Два параллельных проводника по которым текут токи. Два параллельных проводника
Закон полного тока для магнитнго поля в вакууме.
Теорема о циркуляции вектора или закон полного тока для магнитного поля в вакууме формулируется следующим образом: циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром, т.е.
Где n – число проводников с токами, охватываемых контуром l произвольной формы.
Магнитное поле тороида и саленоида.
Магнитное поле на оси прямого длинного соленоида.
Соленоид представляет собой катушку, намотанную на цилиндрический каркас. Если длина соленоида много больше его диаметра, то такой соленоид называют длинным (в отличие от короткой катушки с противоположным соотношением размеров). Магнитное поле максимально внутри соленоида и направлено вдоль его оси. Вблизи оси соленоида магнитное поле можно считать однородным. Для нахождения напряженности магнитного поля на оси прямого длинного соленоида с помощью теоремы о циркуляции магнитного поля, выберем контур интегрирования, как показано на рис.10.5.
Рис.10.5 .
На участке 1-2 направление магнитного поля совпадает с направлением обхода контура, а его напряженность постоянна в силу однородности поля. На участках 2-3 и 4-1 вне соленоида проекция магнитного поля на направление обхода равна нулю. Наконец, на участке 3-4, удаленном достаточно далеко от соленоида, можно считать, что магнитное поле отсутствует.
С учетом сказанного имеем:
Но согласно теореме о магнитном напряжении этот интеграл равен , где N – число витков соленоида, сцепленных с контуром интегрирования. Следовательно
откуда находим: ,
где через обозначено число витков на единицу длины соленоида.
Расчет магнитной индукции бесконечно длинного соленоида:
2) Магнитное поле на оси тороида.
Тороид представляет собой катушку, намотанную на каркас, имеющий форму тора. Магнитное поле тороида целиком сосредоточено внутри него и является неоднородным . Максимальное значение напряженность магнитного поля имеет на оси тороида.
Рис.10.6 . К расчету напряженности магнитного поля на оси тороида.
Для нахождения напряженности магнитного поля вблизи оси тороида применим теорему о циркуляции магнитного поля, выбрав контур интегрирования, как показано на рис.10.6.
.
С другой стороны, этот интеграл равен , откуда следует, что
Расчет магнитной индукции тороида:
Закон Ампера
Сила , с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током, находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длины проводника на магнитную индукцию :
Направление силы определяется по правилу вычисления векторного произведения, которое удобно запомнить при помощи правила левой руки.
Модуль силы Ампера можно найти по формуле:
где α - угол между векторами магнитной индукции и тока.
Сила dF максимальна когда элемент проводника с током расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции ():
Два параллельных проводника
Два бесконечных параллельных проводника в вакууме
Наиболее известным примером, иллюстрирующим силу Ампера, является следующая задача. В вакууме на расстоянии r друг от друга расположены два бесконечных параллельных проводника, в которых в одном направлении текут токи I 1 и I 2 . Требуется найти силу, действующую на единицу длины проводника.
Бесконечный проводник с током I 1 в точке на расстоянии r создаёт магнитное поле с индукцией:
(по закону Био - Савара - Лапласа).
Теперь по закону Ампера найдём силу, с которой первый проводник действует на второй:
По правилу буравчика, направлена в сторону первого проводника (аналогично и для , а значит, проводники притягиваются).
Модуль данной силы (r - расстояние между проводниками):
Интегрируем, учитывая только проводник единичной длины (пределы l от 0 до 1).
Законы
Био – Савара – Лапласа и Ампера
применяются для определения силы
взаимодействия двух параллельных
проводников с током. Рассмотрим два
бесконечных прямолинейных проводника
с токами I1 и I2 , расстояние между которыми
равно а. На рис. 1.10 проводники расположены
перпендикулярно чертежу. Токи в них
направлены одинаково (из-за чертежа на
нас) и обозначены точками. Каждый
из проводников создает магнитное поле,
которое действует на другой проводник.
Ток I1 создает вокруг себя магнитное
поле, линии магнитной индукции которого
представляют собой концентрические
окружности. Направление
определяется правилом правого винта,
а его модуль по закону Био – Савара –
Лапласа. Согласно проведенным выше
расчетам модуль равен с
Тогда, согласно закону Ампера, dF1=I2B1dl
или
и аналогично
.
Н
аправление
силы
,
с которой поле
действует на участокdℓ
второго проводника с током I 2
(рис.1.10), определяется по правилу левой
руки (см. разд. 1.2). Как видно из рис.1.10 и
расчетов, силы
одинаковы
по модулю и противоположны по направлению.
В нашем случае они направлены навстречу
друг другу и проводники притягиваются.
