить подстановку . Если же положить , то выражение
При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств Z-преобразование играет такую же роль, как интегральные преобразования Фурье по отношению к непрерывным сигналам.
Пусть – числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчётные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной Z:
(7.9)
Эта сумма называется Z-преобразованием последовательности . Свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их Z-преобразования обычными методами математического анализа.
На основании формулы (7.9) можно непосредственно найти Z-преобразования сигналов с конечным числом отсчётов. Так простейшему дискретному сигналу с единственным отсчётом соответствует Если же, например, , то
Рассмотрим случай, когда в ряде (7.9) число слагаемых бесконечно велико.
Возьмём дискретный сигнал образованный одинаковыми единичными отсчётами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых Z, |Z|>1. Суммируя прогрессию, получаем
Аналогично получается Z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , где а-некоторое вещественное число. Здесь
Данное выражение имеет смысл при |Z|>a
Пусть x(z) – функция комплексной переменной Z. Замечательное свойство Z-преобразование состоит в том, что функция x(z) определяет всю бесконечную совокупность отсчётов ().
Действительно, умножим обе части ряда (7.9) на множитель :
а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, При этом воспользуемся фундаментальным положением из теоремы Коши:
Интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m, поэтому:
(7.11)
Данное выражение носит название обратное Z-преобразование.
Важнейшие свойства Z-преобразования:
1. Линейность. Если и - некоторые дискретные сигналы, причём известны соответствующие Z-преобразования x(z) и y(z), то сигналу будет отвечать преобразование при любых постоянных и . Доказательство проводится путём подстановки суммы в формулу (7.9).
2. Z-преобразование смещённого сигнала. Рассмотрим дискретный сигнал , получающийся из дискретного сигнала путём сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т.е. когда . Непосредственно вычисляя Z-преобразование, получаем следующий результат:
Таким образом, символ служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в Z-области.
3. Z-преобразование свёртки. Пусть x(z) и y(z) – непрерывные сигналы, для которых определена свёртка:
(7.13)
Применительно к дискретным сигналам по аналогии с (7.13) принято вводить дискретную свёртку – последовательность чисел общий член которой:
Подобную дискретную свёртку называют линейной
Вычислим Z-преобразование дискретной свёртки:
(7.15)
Итак свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение Z-преобразований.
Часть
Раздел 1.Каналы электросвязи
Тема1.1 Общие сведения о каналах электросвязи и их классификация
Каналом связи – называется совокупность средств, предназначенных для передачи сообщений (под “средством” понимают и технические устройства, и линию связи – физическую среду, в которой распространяется сигнал между пунктами связи).
Классификация каналов связи возможна с использованием различных признаков.
1) В зависимости от назначения систем каналы связи делят на: телефонные, телевизионные, телеграфные, фототелеграфные, звукового вещания, телеметрические, смешанные и т.п.
2) В зависимости от того, распространяется ли сигнал между пунктами связи в свободном пространстве или по направляющим линиям, выделяют каналы радио и проводной связи (воздушные, кабельные, волоконно-оптические линии связи, волноводные СВЧ тракты и т. п.).
3) Более существенна классификация каналов электрической связи по диапазону используемых частот. Так на современных симметричных кабельных линиях связи применяют сигналы, занимающие полосы частот в диапазоне, ограниченном сверху частотой в несколько сотен килогерц. Дополнительные мероприятия по увеличению симметрии кабельных пар позволяют увеличить верхний предел используемого диапазона частот до тысячи килогерц. Коаксиальные кабели, являющиеся основой сетей магистральной дальней связи, пропускают в настоящее время диапазон частот до сотен мегагерц.
На воздушных проводных линиях используют частоты не выше 150 кГц, ибо на более высоких частотах в этих линиях сильно сказывается мешающее действие аддитивных помех и резко возрастает затухание в линии.
Радиосвязь осуществляется с помощью электромагнитных волн, распространяющихся в частично ограниченном (например, землёй и ионосферой) пространстве. В настоящее время в радиосвязи применяют частоты примерно от до Гц. Этот диапазон принято в соответствии с десятичной классификацией подразделять следующим образом.