Кратные множители. Отделение неприводимых кратных множителей многочлена Выделить кратные множители многочлена

Определение 14.1 . Пусть F – поле. Многочлен f(x)=а 0 x n +a 1 x n - 1 +…+a n - 1 x+a n F [x ]называется нормированным или приведенным, если а 0 = 1.

Следствие 14.1.1 . Любой многочлен f положительной степени над полем F допускает представление в виде: f=a 0 ·p 1 (x) · … ·p r (x), где а 0 F # , p 1 ,…,p r - неприводимые над F нормированные многочлены.

Замечание 14.1. Пусть f(x) F[x], F - поле, degf(x)>0. Тогда по следствию 14.1.1 f(x)=a 0 · … ·p 1 (x)· … ·p r (x) (1),где а 0 F #, p 1 (x),…,p r (x) - неприводимые над F нормированные многочлены. Возможно, что среди многочленов p 1 ,…,p r есть равные. Перемножив равные множители в (1), получим равенство вида f(x)=а 0 ·p 1 k 1 · … ·p s k s .

Определение 14.2. Пусть f(x) F [x ], F - поле, deg f(x)>0. Представление многочлена f(x) в виде f(x)=a 0 · p 1 k 1 · … · p s k s (2 ), где а 0 F # , p 1, …,p s - попарно различные неприводимые над полем F нормированные многочлены, k i ≥1, i= ,называется каноническим представлением многочлена f , число k i называется кратностью множителя p i , i= . Если k i = 1, то p i называется простым неприводимым множителем многочлена f .

Следствие 14.2. Пусть f(x), g(x) F [x ], F - поле, f(x)=a 0 p 1 k 1 · … ·p s k s , g(x)=b 0 ·p 1 l 1 · … ·p s l s , где a 0 ,b 0 F # , p 1 ,…,p s – попарно различные неприводимые над F нормированные многочлены, k i 0,l i 0, i= . Тогда (f,g)=p 1 γ 1 ·p 2 γ 2 · … · p s γ s , где γ i =min {k i ,l i }, i= , [f,g ]= p 1 δ 1 ·p 2 δ 2 · … ·p s δ s , где δ i =max{k i ,l i }, i= .

Определение 14.3. Пусть f(х) F [x ], F - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, с - корень f(x). Число k называется кратностью корня c многочлена f(x), если

f (х-с) к, но f (х-с) k + 1 .

В этом случае пишут (x-c) k ┬ f(x) - данная запись означает, что (х-с) k - это наибольшая степень (х-с), которая делит f(х).

Замечание 14.2 . Если k = 1, то с называют простым корнем многочлена f(x) .

Пусть f(x) F [x ], F - поле. Поставим перед собой задачу - отделить все кратные неприводимые множители многочлена f(x). Для этого докажем следующую теорему. Многочлен f(x) F [x ], где F - поле, не имеет кратных неприводимых множителей кратности k > 1 (f,f ")= 1.

Cледствие 14.2.3. Кратные неприводимые множители многочлена f F [x ] - это в точности неприводимые множители многочлена d(x)=(f,f ").

Вывод: Таким образом, задача отделения кратных неприводимых множителей многочлена f(x) cводится к нахождению d=(f,f ") и разложению многочлена d на множители. В свою очередь, отделить кратные неприводимые множители многочлена d(x) можно с помощью нахождения d 1 =(d,d ") и т.д.

Существуют методы, позволяющие узнать, обладает ли данный многочлен кратными множителями, и в случае положительного ответа дающие возможность свести изучение этого многочлена к изучению многочленов, уже не содержащих кратных множителей.

Теорема . Если является - кратным неприводимым множителем многочлена, то он будет - кратным множителем производной этого многочлена. В частности, простой множитель многочлена. Не входит в разложение производной.

В самом деле, пусть

причем уже не делится на. Дифференцируя равенство (5.1), получаем:

Второе из слагаемых, стоящих в скобках, не делится на. Действительно, не делится по условию, имеет меньшую степень, т.е. также не делится на. С другой стороны, первое слагаемое суммы, стоящей в квадратных скобках, делиться на, т.е. множитель, на самом деле входит в с кратностью.

