Дифференциальные уравнения 2 порядка в частных производных. Связь с аналитическими функциями

Уравнения в частных производных второго порядка Лекция №3-4

Тема : Уравнения в частных производных второго порядка.

Вопросы:

1. Общий вид уравнения второго порядка. Линейные уравнения второго порядка в частных производных. Линейные однородные и линейные неоднородные уравнения.

2. Свойства решений линейного однородного и линейного неоднородного уравнений.

3. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка.

4. Приведение линейного уравнения к каноническому виду: гиперболический тип, параболический тип и эллиптический тип.

5. Постановка основных задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Уравнение вида

есть дифференциальное уравнение второго порядка с искомой функцией z от двух переменных х и у .

Уравнения математической физики в отличие от уравнений с частными производными второго порядка общего вида (3.1) являются линейными , т.е. линейно зависят от искомой функции и ее частных производных. Например, в случае двух независимых переменных они имеют вид

Уравнение (3.2) называется однородным, если
. Если
, то уравнение (3.2) называется неоднородным.

Обозначим левую часть уравнения (3.2) через
, тогда (3.2) можно записать в виде:

. (3.3)

Соответствующее однородное уравнение примет вид

. (3.4)

- линейный дифференциальный оператор. Самостоятельно проверить свойства линейности оператора
.

Из свойств линейности оператора
непосредственно вытекают следующие утверждения:

Теорема 3.1. Если
- решение линейного однородного уравнения (3.4), то функция
также является решением уравнения (3.4), гдеС – произвольная постоянная.

Теорема 3.2. Если
и
- решения линейного однородного уравнения (3.4), то сумма
+

Следствие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами k решений уравнения (3.4)
также является решением этого уравнения.

В отличие от обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений, имеющих конечное число линейно независимых частных решений, линейная комбинация которых дает общее решение этого уравнения, уравнения в частных производных могут иметь бесконечное множество линейно независимых частных решений.

Например. Уравнение

имеет общее решение
, поэтому его решениями будут, например, функции
.

Для линейного неоднородного

. (3.5)

уравнения справедливы следующие утверждения:

Теорема 3.3. Если
- решение линейного неоднородного уравнения (3.5), а
- решение соответствующего однородного уравнения (3.4), сумма
также является решением неоднородного уравнения (3.5).

Теорема 3.4. Если
- решение уравнения
, а
- решения уравнения
, то сумма
+
является решением уравнения
.

Рассмотрим классификацию дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

Определение. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка (3.2) в некоторой области
на плоскостихОу называется

Простейшим из уравнений гиперболического типа является волновое уравнение

.

Оно встречается в задачах, связанных с колебательными процессами.

Простейшим из уравнений эллиптического типа является уравнение Лапласа

.

К интегрированию этого уравнения приходят при изучении стационарных процессов.

Простейшим уравнением параболического типа является уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

.

Оно часто встречается при изучении процессов теплопроводности и диффузии.

Позже мы с вами рассмотрим эти уравнения подробнее.

В курсе математической физики также изучаются волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение Фурье более общего вида:

,
,

,

,
.

Приведем уравнение (3.2) к каноническому виду в достаточно малой окрестности любой точки, в которой задано это уравнение. Предположим, что коэффициенты А , В и С в уравнении (3.2) принадлежат классу
в некоторой окрестности и нигде в ней не обращаются в нуль одновременно. Для определенности можно считать, что
в этой окрестности. Действительно, в противном случае может оказаться, что
, но тогда меняя местамих и у , получим уравнение у которого
. Если жеА и С обращаются одновременно в нуль в какой-нибудь точке, то
в окрестности этой точки. В таком случае после деления на 2В уравнение (3.2) уже будет иметь канонический вид:

Перейдем теперь к новым переменным

,

,
, (3.6)

,

,

,

,

.

Поэтому уравнение (3.2) примет вид

Потребуем, чтобы функции
и
обращали в нуль коэффициенты
и
, т.е. удовлетворяли уравнениям:

Так как
, то эти уравнения эквивалентны линейным уравнениям

,
, (3.7)

где
,
,
.

Как мы с вами заметили, в зависимости от возможны три типа уравнений. Рассмотрим отдельно эти три случая.

