Большие примеры дроби. Действия с дробями, правила, примеры, решения

Действия с дробями. В этой статье разберём примеры, всё подробно с пояснениями. Рассматривать будем обыкновенные дроби. В дальнейшем разберём и десятичные. Рекомендую посмотреть весь и изучать последовательно.

1. Сумма дробей, разность дробей.

Правило: при сложении дробей с равными знаменателями, в результате получаем дробь – знаменатель которой остаётся тот же, а числитель её будет равен сумме числителей дробей.

Правило: при вычислении разности дробей с одинаковыми знаменателями получаем дробь – знаменатель остаётся тот же, а из числителя первой дроби вычитается числитель второй.

Формальная запись суммы и разности дробей с равными знаменателями:

Примеры (1):

Понятно, что когда даны обыкновенные дроби, то всё просто, а если смешанные? Ничего сложного…

Вариант 1 – можно перевести их в обыкновенные и далее вычислять.

Вариант 2 – можно отдельно «работать» с целой и дробной частью.

Примеры (2):

Ещё:

А если будет дана разность двух смешанных дробей и числитель первой дроби будет меньше числителя второй? Тоже можно действовать двумя способами.

Примеры (3):

*Перевели в обыкновенные дроби, вычислили разность, перевели полученную неправильную дробь в смешанную.

*Разбили на целые и дробные части, получили тройку, далее представили 3 как сумму 2 и 1, при чём единицу представили как 11/11, далее нашли разность 11/11 и 7/11 и вычислили результат. Смысл изложенных преобразований заключается в том, чтобы взять (выделить) единицу и представить её в виде дроби с нужным нам знаменателем, далее от этой дроби мы уже можем вычесть другую.

Ещё пример:

Вывод: имеется универсальный подход – для того, чтобы вычислить сумму (разность) смешанных дробей с равными знаменателями их всегда можно перевести в неправильные, далее выполнить необходимое действие. После этого если в результате получаем неправильную дробь переводим её в смешанную.

Выше мы рассмотрели примеры с дробями, у которых равные знаменатели. А если знаменатели будут отличаться? В этом случае дроби приводятся к одному знаменателю и выполняется указанное действие. Для изменения (преобразования) дроби используется основное свойство дроби.

Рассмотрим простые примеры:

В данных примерах мы сразу видим каким образом можно преобразовать одну из дробей, чтобы получить равные знаменатели.

Если обозначить способы приведения дробей к одному знаменателю, то этот назовём СПОСОБ ПЕРВЫЙ .

То есть, сразу при «оценке» дроби нужно прикинуть сработает ли такой подход – проверяем делится ли больший знаменатель на меньший. И если делится, то выполняем преобразование — домножаем числитель и знаменатель так чтобы у обеих дробей знаменатели стали равными.

Теперь посмотрите на эти примеры:

К ним указанный подход не применим. Существуют ещё способы приведения дробей к общему знаменателю, рассмотрим их.

Способ ВТОРОЙ .

Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой:

*Фактически мы приводим дроби к виду, когда знаменатели становятся равными. Далее используем правило сложения робей с равными знаменателями.

Пример:

*Данный способ можно назвать универсальным, и он работает всегда. Единственный минус в том, что после вычислений может получится дробь которую необходимо будет ещё сократить.

Рассмотрим пример:

Видно что числитель и знаменатель делится на 5:

Способ ТРЕТИЙ.

Необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет общий знаменатель. Что это за число такое? Это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел.

Посмотрите, вот два числа: 3 и 4, есть множество чисел, которые делятся на них – это 12, 24, 36, … Наименьшее из них 12. Или 6 и 15, на них делятся 30, 60, 90 …. Наименьшее 30. Вопрос – а как определить это самое наименьшее общее кратное?

Имеется чёткий алгоритм, но часто это можно сделать и сразу без вычислений. Например, по указанным выше примерам (3 и 4, 6 и 15) никакого алгоритма не надо, мы взяли большие числа (4 и 15) увеличили их в два раза и увидели, что они делятся на второе число, но пары чисел могут быть и другими, например 51 и 119.