Из данной теоремы и из указанного выше способа разыскания наибольшего общего делителя двух многочленов следует, что если дано разложение многочлена на неприводимые множители:

то наибольший общий делитель многочлена и его производной обладает следующим разложением на неприводимые множители:

где множитель следует при заменять единицей. В частности, многочлен тогда и только тогда не содержит кратных множителей, если он взаимно прост со своей производной.

Выделение кратных множителей

Если дан многочлен с разложением (5.2) и если через мы обозначим наибольший общий делитель и его производной то (5.3) будет разложением для. Деля (5.2) на (5.3), мы получим:

т.е. получим многочлен, не содержащий кратных множителей, причем всякий неприводимый множитель для, имеющего вообще говоря, меньшую степень и, во всяком случае, содержащего лишь простые множители. Если эта задача для будет решена, то останется определить лишь кратность найденных неприводимых множителей в, что достигается применением алгоритма деления.

Усложняя изложенный сейчас метод, можно сразу перейти к рассмотрению нескольких многочленов без кратных множителей, причем, найдя неприводимые множители этих многочленов, мы не только найдем все неприводимые множители для, но и будем знать их кратность.

Пусть (5.2) будет разложением на неприводимые множители, причем наивысшая кратность множителей есть, . Обозначим через произведение всех однократных множителей многочлена, через - произведение всех двукратных множителей, но взятых лишь по одному разу, и т.д., наконец - произведение всех -кратных множителей, также взятых лишь по одному разу; если при этом для некоторого в отсутствуют -кратные множители, то полагаем. Тогда будет делиться на - тую степень многочлена и разложение (5.2) примет вид

а разложение (5.3) для перепишется в виде

обозначая через наибольший общий делитель многочлена и его производной и вообще через наибольший общий делитель многочленов и, таким путем получим:

……………………………

……………………………

И поэтому, наконец,

Таким образом, пользуясь лишь приемами, не требующими знания неприводимых множителей многочлена, а именно взятием производной, алгоритмом Евклида и алгоритмом деления, мы можем найти многочлены без кратных множителей, причем всякий неприводимый множитель многочлена, будет -кратным для.

Пример. Разложить многочлен на кратные множители.

Многочлен имеет разложение в виде.

Я составила программу для разложения многочлена на кратные множители.

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Grids;

TForm1 = class(TForm)

SGd1: TStringGrid;

Button1: TButton;

SGd2: TStringGrid;

SGd3: TStringGrid;

SGd4: TStringGrid;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

{ Private declarations }

{ Public declarations }

c,i,st1,st2,stiz,n_iz,n_nod,n,m,d_st,step,f:integer;

kof1,kof2,k1,k2,izubst,a,b,a2,b2,buf,est,fxst:array of integer;

izub,e,fx:array of integer;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var i,j,k_1,st3,l:integer;

k2_2,k1_1:array of integer;

st1:=StrToInt(Edit1.Text);

for i:=0 to st1 do begin

SGd4.Cells:=SGd1.Cells;

for i:=0 to st1 do begin

if SGd1.Cells<>"" then

kof1:=StrToInt(SGd1.Cells)

else MessageDlg("Внимание! Не введены значения коэффициентов!",mtWarning,,0);

for i:=st1 downto 0 do begin

if kof1[i]<>0 then begin

if(kof1<0)or(i=0) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

kof2:=kof1[i]*i;

//Edit2.Text:=s;

for i:=st2 downto 0 do begin

SGd2.Cells:=inttostr(kof2[i]);

if kof2[i]<>0 then begin

if(kof2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

for i:=0 to st1 do begin

kof1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

k1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);

for i:=0 to st2 do begin

kof2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

k2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);

while kof2<>0 do begin

//Edit4.Text:="";

if k1<>kof2 then begin

if (k1 mod kof2)=0 then begin

for j:=0 to st2 do

k2[j]:=(k1 div kof2)*kof2[j];

if k2<>1 then

for j:=0 to st1 do

k1[j]:=kof2*k1[j];

if k_1<>1 then begin

for j:=0 to st2 do

k2[j]:=k_1*kof2[j];

for i:=1 to st1 do begin

k1:=k1[i]-k2[i];

until st1

if k1<>0 then begin //Сокращение

for i:=1 to st1 do

if k1[i]<>0 then begin

if (k1[i] mod k1)<>0 then sokr:=false;

if sokr=true then

for i:=0 to st1 do

k1[i]:=k1[i] div k_1;

for i:=0 to st2 do //Замена многочленов

k2_2[i]:=kof2[i];

for i:=0 to st1 do

for i:=0 to 10 do begin

SGd3.Cells:="";