В этом случае уравнение (3.2) приводится к каноническому виду:

. (3.8)

Замена переменных
,
приводит уравнение (3.2) к другому, эквивалентному, каноническому виду:

. (3.9)

Для доказательства представления (3.8) покажем, что существует, по крайней мере, одна пара решений иуравнений (3.7), удовлетворяющих условиям (3.6). Установим сначала связь этих решений с характеристиками уравнения (3.2).

Предположим, что существуют решения уравнений (3.7), такие что
,
в рассматриваемой окрестности, тогда кривые

,

определяют два семейства характеристик уравнения (3.2). Докажем теперь следующее вспомогательное утверждение.

Лемма. Пусть функция
такая, что
. Для того, чтобы семейство кривых
определяло характеристики уравнения (3.2), необходимо и достаточно, чтобы выражение
было общим интегралом одного из обыкновенных дифференциальных уравнений

,
. (3.10)

Уравнения (3.10) называются дифференциальными уравнениями характеристик уравнения (3.2).

Доказательство. 1. Докажем необходимость. Пусть
- семейство характеристик уравнения (3.2). Из условия
следует, что данное семейство заполняет некоторую окрестностьD , через каждую точку которой проходит одна и только одна характеристика. Пусть
. Тогда, если в преобразовании (3.6) взять, например,
, то в этой окрестности функция
будет удовлетворять уравнению

.

Так как на каждой характеристике справедливо соотношение

,
,

,

то поскольку
, получаем

, или
,

т.е.
есть общий интеграл первого из уравнений (3.10). Необходимость доказана.

2. Докажем достаточность. Пусть
есть общий интеграл одного из уравнений (3.10), например, первого из них. По определению это значит, что если функция
является решением этого уравнения, то

,

поэтому, продифференцировав последнее тождество по х , будем иметь

,

и, следовательно, на каждой линии
выполняется соотношение

. (3.11)

Но по теореме существования и единственности решения для обыкновенных дифференциальных уравнений через каждую точку из рассматриваемой окрестности проходит одна интегральная кривая
этого уравнения. Поэтому уравнение (3.11) выполняется во всех точках рассматриваемой окрестности. А так как по условию
,
, то кривые
являются характеристиками уравнения (3.2). Лемма доказана.

На основании доказанной леммы общие интегралы уравнений (3.10):

, и

такие, что
,
,
, определяют два семейства характеристик уравнения (3.2). Причем, так как
, то и
, а так же

Таким образом, семейства характеристик
,
образуют семейства координатных линий и функции
и
можно принять за новые переменные. При этом в уравнении (*) коэффициенты
и
будут равны нулю и

Поэтому, разделив уравнение (*) на 2
, получим уравнение в канонической форме (3.8).

Уравнение (3.2) приводится к каноническому виду

.

Так как в некоторой окрестности
, то
, поэтому дифференциальные уравнения (3.7) совпадают и равны

.

Следовательно, мы получили одно семейство характеристик
уравнения (3.2), определяемое в силу леммы, общим интегралом уравнения

,

таким что
и
. В качестве второго семейства координатных линий выберем прямые
. В результате замена переменных

,
,

, ,
.

Разделив уравнение (*) на коэффициент
, получим уравнение в канонической форме.

Если коэффициенты А , В и С в уравнении (3.2) – аналитические функции в окрестности некоторой точки. Тогда это уравнение приводится к каноническому виду

.

В этом случае, коэффициенты иуравнений (3.7) – аналитические функции, причем при действительных
:
. Из теоремы Ковалевской следует, что в достаточно малой окрестности существует аналитическое решение
уравнения

,

удовлетворяющее условию
. Положим теперь

,
, (3.12)

где
- функция, комплексно сопряженная с
. Функция
удовлетворяет второму уравнению из (3.7):

,

поскольку функция
удовлетворяет первому уравнения из (3.7), т.е.

Так как функции
и
аналитические, то
и их якобиан

Поэтому функции
и
можно взять за новые переменные. По построению функция
удовлетворяет уравнению

Выделим действительную и мнимую части и переходя к новым переменным пользуясь формулами (3.12), получим

,

Учитывая формулы для коэффициентов
получаем, что
и
в переменных
и
. Далее, поскольку
и
, то
. Разделив уравнение (*) на
, приведем его к каноническому виду

.

