Принимая во внимание временные ряды данных X т , модель ARMA является инструментом для понимания и, возможно, предсказывать будущие значения в этой серии. AR часть включает в себя регрессе переменного на своем собственном лаге (т.е. прошлым) значении. М.А. часть включает в себя моделирование термин ошибки в виде линейной комбинации терминов ошибок, возникающих одновременно и в различные моменты времени в прошлом. Модель обычно называют АРМА (р , д модели) , где р имеет порядок AR части и д является порядок МА части (как определено ниже).

Модели ARMA может быть оценена с помощью метода Бокса-Дженкинса .

авторегрессии модель

Обозначения АР (р ) относится к модели авторегрессии порядка р . АР (р модель) записывается

Статистические пакеты реализации модели ARMAX за счет использования «экзогенные» или «независимых» переменных. Необходимо соблюдать осторожность при интерпретации результатов этих пакетов, так как оцениваемые параметры обычно (например, в и Gretl) относятся к регрессии:

где т т включает в себя все экзогенных (или независимых переменных):

13 сентября Ассоциация развития стального строительства пригласила журналистов и экспертов, чтобы обсудить тему «Стальное строительство: есть ли будущее?». По итогам трехчасовой дискуссии можно констатировать: будущее есть. Но трудное. Источник: http://ancb.ru

В мероприятии приняли участие генеральный директор АРСС Александр Данилов, генеральный директор ЗАО «Ферро-Строй» Григорий Ваулин, директор по маркетингу Astron Buildigs в России и СНГ Петр Чайрев, директор Thornton Tomasetti Леонид Зборовски и другие.

АРСС существует с 2014 г. и объединяет в своих рядах крупнейшие российские металлургические компании – ЕВРАЗ, Мечел, ОМК, Северсталь, НЛМК, научно-исследовательские и проектные институты, архитектурные бюро, образовательные учреждения и строительные организации. Всего сегодня насчитывается 78 участников.

Металл как способ сэкономить на строительстве

Александр Данилов рассказал о строительстве двух знаковых для металлургов зданий – Эмпайр Стейт Билдинг в США и Московского государственного университета им. Ломоносова в России. Первое было построено в 1931 г. всего за 410 дней, второе – более сложное – в 1953 г. в рекордно короткий для советского времени срок – за 5 лет. Оба здания строились в достаточно сложное экономическое время для каждой страны: в США – это период после великой депрессии, а в СССР – послевоенное восстановление. И даже тогда были найдены ресурсы для новых и прогрессивных технологий, связанных с металлокаркасами. Именно они позволили развивать строительство на новом этапе, тем самым увеличив количество рабочих мест, подняв качество на новую высоту и ускорив строительство. Но, к сожалению, в СССР в то время было принято правительственное решение, запрещающее использование стали во всех проектах, кроме промышленных, что существенно затормозило развитие стального направления.

Сегодня доля многоэтажных зданий на стальном каркасе в мире – более 60%, а в ведущих странах достигает даже 80%, в то время как в России с большой натяжкой всего 17%. По данным информационного агентства INFOLine, в 2017 г. объем производства металлопродукции для строительной отрасли составил около 3,5 млн т, что на 4% выше уровня 2016 г. На долю потребления российских стальных конструкций пришлось 1,9 млн т. Положительная динамика сохраняется и в текущем году, позволяя дать прогноз в 2 млн т стальных конструкций. Причем за 1 полугодие 2018 г. количество заключенных договоров строительного подряда в РФ по сравнению с аналогичным периодом 2017 г. возросло на 6,5% - до 2,85 трлн руб.

По словам Александра Данилова, востребованность стального строительства растет, появляется все больше реализованных проектов. Особенно эта технология интересна в таких сегментах, как объекты инфраструктуры: детские сады, парковки, объекты спортивного назначения, и уникальное высотное строительство – Лахта Центр в Санкт-Петербурге, Ахмад Тауэр в Грозном.

Если же говорить о преимуществах строительства с применением металлокаркаса, то в качестве примера генеральный директор АРСС привел объект в Новосибирске – коробка 10-этажного дома площадью 23 тыс кв. м была построена в кратчайшие сроки – 4 месяца, за это время обычное монолитное строительство доходило только до уровня 4-5 этажа, а панельный дом достигал 7-8 этажа. Скорость, практически любые архитектурные формы, строительство в любых климатических зонах, новое качество строительства, новые допуски и подготовка на заводах металлоконструкций – вот основные преимущества стали. Плюс ко всему – высокий уровень экологичности строительства и соответствие стандартам.

Главным примером использования металлоконструкций, несомненно, считаются башни Москва-сити, две из которых построены не только по новейшим технологиям, но и с использованием металлокаркасов. Кроме того – это здание МГУ и сталинские высотки, торговый дом Zinger в Санкт-Петербурге, возведенный в 1904 г. и ставший первой в России постройкой на металлокаркасе. Он был бы и выше, но строения в центре Санкт-Петербурга не могли превышать 23,5 м до карниза.

