Понятие о евклидовом пространстве свойства. Евклидовы пространства

С положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к-рых ( ху )векторов х- (x 1 , . . . , х n )и y = (y 1 , . . . , y п )имеет вид (xy)=x 1 y 1 +. . .+х n у п. В произвольных координатах скалярное произведение по определению удовлетворяет условиям: 1) ( хх )/0, (хх) = 0лишь при x =0; 2) ( ху) = (ух)*; 3) (a ху) = a( ху); 4) (x {y+ z}) =(xy)+ (xz), где a - любое комплексное число, * означает комплексное сопряжение. В Е. п. имеет место неравенство Коши - Буняковского |xу | 2 [( хх)(уу). Число

Наз. нормой (или длиной)вектора х, а угол q между векторами х, у находят из ф-лы cosq= (xy)/|x| |у|. Первоначально евклидовыми наз. пространства, в к-рых выполнены аксиомы евклидовой геометрии, осн. понятиями к-рой являются длина векторов и угол между ними. Бесконечномерное Е. п. обычно наз. гильбертовым пространством. Пространство, в к-ром нарушено условие 1) положительности скалярного произведения, наз. псевдоевклидовым пространством. Пространство, в к-ром п четно, а условие 2) заменяется условием ( ху) = --(ух), наз. симплектическим пространством. Лит.: Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986. С. В. Молодцов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО" в других словарях:

Пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называется n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение … Большой Энциклопедический словарь

Евклидово пространство - пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. Упрощенно можно определить евклидово пространство, как пространство на плоскости или в трехмерном объеме, в которых заданы прямоугольные (декартовы) координаты, а… … Начала современного естествознания

Евклидово пространство - см. Многомерное (n мерное) векторное пространство, Векторное (линейное) пространство … Экономико-математический словарь

евклидово пространство - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN Cartesian space … Справочник технического переводчика

- (также Эвклидово пространство) в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3. В современном понимании, в более общем… … Википедия

Пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называют n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение. * * * ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ЕВКЛИДОВО… … Энциклопедический словарь

Пространство, свойства к рого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании Е. п. наз. n мерное векторное пространство, в к ром определено скалярное произведение … Естествознание. Энциклопедический словарь

Пространство, свойства к рого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. конечномерное действительное векторное пространствоRn со скалярным произведением(х, у), х, к рое в надлежащим образом выбранных координатах… … Математическая энциклопедия

- (в математике) пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии (См. Евклидова геометрия). В более общем смысле Е. п. называется n мepное Векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные… … Большая советская энциклопедия

- [по имени др. греч. математика Евклида (Eukleides; 3 в. до н. э.)] пространство, в т. ч. многомерное, в к ром возможно ввести координаты х1,..., хп так, что расстояние р (М,М) между точками М (х1 ..., х n) и М (х 1 , .... xn) может быть… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Книги

• Энтропийная механика , А. Н. Панченков. Книга завершает издание четырехтомной серии `Энтропия`. Три книги этой серии изданы в период 1999-2004 г.: 1. Энтропия. 2. Энтропия-2: Хаотическая механика. 3. Инерция. Энтропийная механика -…

Еще в школе все учащиеся знакомятся с понятием «евклидова геометрия», основные положения которой сфокусированы вокруг нескольких аксиом, опирающихся на такие геометрические элементы, как точка, плоскость, прямая, движения. Все они в совокупности формируют то, что уже давно известно под термином «евклидово пространство».

Евклидово которого базируется на положении о скалярном умножении векторов, является частным случаем линейного (аффинного) пространства, которое удовлетворяет целому ряду требований. Во-первых, скалярное произведение векторов абсолютно симметрично, то есть вектор с координатами (x;y) в количественном плане тождественен вектору с координатами (y;x), однако противоположен по направлению.

Во-вторых, в том случае, если производится скалярное произведение вектора с самим собой, то результат этого действия будет носить положительный характер. Единственным исключением станет случай, когда начальная и конечная координата этого вектора равна нулю: в этом случае и произведение его с самим собой то же будет равно нулю.