SGd1.Cells:="";

izub:=0;

izubst:=st2;

for i:=0 to st2 do begin

SGd1.Cells:=inttostr(k1[i]);

izub:=k1[i];

if k1[i]<>0 then begin

//Edit4.Text:=Edit4.Text+IntToStr(k1[i])+"x^"+IntToStr(st2-i);

if (k2_2>0)and(i

for i:=0 to st1 do begin

kof2[i]:=k1_1[i];

d_st:=StrToInt(Edit1.Text);

for i:=d_st+1 downto 1 do begin

kof1[i]:=StrToInt(SGd4.Cells);

//Нахождение Е

for n_nod:=1 to n_iz do begin

m:=izubst;

for i:=n+1 downto 1 do begin

for i:=m+1 downto 1 do begin

b[i]:=izub;

for i:=n+1 downto 1 do begin

if a[i]<>0 then begin

if(a<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

for i:=m+1 downto 1 do begin

if b[i]<>0 then begin

if(b<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

for j:=n+1 downto 1 do begin

for j:=m+1 downto 1 do begin

b2[j]:=buf[i]*b[j];

for j:=f downto 1 do begin

a2[j]:=a2[j]*b;

for j:=f downto 1 do begin

a2[j]:=a2[j]-b2;

for i:=f+1 downto 1 do begin

e:=buf[i];

if buf[i]<>0 then begin

if(buf<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit5.Text:=s;

for i:=n downto 0 do begin

if a2[i]<>0 then begin

if(a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

for n_nod:=1 to n_iz-1 do begin

m:=est;

for i:=n+1 downto 1 do begin

a[i]:=e;

for i:=m+1 downto 1 do begin

b[i]:=e;

if n_nod=n_iz-1 then fx:=b[i];

for i:=n+1 downto 1 do begin

if a[i]<>0 then begin if(a<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit3.Text:=s;

for i:=m+1 downto 1 do begin

if b[i]<>0 then begin if(b<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit4.Text:=s;

for j:=n+1 downto 1 do begin

for i:=step+1 downto 1 do begin

for j:=m+1 downto 1 do begin

b2[j]:=buf[i]*b[j];

for j:=f downto 1 do begin

a2[j]:=a2[j]*b;

for j:=f downto 1 do begin

a2[j]:=a2[j]-b2;

for i:=f+1 downto 1 do begin

fx:=buf[i];

if buf[i]<>0 then begin if(buf<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

//Edit5.Text:=s;

for i:=n downto 0 do begin

if a2[i]<>0 then begin if(a2<0)or(i=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

fxst:=est+1;

for i:=1 to n_iz do begin

for j:=fxst[i] downto 0 do begin

if fx<>0 then begin

if(fx<0)or(j=1) then begin

s:=s+d+"x^"+k+"+";

s:=s+")^"+IntToStr(i)+" ";

Edit6.Text:=Edit6.Text+s;

for i:=0 to 10 do begin

SGd1.Cells:=SGd4.Cells;

Определение 1. Если многочлен f(x) обращается в нуль при подстановке в него числа с вместо неизвестного, то с называется корнем многочлена f(x) (или уравнения f(x)=0).

Пример 1. f (x)=x 5 +2x 3 -3x.

Число 1 является корнем f(x), а число 2 не является корнем f(x), так как f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, а f(2)=2 5 +2∙2 3 -3∙2=42≠0.

Оказывается, корни многочлена связаны с его делителями.

Число с тогда и только тогда является корнем многочлена f(x), когда f(х) делится на х-с.

Определение 2. Если с - корень многочлена f(х), то f(х) делится на х-с. Тогда найдется натуральное число k, что f(х) делится на (х-с) k , но не делится на (х-с) k+1 . Такое число k называется кратностью корня с многочлена f(х), а сам корень с - k-кратным корнем этого многочлена. Если k=1, то корень с называют простым.