Алгоритм. Для того, чтобы определить наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо:

— разложить каждое из чисел на ПРОСТЫЕ множители

— выписать разложение БОЛЬШЕГО из них

— умножить его на НЕДОСТАЮЩИЕ множители других чисел

Рассмотрим примеры:

50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

в разложении большего числа не хватает одной пятёрки

=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

в разложении большего числа не хватает двойки и тройки

=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Наименьшее общее кратное двух простых чисел равно их произведению

Вопрос! А чем полезно нахождение наименьшего общего кратного, ведь можно пользоваться вторым способом и полученную дробь просто сократить? Да, можно, но это не всегда удобно. Посмотрите, какой получится знаменатель для чисел 48 и 72, если их просто перемножить 48∙72 = 3456. Согласитесь, что приятнее работать с меньшими числами.

Рассмотрим примеры:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

в разложении большего числа не хватает тройки

=> НОК(51,119) = 3∙7∙17

А теперь применим первый способ:

*Посмотрите какая разница в вычислениях, в первом случае их минимум, а во втором нужно потрудиться отдельно на листочке, да ещё и дробь которую получили сократить необходимо. Нахождение НОК упрощает работу значительно.

Ещё примеры:

*Во втором примере и так видно, что наименьшее число, которое делится на 40 и 60 равно 120.

ИТОГ! ОБЩИЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЙ!

— приводим дроби к обыкновенным, если есть целая часть.

— приводим дроби к общему знаменателю (сначала смотрим делится ли один знаменатель на другой, если делится то умножаем числитель и знаменатель этой другой дроби; если не делится действуем посредством других указанных выше способов).

— получив дроби с равными знаменателями, выполняем действия (сложение, вычитание).

— если необходимо, то результат сокращаем.

— если необходимо, то выделяем целую часть.

2. Произведение дробей.

Правило простое. При умножении дробей умножаются их числители и знаменатели:

Примеры:

Задача. На базу привезли 13 тонн овощей. Картофель составляет ¾ от всех завезённых овощей. Сколько килограмм картофеля завезли на базу?

С произведением закончим.

*Ранее обещал вам привести формальное объяснение основного свойства дроби через произведение, пожалуйста:

3. Деление дробей.

Деление дробей сводится к их умножению. Здесь важно запомнить, что дробь являющаяся делителем (та, на которую делят) переворачивается и действие меняется на умножение:

Данное действие может быть записано в виде так называемой четырёхэтажной дроби, ведь само деление «:» тоже можно записать как дробь:

Примеры:

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

С дробями ученики знакомятся еще в 5 классе. Раньше людей, которые умели производить действия с дробями, считали очень умными. Первой дробью была 1/2, то есть половина, дальше появились 1/3 и т.д. Несколько веков примеры считались слишком сложными. Сейчас же разработаны подробные правила по преобразованию дробей, сложению, умножению и другим действиям. Достаточно немного разобраться в материале, и решение будет даваться легко.

Обыкновенная дробь, которую называют простой дробью, записывается как деление двух чисел: m и n.

M - это делимое, то есть числитель дроби, а делитель n называют знаменателем.

Выделяют правильные дроби (m < n) а также неправильные (m > n).

Правильная дробь меньше единицы (к примеру 5/6 — это значит, что от единицы взято 5 частей; 2/8 — от единицы взято 2 части). Неправильная дробь равна или больше 1 (8/7 — единицей будет 7/7 и плюсом взята еще одна часть).

Так, единица, это когда числитель и знаменатель совпали (3/3, 12/12, 100/100 и другие).

Действия с обыкновенными дробями 6 класс

С простыми дробями можно производить следующие действия:

• Расширять дробь. Если умножить верхнюю и нижнюю часть дроби на какое-либо одинаковое число (только не на ноль), то значение дроби не поменяется (3/5 = 6/10 (просто умножили на 2).
• Сокращение дробей — схоже расширению, но тут делят на какое-либо число.
• Сравнивать. Если у двух дробей числители одинаковыми, то большей окажется дробь с меньшим знаменателем. Если одинаковые знаменатели, то больше будет дробь с наибольшим числителем.
• Выполнять сложение и вычитание. При одинаковых знаменателях это сделать просто (суммируем верхние части, а нижняя не меняется). При разных придется найти общий знаменатель и дополнительные множители.
• Умножить и разделить дроби.