О преимуществах стальных конструкций говорил и Петр Чайрев : это быстрое строительство в любом месте, в любое время, вне зависимости от климатических условий, что сказывается и на качестве, и на стоимости.

Обычно при проектировании здания из металла закладывают шаг несущей конструкции 6 м. Но, как показала практика, это не самый эффективный подход. Если сделать это же самое здание с шагом 10 м, то получится меньше колонн и больше свободного места, на? меньше земляных и на 36% меньше крановых работ – а это быстрее, дешевле и удобнее. Экономия на стоимости комплекта стройматериалов достигает 18%.

Кроме того, сегодня на смену традиционной металлоконструкции – так называемой «ферме», которая при видимой воздушности занимает много места, пришло современное решение – рамная конструкция. Это сварные рамы переменного сечения, они существенно ниже по высоте, за счет чего здание требует меньше объема для отопления и вентиляции – до 17%. «Современные стальные конструкции позволяют экономить как на стадии строительства, так и в процессе эксплуатации здания», - подчеркнул Петр Чайрев.

Для современных авто – и паркинги современные
В своем выступлении Григорий Ваулин затронул животрепещущую особенно для крупных городов тему паркингов. По его словам, раньше девелопер мог построить дома и уйти с площадки, но сейчас паркинг нужен уже на этапе согласования площадки, и дом без него не введут. При этом есть жесткие нормативы, сколько должно быть машиномест на метр вводимого жилья – раньше это было 1 место на 1 квартиру, но сейчас Москва в связи с реновацией норматив изменила – 1 место на 2,5 квартиры. «Для девелопера это большая головная боль, т.к. паркинг – это нагрузка, с которой не зарабатываются деньги», - подчеркнул Ваулин. Всего в реновации участвует 350 тыс. квартир, т. е. за 7 лет необходимо ввести 140 тыс. машиномест – а это 200 паркингов.

Существует всего 3 вида паркинга. Подземный – дорогой, в особенности в Москве или в Санкт-Петербурге, где стоимость 1 машиноместа достигает 1,5 млн руб. И надземный, в простонародье «этажерка» – бетонный и металлический. Цена бетонной конструкции около 500 млн руб., металлической – 450 млн руб. Однако паркинг с использованием металлоконструкций позволяет строить машиноместа площадью 26 кв. м, в отличие от бетонного – 32 кв. м, другими словами, на одинаковой территории можно разместить большее количество машин и при более высокой скорости строительства. По словам Григория Ваулина, сегодня это особенно актуально в связи с введением эскроу-счетов при строительстве жилья. А чем быстрее девелопер сможет построить паркинг, тем быстрее ему станут доступны средства дольщиков.

Кроме того, генеральный директор ЗАО «Ферро-строй» объявил, что его компания выиграла тендер на строительство первой в России школы из металла в Коломне. Проектирование закончат до конца текущего года, и в 2020 г. школа будет построена и введена.

Металл и бетон - союзники, а не соперники
Леонид Зборовски в свою очередь рассказал о критериях выбора строительства из того или иного материала – это зависит от местоположения объекта и его предназначения. Если здание коммерческое, то стальные конструкции более гибкие с точки зрения неподвижности. К примеру, в здании Мирового финансового центра в Нью-Йорке с 1989 г. при каждой смене арендаторов, которых уже насчитывается 6, реконструировались этажи – что в принципе невозможно сделать с бетонным зданием. Усиление этажей, открытие дополнительных проемов для лифтов – этим сталь очень популярна для коммерческих зданий.

Сегодня часто используются композитные конструкции. Под действием ветровых нагрузок высотным зданиям нужна жесткость железобетона, в то время как в сейсмических районах наоборот необходима гибкость стальных конструкций. К примеру, Башня Евразия в Москва-сити, здание Шанхай Тауэр в Китае, башня Куала-Лумпур в Малайзии – здесь центральное ядро сделано из бетона, все остальные конструкции – из металла. Кроме того, в случае композитных сооружений бетон выполняет функцию огнезащиты.

Конечно же, в длиннопролетных конструкциях металл выигрывает у железобетона. К примеру, в Сколково был построен переход длиной 375 м, где основные конструкции сделаны из металла. Также в Сколково проектируется театр для Цирка дю Солей – все перекрытия будут металлические – он легче, меньше и дешевле. А связь между железобетонными перекрытиями и стальными балками через стад-болты позволяет уменьшать объем и расход металла.

