Теорема сложения вероятностей

Рассмотрим несовместные случайные события.

Известно, что несовместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ несовместные, то событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий. Имеем $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Теорема 1

Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме их вероятностей.

Примечание 1

Следствие 1. Вероятность суммы любого количества несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий.

Следствие 2. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий (сумма вероятностей всех элементарных событий) равна единице.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поскольку они образуют полную группу несовместных событий.

Пример 1

Вероятность того, что на протяжении некоторого времени в городе ни разу не будет идти дождь, $p=0,7$. Найти вероятность $q$ того, что на протяжении этого же времени дождь в городе будет идти хотя бы один раз.

События "на протяжении некоторого времени в городе ни разу не шел дождь" и "на протяжении некоторого времени дождь в городе шел хотя бы один раз" противоположные. Поэтому $p+q=1$, откуда $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Рассмотрим совместные случайные события.

Известно, что совместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ совместны, то из всего количества $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий определенное количество $m_{AB} $ благоприятствует одновременно и событию $A$, и событию $B$, то есть совместному их наступлению (произведению событий $A\cdot B$). Это количество $m_{AB} $ вошло одновременно и в $m_{A} $, и в $m_{B} $ Итак событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} -m_{AB} $ элементарных событий. Имеем: $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} -m_{AB} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} -\frac{m_{AB} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\right)$.

Теорема 2

Вероятность суммы двух совместных событий равняется сумме вероятностей этих событий за минусом вероятности их произведения.

Замечание. Если события $A$ и $B$ несовместны, то их произведение $A\cdot B$ является невозможным событием, вероятность которого $P\left(A\cdot B\right)=0$. Следовательно, формула сложения вероятностей несовместных событий является частным случаем формулы сложения вероятностей совместных событий.

Пример 2

Найти вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных кубиков цифра 5 выпадет хотя бы один раз.

При одновременном бросании двух игральных кубиков число всех равновозможных элементарных событий равно $n=36$, поскольку на каждую цифру первого кубика может выпасти шесть цифр второго кубика. Из них событие $A$ -- выпадение цифры 5 на первом кубике -- осуществляется 6 раз, событие $B$ -- выпадение цифры 5 на втором кубике -- тоже осуществляется 6 раз. Из всех двенадцати раз цифра 5 один раз выпадает на обоих кубиках. Таким образом, $P\left(A+B\right)=\frac{6}{36} +\frac{6}{36} -\frac{1}{36} =\frac{11}{36} $.

Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим независимые события.

События $A$ и $B$, которые происходят в двух последовательных испытаниях, называются независимыми, если вероятность появления события $B$ не зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шар а. Испытанием является извлечение шара. Событие $A$ -- "вынут белый шар в первом испытании". Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар положили назад и провели второе испытание. Событие $B$ -- ``вынут белый шар во втором испытании"". Вероятность $P\left(B\right)=\frac{1}{2} $. Вероятность $P\left(B\right)$ не зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно события $A$ и $B$ независимы.

Известно, что независимые случайные события $A$ и $B$ двух последовательных испытаний имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность произведения $A\cdot B$ этих событий, то есть вероятность совместного их появления.

Предположим, что в первом испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{1} $. Из них событию $A$ благоприятствуют $m_{1} $ элементарных событий. Предположим также, что во втором испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{2} $. Из них событию $B$ благоприятствуют $m_{2} $ элементарных событий. Теперь рассмотрим новое элементарное событие, которое состоит в последовательном наступлении событий из первого и второго испытаний. Общее количество таких равновозможных элементарных событий равно $n_{1} \cdot n_{2} $. Поскольку события $A$ и $B$ независимы, то из этого числа совместному наступлению события $A$ и события $B$ (произведения событий $A\cdot B$) благоприятствует $m_{1} \cdot m_{2} $ событий. Имеем: $P\left(A\cdot B\right)=\frac{m_{1} \cdot m_{2} }{n_{1} \cdot n_{2} } =\frac{m_{1} }{n_{1} } \cdot \frac{m_{2} }{n_{2} } =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Теорема 3

Вероятность произведения двух независимых событий равняется произведению вероятностей этих событий.

Рассмотрим зависимые события.