Примеры действий с дробями рассмотрим ниже.

Сокращенные дроби 6 класс

Сократить — значит поделить верхнюю и нижнюю часть дроби на какое-либо одинаковое число.

На рисунке представлены просты примеры сокращения. В первом варианте можно сразу догадаться, что числитель и знаменатель делятся на 2.

На заметку! Если число четное, то оно по-любому делится на 2. Четные числа — это 2, 4, 6…328 (заканчивается на четное) и т. д.

Во втором случае при делении 6 на 18 сразу видно, что числа делятся на 2. Разделив, получаем 3/9. Эта дробь делится еще на 3. Тогда в ответе получается 1/3. Если перемножить оба делителя: 2 на 3, то выйдет 6. Получается, что дробь была разделена на шестерку. Такое постепенное деление называется последовательным сокращением дроби на общие делители.

Кто-то сразу поделит на 6, кому-то понадобится деление частями. Главное, чтобы в конце осталась дробь, которую уже никак не сократить.

Отметим, что если число состоит из цифр, при сложении которых получится число, делящееся на 3, то и первоначальное также можно сократить на 3. Пример: число 341. Складываем цифры: 3 + 4 + 1 = 8 (8 на 3 не делится, значит, число 341 нельзя сократить на 3 без остатка). Другой пример: 264. Складываем: 2 + 6 + 4 = 12 (делится на 3). Получаем: 264: 3 = 88. Это упростит сокращение больших чисел.

Помимо метода последовательного сокращения дроби на общие делители есть и другие способы.

НОД — это самый большой делитель для числа. Найдя НОД для знаменателя и числителя, можно сразу сократить дробь на нужное число. Поиск осуществляется путем постепенного деления каждого числа. Далее смотрят, какие делители совпадают, если их несколько (как на картинке ниже), то нужно перемножить.

Смешанные дроби 6 класс

Все неправильные дроби можно превратить в смешанные, выделив в них целую часть. Целое число пишется слева.

Часто приходится из неправильной дроби делать смешанное число. Процесс преобразования на примере ниже: 22/4 = 22 делим на 4, получаем 5 целых (5 * 4 = 20). 22 — 20 = 2. Получаем 5 целых и 2/4 (знаменатель не меняется). Поскольку дробь можно сократить, то делим верхнюю и нижнюю часть на 2.

Смешанное число легко превратить в неправильную дробь (это необходимо при делении и умножении дробей). Для этого: целое число умножим на нижнюю часть дроби и прибавим к этому числитель. Готово. Знаменатель не меняется.

Вычисления с дробями 6 класс

Смешанные числа можно складывать. Если знаменатели одинаковые, то сделать это просто: складываем целые части и числители, знаменатель остается на месте.

При сложении чисел с разными знаменателями процесс сложнее. Сначала приводим числа к одному самому маленькому знаменателю (НОЗ).

В примере ниже для чисел 9 и 6 знаменателем будет 18. После этого нужны дополнительные множители. Чтобы их найти, следует 18 разделить на 9, так находится дополнительное число — 2. Его умножаем на числитель 4 получилась дробь 8/18). То же самое делают и со второй дробью. Преобразованные дроби уже складываем (целые числа и числители отдельно, знаменатель не меняем). В примере ответ пришлось преобразовать в правильную дробь (изначально числитель оказался больше знаменателя).

Обратите внимание, что при разности дробей алгоритм действий такой же.

При умножении дробей важно поместить обе под одну черту. Если число смешанное, то превращаем его в простую дробь. Далее умножаем верхнюю и нижнюю части и записываем ответ. Если видно, что дроби можно сократить, то сокращаем сразу.

В указанном примере сокращать ничего не пришлось, просто записали ответ и выделили целую часть.

В этом примере пришлось сократить числа под одной чертой. Хотя сокращать можно и готовый ответ.