В-третьих, имеет место дистрибутивность скалярного произведения, то есть возможность разложения одной из его координат на сумму двух значений, что не повлечет за собой никаких изменений в итоговом результате скалярного умножения векторов. Наконец, в-четвертых, при умножении векторов на одно и то же их скалярное произведение также увеличится во столько же раз.

В том случае, если выполняются все эти четыре условия, мы можем с уверенностью сказать, что перед нами евклидово пространство.

Евклидово пространство с практической точки зрения можно охарактеризовать следующими конкретными примерами:

1. Самый простой случай - это наличие множества векторов с определенным по основным законам геометрии скалярным произведением.
2. Евклидово пространство получится и в том случае, если под векторами мы будем понимать некое конечное множество действительных чисел с заданной формулой, описывающей их скалярную сумму или произведение.
3. Частным случаем евклидова пространства следует признать так называемое нулевое пространство, которое получается в том случае, если скалярная длина обоих векторов равна нулю.

Евклидово пространство обладает целым рядом специфических свойств. Во-первых, скалярный множитель можно выносить за скобки как от первого, так и от второго сомножителя скалярного произведения, результат от этого не претерпит никаких изменений. Во-вторых, наряду с дистрибутивностью первого элемента скалярного произведения, действует и дистрибутивность второго элемента. Кроме того, помимо скалярной суммы векторов, дистрибутивность имеет место и в случае вычитания векторов. Наконец, в-третьих, при скалярном умножении вектора на нуль, результат также будет равен нулю.

Таким образом, евклидово пространство - это важнейшее геометрическое понятие, используемое при решении задач с взаимным расположением векторов друг относительно друга, для характеристики которого используется такое понятие, как скалярное произведение.

Глава 4
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Из курса аналитической геометрии читатель знаком с понятием скалярного произведения двух свободных векторов и с четырьмя основными свойствами указанного скалярного произведения. В настоящей главе изучаются линейные пространства любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем безразлично каким) определено правило, ставящее в соответствие любым двум элементам число, называемое скалярным произведением этих элементов. При этом важно только, чтобы это правило обладало теми же четырьмя свойствами, что и правило составления скалярного произведения двух свободных векторов. Линейные пространства, в которых определено указанное правило, называются евклидовыми пространствами. В настоящей главе выясняются основные свойства произвольных евклидовых пространств.

§ 1. Вещественное евклидово пространство и его простейшие свойства

1. Определение вещественного евклидова пространства. Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством ), если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (х, у).
П. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:
1°. (х, у) = (у, х) (переместительное свойство или симметрия);
2°. (x 1 + x 2, у) = (х 1 , у) + (х 2 , у) (распределительное свойство);
3°. (λ х, у) = λ (х, у) для любого вещественного λ ;
4°. (х, х) > 0, если х - ненулевой элемент; (х, х) = 0, если х - нулевой элемент.
Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).
Если же природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны, то евклидово пространство называется конкретным .
Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.
Пример 1. Рассмотрим линейное пространство В 3 , всех свободных векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (т. е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии была доказана справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°- 4° (см. выпуск «Аналитическая геометрия», гл.2, §2, п.З). Стало быть, пространство В 3 с так определенным скалярным произведением является евклидовым пространством.
Пример 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство С [а, b ] всех функций x(t), определенных и непрерывных на сегменте а ≤ t ≤ b . Скалярное произведение двух таких функций x(t) и y(t) определим как интеграл (в пределах от а до b ) от произведения этих функций

Элементарно проверяется справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°-4°. В самом деле, справедливость аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° вытекает из линейных свойств определенного интеграла; справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что интеграл от непрерывной неотрицательной функции x 2 (t) неотрицателен и обращается в нуль лишь тогда, когда эта функция тождественно равна нулю на сегменте а ≤ t ≤ b (см. выпуск «Основы математического анализа», часть I, свойства 1° и 2° из п. 1 §6 гл. 10) (т.е. является нулевым элементом рассматриваемого пространства).
Таким образом, пространство С [а, b ] с так определенным скалярным произведением представляет собой бесконечномерное евклидово пространство .
Пример 3. Следующий пример евклидова пространства дает n-мерное линейное пространство А n упорядоченных совокупностей n вещественных чисел, скалярное произведение двух любых элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y 1 , y 2 ,...,y n) которого определяется равенством

(х, у) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n . (4.2)

Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° легко проверяется достаточно вспомнить определение операций сложения элементов и умножения их на числа:

(х 1 , x 2 ,...,х n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n),

λ (х 1 , x 2 ,...,х n) = (λ х 1 , λ x 2 ,..., λ х n);

наконец, справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что (х, х) = х 1 2 + x 2 2 + ...+ х n 2 всегда является неотрицательным числом и обращается в нуль лишь при условии х 1 = х 2 = ... = х n = 0.
Рассмотренное в этом примере евклидово пространство часто обозначают символом Е n .
Пример 4. В том же самом линейном пространстве А n введем скалярное произведение любых двух элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y 1 , y 2 ,...,y n) не соотношением (4.2), а другим, более общим, способом.
Для этого рассмотрим квадратную матрицу порядка n

Составим с помощью матрицы (4.3) однородный многочлен второго порядка относительно n переменных х 1 , x 2 ,...,х n

Забегая вперед, отметим, что такой многочлен называется квадратичной формой (порождаемой матрицей (4.3)) (квадратичные формы систематически изучаются в гл. 7 этой книги).
Квадратичная форма (4.4) называется положительно определенной , если она принимает строго положительные значения для всех значений переменных х 1 , x 2 ,...,х n , одновременно не равных нулю (в гл. 7 этой книги будет указано необходимое и достаточное условие положительной определенности квадратичной формы).
Так как при х 1 = х 2 = ... = х n = 0 квадратичная форма (4.4), очевидно, равна нулю, то можно сказать, что положительно определенная
квадратичная форма обращается в нуль лишь при условии х 1 = х 2 = ... = х n = 0.
Потребуем, чтобы матрица (4.3) удовлетворяла двум условиям.
1°. Порождала положительно определенную квадратичную форму (4.4).
2°. Была симметричной (относительно главной диагонали), т.е. удовлетворяла условию a ik = а ki для всех i = 1, 2,..., n и k = I, 2,..., n .
С помощью матрицы (4.3), удовлетворяющей условиям 1° и 2°, определим скалярное произведение двух любых элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y 1 , y 2 ,...,y n) пространства А n соотношением

Легко проверить справедливость для так определенного скалярного произведения всех аксиом 1°-4°. В самом деле, аксиомы 2° и 3°, очевидно, справедливы при совершенно произвольной матрице (4.3); справедливость аксиомы 1° вытекает из условия симметричности матрицы (4.3), а справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что квадратичная форма (4.4), представляющая собой скалярное произведение (х, х), является положительно определенной.
Таким образом, пространство А n со скалярным произведением, определяемым равенством (4.5), при условии симметричности матрицы (4.3) и положительной определенности порождаемой ею квадратичной формы, является евклидовым пространством.
Если в качестве матрицы (4.3) взять единичную матрицу, то соотношение (4.4) перейдет в (4.2), и мы получим евклидово пространство Е n , рассмотренное в примере 3.
2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства. Устанавливаемые в этом пункте свойства справедливы для совершенно произвольного евклидова пространства как конечной, так и бесконечной размерности.
Теорема 4.1. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство

(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)

называемое неравенством Коши-Буняковского.
Доказательство. Для любого вещественного числа λ , в силу аксиомы 4° скалярного произведения, справедливо неравенство (λ х - у, λ х - у) > 0. В силу аксиом 1°-3°, последнее неравенство можно переписать в виде

λ 2 (x, x) - 2 λ(x, y) + (y, y) ≤ 0

Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство (в случае (х, х) = 0 квадратный трехчлен вырождается в линейную функцию, но в этом случае элемент х является нулевым, так что (х, у) = 0 и неравенство (4.7) также справедливо)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

Из (4.7) сразу же вытекает неравенство (4.6). Теорема доказана.
Наша очередная задача - ввести в произвольном евклидовом пространстве понятие нормы (или длины ) каждого элемента. Для этого введем понятие линейного нормированного пространства.
Определение. Линейное пространство R называется нормированным , если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого каждому элементу х пространства R ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной ) указанного элемента и обозначаемое символом ||х||.
П. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:
1°. ||х|| > 0, если х - ненулевой элемент; ||х|| = 0, если х - нулевой элемент;
2°. ||λ х|| = |λ | ||х|| для любого элемента х и любого вещественного числа λ ;
3°. для любых двух элементов х и у справедливо следующее неравенство

||х + y || ≤ ||х|| + ||y ||, (4.8)