Если токи текут в противоположных
направлениях, то возникающие между ними
силы отталкивают проводники друг от
друга.
Итак, параллельные токи (одного
направления) притягиваются, а
антипараллельные (противоположных
направлений) - отталкиваются. Для
определения силы F,
действующей на проводник конечной длины
ℓ, необходимо проинтегрировать полученное
равенство по ℓ от 0 до ℓ :
При магнитном взаимодействии выполняется
закон действия и противодействия, т.е.
третий закон Ньютона:
.
1.5. Действие магнитного поля на движущуюся заряженную частицу.@
Как
уже было отмечено, важнейшая особенность
магнитного поля состоит в том, что оно
действует только на движущиеся
электрические заряды. В результате
опытов было установлено, что любая
заряженная частица, движущаяся в
магнитном поле, испытывает действие
силы F,
которая пропорциональна величине
магнитного поля в этой точке. Направление
этой силы всегда перпендикулярно
скорости движения частицы и зависит от
угла между направлениями
.
Эта сила называетсясилой
Лоренца
.
Модуль данной силы равен
гдеq
– величина заряда; v
– скорость его движения;
–
вектор магнитной индукции
поля; α – угол между векторами
и
.
В векторной форме выражение для силы
Лоренца имеет вид
.
Для
случая когда скорость заряда перпендикулярна
вектору магнитной индукции, направление
данной силы определяется с помощью
правила левой руки: если ладонь левой
руки расположить так, чтобы вектор
входил в ладонь, а пальцы направить
вдоль
(для q>0),
то отогнутый под прямым углом большой
палец укажет направление силы Лоренца
для q>0
(рис.1.11, а). Для q
< 0 сила Лоренца имеет противоположное
направление (рис.1.11,б).
Поскольку данная сила всегда перпендикулярна скорости движения частицы, она изменяет только направление скорости, а не ее модуль, и поэтому сила Лоренца работы не совершает. То есть магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей и ее кинетическая энергия при таком движении не изменяется.
Вызываемое силой
Лоренца отклонение частицы зависит от
знака q. На этом основано
определение знака заряда частиц,
движущихся в магнитных полях. Магнитное
поле не действует на заряженную частицу
(
)
в двух случаях: если частица неподвижна
(
)
или если частица движется вдоль силовой
линии магнитного поля. В этом случае
векторы
параллельны иsinα=0. Если
вектор скорости
перпендикулярен
,
то сила Лоренца создает центростремительное
ускорение и частица будет двигаться по
окружности. Если скорость направлена
под углом к
,
то заряженная частица движется по
спирали, ось которой параллельна
магнитному полю.
На данном явлении основана работа всех ускорителей заряженных частиц – устройств, в которых под действием электрических и магнитных полей создаются и ускоряются пучки высокоэнергетических частиц.
Действие магнитного поля Земли вблизи земной поверхности изменяет траекторию движения частиц, испускаемых Солнцем и звездами. Этим объясняется так называемый широтный эффект, заключающийся в том, что интенсивность космических лучей, доходящих до Земли, вблизи экватора меньше, чем в более высоких широтах. Действием магнитного поля Земли объясняется тот факт, что полярное сияние наблюдается только в самых высоких широтах, на Крайнем Севере. Именно в том направлении магнитное поле Земли отклоняет заряженные космические частицы, которые вызывают свечение атмосферы, называемое полярным сиянием.
Кроме магнитной
силы, на заряд может действовать также
уже знакомая нам электрическая сила
,
и результирующая электромагнитная
сила, действующая на заряд, имеет вид
Э
та
формула называетсяформулой Лоренца
.
Действию такой силы подвергаются,
например, электроны в электронно-лучевых
трубках телевизоров, радиолокаторов,
электронных осциллографов, электронных
микроскопах.
Применим закон Ампера для вычисления силы взаимодействия двух длинных прямолинейных проводников с токами I 1 и I 2 , находящихся на расстоянии d друг от друга (рис. 6.26).
Рис. 6.26. Силовое взаимодействие прямолинейных токов:
1 - параллельные токи; 2 - антипараллельные токи
Проводник с током I 1 создает кольцевое магнитное поле, величина которого в месте нахождения второго проводника равна
Это поле направлено «от нас» ортогонально плоскости рисунка. Элемент второго проводника испытывает со стороны этого поля действие силы Ампера
Подставляя (6.23) в (6.24), получим
|
|
При параллельных токах сила F 21 направлена к первому проводнику (притяжение), при антипараллельных - в обратную сторону (отталкивание).