Постановка основных задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области
, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Это связано с неединственностью решения дифференциальных уравнений. Так, например, для уравнений в частных производных решение зависит от произвольных функций. Поэтому, чтобы выделить решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо задать дополнительные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые условия (начальные и граничные). Соответствующая задача называется краевой задачей .

Выделяют три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений:

В дальнейшем будем предполагать, что читатель уже знаком с основами теории обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. уравнений, связывающих неизвестную функцию одной независимой переменной, ее производные и саму независимую переменную. Мы приведем лишь самые основные сведения.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулой, содержащей одну произвольную постоянную: . Аналогично общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные: Выделение частного решения может быть произведено путем задания начальных условий, которые для уравнения второго порядка обычно имеют вид Подставляя эти значения в общее решение и в его производную, получим два уравнения для отыскания произвольных постоянных Q и С. Если правая часть уравнения - функция - непрерывна в некоторой окрестности значений и имеет там непрерывные частные производные , то существует единственное частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям (теорема существования и единственности решения).

В дальнейшем особенно часто будут встречаться линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Для однородного уравнения

общее решение есть линейная комбинация двух его частных

решений если только эти решения линейно независимы (т. е. , где k - константа):

Общее решение неоднородного уравнения

есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

В этой книге будут изучаться дифференциальные уравнения с частными производными, т. е. уравнения, содержащие неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные. Обычно приходится иметь дело с уравнениями для функций двух или трех независимых переменных. Вот примеры таких уравнений - независимые переменные, u - неизвестная функция):

В первой строке написаны уравнения, содержащие частные производные только первого порядка. Такие уравнения называются уравнениями первого порядка. Соответственно уравнения, написанные во второй строчке, являются примерами уравнений второго порядка.

Мы вовсе не ставим перед собой задачу изучать вообще способы решений дифференциальных уравнений с частными производными. Мы будем рассматривать только те конкретные уравнения (да и то далеко не все), которые существенны для физики, механики и техники. Именно эти уравнения и называются дифференциальными уравнениями математической физики.

Предварительно без доказательств познакомимся с простейшими свойствами уравнений с частными производными; будем считать, что неизвестная функция я зависит от двух переменных х и у.

Возьмем уравнение

Ясно, что искомая функция не зависит от переменной но может быть любой функцией от у.

Действительно, дифференцируя функцию по мы получаем нуль, а это и значит, что равенство (1) соблюдается. Следовательно, решение (2) уравнения (1) содержит одну произвольную функцию . В этом и заключается коренное отличие решения уравнения с частными производными первого порядка от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит лишь произвольную постоянную. По аналогии решение (2), содержащее одну произвольную функцию, будем называть общим решением уравнения (1).

Рассмотрим болёе сложное уравнение

где - заданная функция. Все функции , удовлетворяющие уравнению (3), имеют вид

где -произвольная функция от Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства (4) но у. Найденное решение уравнения (3) зависит от одной произвольной функции, т. е. является общим.

Легко проверить, что уравнение имеет общее решение , где - произвольная дифференцируемая функция.

Напомним для этого правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных (см. , п. 116). Если , где - функции переменных то

Аналогичные формулы имеют место и для производных по При этом число промежуточных аргументов , так же как и число независимых переменных может быть любым.

В нашем примере , где . Поэтому

Подставляя эти выражения в уравнение, получим тождество

Точно так же можно проверить, что уравнение имеет общее решение , а уравнение имеет общее решение , где произвольная дифференцируемая функция.

Рассмотрим теперь уравнения второго порядка. Пусть

Положим Тогда уравнение (5) примет вид . Общим решением уравнения будем произвольная функция . Возвращаясь к функции и, получим опять уравнение первого порядка

Согласно (4) его общим решением будет функция

Так как - произвольная функция от у, то и интеграл от нее также является произвольной функцией, которую мы обозначим через . В результате мы получили решение в виде

где - произвольные дифференцируемые функции. Лег ко проверить, что функция (6) действительно удовлетворяет уравнению (5).

До сих пор мы еще не ставили вопроса об отыскании частных решений. Позже будет выяснено, какие дополнительные условия нужно задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетворяющую как дифференциальному уравнению, так и дополнительным условиям.