В двух последовательных испытаниях происходят события $A$ и $B$. Событие $B$ называется зависимым от события $A$, если вероятность появления события $B$ зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$. Тогда вероятность события $B$, которая была вычислена при условии, что событие $A$ состоялось, называется условной вероятностью события $B$ при условии $A$ и обозначается $P\left(B/A\right)$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Испытанием является извлечением шара. Событие $A$ -- "вынут белый шар в первом испытании". Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар назад не кладут и выполняют второе испытание. Событие $B$ -- ``вынут белый шар во втором испытании"". Если в первом испытании был вынут белый шар, то вероятность $P\left(B/A\right)=\frac{1}{3} $. Если же в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность $P\left(B/\overline{A}\right)=\frac{2}{3} $. Таким образом вероятность события $B$ зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно, событие $B$ зависит от события $A$.

Предположим, что события $A$ и $B$ происходят в двух последовательных испытаниях. Известно, что событие $A$ имеет вероятность появления $P\left(A\right)$. Известно также, что событие $B$ является зависимым от события $A$ и его условная вероятность при условии $A$ равна $P\left(B/A\right)$.

Теорема 4

Вероятность произведения события $A$ и зависимого от него события $B$, то есть вероятность совместного их появления, может быть найдена по формуле $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.

Справедливой является также симметричная формула $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$, где событие $A$ предполагается зависимым от события $B$.

Для условий последнего примера найдем вероятность того, что белый шар будет извлечен в обоих испытаниях. Такое событие является произведением событий $A$ и $B$. Его вероятность равна $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} =\frac{1}{6} $.

Лекция 7. Теория вероятностей

СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Была рассмотрена теорема сложения для несовместных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий.

Два события называют совместными , если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 1 . А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные.

Пусть события А и В совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема . Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Доказательство . Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: . По теореме сложения вероятностей несовместных событий, имеем:

Р(А + В) = Р(А ) + Р( В) + Р(АВ). (*)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: А
или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

Р(А) = Р(А ) + Р(АВ).

Р(А )=Р(А) – Р(АВ). (**)

Аналогично имеем

Р(В) = Р(ĀВ) + Р(АВ).

Р(ĀВ) = Р(В) – Р(АВ). (***)

Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (****)

Что и требовалось доказать.

Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми , так и зависимыми .

Для независимых событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)*Р(В);

Для зависимых событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)*Р А (В).

Замечание 2. Если события А и В несовместны , то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0.

Формула (****) для несовместных событий принимает вид

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (****) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p 1 = 0,7; p 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе
(из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение . Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.

Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание)

Р(АВ) = Р(А) * Р(В) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Искомая вероятность Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Замечание 3. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой Р = 1 – q 1 q 2

В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т.е. вероятности промахов, таковы:

q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3;

q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0,8 = 0,2;

Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.

Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Зависимые и независимые события

Заголовок выглядит страшновато, но в действительности всё очень просто. На данном уроке мы познакомимся с теоремами сложения и умножения вероятностей событий, а также разберём типовые задачи, которые наряду с задачей на классическое определение вероятности обязательно встретятся или, что вероятнее, уже встретились на вашем пути. Для эффективного изучения материалов этой статьи необходимо знать и понимать базовые термины теории вероятностей и уметь выполнять простейшие арифметические действия. Как видите, требуется совсем немного, и поэтому жирный плюс в активе практически гарантирован. Но с другой стороны, вновь предостерегаю от поверхностного отношения к практическим примерам – тонкостей тоже хватает. В добрый путь:

Теорема сложения вероятностей несовместных событий : вероятность появления одного из двух несовместных событий или (без разницы какого) , равна сумме вероятностей этих событий:

Аналогичный факт справедлив и для бОльшего количества несовместных событий, например, для трёх несовместных событий и :

Теорема-мечта =) Однако, и такая мечта подлежит доказательству, которое можно найти, например, в учебном пособии В.Е. Гмурмана.

Знакомимся с новыми, до сих пор не встречавшимися понятиями:

Зависимые и независимые события

Начнём с независимых событий. События являются независимыми , если вероятность наступления любого из них не зависит от появления/непоявления остальных событий рассматриваемого множества (во всех возможных комбинациях). …Да чего тут вымучивать общие фразы:

Теорема умножения вероятностей независимых событий : вероятность совместного появления независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий:

Вернёмся к простейшему примеру 1-го урока, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:

– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет орёл.

Найдём вероятность события (на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл – вспоминаем, как читается произведение событий !) . Вероятность выпадения орла на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события и независимы.

Аналогично:
– вероятность того, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится орёл и на 2-й решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится решка и на 2-й орёл.

Заметьте, что события образуют полную группу и сумма их вероятностей равна единице: .

Теорема умножения очевидным образом распространяется и на бОльшее количество независимых событий, так, например, если события независимы, то вероятность их совместного наступления равна: . Потренируемся на конкретных примерах:

Задача 3

В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.

Решение : вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:

– из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.