Здания – есть, нормативов – нет!
В начале 2000-х годов в России не было нормативной базы для проектирования зданий из металлоконструкций, хотя стальные конструкции были развиты и существовали СНИПы, но требования, при которых можно было бы эффективно построить здания, отсутствовали. Поэтому для Башни на Набережной, Башни Федерация и Башни Евразия в Москва-Сити было принято решение создавать свои собственные специальные технические условия. Подобный вариант требует согласований с Министерством строительства и институтами, и это затягивает процесс проектирования, поэтому многие застройщики не решаются на стальное строительство, несмотря на очевидные преимущества. «Основная задача России – создание хорошей нормативной базы. Для высотных стальных зданий та нормативная база, которая уже существует, не годится, она делает их дорогими», - подчеркнул Леонид Зборовски.

Например, требуют пересмотра требования к акселерации верхних этажей (это раскачивание здания под влиянием ветра), когда во время определенного ускорения раскачивания люди чувствуют себя не комфортно. В России очень жесткие нормы ускорения – 8 милли-g, в то время как в США, Китае, Индонезии доходит до 15 милли-g. В России это означает более жесткое и дорогое здание. И если железобетонными конструкциями жесткость может быть достигнута проще, то стальное здание будет стоить дороже.

Второй вопрос – огнезащита конструкций, поскольку стальные конструкции под действием огня теряют свои текстурные свойства, а при 500 градусах происходят невозвращаемые изменения свойств металла. В России огнезащита стальных конструкций должна выдерживать 4 часа до достижения сталью 500 градусов, в то время как в США – это 2 часа, а связано это с тем, как быстро пожарная команда может достичь места пожара и потушить его. Получается, в России огнезащитное покрытие должно быть толще, а значит дороже, причем в России чаще всего используются иностранные материалы.
Леонид Зборовски считает, что если эти нормы будут пересмотрены, то стоимость стального строительства будет снижена.

В целом основные усилия АРСС в нормотворчестве направлены на область легких стальных тонкостенных конструкций на основе оцинкованного проката толщиной до 4 мм, и всех вопросов, касающихся огнестойкости стальных конструкций. 10 сентября был презентован ряд разработанных документов, кроме того, продолжается разработка готовых технических решений по повышению огнестойкости. Также Ассоциация планирует переработать документы по защите металла от коррозии. Поэтому 2019 год будет посвящен снятию проблем и ограничений по стальным конструкциям. При этом все разрабатываемые документы подтверждены исследованиями, к примеру, стандарты по огнестойкости подтверждены испытаниями МЧС России.

В планах Ассоциации – создать стандарт качества АРСС, которому должны будут соответствовать все компании, участвующие в процессе от производства до монтажа конечного продукта.
Что касается будущего для стального строительства, его Ассоциация видит и в сегменте малоэтажного быстровозводимого жилья. К примеру, дочерняя компания фирмы «Knauf» – ООО «Новый дом» построила в Красногорске коттедж с использованием металлоконструкций. Он экологичен, приспособлен к российским климатическим условиям, а самое главное, его собрали за 48 часов, в нем уже покрашены стены, вмонтированы кухня и спальня.

В Китае разработали целую серию домов невысотного строительства – они сборные, полностью сделанные на заводе, конструкции соединяются «кликами», и в них уже на заводе вмонтированы все коммуникации, благодаря чему здание можно поставить за считанные часы.

Главное преимущество стальных конструкций – это доступность доставки в удаленные регионы, это и сделало популярным малоэтажное строительство из стали. В России на территории Вологодской, Архангельской и других областей уже много малоэтажных стальных домов.

Кроме того, ожидается большой бум строительства небольших городских складов, обеспечивающих логистику производства, которые точно будут из стали, ведь основное потребление металлоконструкций наблюдается при строительстве заводов и промышленных объектов.

Также в ближайшее время порядка 512 объектов планируется построить за полярным кругом для российской армии, и Министерство обороны может выступить драйвером инновационных технологий, которые в дальнейшем будут с успехом применяться.

В России сейчас производится сталь на уровне зарубежной, прочностью до 445 МПа, которая покрывает до 100% всего строительства в стране. Конечно, есть отдельные здания, которые из-за ветровых или сейсмических нагрузок требуют сталь большей прочности. К примеру, для колонн Ахмад Тауэр используется зарубежная сталь, прочностью 690 МПа. Северсталь выпускает сталь марки 390, которая подходит для высотных гибких конструкций. И сегодня практически все здания высотой до 220 м возможно построить из российской стали. Раньше в России не было достаточного выбора материала, сейчас же благодаря ЕВРАЗу рассматривается возможность изменения выбранных сечений башни Ахмад Тауэр на российский сортамент.

«Стальные или композитные решения – это будущее для нашей страны», - закончил мероприятие Александр Данилов.