называемое неравенством треугольника (или неравенством Минковского) .
Теорема 4.2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если норму любого элемента х в нем определить равенством

Доказательство. Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением (4.9), справедливы аксиомы 1°-3° из определения нормированного пространства.
Справедливость для нормы аксиомы 1° сразу вытекает из аксиомы 4° скалярного произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2° почти непосредственно вытекает из аксиом 1° и 3° скалярного произведения.
Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3°, т. е. неравенства (4.8). Будем опираться на неравенство Коши-Буняковского (4.6), которое перепишем в виде

С помощью последнего неравенства, аксиом 1°-4° скалярного произведения и определения нормы получим

Теорема доказана.
Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением (4.9), для любых двух элементов х и у справедливо неравенство треугольника (4.8).

Заметим далее, что в любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами х и у этого пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй, мы назовем углом φ между элементами х и у тот (изменяющийся в пределах от 0 до π ) угол, косинус которого определяется соотношением

Данное нами определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши-Буняковского (4.7") дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицы.
Далее договоримся называть два произвольных элемента х и у евклидова пространства Е ортогональными, если скалярное произведение этих элементов (х, у) равно нулю (в этом случае косинус угла (φ между элементами х и у будет равен нулю).
Снова апеллируя к векторной алгебре, назовем сумму х + у двух ортогональных элементов х и у гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на элементах х и у.
Заметим, что во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В самом деле, поскольку х и у ортогональны и (х, у) = 0, то в силу аксиом и определения нормы

||х + y || 2 = (x+y, x+y ) = (x, x ) + 2(x, y ) + (y, y) = (x,x) + (y, y) = ||х|| 2 + ||y || 2 .

Этот результат обобщается и на n попарно ортогональных элементов х 1 , x 2 ,...,х n: если z = х 1 + x 2 + ...+ х n , то

||х|| 2 = (х 1 + x 2 + ...+ х n ,х 1 + x 2 + ...+ х n) = (х 1 ,х 1) + (х 2 ,х 2) + .... + (х n ,х n ) = ||х 1 || 2 + ||х 1 || 2 +... +||х 1 || 2 .

В заключение запишем норму, неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника в каждом из конкретных евклидовых пространств, рассмотренных в предыдущем пункте.
В евклидовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения норма вектора а совпадает с его длиной |а|, неравенство Коши-Буняковского приводится к виду ((a,b ) 2 ≤ |а| 2 |b | 2 , а неравенство треугольника - к виду |a + b| ≤ |а| + |b | (Если сложить векторы а и b по правилу треугольника, то это неравенство тривиально сводится к тому, что одна сторона треугольника не превосходит суммы двух других его сторон).
В евклидовом пространстве С [а, b ] всех непрерывных на сегменте а ≤ t ≤ b функций х = x(t) со скалярным произведением (4.1) норма элемента х = x(t) равна , а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид

Оба эти неравенства играют важную роль в различных разделах математического анализа.
В евклидовом пространстве Е n упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (4.2) норма любого элемента х = (х 1 , x 2 ,...,х n) равна

Наконец, в евклидовом пространстве упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (4.5) норма любого элемента х = (х 1 , x 2 ,...,х n) равна 0 (напоминаем, что при этом матрица (4.3) симметрична и порождает положительно определенную квадратичную форму (4.4)).

а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид

Кузьма Сергеевич Петров-Водкин

Пространство Эвклида

Глава первая

ВЫЛЕТ ИЗ ГНЕЗДА

К выпускным экзаменам мы, школьники, незаметно для самих себя, возмужали. У каждого набухли и успокоились грудные железы. Лица стали озабоченнее. Огрубели наши голоса и смелее заговорили о девушках.

Начинали курить, правда, еще потихоньку от родителей. Пересилив тошноту и отвращение от табачного дыма, вырабатывали мы жесты затяжек, держания папиросы между пальцами, в углу рта, с цежением слов, выпускаемых одновременно с дымом.