Оказывается, что дифференциальные уравнения математической физики, которыми мы будем в дальнейшем заниматься, имеют между собой довольно много общих черт: все они - второго порядка и линейны относительно неизвестной функции и ее частных производных.

Чаще всего все коэффициенты перед функцией и ее производными - постоянные числа. Общий вид таких уравнений для функции и, зависящей от двух переменных х и у, таков:

где А, В, С, D, Е и F - постоянные числа, а правая часть - заданная функция переменных х и у.

Отметим, что характер и поведение решений этого уравнения существенно зависят от его коэффициентов. Об этом мы скажем в заключении, после того как познакомимся с простейшими уравнениями типа (7) и способами их решений 1).

Задачи механики сплошной среды описываются системами дифференциальных уравнении с частными производными, для которых ставятся граничные и начальные условия - формулируются краевые задачи. Даже для уравнений, весьма схожих по форме записи, свойства решения могут существенно различаться. Поэтому особое внимание в теории уравнений с частными производными уделяется классификации - объединению их в типы или классы, внутри которых свойства решения и особенности постановки краевых задач являются сходными.

Рассмотрим классификацию на примере уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. Уравнения такого вида стали изучаться при математическом описании ряда физических задач, и этот раздел математики стал называться математической физикой, а линейные уравнения второго порядка с частными производными - уравнениями математической физики. Отметим, что лишь в частных случаях задачи движения газа или жидкости или задачи теплопроводности приводятся к уравнению подобного вида. Однако даже на этом простейшем примере проявляются практически все особенности, присущие и более сложным задачам.

Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка (порядок дифференциального уравнения определяется порядком входящей в него старшей производной) с двумя независимыми переменными:

Если А, В, С - функции только х и у, а / - линейная функция своих аргументов и, ди/дх , ди/ду , то уравнение (1.1) является линейным. Для линейных уравнений развиты математические теории, позволяющие как делать общие качественные заключения о решении, так и строить методы решения. Во многих практических случаях оправданная система предположений и допущений позволяет привести математическую модель процесса к линейной системе или линейном}" уравнению. В частности, линейным уравнением вида (1.1) описываются потенциальное течение жидкости, стационарное двумерное температурное поле, распространение волны в упругой среде и многие другие физические задачи, и оно изучено наиболее подробно. Но в большинстве случаев практические задачи описываются нелинейными уравнениями, общая теория которых еще не создана.

Если нелинейность уравнения состоит лишь в том, что коэффициенты А, В, С зависят от неизвестного решения и и (или) его младших производных (в данном случае - первых производных), то такая нелинейность локально не слишком сильно сказывается на решении по сравнению с линейным случаем. Уравнения с нелинейностями такого вида называются квазилинейными. Часто для анализа квазилинейных уравнений применяют метод «замораживания» коэффициентов, сводящий задачу к линейному случаю. Такой подход используется как для качественного анализа решения, так и для построения численных алгоритмов решения. Заметим, что задачи аэрогазодинамики описываются системой квазилинейных уравнений.

Уравнение (1.1) можно привести к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого введем обозначения для первых производных от искомой функции по независимым переменным р = ди/дх и q = ди/ду и запишем рассматриваемое уравнение, используя эти обозначения. В результате придем к системе трех уравнений первого порядка для трех неизвестных функций ц, р и q :

Заметим, что обратное действие (приведение системы уравнений первого порядка к одному уравнению) выполнимо нс всегда.

Одним из важнейших понятий в теории дифференциальных уравнений с частными производными является понятие о характеристиках. Впервые оно появилось в работах Г. Монжа при изучении уравнений, описывающих форму поверхностей.

Рис. 1.1.

Для упрощения последующих выкладок введем следующие обозначения для вторых производных функции и :

Определим теперь задачу Коши для уравнения второго порядка. Пусть на линии у = у(х) заданы значения искомой функции и ее первых производных:

где а - естественная координата кривой. Поставим теперь следующую задачу: можно ли, зная значения функции и ее первых производных на кривой у(х), установить значения функции в точках, соседних с этой кривой? Поставленная задача называется задачей Коши для уравнения (1.1).