При делении алгоритм почти такой же. Сначала превращаем смешанную дробь в неправильную, затем записываем числа под одной чертой, заменив деление умножением. Не забываем верхнюю и нижнюю часть второй дроби поменять местами (это правило деления дробей).

При необходимости сокращаем числа (в примере ниже сократили на пятерку и двойку). Неправильную дробь преобразуем, выделив целую часть.

Основные задачи на дроби 6 класс

На видео показано еще несколько задач. Для наглядности использованы графические изображения решений, которые помогут наглядно представить дроби.

Примеры умножения дроби 6 класс с пояснениями

Перемножающиеся дроби записываются под одной линией. После этого их сокращают путем деления на одни и те же числа (например, 15 в знаменателе и 5 в числителе можно разделить на пятерку).

Сравнение дробей 6 класс

Чтобы сравнить дроби, нужно запомнить два простых правила.

Правило 1. Если знаменатели разные

Правило 2. Когда знаменатели одинаковые

Например, сравним дроби 7/12 и 2/3.

1. Смотрим на знаменатели, они не совпадают. Значит нужно найти общий.
2. Для дробей общим знаменателем будет 12.
3. Делим 12 сначала на нижнюю часть первой дроби: 12: 12 = 1 (это доп. множитель для 1-й дроби).
4. Теперь 12 делим на 3, получаем 4 — доп. множитель 2-й дроби.
5. Умножаем полученные цифры на числители, чтобы преобразовать дроби: 1 х 7 = 7 (первая дробь: 7/12); 4 х 2 = 8 (вторая дробь: 8/12).
6. Теперь можем сравнивать: 7/12 и 8/12. Получилось: 7/12 < 8/12.

Чтобы представлять дроби лучше, можно для наглядности использовать рисунки, где предмет делится на части (к примеру, торт). Если требуется сравнить 4/7 и 2/3, то в первом случае торт делят на 7 частей и выбирают 4 из них. Во втором — делят на 3 части и берут 2. Невооруженным взглядом будет понятно, что 2/3 будет больше 4/7.

Примеры с дробями 6 класс для тренировки

В качестве тренировки можно выполнить следующие задания.

• Сравнить дроби

• выполнить умножение

Совет: если сложно найти наименьший общий знаменатель у дробей (особенно, если значения их небольшие), то можно перемножить знаменатель первой и второй дроби. Пример: 2/8 и 5/9. Найти их знаменатель просто: 8 умножаем на 9, получится 72.

Решение уравнений с дробями 6 класс

В решении уравнений требуется вспомнить действия с дробями: умножение, деление, вычитание и сложение. Если неизвестен один из множителей, то произведение (итог) делится на известный множитель, то есть дроби перемножаются (вторая переворачивается).

Если неизвестно делимое, то знаменатель умножается на делитель, а для поиска делителя нужно делимое разделить на частное.

Представим простые примеры решения уравнений:

Здесь требуется лишь произвести разность дробей, не приводя к общему знаменателю.

Ответ получился в виде неправильной дроби. Ее можно преобразовать в 1 целую и 3/5.

Во втором способе числитель и знаменатель умножили на 4, чтобы сократить нижнюю часть, а не переворачивать знаменатель.

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия - в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

1. Сначала выполняется возведение в степень - избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
2. Затем - деление и умножение;
3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется - все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем - деление. Заметим, что 14 = 7 · 2 . Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень - их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3 , имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно - знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе - дробь 12/5;
2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе - отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно - в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок - пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем - частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

В математике различные типы чисел изучаются с самого своего зарождения. Существует большое количество множеств и подмножеств чисел. Среди них выделяют целые числа, рациональные, иррациональные, натуральные, четные, нечетные, комплексные и дробные. Сегодня разберем информацию о последнем множестве - дробных числах.

Определение дробей

Дроби - это числа, состоящие из целой части и долей единицы. Также, как и целых чисел, существует бесконечное множество дробных, между двумя целыми. В математике действия с дробями выполняются, так как с целыми и натуральными числами. Это довольно просто и научиться этому можно за пару занятий.