Беседы сделались разумнее. Мы перешли к вопросам, о которых год тому назад и не думали. Насущным вопросом было - преимущества и осмысленность той или иной профессии: каждый намечал свой путь или кому его намечали родители, но немногие из нас решили бесповоротно переплеснуться за Хлыновск, и немногие сознавали всю скудность нашего учебного багажа, да и потребность в его пополнении была не у многих.

Сидим мы во дворе школы, - Петр Антонович нездоров, - мы знаем виновника нездоровья - буфет на «Суворове», сидим и обсуждаем наши предположения.

Буду в Москве улицы подметать, а в Хлыновске не останусь! - заявляет Позднухов - наш поэт, романтик. Он сирота; дядя, у которого Позднухов сиротствовал, тоже бобыль, из прутьев мебель налаживал; так дядя решил, что раз довел он племянника до «высокой науки», так теперь кормежку ему делай.

Пешком уйду, - продолжает Позднухов, - у меня и багаж готов: книга Пушкина, сорок копеек и сухарей насушил за зиму…

И мы знали, видно было по человеку, что он сдержит то, о чем говорит.

Петя Сибиряков - невеселый, у него тоже взрывчатое внутри, но он слишком мягок: его направляют в Саратов в торговое предприятие. Кузнецов, сын почтальона, в телеграфных чиновниках продолжит он профессию отца. Кира Тутин должен овладеть «высотами механики» - это его решение. Самый спокойный из всех за судьбу свою - это Вася Серов, он по прямой линии пройдет жизнь, его разум четок и цепок, кто не посторонится на его пути, сам свалится; логикой голых истин Вася победит все свои немощи, и любовь, и жалость, и межпланетные загадки, закроет клапаны рассудка на прошлое и будущее, чтобы выровнять настоящее в длину и в ширину.

Трое учеников предполагали держать в железнодорожное училище.

А ты? - обращаются ко мне. А я и не знаю, или, наоборот, слишком хорошо знаю мою склонность, но нет у меня определенной формы действия, я чую окольные пути, которые мне предстоят, я не знаю даже, есть ли для меня подходящая школа, да и как назвать тс, чем я хотел бы заняться, - ведь я был пионером в Хлыновске, открывшим новое занятие.

Наш круг мозолистый, изложи ему занятие ясное. Черноты работы он не испугается, над ней не посмеется, только чтоб не было в работе передаточности дальней и чтоб полезность ее была обоснована. А как мне было обосновать занятие художника?

Я также поеду в железнодорожное! - высказываю я товарищам только что созревшее во мне решение, - надо было с чего-то начинать жизнь и не прерывать учения.

Из выпускников у нас было два коновода - Серов и Тутин.

Всю школу прошел Серов на пятерках. Он не обладал фантазией игры и шалостей. Весь учебный материал он знал от сих и до сих. Прибегающим к нему за помощью товарищам он не отказывал, но ему казалось столь неестественным чего-нибудь не знать, что его помощь казалась высокомерной и всегда слегка колола самолюбие прибегнувшего к ней.

Большая голова Васи с черными глазами, которые, соединенные с гримасой угла рта, казались насмешливыми и недобрыми, эта голова, выбрасывавшая несомненные, школьные истины, была для меня объектом многих наблюдений. Я был к нему холоден, но не мог не восхищаться его мозговой коробкой, в которой так крепко были уложены и формулы математики, и призвание варягов, и катехизис. Отвечая урок низким, звучным голосом, Серов как бы приказывал квадрату гипотенузы строиться с катетами, Рюрик, Синеус и Трувор беспрекословно приходили владеть Русью, члены символа веры каменными плитами печатали неизбежность.

Внутри меня было несогласие с такой тиранической безусловностью, но я не мог не поддаваться его умозаключениям.

Ну и умный этот Васька, - говорил смешливый Гриша Юркин, - пра, ей-Богу, он в исправники пролезет!

Уж не знаю, крайности или прямолинейности сходятся, но законоучитель наш нарадоваться не мог на Серова. Отчитывает тот ему, бывало, урок, а протопоп умиленно разглаживает складки рясы и дакает в бороду и вздыхает, и растворяется в красноречии Васи от собственного косноязычия.