По классическому определению:
– соответствующие вероятности.

Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается произведением .

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что из трёх ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.

Ответ : 0,504

После бодрящих упражнений с ящиками нас поджидают не менее интересные урны:

Задача 4

В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.

Опираясь на полученную информацию, догадайтесь, как разобраться с пунктом «бэ» ;-) Примерный образец решения оформлен в академичном стиле с подробной росписью всех событий.

Зависимые события . Событие называют зависимым , если его вероятность зависит от одного или бОльшего количества событий, которые уже произошли. За примерами далеко ходить не надо – достаточно до ближайшего магазина:

– завтра в 19.00 в продаже будет свежий хлеб.

Вероятность этого события зависит от множества других событий: завезут ли завтра свежий хлеб, раскупят ли его до 7 вечера или нет и т.д. В зависимости от различных обстоятельств данное событие может быть как достоверным , так и невозможным . Таким образом, событие является зависимым .

Хлеба… и, как требовали римляне, зрелищ:

– на экзамене студенту достанется простой билет.

Если идти не самым первым, то событие будет зависимым, поскольку его вероятность будет зависеть от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.

Как определить зависимость/независимость событий?

Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще всего приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.

Чтобы не валить всё в одну кучу, задачам на зависимые события я выделю следующий урок, а пока мы рассмотрим наиболее распространённую на практике связку теорем:

Задачи на теоремы сложения вероятностей несовместных
и умножения вероятностей независимых событий

Этот тандем, по моей субъективной оценке, работает примерно в 80% задач по рассматриваемой теме. Хит хитов и самая настоящая классика теории вероятностей:

Задача 5

Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) только один стрелок попадёт в мишень;
б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Решение : вероятность попадания/промаха одного стрелка, очевидно, не зависит от результативности другого стрелка.

Рассмотрим события:
– 1-й стрелок попадёт в мишень;
– 2-й стрелок попадёт в мишень.

По условию: .

Найдём вероятности противоположных событий – того, что соответствующие стрелки промахнутся:

а) Рассмотрим событие: – только один стрелок попадёт в мишень. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:

1-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся
или
1-й промахнётся и 2-й попадёт.

На языке алгебры событий этот факт запишется следующей формулой:

Сначала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий, затем – теорему умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что будет только одно попадание.

б) Рассмотрим событие: – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Прежде всего, ВДУМАЕМСЯ – что значит условие «ХОТЯ БЫ ОДИН»? В данном случае это означает, что попадёт или 1-й стрелок (2-й промахнётся) или 2-й (1-й промахнётся) или оба стрелка сразу – итого 3 несовместных исхода.

Способ первый : учитывая готовую вероятность предыдущего пункта, событие удобно представить в виде суммы следующих несовместных событий:

попадёт кто-то один (событие , состоящее в свою очередь из 2 несовместных исходов) или
попадут оба стрелка – обозначим данное событие буквой .

Таким образом:

По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что 1-й стрелок попадёт и 2-й стрелок попадёт.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность хотя бы одного попадания по мишени.

Способ второй : рассмотрим противоположное событие: – оба стрелка промахнутся.

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

В результате:

Особое внимание обратите на второй способ – в общем случае он более рационален.

Кроме того, существует альтернативный, третий путь решения, основанный на умолчанной выше теореме сложения совместных событий.

! Если вы знакомитесь с материалом впервые, то во избежание путаницы, следующий абзац лучше пропустить.

Способ третий : события совместны, а значит, их сумма выражает событие «хотя бы один стрелок попадёт в мишень» (см. алгебру событий ). По теореме сложения вероятностей совместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий:

Выполним проверку: события и (0, 1 и 2 попадания соответственно) образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:
, что и требовалось проверить.

Ответ :

При основательном изучении теории вероятностей вам встретятся десятки задач милитаристского содержания, и, что характерно, после этого никого не захочется пристрелить – задачи почти подарочные. А почему бы не упростить ещё и шаблон? Cократим запись:

Решение : по условию: , – вероятность попадания соответствующих стрелков. Тогда вероятности их промаха:

а) По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень.

б) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что оба стрелка промахнутся.

Тогда: – вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Ответ :

На практике можно пользоваться любым вариантом оформления. Конечно же, намного чаще идут коротким путём, но не нужно забывать и 1-й способ – он хоть и длиннее, но зато содержательнее – в нём понятнее, что, почему и зачем складывается и умножается. В ряде случаев уместен гибридный стиль, когда прописными буквами удобно обозначить лишь некоторые события.