Для получения решения в точке Л/, соседней с кривой, можно воспользоваться разложением решения в ряд около некоторой точки О, лежащей на кривой задания начальных данных у(х). Такое разложение имеет вид

Заметим, что в этом разложении нельзя ограничиваться только линейными членами - обязательно присутствие вторых производных. Это связано с тем, что исходное дифференциальное уравнение накладывает связи именно на вторые производные. Если мы опустим их в разложении (1.2), то будет потеряно все физическое содержание рассматриваемого явления, в котором именно взаимосвязь вторых производных (своего рода «кривизн») определяет сущность описываемого процесса.

Использование данного выражения для получения решения в точке М связано с возможностью определения производных, в него входящих. Первые производные известны из начальных условий, заданных на кривой начальных данных. Вторые же необходимо каким- либо способом определить, после чего выражение (1.2) может быть использовано для получения решения в точке М. Можно показать, что после определения вторых производных высшие производные также могут быть вычислены, и таким образом будет решен вопрос о повышении точности выражения (1.2) за счет увеличения количества членов разложения.

Для определения вторых производных мы можем использовать данные, заданные на кривой. Приращения первых производных вдоль кривой запишутся следующим образом:

Заметим, что в этих выражениях dx и dy являются взаимосвязанными и их отношение определяется угловым коэффициентом кривой dy/dx = у"(х).

К этим двум выражениям, связывающим три неизвестные вторые производные, необходимо добавить исходное дифференциальное уравнение, что позволит получить линейную систему для значений вторых производных в точке М кривой у(х ):

Вопрос об определении вторых производных и, тем самым, о восстановлении решения в точках, прилежащих к кривой начальных данных, связан с возможностью решения линейной системы (1.3). Если определитель этой системы не равен нулю, то она имеет единственное решение, производные г, s, t и выражение (1.2) может использоваться для прогноза решения в точках области, лежащих вне линии начальных данных у = у(х).

В том же случае, когда определитель системы (1.3) обращается в ноль:

система линейных уравнений становится вырожденной, не допускающей определения вторых производных. Если решение найти не удастся, то принципиально нельзя будет сместиться от кривой начальных данных в соседние точки области.

Раскрывая определитель (1.4), получим условие обращения его в ноль:

которое можно записать в виде дифференциального уравнения в разрешенном относительно производной dy/dx виде:

Из этого соотношения видно, что исходная задача становится неразрешимой, если угловой коэффициент кривой принимает некоторое особое значение, выражаемое через коэффициенты исходного дифференциального уравнения. Это особое направление называется характеристическим , а кривая, касательная к которой в каждой точке принимает характеристическое направление, - характеристикой дифференциального уравнения с частными производными. Как видим, обыкновенное дифференциальное уравнение (1.5) определяет поле характеристических направлений, а его интеграл определяет характеристические линии.

Если эти кривые используются как линии задания начальных данных, то решение не может быть продолжено в соседние точки области, поэтому такие кривые имеют огромное значение при анализе свойств дифференциальных уравнений и при построении расчетных алгоритмов их решения.

В основу классификации уравнения (1.1) положено наличие у него характеристик. Как видно из (1.5), исходное уравнение в каждой точке области своего определения может иметь либо два характеристических направления, либо одно, либо вообще не иметь характеристик. Определяющим в этом вопросе является знак дискриминанта уравнения - подкоренного выражения В 2 - АС.

Если В 2 - АС эллиптическим, или принадлежит к эллиптическому типу.

Если В 2 - АС = О, то имеется одно семейство характеристик. В этом случае говорят, что уравнение (1.1) является параболическим. или принадлежит к параболическому типу.

Если В 2 - АС > 0, то имеются два различных семейства характеристик и уравнение (1.1) является гиперболическим или принадлежит к гиперболическому типу.

Так как тип уравнения связан со значениями коэффициентов дифференциального уравнения, то уравнение с переменными коэффициентами в разных частях области определения может принадлежать к различным типам. Такие уравнения называют уравнениями смешанного типа.

На первый взгляд представляется странным, почему для определения типа дифференциального уравнения используется терминология, относящаяся к коническим сечениям - алгебраическим кривым второго порядка: эллипсу, параболе и гиперболе. Связь состоит в том, что фундаментальную роль в теории уравнений вида (1.1) играет особым образом построенное алгебраическое выражение квадратичная форма, коэффициентами которой являются коэффициенты исходного уравнения. Для уравнения (1.1) она имеет вид Ах 2 +2Вху+Су 2 и может быть приведена к канонической форме, которая будет, в зависимости от значений коэффициентов, принимать вид эллипса, параболы или гиперболы, что и объясняет используемую терминологию.

