Теоремы сложения и умножения вероятностей: основные задачи. Независимость событий

Глава 3.

Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них

Теорема сложения вероятностей несовместных

Событий

Во второй главе было показано, как можно определить вероятность отдельного случайного события при выполнении определенных условий. Как известно, со случайными событиями можно проводить арифметические действия, главными из которых являются сложение и умножение событий. Теория вероятностей позволяет с помощью своих основных теорем найти вероятность суммы и произведения событий, т.е. определить либо вероятность появления хотя бы одного из рассматриваемых событий, либо вероятность одновременного появления этих событий.

К основным теоремам теории вероятностей относятся:

1. Теорема сложения вероятностей.

2. Теорема умножения вероятностей.

Рассмотрим теорему сложения вероятностей для частного случая. Предположим, что А и В несовместные события, причем будем считать, что вероятности этих событий известны, или могут быть найдены.

Теорема 3.1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Доказательство. Пусть n – общее число всех равновозможных элементарных событий испытания, в котором могут появиться события А или В . Обозначим через т А и т В число элементарных событий благоприятствующих событиям А и В соответственно. Так как события А и В несовместны, то сумме этих событий А + В благоприятствуют т А + т В элементарных событий. Поэтому .

Теорема доказана.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Доказательство нетрудно провести, используя метод математической индукции.

Пример 3.1. В ящике находятся 8 белых, 5 черных и 10 красных шаров. Случайным образом выбирается один шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый?

Решение. Пусть событие А – выбор черного шара, В – выбор красного шара. Тогда событие С = А + В определяет выбор не белого шара (либо черного, либо красного).

По классической формуле . По теореме 3.1 окончательно получаем .■

Пример 3.2. На фирме имеется две вакантные должности, на занятие которых претендуют трое мужчин и пять женщин. Найти вероятность того, что среди взятых на работу людей будет хотя бы один мужчина, если отбор претендентов производится случайным образом.

Решение. Пусть событие С состоит в том, что среди взятых на работу людей будет хотя бы один мужчина. Очевидно, что событие С произойдет в том случае, когда произойдет одно из следующих двух несовместных событий: А – приняты на работу двое мужчин; В – приняты на работу одна женщина и один мужчина. Таким образом, С = А + В .

Найдем вероятности событий А и В , используя классическую формулу, получим

и .

События А и В – несовместны, следовательно, можно применить теорему 3.1. Получаем . ■

При решении примера 3.2 не было рассмотрено только одно из возможных событий, состоящее в том, что будут приняты на работу две женщины. Обозначим его буквой D и найдем его вероятность. Применяя классическую формулу, получим

.

Нетрудно понять, что события А , В и D образуют полную группу для испытания: выбор двух человек из восьми. Найдем сумму вероятностей этих событий: . Полученный результат можно представить в общем виде.

Теорема 3.2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Доказательство. Пусть события А 1 , А 2 , …, А n образуют полную группу для некоторого испытания. Тогда по определению в результате этого испытания одно из событий обязательно произойдет, т.е. сумма этих событий является достоверным событием. Вероятность достоверного события равна 1. Следовательно, справедливо равенство:

Напомним, что по определению полной группы она состоит из несовместных событий. Тогда по следствию из теоремы 3.1 получаем

Теорема доказана.

Следствие . Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Доказательство непосредственно следует из того, что противоположные события образуют полную группу, следовательно, по теореме 3.2 имеет место формула

(3.3)

где А и Ā – противоположные события.

Следствие доказано.

При решение задач чаще применяется преобразованная формула (3.3), а именно

(3.4)

Пример 3.3. Из девяти кандидатов для выбора на три должности пятеро имеют диплом с отличием. Все имеют одинаковые шансы быть выбранными на эти должности. Определить вероятность того, что среди выбранных будет хотя бы один, имеющий диплом с отличием.

Решение. Пусть событие А означает, что среди выбранных кандидатов хотя бы один имеет диплом с отличием. Очевидно, что событие Ā противоположное А будет состоять в том, что все три выбранных человека не имеют диплома с отличием. Найдем вероятность противоположного события. Для этого применим классическую формулу, получаем

.

По формуле (3.3) найдем вероятность события А :

. ■

Решение примера 3.3 может быть получено и другим, более длинным способом. Нетрудно понять, что событие А есть сумма следующих событий:

А 1 – среди выбранных только один кандидат с дипломом с отличием;

А 2 – среди выбранных два кандидата с дипломом с отличием;

А 3 – среди выбранных три кандидата с дипломом с отличием.