Галина Крупен

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

Процесс скользящего среднего, MA(q)

008. Прогнозирование временных рядов - К.В. Воронцов

Субтитры

Модель авторегрессии и скользящего среднего обобщает собой, соответственно, модель авторегрессии и модель процесса скользящего среднего. То есть это - стационарный процесс вида yt = константа + b1yt − 1 + b2y2 − 2 +... +, p прошлых значений игрека используется, + εt + a1εt − 1 + a2 на εt − 2 ,..., всего q предыдущих значений ε. И мы предполагаем, что сумма p + q минимально возможна, то есть эта запись самая короткая. Процессы авторегрессии скользящего среднего, сокращенно обозначается: ARMA (p, q). Первое, параметр p - это количество лагов по AR-части, по y, и MA - это количество лагов по... q - это количество лагов по части скользящего среднего. Что означает фраза: сумма p + q минимальна возможна? Оказывается, один и тот же процесс я могу записать несколькими уравнениями. Ну, например, если yt - это просто белый шум, то есть yt = εt, то я возьму из сегодняшнего y вычту вчерашний, и у меня получится, что yt − yt −1 = εt − εt − 1. И, соответственно, получается, что у меня две формы записи по сути одного и того же процесса. И, естественно, мы выбираем самую кратчайшую, в самой кратчайшей форме записи yt = εt. Это процесс ARMA (0, 0), у него нет предыдущих значений y уравнений и нет предыдущих значений ε уравнений. Процессы ARMA - это в каком-то смысле все, что нам нужно знать про стационарные процессы. Есть теорема, которая говорит о том, что любой стационарный процесс можно представить в виде AR-бесконечность. То есть AR-процесс с бесконечным количеством предыдущих лагов. А ARMA- процесс, можно выбрать количество лагов p,q достаточно большим и выбрать коэффициенты перед игреками прошлыми и перед эпсилонами прошлыми так, чтоб приблизить с высокой степенью точности любой AR (∞) процесс. Соответственно, получается на практике, что ARMA (p, q) процессов достаточна, чтобы моделировать любой стационарный процесс. Итого, про ARMA-процессы мы получаем следующие выводы: что коэффициенты у них не интерпретируются, интерпретация коэффициентов отдельных невозможна, однако они достаточно хорошо прогнозируют, и именно для этого мы их и будем использовать. Чтобы прогнозировать, надо сначала оценить модель. Соответственно, у нас на входе будет T наблюдений: y1, y2,..., yT. И для оценки неизвестных коэффициентов мы будем использовать метод максимального правдоподобия. В методе максимального правдоподобия необходимы более конкретные предпосылки на закон распределения случайной величины ε. Стандартно предполагается, что ε независимы и имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией ς-квадрат. Также мы предполагаем стационарность процесса yt и выполнение уравнения ARMA-процесса на yt. В результате применения метода максимального правдоподобия, мы получаем вектор оценок неизвестных коэффициентов. Неизвестными у нас являются показателями: а1, а2, а3,..., аq, соответственно, мы получаем а1 с крышечкой, а2 с крышечкой,..., аq с крышечкой. И также неизвестными показателями являются коэффициенты b1, b2,..., bp, мы получаем их оценки, то есть bi с крышечками, и также неизвестными являются показатели дисперсии белого шума ε, ς-квадрат, мы получаем его оценку. Помимо оценок сами коэффициентов, метод максимального правдоподобия дает нам также оценку ковариационной матрицы. VAR с крышкой, θ с скрышкой. И, соответственно, имея оценки коэффициентов и оценку их ковариационной матрицы, мы можем строить доверительные интервалы и проверять гипотезы. К сожалению, только асимптотически, то есть только при больших N. Здесь результатов для малых выборок нет даже в предположении нормальности отдельных εt, но тем не менее при больших выборках мы можем утверждать, что оценка коэффициента aj с крышкой минус настоящая aj, делить на стандартную ошибку aj с крышкой, стремится к нормальному стандартному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией, равной 1. Это нам позволяет проверять гипотезы и строить доверительные интервалы.

Определение

Моделью ARMA(p , q ), где p и q - целые числа, задающие порядок модели, называется следующий процесс генерации временного ряда { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} :

где c {\displaystyle c} - константа, { ε t } {\displaystyle \{\varepsilon _{t}\}} - белый шум , то есть последовательность независимых и одинаково распределённых случайных величин (как правило, нормальных), с нулевым средним, а α 1 , … , α p {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{p}} и β 1 , … , β q {\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{q}} - действительные числа, авторегрессионные коэффициенты и коэффициенты скользящего среднего, соответственно.

Такая модель может интерпретироваться как линейная модель множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают прошлые значения самой зависимой переменной, а в качестве регрессионного остатка - скользящие средние из элементов белого шума . ARMA-процессы имеют более сложную структуру по сравнению со схожими по поведению AR- или MA-процессами в чистом виде, но при этом ARMA-процессы характеризуются меньшим количеством параметров, что является одним из их преимуществ .