Заметим, что для классификации мы использовали линейное уравнение второго порядка, однако характеристический анализ применяется и к другим уравнениям и системам.

Аналогичные соображения закладываются в основу классификации систем дифференциальных уравнений, которая строится на основе характеристических свойств - начПичия полного набора характеристик (гиперболические системы) или отсутствия действительных характеристик (эллиптические системы). Тип уравнения определяет общий характер его решения, зависимость решения от входных данных и, как следствие этого, методы получения численных решений краевых задач. В нашем курсе мы неоднократно будем возвращаться к анализу характеристических свойств изучаемых математических моделей механики сплошной среды.

Сделаем несколько замечаний, на которые мы не обращали внимание ранее.

Замечание 1. Инвариантность характеристических направлений. Можно доказать, что характеристики остаются инвариантными при преобразованиях независимых переменных. То есть характеристические направления не зависят от выбора системы координат, в которой мы записываем исходное уравнение, и от различных преобразований независимых переменных. Эти направления определяются только свойствами самого изучаемого явления, которое описывается своей математической моделью дифференциальным уравнением. В этом смысле характеристики определяют некоторые особые направления в пространстве - «собственные» направления данной задачи. Особо отметим, что определить характеристические направления удалось из анализа дифференциального уравнения. Поэтому получение характеристических направлений связано с записью математической модели в форме дифференциального уравнения (в дальнейшем мы увидим, что существуют и другие формы записи математических моделей, например в форме интегральных соотношений).

Замечание 2. Определение старших производных. В построенном нами примере для продолжения решения в точки, соседние с линией задания начальных данных, использовались производные до второго порядка включительно. Покажем, что если в качестве линии начальных данных используется нехарактеристическая кривая, го точность соотношения можно сколь угодно повышать, вычисляя старшие производные решения и таким образом продолжая ряд.

Для начала рассмотрим вопрос об определении третьих производных, которые обозначим соответственно Q = u xxx , R = u xxy , S = = и хуу, Т = и у уу . Так как, по условию, кривая не является характеристикой, то на основе предыдущего анализа на кривой начальных данных у(х) в дополнение к заданным из начальных условий значениям м, р, q вычислены и вторые производные г, .s, t. Поэтому для третьих производных можно выписать систему соотношений, определяющих их из дифференциалов вторых производных вдоль линии у(х) :

Добавив к этой системе исходное уравнение (1.1), продифференцированное по х , получим линейную систему

Легко убедиться, что она имеет то же условие невырожденности, что и система линейных уравнений при анализе характеристик.

Для этого при вычислении определителя матрицы проведем его разложение но элементам последнего столбца. Определитель третьего порядка, стоящий при единственном ненулевом элементе, будет совпадать с определителем матрицы в задаче анализа характеристик.

Таким образом, для любой нехарактеристической кривой третьи производные решения находятся из данных, заданных на этой кривой. Продолжая таким образом, можно находить следующие старшие члены разложения и тем самым повышать порядок точности представления решения.

Замечание 3. Условия совместности на характеристиках. В

том случае если для уравнения (1.1) определена характеристика, то на приращения производных от решения р, q вдоль кривой накладываются дополнительные условия. Действительно, равенство нулю определителя (1.4) означает линейную зависимость уравнений, входящих в (1.3). Из линейной алгебры известно, что для разрешимости вырожденной системы необходимо, чтобы ранг системы был равен рангу ее расширенной матрицы. Другими словами, требуется, чтобы все определители третьего порядка расширенной матрицы

были равны нулю. Нетрудно показать, что эго условие, совместно с полученным ранее соотношением для характеристик (1-5), приводит к следующим двум условиям, которые должны выполняться вдоль характеристик:

Эти условия называются условиями на характеристиках или условиями coeAiecmnocmu. Они играют большую роль как при изучении качественных свойств решения, так и при построении алгоритмов численного решения задач.