Для нахождения кратности k корня с многочлена f(х) применяют теорему:

Если число с является k-кратным корнем многочлена f(х), то при k>1 оно будет (k-1)-кратным корнем первой производной этого многочлена; если же k=1, то с не будет служить корнем для f "(х).

Следствие. k-кратный корень многочлена f(х) впервые не будет служить корнем для k-й производной.

Пример 2. Убедиться, что число 2 является корнем многочлена f(х)=х 4 -4х 3 +16х-16. Определить его кратность.

Решение. Число 2 является корнем f(х), так как 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.

f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;

f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;

f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.

Число 2 впервые не является корнем f"""(х), поэтому число 2 является трехкратным корнем многочлена f(х).

Пусть дан многочлен f(х) степени n≥1 со старшим коэффициентом 1: f(х)=х n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n и α 1 ,...,α n – его корни. Корни многочлена и его коэффициенты связаны формулами, которые называют формулами Виета:

a 1 = -(α 1 +...+α n),

a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,

a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),

...........................

a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .

Формулы Виета облегчают написание многочлена по заданным его корням.

Пример 3. Найти многочлен, имеющий простые корни 2; 3 и двукратный корень –1.

Решение. Найдем коэффициенты многочлена:

а 1 =– (2+3–1–1)=-3,

а 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

а 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7,

а 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.

Искомый многочлен есть х 4 –3х 3 –3х 2 –7х+6.

Определение 3. Многочлен f(х)ÌР[x] степени n приводим над полем Р, если он может быть разложен в произведение двух множителей φ(х) и ψ(х) из Р[x], степени которых меньше n:

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

f(x)ÎP[x] называют неприводимым над полем Р, если в любом его разложении на множители из Р[x] один из множителей имеет степень 0, другой – степень n.

Имеют место следующие теоремы:

Всякий многочлен ненулевой степени f(х) из кольца Р[x] разлагается в произведение неприводимых множителей из Р[x] однозначно с точностью до множителей нулевой степени.

Отсюда легко следует, что для всякого многочлена f(х)ÎР[x] степени n, n≥1, существует следующее разложение на неприводимые множители:

где - неприводимые многочлены из P[x] со старшими коэффициентами, равными единице. Такое разложение для многочлена однозначно.

Неприводимые множители, входящие в такое разложение, не обязаны быть все различными. Если неприводимый многочлен встречается ровно k раз в разложении (2), то он называется k-кратным множителем многочлена f(х).Если множитель Р(х) входит в это разложение только один раз, то он называется простым множителем для f(х).

Если в разложении (2) одинаковые множители собрать вместе, то это разложение можно записать в следующем виде:

, (3)

где множители Р 1 (х),…,Р r (x) уже все различные. Показатели k 1 ,…,k r здесь равны кратностям соответствующих множителей. Разложение (3) можно записать в виде:

где F 1 (x) – произведение всех простых неприводимых множителей, - произведение всех двукратных неприводимых множителей и т.д. в разложении (3). Если в разложении (3) нет m-кратных множителей, то множитель считается равным единице.

Многочлены F 1 (x),…,F s (x) для многочлена f(x) над числовыми полями можно найти, пользуясь понятием производной, алгоритмом Евклида из формулированной ранее теоремы (о связи с производной) следующим образом:

Поэтому получаем

Таким образом, для многочлена f(x) мы можем найти множители .

Если для многочлена f(x) надо найти множители F 1 (x),…,F s (x) его разложения (4), то говорят, что надо отделить его кратные множители.

Пример 4. Отделить кратные множители f(x)=х 5 -х 4 -5х 3 +х 2 +8х+4.

Решение. Находим НОД f(x) и f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8.

d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.

Теперь находим d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 " (x)).

Выражаем v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x).

(производим деление).

v 1 (x)=x 2 -x-2.

(производим деление).

Поэтому получаем F 3 (x)=v 3 (x)=x+1,

Таким образом, многочлен f(x) имеет разложение f(x)=(х-2) 2 (х+1) 3 . В разложении (3) многочлена f(x) простых множителей нет, двукратный множитель х-2 и трехкратный множитель х+1.

Замечание 1. Этот способ ничего не дает в том случае, если все неприводимые множители многочлена f(x) простые (получим тождество f(x)=F 1 (x)).