Операторное представление. Стационарность и единичные корни

Если ввести в рассмотрение лаговый оператор L: L x t = x t − 1 {\displaystyle L:~Lx_{t}=x_{t-1}} , тогда ARMA-модель можно записать следующим образом

Введя сокращенные обозначения для полиномов левой и правой частей окончательно можно записать

Для того, чтобы процесс был стационарным, необходимо, чтобы корни характеристического многочлена авторегрессионной части α (z) {\displaystyle \alpha (z)} лежали вне единичного круга в комплексной плоскости (были по модулю строго больше единицы). Стационарный ARMA-процесс можно представить как бесконечный MA-процесс

Например, процесс ARMA(1,0)=AR(1) можно представить как MA-процесс бесконечного порядка с коэффициентами убывающей геометрической прогрессии:

Таким образом, ARMA-процессы можно считать MA-процессами бесконечного порядка с определенными ограничениями на структуру коэффициентов. Малым количеством параметров они позволяют описать процессы достаточно сложной структуры. Все стационарные процессы можно сколь угодно приблизить ARMA-моделью некоторого порядка с помощью существенно меньшего числа параметров, нежели только при использовании MA-моделей.

Нестационарные (интегрированные) ARMA

При наличии единичных корней авторегрессионного полинома процесс является нестационарным. Корни меньше единицы на практике не рассматриваются, поскольку это процессы взрывного характера. Соответственно, для проверки стационарности временных рядов один из базовых тестов - тесты на единичные корни . Если тесты подтверждают наличие единичного корня, то анализируются разности исходного временного ряда и для стационарного процесса разностей некоторого порядка (обычно достаточно первого порядка, иногда второго) строится ARMA-модель. Такие модели называются ARIMA-моделями (интегрированный ARMA) или моделями Бокса-Дженкинса. Модель ARIMA(p, d,q), где d-порядок интегрирования (порядок разностей исходного временного ряда), p и q - порядок AR и MA - частей ARMA-процесса разностей d-го порядка, можно записать в следующей операторной форме

Процесс ARIMA(p, d,q) эквивалентен процессу ARMA(p+d, q) с d единичными корнями.

Построение модели

Для построения модели ARMA по серии наблюдений необходимо определить порядок модели (числа p и q ), а затем и сами коэффициенты. Для определения порядка модели может применяться исследование таких характеристик временного ряда, как его автокорреляционная функция и частная автокорреляционная функция. Для определения коэффициентов применяются такие методы, как метод наименьших квадратов и метод максимального правдоподобия .

ARMAX-модели

В классические ARMA-модели можно добавить некоторые экзогенные факторы x. Причем в общем случае в модели участвуют не только текущие значения этих факторов, но и лаговые значения. Такие модели принято обозначать ARMAX(p, q,k), где k-количество лагов экзогенных факторов. В операторной форме такие модели можно записать следующим образом (один экзогенный фактор)

A (L) y t = c + b (L) ε t + d (L) x t {\displaystyle a(L)y_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t}+d(L)x_{t}}

где a(L), b(L), d(L) - полиномы порядка соответственно p, q,k от лагового оператора.

Следует отметить, что такие модели можно интерпретировать иначе - как модели ADL(p, k) со случайными ошибками MA(q).

И модель скользящего среднего (MA).

Определение

Моделью ARMA(p , q ), где p и q - целые числа, задающие порядок модели, называется следующий процесс генерации временного ряда { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} :

где c {\displaystyle c} - константа, { ε t } {\displaystyle \{\varepsilon _{t}\}} - белый шум , то есть последовательность независимых и одинаково распределённых случайных величин (как правило, нормальных), с нулевым средним, а α 1 , … , α p {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{p}} и β 1 , … , β q {\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{q}} - действительные числа, авторегрессионные коэффициенты и коэффициенты скользящего среднего, соответственно.

Такая модель может интерпретироваться как линейная модель множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают прошлые значения самой зависимой переменной, а в качестве регрессионного остатка - скользящие средние из элементов белого шума . ARMA-процессы имеют более сложную структуру по сравнению со схожими по поведению AR- или MA-процессами в чистом виде, но при этом ARMA-процессы характеризуются меньшим количеством параметров, что является одним из их преимуществ .