По классической формуле получаем

Очевидно, что события А 1 , А 2 , А 3 – несовместны, следовательно можно применить теорему 3.3. Таким образом

Понятно, что первый способ решения намного проще.

В выше рассмотренных теоремах и примерах предполагалась несовместность соответствующих случайных событий. Естественно, может возникнуть задача, в которой требуется найти вероятность появления хотя бы одного из совместных событий. Теорему 3.1 в этом случае применять нельзя. Существует более общий вид теоремы сложения вероятностей, который использует понятие вероятности произведения событий.

Теорема умножения вероятностей событий

Пусть рассматривается некоторое испытание, в котором возможно появление случайного события А . Если кроме условия испытания никаких ограничений для события А не существует, то вероятность события А называют безусловной вероятностью. Если же задаются некоторые дополнительные условия, то появляется условная вероятность этого события. Чаще всего дополнительные условия связаны с появлением другого случайного события. Итак, при анализе того или иного явления может возникнуть вопрос: влияет ли на возможность появления некоторого события А наступление другого случайного события В и если влияет, то как? Например, наступление В ведет к обязательному наступлению события А или, наоборот, исключает возможность появления события А , а может быть лишь изменяет значение вероятности. Легко понять, что если событие В является благоприятствующим событию А , то при наступлении события В событие А всегда наступает, или если А и В – два несовместных в данном испытании события, то при наступлении события В событие А никогда не будет происходить. Однако это так называемые крайние случаи. Наибольший интерес возникает тогда, когда наступление события В как-то изменяет (увеличивает или уменьшает) вероятность появления события А , не превращая его в достоверное или невозможное при новых условиях событие. Характеристикой такого влияния одного события на другое служит условная вероятность.

Условной вероятностью события А при условии В называется вероятность события А , вычисленная в предположении, что событие В уже произошло.

Аналогично можно определить условную вероятность события В , при условии, что событие А уже произошло.

Пример 3.4. Пусть в урне находятся 6 белых и 8 черных шаров. Из урны последовательно друг за другом случайным образом вынимают два шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что второй шар окажется белым, если первым был вынут также белый шар?

Решение . Пусть событие А состоит в том, что второй шар окажется белым, а событие В , что первый шар белый. В задаче требуется найти вероятность события А , при условии, что событие В произошло, т.е. найти . Если событие В произошло, то в урне осталось 13 шаров, из которых 5 белых. Следовательно, вероятность вынуть белый шар из 13, среди которых 5 белых равна .■

Отметим два момента.

Во-первых, для события А может быть найдена не только его условная вероятность, но и так называемая полная вероятность события, т.е. вероятность того, что второй шар окажется белым при выборе первым любого шара. О нахождении такой вероятности речь пойдет в пункте 3.4.

Во-вторых, условие примера может быть так изменено, что цвет первого выбранного шара вообще не будет влиять на вероятность появления события А . Будем считать, что шары после фиксирования их цвета возвращаются обратно в урну. Тогда, очевидно, вероятность события А не зависит от того, какого цвета был выбран первый шар, т.е. от появления (или не появления) события В . В этом случае , т.е. вероятность события А совпадает с условной вероятностью этого события. Сами же события А и В являются независимыми в данном испытании.

Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае, события называются зависимыми.

Из определения следует, что для независимых событий А и В справедливы формулы:

. (3.5)

Получим формулу для нахождения условной вероятности, используя классическое определение. Пусть испытание состоит из n равновозможных элементарных событий. Число событий, благоприятствующих событию А , равно т А ; событию В – т В ; произведению событий АВ – т АВ . Очевидно, что и . Так как событию В благоприятствует т В исходов, из которых только т А благоприятствуют А , то условная вероятность равна

. Окончательно, получаем

(3.6)

Необходимо обратить внимание на то, что знаменатель в формуле (3.6) отличен от нуля, так как по условию событие В может произойти, т.е. т В не равно нулю.

Рассуждая аналогично, можно получить формулу для условной вероятности события В : . Но, так как событие АВ ничем не отличается от события ВА и , то условную вероятность события В можно определить по формуле

(3.7)

В наиболее полных, применяющих аксиоматический подход, курсах теории вероятностей формулы (3.6) и (3.7) принимают за определение условной вероятности, а формулы (3.5) – за определение независимых событий.

Из формул (3.6) и (3.7) непосредственно вытекает следующая теорема умножения вероятностей.

Теорема 3.2. Вероятность одновременного появления двух случайных событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило, т.е.