Вот бы архиерей-то, да бы из своих, - видно, мечтал поп.

И случалось, что после урока звал законоучитель Васю в уединение и убеждал юношу в выборе подобающей карьеры.

Опять в духовные звал, - отвечал Серов на наши расспросы.

Гриша Юркин спал и видел себя попом.

Ах ты, вот те, ах ты!.. - ахал всерьез Юркин над своей мечтой. - Что же это длинногривый меня не приглашает? Ведь Васька назубок, а я по совести церковное знаю… Подожди, я ему изложу урок… Серову кутейность ни к чему, а я о сироте моей безродной стараюсь… Ах, уж покормил бы я мамашеньку шпионами в сметане!..

Надо сказать, несуразный Гриша отлично знал святцы и катехизис, но его несчастьем было всегдашнее умозатмение; он путал слова по созвучию - шпионы у него вызревали в навозе, шампиньоны предавали родину. И вот, когда на первом же уроке мечтающий о духовном звании предложил отвечать по богослужению, мы с удовольствием слушали Гришино изложение. Ему даже удавалось избегать путающих его слов. Протоиерей также насторожился по-хорошему и задал последний вопрос о «проскомидии прежде освященных даров», и вот на него четко, без запинки, что твой Серов, начал отвечать Юркин:

Микроскопия летаргии, пресыщенных даров совершается…

Законоучитель с кулаками бросился на бедного юношу:

Балда бесовская! Заткни омраченную глотку! Смешливый Гриша было фыркнул от трясения Протопоповой бороды, но потом очень вознегодовал.

Так вот назло тебе докажу, распро-поп эдакий!.. - погрозил он вслед уходящему.

И что же, Юркин все-таки стал попом в селе Левитине, Мужики, говорят, любили веселого, простецкого батюшку, и если бы не водка, которой безмерно предался Гриша, может быть, он шагнул бы и за протопопа. Но однажды во время обедни зеленый змий показался ему идущим с клироса. Юркин шарахнул кадилом в змеиную пасть и непристойно заругался в ужаснувшуюся толпу прихожан.

Умер Гриша в доме для умалишенных в губернии.

Вторым коноводом был Тутин. Если Серов накапливал знания, то Кира их пропускал через себя - от него легко учились и другие. О нем я уже рассказывал в «Хлыновске» и обрисовал его влияние на меня.

Определение евклидова пространства

Определение 1. Вещественное линейное пространство называется евклидовым , если в нём определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам x и y из этого пространства число, называемое скалярным произведением векторов x и y и обозначаемое (x,y) , для которого выполнены условия:

1. (x,y) = (y,x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , где z - любой вектор, принадлежащий данному линейному пространству;

3. (?x,y) = ? (x,y) , где ? - любое число;

4. (x,x) ? 0 , причём (x,x) = 0 x = 0.

Например, в линейном пространстве одностолбцовых матриц скалярное произведение векторов

можно определить формулой

Евклидово пространство размерности n обозначают En . Заметим, что существуют как конечномерные, так и бесконечномерные евклидовы пространства.

Определение 2 . Длиной (модулем) вектора x в евклидовом пространстве En называют (x,x) и обозначают её так: |x| = (x,x) . У всякого вектора евклидова пространства существует длина, причём у нулевого вектора она равна нулю.

Умножая ненулевой вектор x на число , мы получим вектор , длина которого равна единице. Эта операция называется нормированием вектора x .

Например, в пространстве одностолбцовых матриц длину вектора можно определить формулой:

Неравенство Коши-Буняковского

Пусть x? En и y ? En – любые два вектора. Докажем, что для них имеет место неравенство:

(Неравенство Коши-Буняковского)

Доказательство. Пусть? - любое вещественное число. Очевидно, что (?x ? y,?x ? y) ? 0. С другой стороны, в силу свойств скалярного произведения можем написать

Получили, что

Дискриминант этого квадратного трёхчлена не может быть положительным, т.е. , откуда вытекает:

Неравенство доказано.

Неравенство треугольника

Пусть x и y - произвольные векторы евклидова пространства En , т.е. x ? En и y ? En .

Докажем, что . (Неравенство треугольника).

Доказательство. Очевидно, что С другой стороны, . Принимая во внимание неравенство Коши-Буняковского, получим

Неравенство треугольника доказано.