В статье представлено два вида

Обыкновенные дроби

Обыкновенные дроби представляют собой целую часть a и два числа записанных через дробную черту b/c. Обыкновенные дроби могут быть крайне удобны, если дробную часть нельзя представить в рациональном десятичном виде. Кроме того, арифметические операции удобнее производить через дробную черту. Верхняя часть называется числитель, нижняя - знаменатель.

Действия с обыкновенными дробями: примеры

Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, не являющееся нулем, в результате получается число равное данному. Это свойство дроби отлично помогает привести знаменатель для сложения (об этом будет рассказано ниже) или сократить дробь, сделать ее удобнее для счета. a/b = a*c/b*c. К примеру, 36/24 = 6/4 или 9/13 = 18/26

Приведение к общему знаменателю. Чтобы привести знаменатель дроби необходимо представить знаменатель в виде множителей, а затем помножить на недостающие числа. Например, 7/15 и 12/30; 7/5*3 и 12/5*3*2. Видим, что знаменатели отличаются двойкой, поэтому умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 2. Получаем: 14/30 и 12/30.

Составные дроби - обыкновенные дроби с выделенной целой частью. (A b/c) Чтобы представить составную дробь в виде обыкновенной, необходимо умножить число, стоящее перед дробью на знаменатель, а затем сложить с числителем: (A*c + b)/c.

Арифметические действия с дробями

Не лишним будет рассмотреть известные арифметические действия только при работе с дробными числами.

Сложение и вычитание. Складывать и вычитать обыкновенные дроби точно так же легко, как и целые числа, за исключением одной трудности - наличия дробной черты. Складывая дроби с одинаковым знаменателем, необходимо сложить лишь числители обеих дробей, знаменатели остаются без изменения. Например: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Если же знаменатели двух дробей представляют собой разные числа сначала нужно привести их к общему (как это сделать было рассмотрено выше). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Вычитание происходит по точно такому же принципу: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Умножение и деление. Действия с дробями по умножению происходят по следующему принципу: отдельно перемножаются числители и знаменатели. В общем виде формула умножения выглядит так: a/b *c/d = a*c/b*d. Кроме того, по мере умножения можно сократить дробь, исключая одинаковые множители из числителя и знаменателя. Выражаясь другим языком, числитель и знаменатель делится на одно и то же число: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Для деления одной обыкновенной дроби на другую, нужно поменять числитель и знаменатель делителя и выполнить умножение двух дробей, по принципу, рассмотренному ранее: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

Десятичные дроби

Десятичные дроби являются более популярной и часто используемой версией дробных чисел. Их проще записать в строчку или представить на компьютере. Структура десятичной дроби такая: сначала записывается целое число, а затем, после запятой, записывается дробная часть. По своей сути десятичные дроби - это составные обыкновенные дроби, однако их дробная часть представлена числом, деленным на кратное цифре 10. Отсюда и произошло их название. Действия с дробями десятичными аналогичны действиям с целыми числами, так как они так же записаны в десятичной системе счисления. Также в отличие от обыкновенных дробей, десятичные могут быть иррациональными. Это значит, что они могут быть бесконечны. Записываются они так 7,(3). Читается такая запись: семь целых, три десятых в периоде.

Основные действия с десятичными числами

Сложение и вычитание десятичных дробей. Выполнить действия с дробями не сложнее, чем с целыми натуральными числами. Правила абсолютно аналогичны с теми, что используют при сложении или вычитании натуральных чисел. Их точно так же можно считать столбиком, однако при необходимости заменять недостающие места нулями. Например: 5,5697 - 1,12. Для того чтобы выполнить вычитание столбиком нужно уравнять количество чисел после запятой: (5,5697 - 1,1200). Так, числовое значение не измениться и можно будет считать в столбик.

Действия с десятичными дробями нельзя производить, если одно из них имеет иррациональный вид. Для этого нужно перевести оба числа в обыкновенные дроби, а затем пользоваться приемами, описанными ранее.