(3.8)

Следствие. Вероятность одновременного появления нескольких случайных событий равна произведению вероятности одного события на условные вероятности всех остальных, при этом вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились, т.е.

Пример 3.5. В лотереи находятся 20 билетов, из которых 5 выигрышных. Случайным образом выбирают последовательно друг за другом 3 билета без возвращения. Определить вероятность того, что первый, второй и третий билеты будут выигрышными.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что первым выберут выигрышный билет, событие В – в том, что второй билет будет выигрышным и, наконец, С – третий билет выигрышный. Очевидно, что .

Условная вероятность события В при условии, что событие А произошло, т.е. из лотереи был выбран один выигрышный билет, равна (всего билетов осталось 19, из них 4 выигрышных).

Условная вероятность события С при условии, что события А и В произошли, т.е. были выбраны два выигрышных билета, равна .

По следствию к теореме 3.2 вероятность произведения равна

Необходимо отметить, что задача 3.5 может быть решена с помощью классической формулы и формул комбинаторики:

.

Теорема 3.2 верна для любых случайных событий А и В . В частном случае, когда события А и В являются независимыми справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.3. Вероятность одновременного появления двух несовместных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

Доказательство. События А и В – независимы. По теореме 3.2 с учетом формулы (3.5), получим

Теорема доказана.

Итак, теорема 3.3 говорит о том, что вероятность произведения независимых событий находится по формуле (3.9). Верно и обратное утверждение.

Теорема 3.4. Если для двух событий верна формула (3.9), то эти события независимы.

Приведем без доказательства несколько важных свойств, справедливых для независимых событий.

1. Если событие В не зависит от А , то событие А не зависит от В .

2. Если события А и В – независимы, то независимы и события А и .

3. Если два события независимы, то независимы и противоположные им события.

Теорема 3.3 может быть обобщена на конечное число событий. Однако, прежде чем это сделать, необходимо более подробно остановиться на понятии независимости трех и более событий.

Для группы, состоящей из трех и более событий, существует понятие попарной независимости и независимости в совокупности.

События А 1 , А 2 , …, А n называются попарно независимыми , если любые два из этих событий независимы.

События А 1 , А 2 , …, А n называются независимыми в совокупности (или просто независимыми) , если они попарно независимы и независимы каждое событие и все возможные произведения всех остальных.

Например, три события А 1 , А 2 , А 3 независимы в совокупности, если независимы следующие события:

А 1 и А 2 , А 1 и А 3 , А 2 и А 3 ,

А 1 и А 2 А 3 , А 2 и А 1 А 3 , А 3 и А 1 А 2 .

Теорема 3.5. Если события А 1 , А 2 , …, А n независимы в совокупности, то вероятность их одновременного появления вычисляется по формуле:

Доказательство. Покажем, что формула верна для трех событий. Если событий больше трех, то справедливость формулы доказывается методом математической индукции.

Итак, покажем, что . По условию теоремы события А 1 , А 2 , А 3 независимы в совокупности. Следовательно, независимыми являются, например, два события А 1 А 2 и А 3 . По формуле (3.9), получим . По условию события А 1 и А 2 также независимы. Применив к первому сомножителю формулу (3.9), окончательно, получим .

Теорема доказана.

Необходимо отметить, что если события попарно независимы, то отсюда не следует, что они будут и независимы в совокупности. И, наоборот, если события независимы в совокупности, то они, очевидно, по определению будут и попарно независимы.

Рассмотрим пример событий попарно независимых, но зависимых в совокупности.

Пример 3.6. Пусть в коробке лежат 4 одинаковых карточки с написанными на них числами:

Случайным образом выбирает одну карточку. Событие А означает, что выбрали карточку, на которой есть число 1, событие В предполагает, что на выбранной карточке есть число 2, событие С – число 3. Выяснить являются ли события А , В и С попарно независимыми или независимыми в совокупности.

Решение. Вероятность каждого из событий А , В и С можно найти по классической формуле (всего карточек 4, на двух из них есть числа 1, 2, 3 соответственно): .

Покажем, что события А , В и С попарно независимы. Выберем любые два события, например, А и В . Вероятность их произведения , так как одновременное появление чисел 1 и 2 может быть только на одной карточке из четырех.

Таким образом, справедливо равенство . По теореме 3.4 события А и В независимы. Аналогично можно показать независимость событий В и С , а также событий А и С . Попарная независимость доказана.