Норма евклидова пространства

Определение 1 . Линейное пространство ? называется метрическим , если любым двум элементам этого пространства x и y поставлено в соответствие неотрицательное число? (x,y) , называемое расстоянием между x и y , (? (x,y) ? 0) , причём выполняются условия (аксиомы):

1) ? (x,y) = 0 x = y

2) ? (x,y) = ? (y,x) (симметрия);

3) для любых трёх векторов x , y и z этого пространства? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y) .

Замечание. Элементы метрического пространства обычно называют точками.

Евклидово пространство En – метрическое, причём в качестве расстояния между векторами x? En и y? En можно взять x ? y .

Так, например, в пространстве одностолбцовых матриц, где

следовательно

Определение 2 . Линейное пространство ? называется нормированным , если каждому вектору x из этого пространства поставлено в соответствие неотрицательное число, называемое его нормой x . При этом выполняются аксиомы:

Нетрудно видеть, что нормированное пространство является метрическим пространством. В самом деле, в качестве расстояния между x и y можно взять . В евклидовом пространстве En в качестве нормы любого вектора x? En принимается его длина, т.е. .

Итак, евклидово пространство En является метрическим пространством и более того, евклидово пространство En является нормированным пространством.

Угол между векторами

Определение 1 . Углом между ненулевыми векторами a и b евклидова простран ства En называют число для которого

Определение 2 . Векторы x и y евклидова пространства En называются ортогона льными , если для них выполняется равенство (x,y) = 0.

Если x и y - ненулевые, то из определения следует, что угол между ними равен

Заметим, что нулевой вектор по определению считается ортогональным любому вектору.

Пример . В геометрическом (координатном) пространстве?3, которое является частным случаем евклидова пространства, орты i , j и k взаимно-ортогональны.

Ортонормированный базис

Определение 1 . Базис e1 ,e2 ,...,en евклидова пространства En называется ортогона льным , если векторы этого базиса попарно ортогональны, т.е. если

Определение 2 . Если все векторы ортогонального базиса e1 , e2 ,...,en единичны, т.е. ei = 1 (i = 1,2,...,n) , то базис называется ортонормированным , т.е. для ортонормированного базиса

Теорема. (о построении ортонормированного базиса)

Во всяком евклидовом пространстве E n существуют ортонормированные базисы.

Доказательство . Докажем теорему для случая n = 3.

Пусть E1 ,E2 ,E3 - некоторый произвольный базис евклидова пространства E3 Построим какой-нибудь ортонормированный базис в этом пространстве. Положим , где ? - некоторое вещественное число, которое выберем таким образом, чтобы было (e1 ,e2 ) = 0, тогда получим

причём очевидно, что? = 0 , если E1 и E2 ортогональны, т.е. в этом случае e2 = E2 , а , т.к. это базисный вектор.

Учитывая, что (e1 ,e2 ) = 0, получим

Очевидно, что , если e1 и e2 ортогональны с вектором E3 , т.е. в этом случае следует взять e3 = E3 . Вектор E3 ? 0 , т.к. E1 , E2 и E3 линейно независимы, следовательно e3 ? 0.

Кроме того, из приведённого рассуждения следует, что e3 нельзя представить в виде линейной комбинации векторов e1 и e2 , следовательно векторы e1 , e2 , e3 линейно незави симы и попарно ортогональны, следовательно, их можно взять в качестве базиса евклидова пространства E3 . Остаётся только пронормировать построенный базис, для чего достаточно каждый из построенных векторов разделить на его длину. Тогда получим

Итак, мы построили базис - ортонормированный базис. Теорема доказана.

Применённый способ построения ортонормированного базиса из произвольного базиса называется процессом ортогонализации . Заметим, что в процессе доказательства теоремы мы установили, что попарно ортогональные векторы линейно независимы. Кроме того, если - ортонормированный базис в En , тогда для любого вектора x? En имеет место единственное разложение

где x1 , x2 ,..., xn - координаты вектора x в этом ортонормированном базисе.

Так как

то умножив скалярно равенство (*) на , получим .

В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные базисы, а потому для простоты их записи нолики сверху у базисных векторов мы будем опускать.