1 1асто гиперболическую задачу удобно формулировать через набор ее характеристик и дифференциальные соотношения совместности, справедливые на этих характеристиках. Заметим, что в случае двух независимых переменных задача трансформируется в систему обыкновенных уравнений, определяющих характеристические кривые, и обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих условиям совместности.

Замечание 4. Физический смысл характеристик. В уравнениях, в которых в качестве независимых выступают пространственные переменные, характеристики определяют область влияния точек. Известные из газодинамики сверхзвуковых стационарных течений конус Маха и линия Маха относятся к такому кругу понятий.

Если в качестве одной из независимых переменных - переменной гиперболичности - выступает время, характеристики выражают конечность скорости распространения сигнала и управляют таким образом причинно-следственными отношениями в рассматриваемой системе. С характеристиками в этом случае тесно связана возможность распространения волн с конечной скоростью.

Приведем примеры дифференциальных уравнений различных типов.

Пр и м е р 1. Уравнение Пуассона }:

Если / = 0, то это уравнение называют уравнением Лапласа. Здесь А = С = 1, В = О, В 2 - АС = -1, т.е. это уравнение эллиптического типа, часто встречающееся в физических приложениях. Им описываются задачи потенциального движения жидкости, фильтрации в пористых телах, задачи магнито- и электростатики, стационарное распределение температур в теле, распределение напряжений в некоторых задачах линейной теории упругости и т. д.

Уравнению Лапласа эквивалентна следующая простейшая эллиптическая система Даламбера Эйлера (иногда эти уравнения называют уравнениями Коши Римана):

Уравнение Лапласа может быть распространено на случай трех (или более) независимых переменных:

1 Пуассон Симеон Дени (Poisson S.D., 1781-1840) - французский математик, физик и механик. Его работы сыграли важную роль в становлении современной науки: в теории вероятностей, математической физике, теории упругости и гидромеханике. Упомянутое уравнение было выведено Пуассоном при исследовании ряда задач теории гравитационного притяжения (мемуар «О притяжении сфероидов», 1835).

Дифференциальный оператор Д = д 2 /дх 2 + д 2 /ду 2 + д 2 /дг 2 называют оператором Лапласа.

Пример 2. Уравнение теплопроводности. Одномерное нестационарное температурное поле в среде с постоянными теплофизическими характеристиками описывается уравнением

в котором коэффициент температуропроводности а должен удовлетворять условию а > 0.

Здесь вместо переменной у введена переменная t - время, соответствующая физическому содержанию описываемых уравнением задач. Коэффициенты, входящие в уравнение, равны: А = 1, В = 0, С = 0, В 2 - АС = 0, т.е. эго уравнение параболического типа. Такими уравнениями описываются нестационарное распределение температур в задачах теплопроводности, диффузия инертной примеси, распространение электромагнитных волн в проводящих средах, движение вязкой жидкости в пограничном слое тела и т. д.

II р и м е р 3. Волновое уравнение. Распространение плоской волны с постоянной скоростью со в изотропной среде описывается линейным одномерным волновым уравнением

в котором ось х соответствует направлению распространения волны.

Здесь А = Cq, С = 1, В = 0, это уравнение гиперболического типа. Примером простейшей гиперболической системы является эквивалентная (1.11) система

Уравнения такого типа описывают распространение колебаний в сплошных средах, электромагнитные колебания, сверхзвуковое течение идеального газа.

Приведенные выше примеры демонстрируют три основных типа уравнений математической физики. Различие в них связано с различием описываемых ими физических процессов. Уравнения параболического и гиперболического типов описывают неустановившийся процесс. Это означает, что на решение в момент времени t влияет состояние в предыдущие моменты времени, но никак не могут влиять последующие события. Уравнения гиперболического типа могут описывать и установившиеся процессы, в этом случае краевое условие влияет па решение только в одну сторону (по отношению к переменной, являющейся аналогом времени), а одна из пространственных координат является аналогом времени. Примером такой гиперболической задачи может служить сверхзвуковое, установившееся движение газа. Таким образом, параболические и гиперболические уравнения связаны с областями, «открытыми»в одном направлении, а соответствующая этому направлению независимая переменная является аналогом времени.

В случае же эллиптических задач на решение в некоторой точке области влияют краевые условия, заданные на всей замкнутой границе области.

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":