Покажем, что эти события не являются независимыми в совокупности. Вероятность одновременного появления всех трех событий, т.е. появления всех трех чисел, равна , так как только на одной карточке из четырех есть все три числа. Произведение вероятностей событий равно . Таким образом, , следовательно, независимость в совокупности отсутствует. ■

Из теоремы умножения вероятностей и теоремы сложения вероятностей несовместных событий непосредственно следует теорема сложения вероятностей совместных событий.

Мы уже знаем, что вероятность – это численная мера возможности наступления случайного события, т.е. события, которое может произойти, а может и не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. При изменении совокупности условий вероятность случайного события может измениться. В качестве дополнительного условия мы можем рассмотреть наступление другого события. Итак, если к комплексу условий, при котором происходит случайное событие А , добавить еще одно, состоящее в наступлении случайного события В , то вероятность наступления события А будет называться условной.

Условная вероятность события А - вероятность появления события А при ус­ловии, что произошло событие В. Условная вероятностьобозначается (A ).

Пример 16. В ящике имеются 7 белых и 5 черных шаров, отличаю­щихся лишь цветом. Опыт состоит в том, что случайным образом вынимают один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность, что, второй вынутый шар – черный, если при первом извлечении достали белый шар?

Решение.

Перед нами два случайных события: событие А – первый вынутый шар оказался белым, В – второй вынутый шар - черный. А и В несовместные события, воспользуемся классическим определением вероятности. Число элементарных исходов при извлечении первого шара – 12, а число благоприятных исходов достать белый шар – 7. Следовательно, вероятность P(А) = 7/12.

Если первый шар оказался белым, то условная вероятность события В - появления второго черного шара (при условии, что первый шар был белым) - равна (В) = 5/11, так как перед выни­манием второго шара осталось 11 шаров, из которых 5 черных.

Отметим, что вероятность появления черного шара при втором извлечении не зависела бы от цвета вынутого первого шара, если, вы­нув первый шар, мы положили бы его обратно в ящик.

Рассмотрим два случайных события А и В. Пусть вероятности P(А) и (В) известны. Определим, чему равна вероятность появления и события А, и события В, т.е. произведения этих событий.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при том условии, что первое событие произошло:

Р(А× В) = Р(А)× (В) .

Так как для вычисления вероятности произведения не играет роли какое из рассмотренных событий А и В было первым, а какое вторым, то можно записать:

Р(А× В) = Р(А) × (В) = Р(В) × (А).

Теорему можно распространить на произведение п событий:

Р(А 1 А 2 . А п) = Р(А х) Р(А 2 /А 1) .. Р(А п /А 1 А 2 ... А п-1).

Пример 17. Для условий предыдущего примера вычислить вероятность извлечения двух шаров: а) белого шара первым, а черного вторым; б) двух черных шаров.

Решение.

а)Из предыдущего примера мы знаем вероятности достать из ящика белый шар первым и черный шар вторым, при условии, что первым извлекли белый шар. Для подсчета вероятности появления обоих событий вместе воспользуемся теоремой умножения вероятностей: Р(А× В) = Р(А) × (В)= .

б) Аналогично рассчитаем вероятность вынуть два черных шара. Вероятность достать первым черный шар . Вероятность достать черный шар во второй раз при условии, что первый вынутый черный шар мы не опускаем обратно в ящик (черных шаров осталось 4, а всего шаров стало 11). Результирующую вероятность можно подсчитать по формуле Р(А×В)= Р(А) × (В) 0,152.

Теорема умножения вероятностей имеет более простой вид, если события А и В независимые.

Событие В называют независимым от события А, если вероят­ность события В не изменяется от того, произошло событие А или нет. Если событие В является независимым от события А, то его условная (В) равна обычной вероятности P(В):

Оказывается, что если событие В будет независимым от события А , то и событие А будет независимым от В , т.е. (А)= P(А).

Докажем это. Подставим равенство из определения независимости события В от события А в теорему умножения вероятностей: Р(А×В) = Р(А)× (В)= Р(А)× (В). Но с другой стороны Р(А× В) = Р(В) × (А). Значит Р(А) × (В)= Р(В) × (А) и (А)= P(А).

Таким образом, свойство независимость (или зависимость) событий всегда взаимно и можно дать следующее определение: два события называются независимыми , если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого.