Операторное представление. Стационарность и единичные корни

Если ввести в рассмотрение лаговый оператор L: L x t = x t − 1 {\displaystyle L:~Lx_{t}=x_{t-1}} , тогда ARMA-модель можно записать следующим образом

Введя сокращенные обозначения для полиномов левой и правой частей окончательно можно записать:

Для того, чтобы процесс был стационарным, необходимо, чтобы корни характеристического многочлена авторегрессионной части α (z) {\displaystyle \alpha (z)} лежали вне единичного круга в комплексной плоскости (были по модулю строго больше единицы). Стационарный ARMA-процесс можно представить как бесконечный MA-процесс:

Например, процесс ARMA(1,0)=AR(1) можно представить как MA-процесс бесконечного порядка с коэффициентами убывающей геометрической прогрессии:

Таким образом, ARMA-процессы можно считать MA-процессами бесконечного порядка с определенными ограничениями на структуру коэффициентов. Малым количеством параметров они позволяют описать процессы достаточно сложной структуры. Все стационарные процессы можно сколь угодно приблизить ARMA-моделью некоторого порядка с помощью существенно меньшего числа параметров, нежели только при использовании MA-моделей.

Нестационарные (интегрированные) ARMA

При наличии единичных корней авторегрессионного полинома процесс является нестационарным. Корни меньше единицы на практике не рассматриваются, поскольку это процессы взрывного характера. Соответственно, для проверки стационарности временных рядов один из базовых тестов - тесты на единичные корни . Если тесты подтверждают наличие единичного корня, то анализируются разности исходного временного ряда и для стационарного процесса разностей некоторого порядка (обычно достаточно первого порядка, иногда второго) строится ARMA-модель. Такие модели называются ARIMA-моделями (интегрированный ARMA) или моделями Бокса-Дженкинса. Модель ARIMA(p, d, q), где d-порядок интегрирования (порядок разностей исходного временного ряда), p и q - порядок AR и MA - частей ARMA-процесса разностей d-го порядка, можно записать в следующей операторной форме

Использование моделей авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (моделей ARIMA)

Модели стационарных временных рядов

Важное место в аналитических исследованиях отводится моделям стационарных временных рядов. Это объясняется тем, что с помощью определенных преобразований (взятия разности, выделения тренда и др.) многие временные ряды могут быть приведены к стационарному виду, кроме того, получаемые после моделирования остатки зачастую содержат статистические зависимости, которые можно описать с помощью этих моделей.

Существуют понятия стационарности в узком и широком смысле .

Ряд называется строго стационарным (strictly stationary ) или стационарным в узком смысле , если совместное распределение т наблюдений такое же, как и для гп наблюдений , при любых

Из этого определения следует, что свойства строго стационарного временного ряда не зависят от начала отсчета времени.

В практических исследованиях чаще опираются на понятие слабой стационарности (weak stationary ), или стационарности в широком смысле, которое связано с требованиями того, чтобы временной ряд имел среднее, дисперсию и ковариацию, не зависящие от момента времени t

Таким образом, автоковариация у(т) зависит лишь от величины лага т, но не зависит от t.

С понятием автоковариации тесно связано понятие автокорреляционной функции, АКФ (autocorrelation function, ACF). Значения коэффициентов АКФ характеризуют степень статистической взаимосвязи между уровнями временного ряда, разделенными т тактами времени, и определяются следующим образом:

Очевидно, что . При анализе поведения автокорреляционной функции рассматривают лишь положительные значения лагов, так как из условия стационарности вытекает, что .

В практических исследованиях выборочные значения коэффициентов автокорреляции оцениваются на основе имеющихся уровней временного ряда :

где п – длина временного ряда – временной сдвиг; .

График, отражающий изменение коэффициентов автокорреляции при различных значениях лага, называют коррелограммой (correlograni).

Для стационарного временного ряда с увеличением лагазначения коэффициентов автокорреляции должны демонстрировать быстрое монотонное убывание по абсолютной величине.

На рис. 8.19 показан пример автокорреляционной функции, рассчитанной для временного ряда ежемесячной динамики добычи нефти.

Рис. 8.19.

Предварительный графический анализ исходного ряда указывал на наличие тренда и периодичности, что согласуется с рис. 8.19. Значения коэффициентов автокорреляции не демонстрируют быстрого затухания, что свидетельствует о нестационарном характере временного ряда, при этом виден всплеск на 12-м сезонном лаге.

Наряду с АКФ при анализе временных рядов широко используется частная автокорреляционная функция. ЧАКФ (partial autocorrelation function, PACF), коэффициенты которой измеряют корреляцию между уровнями ряда, разделенными т временными тактами, при исключении влияния на эту взаимосвязь всех промежуточных уровней. В аналитических пакетах есть возможность построения наряду с графиком ЛКФ графика ЧЛКФ, на котором показано изменение выборочных оценок коэффициентов частной автокорреляции в зависимости от значений лагов. Очевидно, что для лагакоэффициенты автокорреляции и частной автокорреляции совпадут, но при последующих лагах появятся различия в их значениях.

Примером стационарности служит белый шум (white noise ), свойства которого могут быть представлены в виде

где

Следовательно, при , при этом постоянная дисперсия не зависит от

Примером белого шума могут служить остатки в классической линейной регрессионной модели, которые в случае их нормального распределения образуют гауссовский белый шум.