Замечание 2. Этот способ позволяет определить кратности всех корней произвольного многочлена.

ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Убедиться, что многочлен 3х 4 -5х 3 +3х 2 +4х-2 имеет корень 1+i. Найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители х 5 +5х 4 -5х 3 -45х 2 +108.

3. Найти многочлен наименьшей степени, корнями которого являются: 5, i, i+3.

Вариант 2

1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =2 для многочлена f(x)=x 5 -7х 4 +12х 3 +16х 2 -64х+48? Найти остальные его корни.

2. Отделить кратные множители х 5 -6х 4 +16х 3 -24х 2 +20х-8.

3. Определить соотношение между коэффициентами уравнения x 3 +px+q=0, если его корни х 1 , х 2 , х 3 , удовлетворяют соотношению .

Вариант 3

1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =4 для многочлена х 4 -7х 3 +9х 2 +8х+16? Найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители х 6 -2х 5 -х 4 -2х 3 +5х 2 +4х+4.

3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения равнялся удвоенному другому: x 3 -7x+λ=0.

Вариант 4

1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х 4 -6х 3 +10х 2 -6х+9. Определить его кратность и найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена х 5 +6х 4 +13х 3 +14х 2 +12х+8.

3. Сумма двух корней уравнения 2х 3 -х 2 -7х+λ=0 равна 1. Найти λ.

Вариант 5

1. Показать, что х 0 =-2 является корнем многочлена х 4 +х 3 -18х 2 -52х-40. Определить его кратность и найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена f(x)=х 5 -5х 4 -5х 3 +45х 2 -108.

3. Найти многочлен наименьшей степени по данным корням 1, 2, 3, 1+i.

Вариант 6

1. Найти условие, при котором многочлен х 5 +ах 4 +b имеет двойной корень, отличный от нуля.

2. Отделить кратные множители многочлена х 6 +15х 4 -8х 3 +51х 2 -72х+27.

3. Многочлен а 0 х n +a 1 x n -1 +…+a n имеет корни х 1 , х 2 ,…, х n . Какие корни имеют многочлены: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;

2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?

Вариант 7

1. Показать, что х=-2 является корнем многочлена 4х 5 +24х 4 +47х 3 +26х 2 -12х-8. Найти кратность корня и найти остальные корни многочлена.

3. Найти сумму квадратов корней уравнения 2х 3 -2х 2 -4х-1.

Вариант 8

1. Доказать, что х=1 является корнем многочлена х 6 -х 5 -4х 4 +6х 3 +х 2 -5х+2. Определить его кратность. Найти остальные корни многочлена.

3. Один из корней многочлена в два раза больше другого. Найти корни многочлена f(х)=х 3 -7х 2 +14х+λ.

Вариант 9

1. Найти условие, при котором многочлен х 5 +10ах 3 +5bх+с имеет тройной корень, отличный от нуля.

2. Отделить кратные множители многочлена х 7 -3х 6 +5х 5 -7х 4 +7х 3 -5х 2 +3х-1.

3. Решить уравнение х 3 -6х 2 +qх+2=0, если известно, что его корни образуют арифметическую прогрессию.

Вариант 10

1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х 4 -12х 3 +53х 2 -102х+72. Определить кратность корня, найти другие корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 6 -4х 4 -16х 2 +16.

3. Найти многочлен с действительными коэффициентами наименьшей степени по данным корням 1, 2+i, 3.

Вариант 11

1. Показать, что х=2 является корнем многочлена х 5 -6х 4 +13х 3 -14х 2 +12х-8. Найти его кратность и остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена х 4 +х 3 -3х 2 -5х-2.

3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3.

Вариант 12

1. Показать, что х=-1 является корнем многочлена х 4 +х 3 -3х 2 -5х-2. Найти его кратность и остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 5 -3х 4 +4х 3 -4х 2 +3х-1.

3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2.

Вариант 13

1. Чему равен показатель кратности корня х 0 =4 для многочлена х 4 -7х 3 +9х 2 +8х+16? Найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х 6 -2х 5 -х 4 -2х 3 +5х 2 +4х+4.

3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения х 3 -7х+λ=0 равнялся удвоенному другому.