Следует отметить, что в основе независимости событий лежит независимость физической природы их происхождения. Это означает, что наборы случайных факторов, приводящих к тому или иному исходу испытания одного и другого случайного события, различны. Так, например, поражение цели одним стрелком никак не влияет (если, конечно, не придумывать никаких экзотических причин) на вероятность попадания в цель вторым стрелком. На практике независимые события встречаются очень часто, так как причинная связь явлений во многих случаях отсутствует или несущест­венна.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий: Р(А×В) = Р(А) × P(В).

Из теоремы умножения вероятностей для независимых событий вытекает следующее следствие.

Если события А и В несовместные и P(A)¹0, P(В)¹0, то они зависимы.

Докажем это способом от противного. Предположим, что несовместные события А и В независимы. Тогда Р(А×В) = Р(А) ×P(В). И так как P(A)¹0, P(В)¹0 , т.е. события А и В не являются невозможными, то Р(А×В)¹0. Но, с другой стороны, событие А ž В является невозможным как произведение несовместных событий (это рассматривалось выше). Значит Р(А×В)=0. получили противоречие. Таким образом, наше исходное предположение неверно. События А и В – зависимые.

Пример 18 . Вернемся теперь к нерешенной задаче о двух стрелках, стреляющих по одной цели. Напомним, что при ве­роятности попадания в цель первым стрелком – 0,8, а вторым 0,7 необходимо найти вероятность поражения цели.

События А и В – попадание в цель соответственно первым и вторым стрелком – совместные, поэтому для нахождения вероятности суммы событий А + В – поражение цели хотя бы одним стрелком – необходимо воспользоваться формулой: Р(А +В)=Р(А)+ Р(В) –Р(А žВ). События А и В независимые, поэтому Р(А× В) = Р(А) × P(В).

Итак, Р(А +В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) × P(В).

Р(А +В)= 0,8 + 0,7 – 0,8×0,7 = 0,94.

Пример 19.

Производится два независимых выстрела в одну и ту же мишень. Вероятность попадания при первом выстреле 0,6, а при втором - 0,8. Найти вероятность попадания в мишень при двух выстрелах.

1) Обозначим попадание при первом выстреле как событие
А 1 , при втором - как событие А 2 .

Попадание в мишень предполагает хотя бы одно попада­ние: или только при первом выстреле, или только при втором, или и при первом, и при втором. Следовательно, в задаче требу­ется определить вероятность суммы двух совместных событий А 1 и А 2:

Р(А 1 + А 2) = Р(А 1) + Р(А 2)-Р(А 1 А 2).

2) Так как события независимы, то Р(А 1 А 2) = Р(А 1) Р(А 2).

3) Получаем: Р(А 1 + А 2) = 0,6 + 0,8 - 0,6 0,8 = 0,92.
Если события несовместны, то Р(А В) = 0 и Р(А + В) = = Р(А) + Р(В).

Пример 20.

В урне находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих одинаковых по размеру шаров. Какова вероятность, что шар, случайным образом извлеченный из урны, будет цветным (не белым)?

1) Пусть событие А - извлечение красного шара из урны,
событие В - извлечение синего шара. Тогда событие (А + В)
есть извлечение цветного шара из урны.

2) Р(А) = 3/10, Р(В) = 5/10.

3) События А и В несовместны, так как извлекается только
один шар. Тогда: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,3 + 0,5 = 0,8.

Пример 21.

В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Какова вероят­ность: 1) извлечения из урны белого шара (событие А); 2) из­влечения из урны белого шара после удаления из нее одного шара, который является белым (событие В); 3) извлечения из урны белого шара после удаления из нее одного шара, который является черным (событие С)?

1) Р(А) = = 0,7 (см. классическую вероятность).

2)Р В (А) = = 0,(6).

3) Р С (А) = | = 0,(7).

Пример 22.

Механизм собирается из трех одинаковых деталей и счита­ется неработоспособным, если все три детали вышли из строя. В сборочном цехе осталось 15 деталей, из которых 5 нестандарт­ных (бракованных). Какова вероятность того, что собранный из взятых наугад оставшихся деталей механизм будет неработос­пособным?

1) Обозначим искомое событие через А, выбор первой не­стандартной детали через А 1 , второй- через А 2 , третьей - через А 3

2) Событие А произойдет, если произойдет и событие А 1 и событие А 2 , и событие А 3 т. е.

А = А 1 А 2 А 3 ,

так как логическое «и» соответствует произведению (см. раз­дел «Алгебра высказываний. Логические операции»).

3) События А 1 , А 2 , А 3 зависимы, поэтому Р(А 1 А 2 А 3) =
= Р(А 1) Р(А 2 /А 1) Р(А 3 /А 1 А 2).