Умножение и деление. Умножение десятичных дробей аналогично умножению натуральных. Их также можно умножать столбиком, просто, не обращая внимания на запятую, а затем отделить запятой в итоговом значении такое же количество знаков, сколько в сумме после запятой было в двух десятичных дробях. К примеру, 1,5 * 2,23 = 3,345. Все очень просто, и не должно вызвать затруднений, если вы уже овладели умножением натуральных чисел.

Деление также совпадает с делением натуральных чисел, но с небольшим отступлением. Чтобы разделить на десятичное число столбиком необходимо отбросить запятую в делителе, и умножить делимое на число знаков, стоявших после запятой в делителе. После чего выполнять деление как с натуральными числами. При неполном делении можно добавлять нули к делимому справа, также прибавляя ноль в ответ после запятой.

Примеры действий с десятичными дробями. Десятичные дроби - очень удобный инструмент для арифметического счета. Они сочетают в себе удобство натуральных, целых чисел и точность обыкновенных дробей. К тому же довольно просто перевести одни дроби в другие. Действия с дробями не отличаются от действий с натуральными числами.

1. Сложение: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Вычитание: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Умножение: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Деление: 3,6: 0,6 = 6

Кроме того, десятичные дроби подходят для представления процентов. Так, 100 % = 1; 60 % = 0,6; и наоборот: 0,659 = 65,9 %.

Вот и все, что нужно знать о дробях. В статье было рассмотрено два вида дробей - обыкновенные и десятичные. Оба довольно простые в вычислении, и если вы полностью овладели натуральными числами и действиями с ними, можете смело приступать к изучению дробных.

Дробь - число, которое состоит из целого числа долей единицы и представляется в виде: a/b

Числитель дроби (a) - число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.

Знаменатель дроби (b) - число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

3. Арифметические действия над обыкновенными дробями

3.1. Сложение обыкновенных дробей

3.2. Вычитание обыкновенных дробей

3.3. Умножение обыкновенных дробей

3.4. Деление обыкновенных дробей

4. Взаимно обратные числа

5. Десятичные дроби

6. Арифметические действия над десятичными дробями

6.1. Сложение десятичных дробей

6.2. Вычитание десятичных дробей

6.3. Умножение десятичных дробей

6.4. Деление десятичных дробей

#1. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

3/7=3*3/7*3=9/21, то есть 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - так выглядит основное свойство дроби.

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Если ad=bc , то две дроби a/b =c /d считаются равными.

Например, дроби 3/5 и 9/15 будут равными, так как 3*15=5*9, то есть 45=45

Сокращение дроби - это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (числитель и знаменатель делится на число 3, на 5 и на 15 ).

Несократимая дробь - это дробь вида 3/4 ​ ​ , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби - сделать дробь несократимой.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, надо:

1) разложить знаменатель каждой дроби на простые множители;

2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие

множители из разложения второго знаменателя;

3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из первого разложения.

Примеры: приведите дроби к общему знаменателю .

Разложим знаменатели на простые множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Умножили числитель и знаменатель дроби на недостающий множитель 5 из второго разложения.

числитель и знаменатель дроби на недостающие множители 3 и 2 из первого разложения.

= , 90 – общий знаменатель дробей .

3. Арифметические действия над обыкновенными дробями

3.1. Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .

3.3. Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

a/b*c/d=a*c/b*d,

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

a/b:c/d=a*d/b*c,

то есть дробь a/b умножается на дробь, обратную данной, то есть умножается на d/c.

Пример: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Взаимно обратные числа

Если a*b=1, то число b является обратным числом для числа a .

Пример: для числа 9 обратным является 1/9 ​ ​ , так как 9*1/9= 1 , для числа 5 - обратное число 1/5 ​ ​ , так как 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n ​ ​ .

Например: 6/10=0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

Например: 51/10=5,1; 763/100=7,63

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .

менателем, который является делителем некой степени числа 10 .

Пример: 5 - делитель числа 100 , поэтому дробь 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Арифметические действия над десятичными дробями

6.1. Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

6.2. Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

6.3. Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа - одна цифра после запятой; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

Например, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9 = ​ 31 1/9 ​ ​ .