На рис. 8.20 показан пример временного ряда, соответствующего реализации гауссовского процесса белого шума. Следует обратить внимание на нерегулярный характер колебаний уровней этого временного ряда около нуля, а также на близость коэффициентов автокорреляции к нулю, что обусловлено свойствами (8.25).

Анализ характера поведения АКФ и ЧАКФ – важный этап при выборе моделей.

На практике получили распространение модели авторегрессии и модели скользящего среднего , применяемые для стационарных временных рядов.

Авторегрессионные модели сокращенно обозначаются как АР(р) или в англоязычном варианте AR(p) (autoregressive models of order p), где параметр p указывает порядок авторегрессии. В общем случае авторегрессионный процесс порядка р имеет вид

где В – оператор сдвига, т.е. преобразование временного ряда, смещающее его на один временной такт; Ф(В) – оператор авторегрессии.

Условие стационарности выполняется в случае, если все корни многочлена Ф(В) лежат вне единичного круга, иными словами, все корни характеристического уравненияпо модулю превышают единицу и различны.

характеристическое уравнение принимает вид , или , при этом его корни и по абсолютной величине больше единицы, следовательно, имеем стационарный процесс.

Рис. 8.20. Динамика смоделированного временного ряда, соответствующего реализации гауссовского процесса белого шума (a ), и его автокорреляционная функция (б)

где – числовой коэффициент, удовлетворяющий условию последовательность случайных величин, образующих белый шум.

Для марковского процесса (8.26) математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

Можно показать, что для AR(1) справедливо равенство , следовательно,i, таким образом, теснота корреляционной связи между членами последовательности убывает экспоненциально по мере увеличения значения лага.

При этом – коэффициент автокорреляции первого порядка, так как

При подборе модели полезным оказывается анализ поведения частной автокорреляционной функции. Значения ЧАКФ для процесса А/?(1) равны нулю для всех лагов . Однако это свойство справедливо для теоретической частной автокорреляционной функции. При анализе коэффициентов выборочной частной автокорреляционной функции следует исходить из того, что использование модели ЛД(1) не противоречит исходным данным, если значения коэффициентов незначимо отличаются от нуля при .

Ограничение значений коэффициента а (|а| < 1) определяет условие стационарности для AR( 1).

Примеры выборочных автокорреляционных функций, с характерным для AR( 1) поведением коэффициентов представлены на рис. 8.21, 8.22. На этих рисунках отчетливо видны выбросы на нервом лаге в ЧАКФ, при этом наблюдается экспоненциальное затухание значений коэффициентов ЛКФ (при положительном значении– монотонное затухание (см. рис. 8.21), при отрицательном – знакопеременное (см. рис. 8.22)).

Модель, соответствующая значению, описывает процесс случайного блуждания (random walk). В этом случае каждое текущее значение определяется случайным отклонением от предыдущего:

Однако, как показано на рис. 8.23, свойства процесса случайного блуждания существенно отличаются от AR( 1) при. Процесс случайного блуждания нестационарен, что согласуется с медленным затуханием коэффициентов автокорреляции на рис. 8.23.

В экономических исследованиях также часто встречаются так называемые процессы Юла, или авторегрессионные процессы второго порядка – AR(2):

где – белый шум.

Для процесса Юла можно получить выражение, позволяющее вычислить значения автокорреляций при различных лагах ():

После подстановки значенийв выражение (8.27) с учетом того, что , можно получить так называемую систему Юла – Уокера (Yule -Walkerequations ) для AR (2):

Рис. 8.21. Пример автокорреляционных функций для временного ряда, сгенерированного с помощью модели AR ( 1) при а = 0,8 (корень равен 1,25):

а – АКФ: б – ЧАКФ

Рис. 8.22.

а – АКФ; б – ЧАКФ

Рис. 8.23. Временной ряд, сгенерированный с помощью модели случайного блуждания (а), и его автокорреляционная функция (б)

Эта система позволяет выразить коэффициенты моделичерез значения коэффициентов автокорреляции.

При этом условия стационарности процесса AR(2) могут быть представлены в следующем виде:

В общем случае для процессавыражение, позволяющее вычислить значения автокорреляций при различных лагах (), примет вид

Последовательная подстановка в формулу (8.28) значений лагов k = 1, 2. .... р приводит к р уравнениям системы Юла – Уокера. Эта система позволяет получить оценки коэффициентов модели после подстановки в нее значений выборочных коэффициентов автокорреляции.

Итак, изучение поведения коэффициентов автокорреляционных и частных автокорреляционных функций существенно помогает при идентификации авторегрессионных моделей.

На целесообразность применения модели AR(p) могут указывать значения коэффициентов ЛКФ, демонстрирующие экспоненциальное затухание (либо монотонное, либо с попеременной сменой знака), при этом в значениях коэффициентов ЧАКФ должны наблюдаться выбросы (пики) на первыхр лагах, а остальные значения коэффициентов статистически незначимы.