4)Р(А 1) = ,Р(А 2 /А 1) = ,Р(А 3 /А 1 А 2)= . Тогда

Р(А 1 А 2 А 3) = 0,022.

Для независимых событий: Р(А В) = Р(А) Р(В).

Исходя из вышеуказанного, критерий независимости двух событий А и В:

Р(А) = Р В (А) = Р (А), Р(В) = Р А (В) =Р (В).

Пример 23.

Вероятность поражения цели первым стрелком (событие А) равна 0,9, а вероятность поражения цели вторым стрелком (событие В) равна 0,8. Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком?

1) Пусть С - интересующее нас событие; противоположное событие - состоит в том, что оба стрелка промахнулись.

3) Так как при стрельбе один стрелок не мешает другому, то события и независимы.

Имеем: Р() = Р() Р() = =(1 - 0,9) (1 - 0,8) =

0,1 0,2 = 0,02.

4) Р(С) = 1 -Р() = 1 -0,02 = 0,98.

Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти в результате проявления одного и только одного события Н i (i = 1,2,... n) из некоторой полной группы несовместных событий H 1 , H 2,… H n . События этой группы обычно называют гипотезами.

Формула полной вероятности. Вероятность события А рав­на сумме парных произведений вероятностей всех гипотез, об­разующих полную группу, на соответствующие условные ве­роятности данного события А:

Р(А) = , где = 1.

Пример 24.

Имеется 3 одинаковые урны. В первой - 2 белых и 1 чер­ный шар, во второй - 3 белых и 1 черный шар, в третьей урне - 2 белых и 2 черных шара. Из выбранной наугад урны выбира­ется 1 шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

Все урны считаются одинаковыми, следовательно, вероят­ность выбрать i-ю урну есть

Р(H i) = 1/3, где i = 1, 2, 3.

2) Вероятность вынуть белый шар из первой урны: (А) = .

Вероятность вынуть белый шар из второй урны: (А) = .

Вероятность вынуть белый шар из третьей урны: (А) = .

3) Искомая вероятность:

Р(А) = =0.63(8)

Пример 25.

В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик, относительные доли которых: I - 50%, II - 30%, III - 20%. Для продукции фабрик брак соответственно составляет: I - 2%, П - 2%, III - 5%. Какова вероятность того, что изделие этой продукции, случайно приобретенное в магазине, окажется доб­рокачественным (событие А)?

1) Здесь возможны следующие три гипотезы: H 1 , H 2, H 3 -
приобретенная вещь выработана соответственно на I, II, III фабриках; система этих гипотез полная.

Вероятности: P(H 1) = 0,5; Р(Н 2) = 0,3; Р(Н 3) = 0,2.

2) Соответствующие условные вероятности события А рав­ны: (A) = 1-0,02 = 0,98; (A) = 1-0,03 = 0,97; (А) = = 1-0,05 = 0,95.

3) По формуле полной вероятности имеем: Р(А) = 0,5 0,98 + + 0,3 0,97 + 0,2 0,95 = 0,971.

Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса)

Рассмотрим ситуацию.

Имеется полная группа несовместных гипотез H 1 , H 2, … H n , вероятности которых (i = 1, 2, ... п) известны до опыта (вероят­ности априори). Производится опыт (испытание), в результате которого зарегистрировано появление события А, причем изве­стно, что этому событию наши гипотезы приписывали опреде­ленные вероятности (i=1, 2, ...п). Каковы будут вероятности этих гипотез после опыта (вероятности апостериори)?

Ответ на подобный вопрос дает формула апостериорной вероятности (формула Бейеса):

, где i=1,2, ...п.

Пример 26.

Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле для 1-го ракетного комплекса (событие А) равна 0,2, а для 2-го (событие В) - 0,1. Каждый из комплексов производит по одно­му выстрелу, причем зарегистрировано одно попадание в само­лет (событие С). Какова вероятность, что удачный выстрел при­надлежит первому ракетному комплексу?

Решение.

1) До опыта возможны четыре гипотезы:

H 1 = А В - самолет поражен 1 -м комплексом и самолет поражен 2-м комплексом (произведение соответствует логичес­кому «и»),

H 2 = А В - самолет поражен 1 -м комплексом и само­лет не поражен 2-м комплексом,

H 3 = А В - самолет не поражен 1 -м комплексом и са­молет поражен 2-м комплексом,

H 4 = А В - самолет не поражен 1 -м комплексом и са­молет не поражен 2-м комплексом.