Аналогично на элемент проводника 1 действует магнитное поле, создаваемое проводником с током I 2 в точке пространства с элементом с силой F 12 . Рассуждая таким же образом, находим, что F 12 = –F 21 , то есть в этом случае выполняется третий закон Ньютона.
Итак, сила взаимодействия двух прямолинейных бесконечно длинных параллельных проводников, рассчитанная на элемент длины проводника, пропорциональна произведению сил токов I 1 и I 2 протекающих в этих проводниках, и обратно пропорциональна расстоянию между ними. В электростатике по аналогичному закону взаимодействуют две длинные заряженные нити.
На рис. 6.27 представлен опыт, демонстрирующий притяжение параллельных токов и отталкивание антипараллельных. Для этого используются две алюминиевые ленты, подвешенные вертикально рядом друг с другом в слабо натянутом состоянии. При пропускании через них параллельных постоянных токов силой около 10 А ленты притягиваются. а при изменении направления одного из токов на противоположное - отталкиваются.
Рис. 6.27. Силовое взаимодействие длинных прямолинейных проводников с током
На основании формулы (6.25) устанавливается единица силы тока - ампер , являющаяся одной из основных единиц в СИ.
Пример. По двум тонким проводам, изогнутым в виде одинаковых колец радиусом R = 10 см, текут одинаковые токи I = 10 А в каждом. Плоскости колец параллельны, а центры лежат на ортогональной к ним прямой. Расстояние между центрами равно d = 1 мм. Найти силы взаимодействия колец.
Решение. В этой задаче не должно смущать, что мы знаем лишь закон взаимодействия длинных прямолинейных проводников. Поскольку расстояние между кольцами много меньше их радиуса, взаимодействующие элементы колец «не замечают» их кривизны. Поэтому сила взаимодействия дается выражением (6.25), куда вместо надо подставить длину окружности колец Получаем тогда
Если близко один к другому расположены проводники с токами одного направления, то магнитные линии этих проводников, охватывающие оба проводника, обладая свойством продольного натяжения и стремясь сократиться, будут заставлять проводники притягиваться (рис. 90, а).
Магнитные линии двух проводников с токами разных направлений в пространстве между проводниками направлены в одну сторону. Магнитные линии, имеющие одинаковое направление, будут взаимно отталкиваться. Поэтому проводники с токами противоположного направления отталкиваются один от другого (рис. 90, б).
Рассмотрим взаимодействие двух параллельных проводников с токами, расположенными на расстоянии а один от другого. Пусть длина проводников равна l .
Магнитная индукция, созданная током I 1 на линии расположения второго проводника, равна
На второй проводник будет действовать электромагнитная сила
Магнитная индукция, созданная током I 2 на линии расположения первого проводника, будет равна
и на первый проводник действует электромагнитная сила
равная по величине силе F2
На электромеханическом взаимодействии проводников с током основан принцип действия электродинамических измерительных приборов; используемых в цепях постоянного и в особенности переменного тока.
Задачи для самостоятельного решения
1. Определить напряженность магнитного поля, создаваемого током 100 а, проходящим по длинному прямолинейному проводнику в точке, удаленной от проводника на 10 см .
2. Определить напряженность магнитного поля, создаваемого током 20 а, проходящим по кольцевому проводнику радиусом 5 см в точке, расположенной в центре витка.
3. Определить магнитный поток, проходящий в куске никеля, помещенного в однородное магнитное поле напряженностью 500 а/м. Площадь поперечного сечения куска никеля 25 ом 2 (относительная магнитная проницаемость никеля 300).
4. Прямолинейный проводник длиной 40 см помещен в равномерное магнитное поле под углом 30°С к направлению магнитного поля. По проводнику проходит § ток 50 А. Индукция поля равна 5000 ее. Определять силу, с которой проводник выталкивается из магнитного поля.
5. Определить силу, с которой два прямолинейных, параллельно расположенных в воздухе проводника отталкиваются один от другого. Длина проводников 2 м , расстояние между ними 20 см . Токи в проводниках по 10 А.
Контрольные вопросы
1. На каком опыте можно убедиться, что вокруг проводника с током образуется магнитное поле?
2. Каковы свойства магнитных линий?
3. Как определить направление магнитных линий?
4. Что называется соленоидом и каково его магнитное поле?
5. Как определить полюсы соленоида?
6. Что называется электромагнитом и как определить его полюсы?
7. Что такое гистерезис?
8. Каковы формы электромагнитов?
9. Как взаимодействуют между собой проводники, по которым течет электрический ток?
10.Что действует на проводник с током в магнитном поле?
11.Как определить направление силы, действующей на проводник с током в магнитном поле?
12.На каком принципе основана работа электродвигателей?
13.Какие тела называются ферромагнитными?