Похожие задачи для самостоятельного решения:

Задача 6

Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих дат­чика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:

а) оба датчика откажут;
б) оба датчика сработают.
в) Пользуясь теоремой сложения вероятностей событий, образующих полную группу , найти вероятность того, что при пожаре сработает только один датчик. Проверить результат прямым вычислением этой вероятности (с помощью теорем сложения и умножения) .

Здесь независимость работы устройств непосредственно прописана в условии, что, кстати, является важным уточнением. Образец решения оформлен в академичном стиле.

Как быть, если в похожей задаче даны одинаковые вероятности, например, 0,9 и 0,9? Решать нужно точно так же! (что, собственно, уже продемонстрировано в примере с двумя монетами)

Задача 7

Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8. Вероятность того, что цель не поражена после выполнения первым и вторым стрелками по одному выстрелу равна 0,08. Какова вероятность поражения цели вторым стрелком при одном выстреле?

А это небольшая головоломка, которая оформлена коротким способом. Условие можно переформулировать более лаконично, но переделывать оригинал не буду – на практике приходится вникать и в более витиеватые измышления.

Знакомьтесь – он самый, который настрогал для вас немереное количество деталей =):

Задача 8

Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует настройки, равна 0,3, второй – 0,75, третий – 0,4. Найти вероятность того, что в течение смены:

а) все станки потребуют настройки;
б) только один станок потребует настройки;
в) хотя бы один станок потребует настройки.

Решение : коль скоро в условии ничего не сказано о едином технологическом процессе, то работу каждого станка следует считать не зависимой от работы других станков.

По аналогии с Задачей №5, здесь можно ввести в рассмотрение события , состоящие в том, что соответствующие станки потребуют настройки в течение смены, записать вероятности , найти вероятности противоположных событий и т.д. Но с тремя объектами так оформлять задачу уже не очень хочется – получится долго и нудно. Поэтому здесь заметно выгоднее использовать «быстрый» стиль:

По условию: – вероятности того, что в течение смены соответствующие станки потребуют настойки. Тогда вероятности того, что они не потребуют внимания:

Один из читателей обнаружил тут прикольную опечатку, даже исправлять не буду =)

а) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что в течение смены все три станка потребуют настройки.

б) Событие «В течение смены только один станок потребует настройки» состоит в трёх несовместных исходах:

1) 1-й станок потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок не потребует
или :
2) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок потребует и 3-й станок не потребует
или :
3) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок потребует .

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что в течение смены только один станок потребует настройки.

Думаю, сейчас вам должно быть понятно, откуда взялось выражение

в) Вычислим вероятность того, что станки не потребуют настройки, и затем – вероятность противоположного события:
– того, что хотя бы один станок потребует настройки.

Ответ :

Пункт «вэ» можно решить и через сумму , где – вероятность того, что в течение смены только два станка потребуют настройки. Это событие в свою очередь включает в себя 3 несовместных исхода, которые расписываются по аналогии с пунктом «бэ». Постарайтесь самостоятельно найти вероятность , чтобы проверить всю задачу с помощью равенства .

Задача 9

Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7, из второго – 0,6, из третьего – 0,8. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) цель будет поражена не менее двух раз.

Решение и ответ в конце урока.

И снова о совпадениях: в том случае, если по условию два или даже все значения исходных вероятностей совпадают (например, 0,7; 0,7 и 0,7), то следует придерживаться точно такого же алгоритма решения.

В заключение статьи разберём ещё одну распространённую головоломку:

Задача 10

Стрелок попадает в цель с одной и той же вероятностью при каждом выстреле. Какова эта вероятность, если вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,973.

Решение : обозначим через – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле.
и через – вероятность промаха при каждом выстреле.

И таки распишем события:
– при 3 выстрелах стрелок попадёт в мишень хотя бы один раз;
– стрелок 3 раза промахнётся.

По условию , тогда вероятность противоположного события:

С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Таким образом:

– вероятность промаха при каждом выстреле.

В результате:
– вероятность попадания при каждом выстреле.

Ответ : 0,7

Просто и изящно.

В рассмотренной задаче можно поставить дополнительные вопросы о вероятности только одного попадания, только двух попаданий и вероятности трёх попаданий по мишени. Схема решения будет точно такой же, как и в двух предыдущих примерах:

Однако принципиальное содержательное отличие состоит в том, что здесь имеют место повторные независимые испытания , которые выполняются последовательно, независимо друг от друга и с одинаковой вероятностью исходов.

Необходимость в действиях над вероятностями наступает тогда, когда известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

• взаимно независимыми;
• взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

• вероятность того, что победят обе автомашины;
• вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле:

Пример 10. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.