Также широкое распространение при моделировании стационарных временных рядов получили модели скользящего среднего, обозначаемые СС(q) или в англоязычном варианте MA(q) (moving average models). Модель MA(q) имеет вид

где – белый шум.

На практике чаще всего используются модели скользящего среднего невысоких порядков:

Можно преобразовать соотношение (8.29) для MA(1) к следующему виду, последовательно выражая и т.д.:

Проведенное преобразование показывает, что ряд, представленный в виде модели МA( 1) (8.29), также может быть представлен в виде модели авторегрессии бесконечного порядка (8.30).

Если в модели МA( 1) параметр θ по абсолютной величине будет больше единицы, то согласно выражению (8.30) текущее значение у, будет зависеть от прошлых уровней, берущихся с весами, бесконечно растущими по мере удаления в прошлое. Не будет учитываться старение информации и при значении параметра, равном единице. Таким образом, требуется выполнение условия, чтобы веса в выражении (8.30) образовывали бы сходящийся ряд.

Отметим, что также возможно представление AR(1) в виде МЛ(<=°). На коэффициенты процесса AR(p ) не накладываются никакие условия для обратимости, но для выполнения условия стационарности процесса корни его характеристического уравнения должны лежать вне единичного круга. В то же время для обратимости процесса MA(q) корни его характеристического уравнения

должны лежать вне единичного круга, в то же время не накладываются ограничения на коэффициенты модели для выполнения условия стационарности.

Можно представить выражение для коэффициентов автокорреляции процесса MA(q) в виде

Из данного представления следует характерная особенность поведения АКФ для процесса MA(q): для всех значений лагов τ, превышающих порядок модели q, коэффициенты автокорреляции равны нулю.

Значения АКФ для частного случая – модели МЛ(1) – определяются следующим образом:

Поведение ЧАКФ напоминает затухающую экспоненту, при этом задается выражением

Примеры выборочных автокорреляционных функций с характерным для МА(1) поведением коэффициентов представлены па рис. 8.24, 8.25. На рис. 8.24, соответствующем временному ряду, сгенерированному с помощью модели МА( 1) при значении параметра, наблюдается положительный выброс в АКФ, при этом коэффициенты в ЧАКФ демонстрируют затухание с переменным знаком. В свою очередь на рис. 8.25, иллюстрирующем характер поведения АКФ и ЧАКФ для реализации процесса МА( 1 ) при значении параметра, наблюдается выброс в АКФ в отрицательной области, так же как и затухание соответствующих коэффициентов в ЧЛКФ.

Свойства моделей скользящих средних позволяют сформулировать следующие практические рекомендации. На целесообразность применения модели MA(q) могут указывать имеющиеся выбросы (пики) на первых q лагах автокорреляционной функции, при этом частная автокорреляционная функция должна демонстрировать экспоненциальное затухание (монотонное либо знакопеременное).

Для описания стационарных процессов также может использоваться модель авторегрессии – скользящего среднего – АРСС(р, q), или, как принято в англоязычном варианте, ARMA(p , q) (autoregressive-moving average model ), включающая как авторегрессионные составляющие, так и члены, моделирующие остаток в виде процесса скользящих средних.

Рис. 8.24.

a – ЛКФ:й- ЧАКФ

Рис. 8.25.

а – АКФ; б – ЧАКФ

Модель ARMA(p, q), в которой параметр р определяет порядок авторегрессионной составляющей, a q – порядок скользящих средних, имеет вид

В этой модели в качестве объясняющих переменных рассматриваются прошлые значения самой зависимой переменной, а в качестве регрессионного остатка – скользящие средние из элементов белого шума.

Для стационарности процесса (8.31) требуется, чтобы вне единичного круга лежали все корни характеристического уравнения AR(p ) процесса. Аналогично для обратимости процесса (8.31) требуется, чтобы вне единичного круга находились все корни характеристического уравнения процесса MA(q).

Например, наиболее простой вариант смешанной модели ARMA(1, 1) можно представить в виде

При этом стационарность процесса обеспечивается условием, а обратимость – выполнением ограничения

Для процесса ARMA( 1, 1) значения коэффициентов автокорреляции определяются следующим образом:

Из данных выражений следует, что значения коэффициентов автокорреляции будут экспоненциально убывать от значения!. В случае положительного значения коэффициента а убывание будет носить монотонный характер, при отрицательном значении а убывание коэффициентов автокорреляции будет знакопеременным.

Поведение ЧАКФ также характеризуется экспоненциальным убыванием, при положительном значении Θ – монотонным, при отрицательном – знакопеременным.

Рассмотренные особенности поведения АКФ и ЧАКФ играют важную роль при выборе моделей.