Эти гипотезы образуют полную группу событий.

2) Соответствующие вероятности (при независимом действии комплексов):

Р(H 1) = 0,2 0,1 = 0,02;

Р(H 2) = 0,2 (1-0,1) = 0,18;

Р(Н 3) = (1-0,2) 0,1 = 0,08;

Р(H 4) = (1-0,2) (1-0,1) = 0,72.

3) Так как гипотезы образуют полную группу событий, то должно выполняться равенство = 1.

Проверяем: Р(H 1) + Р(Н 2) + Р(H 3) + Р(H 4) = 0,02 + 0,18 + + 0,08 + 0,72 = 1, таким образом, рассматриваемая группа гипо­тез верна.

4) Условные вероятности для наблюдаемого события С при данных гипотезах будут: (С) = 0, так как по условию задачи зарегистрировано одно попадание, а гипотеза H 1 , предполагает два попадания:

(С) = 1; (С) = 1.

(С) = 0, так как по условию задачи зарегистрировано одно попадание, а гипотеза H 4 предполагает отсутствие попаданий. Следовательно, гипотезы H 1 , и H 4 отпадают.

5)Вероятности гипотез H 2 и H 3 вычисляем по формуле Бейеса:

0,7, 0,3.

Таким образом, с вероятностью приблизительно 70% (0,7) можно утверждать, что удачный выстрел принадлежит первому ракетному комплексу.

5.4. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины

Достаточно часто на практике рассматриваются такие испытания, в результате реализации которых случайным образом получается некоторое число. Например, при бросании игрального кубика выпадает число очков от 1 до 6, при взятии 6 карт из колоды можно получить от 0 до 4 тузов. За определенный промежуток времени (скажем, день или месяц) в городе регистрируется то или иное количество преступлений, происходит какое-то количество дорожно-транспортных происшествий. Из орудия производится выстрел. Дальность полета снаряда также принимает какое-либо значение случайным образом.

Во всех перечисленных испытаниях мы сталкиваемся с так называемыми случайными величинами.

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной .

Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей изучала главным образом случайные события, то современная теория вероятностей преимущественно имеет дело со случайными величинами.

Далее будем обозначать случайные величины прописными латинскими буквами X, Y, Z и т.д., а их возможные значения – соответствующими строчными x, y, z. Например, если случайная величина имеет три возможных значения, то будем обозначать их так: , , .

Итак, примерами случайных величин могут быть:

1) количество очков, выпавших на верхней грани игрального кубика:

2) число тузов, при взятии из колоды 6 карт;

3) количество зарегистрированных преступлений за день или месяц;

4) число попаданий в мишень при четырех выстрелов из пистолета;

5) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия;

6) рост случайно взятого человека.

Можно заметить, что в первом примере случайная величина может принять одно из шести возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Во втором и четвертом примерах число возможных значений случайной величины пять: 0, 1, 2, 3, 4. В третьем примере значением случайной величины может быть любое (теоретически) натуральное число или 0. В пятом и шестом примерах случайная величина может принимать любое действительное значение из определенного промежутка (а , b ).

Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной (дискретно распределенной).

Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Для задания случайной величины недостаточно перечислить ее всевозможные значения. Например, во втором и в третьем примерах случайные величины могли принимать одни и те же значения: 0, 1, 2, 3 и 4. Однако вероятности, с которыми эти случайные величины принимают свои значения, будут совершенно разными. Поэтому для задания дискретной случайной величины кроме перечня ее всех возможных значений нужно еще указать их вероятности.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называютзаконом распределения дискретной случайной величины. , …, Х=

Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Он является одним из форм закона распределения.

Пример 27. Случайным образом бросается монета. Построить ряд и многоугольник распределения числа выпавших гербов.

Случайная величина, равная количеству выпавших гербов, может принимать два значения: 0 и 1. Значение 1 соответствует событию - выпадение герба, значение 0 – выпадению решки. Вероятности выпадения герба и выпадения решки одинаковы и равны . Т.е. вероятности, с которыми случайная величина принимает значения 0 и 1, равны . Ряд распределения имеет вид:

X
p

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Общая постановка задачи: известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями. В этих задачах возникает необходимость в таких действиях над вероятностями, как сложение и умножение вероятностей.

Например, на охоте проиведены два выстрела. Событие A - попадание в утку с первого выстрела, событие B - попадание со второго выстрела. Тогда сумма событий A и B - попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов.

Задачи другого типа. Даны несколько событий, например, монета подбрасывается три раза. Требуется найти вероятность того, что или все три раза выпадет герб, или того, что герб выпадет хотя бы один раз. Это задача на умножение вероятностей.

Сложение вероятностей несовместных событий

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

• взаимно независимыми;
• взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

• вероятность того, что победят обе автомашины;
• вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле.

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей . Решение простейших задач на определение вероятности с использованием сложения вероятностей.

Методические указания по теме 3.1:

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей:

Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связан с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным , а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, - невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Вероятностью события называется отношение числа исходов m , благоприятствующих наступлению данного события , к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. . Невозможному событию соответствует вероятность , а достоверному - вероятность

Пример 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Общее число различных исходов есть n = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m = 200. Согласно формуле, получим .

Пример 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через . Общее число случаев . Число случаев m , благоприятствующих появлению события , равно 3. По формуле получим .

Пример 3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров через . Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12 + 8) по два:

Число случаев m , благоприятствующих событию , составляет

По формуле находим вероятность появления двух черных шаров:

Теорема сложения вероятностей. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей:

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равно сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Пример 4. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере она из взятых деталей окажется стандартной.

Очевидно, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдет любое из трех несовместных событий: B - одна деталь стандартная, две нестандартные; C - две детали стандартные, одна нестандартная и D - три детали стандартные.

Таким образом, событие A можно представить в виде суммы этих трех событий: A = B + C + D. По теореме сложения имеем P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Находим вероятность каждого из этих событий:

Сложив найденные величины, получим

Пример 5. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Пусть A - событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а B - в том, что оно кратно 5. Найдем Так как A и B совместные события, то воспользуемся формулой:

Всего имеется 90 двузначных чисел: 10, 11, 98, 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события A ); 18 - кратными 5 (благоприятствуют наступлению события B ) и 6 - кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события AB ). Таким образом, т.е.

Теорема умножения вероятностей:

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

Пример 6. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой - 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Пусть - появление белого шара из первой урны, а - появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события и независимы. Найдем

По формуле получим:

Вопросы для самопроверки по теме 3.1:

1. Что такое событие?

2. Какие события называются достоверными?

3. Какие события называются невозможными?

4. Дать определение вероятности.

5. Сформулировать теорему сложения вероятностей.

6. Сформулировать теорему умножения вероятностей.

Задания для самостоятельного решения по теме 3.1:

1. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

2. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным или красным.

3. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

4. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа ни один и автоматов не потребует внимания рабочего.

5. В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

6. В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара окажутся черными.

Начнем с задачи.

Предположим, что вероятность получения вами пятерки за контрольную равна 0,5, а четверки - 0,3. Какова вероятность того, что за контрольную вы получите 4 или 5?

Некоторые сразу выпалят: «0,8», но почему именно так? Почему, например, не 0,15 (перемножили, а не сложили)? Разберемся.

Предположим, есть некоторый опыт, у которого есть исходов. Из них наступлению события благоприятны , а событию - . Нетрудно по формуле найти вероятности наступления каждого из событий - это соответственно и . Но какова вероятность того, что наступит либо первое событие, либо второе? Иначе говоря, мы ищем вероятность объединения этих событий. Для этого надо выяснить, сколько у нас благоприятных исходов. ? Не совсем. Ведь может случиться так, что эти события выполнятся одновременно.

Тогда предположим, что события непересекающиеся, то есть не могут выполняться одновременно. Вот тогда получаем, что благоприятных исходов для объединения - . Значит, вероятность объединения будет равна:

Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Обратим внимание: здесь речь идет об ОДНОМ эксперименте, в результате которого может наступить либо первое событие, либо второе, но не оба сразу.

В частности, в примере с контрольной мы понимаем, что ученик не может одновременно получить за контрольную и 5, и 4 (речь идет об одной оценке за одну и ту же контрольную), значит, вероятность того, что он получит 4 или 5, равна сумме вероятностей, то есть, все-таки, 0,8.

Ответ: 0,8.

А что делать, если события пересекаются, то есть существуют исходы, благоприятные для них обоих? Такая ситуация будет рассмотрена в конце урока.

2. Математический форум Math Help Planet ()

3. Интернет-сайт "Математика, которая мне нравится" ()

Домашнее задание

1. Два стрелка стреляют по мишени. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,9. Второй стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

2. Случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Одна из игральных костей окрашена в синий цвет, другая - в красный. Найти вероятность того, что на синей игральной кости выпадет число 3, а на красной игральной кости выпадет число 4.