Все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Пирамида (геометрия)

Многогранники. Основные элементы. Выпуклые и невыпуклые многогранники.

Многогранник – это ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называется ее гранями, их стороны – ее ребрами, а их вершины – вершинами многогранной поверхности. Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащей одной грани, наз-ся диагоналями . Простой многогранник (двумерный или трехмерный) называется выпуклым , если он расположен по одну сторону от любой плоскости, содержащей его грань (н-р: куб, призма, пирамиды, усеченные пирамиды и др.). Теорема Декарта – Эйлера о многогранниках. Т1: Сумма числа вершин и числа граней выпуклого многогранника на 2 единицы больше числа его ребер (В+Г=Р+2). Т2: Эйлерова характеристика выпуклого многогранника равна двум. Выпуклые правильные многогранники. Многогранник наз-ся правильным, если все его грани правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны и правильны. Многогранный угол наз-ся правильным, если все его двугранные углы равны между собой и все его плоские углы равны между собой. Примечание: 1. Говорят, что 2 правильных многогранника относятся к одному типу, если у них одинаковы следующие характеристики: число вершин – В, число граней – Г, число ребер – Р, число вершин у каждой грани – n, число граней в каждой вершине s. 2. Не следует путать выпуклые правильные многогранники с правильной призмой, правильной пирамидой, прав.усеченной пирамидой, т.к. у названных фигур равны только ребра оснований, а боковые ребра могут быть и не равны ребрам основания и, кроме того, не все их грани являются равными многоугольниками. Существует 5 типов правильных выпуклых многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Невыпуклый многогранник – многогранник, расположенный по разные стороны от плоскости одной из его граней. Существует 4 типа (или тела Кеплера - Пуансо): Большой икосаэдр, Малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр.

Призма. Основные элементы. Прямая и наклонная призмы. Правильная призма. Построение изображения призмы.

Призма – многогранник, у которого 2 грани, называемые основаниями призмы, равны и их соответственные стороны параллельны, а остальные грани – параллелограммы, у каждого из которых 2 стороны являются соответственными сторонами оснований. Стороны боковых граней называются ребрами оснований, стороны оснований называются ребрами оснований, вершины оснований наз-ся вершинами призмы. Все равны между собой, равны и параллельны соотв.стороны оснований. Высотой призмы наз-ся расстояние между плоскостями и ее основаниями. Призма называется прямой , если её боковые ребра перпендикулярны основанию. В такой случае боковые ребра являются высотой прямой призмы. У прямой призмы боковые грани – прямоугольники. Наклонная призма – призма, боковые ребра которой не перпендикулярны основанию. Прямая призма называется правильной, если ее основанием является правильный многогранник. Построение : сначала строится одно из оснований. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.

Параллелепипед. Основные элементы. Свойства параллелепипеда. Прямой и прямоугольный параллелепипед. Куб. Построение изображения парал-да и куба.

Параллелепипед – призма, у которой основание – параллелограмм. Параллелепипед имеет 8 вершин, 12 ребер, 6 граней. Эл-ты: 2 грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро – смежными. Две вершины парал-да, не принадлежащие одной грани, наз-ся противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, наз-ся диагональю парал-да. Длины трех ребер прямоугольного парал-да, имеющих общую вершину, наз-т его измерениями. Свойства : 1. В параллелепипеде все его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. 2. Противоположные грани парал-да попарно равны и параллельны. 3. Боковые грани прямого параллелепипеда - прямоугольники. 4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Прямоугольный параллелепипед – прямой параллелепипед, основание которого прямоугольники, параллельные и равные между собой. Прямой параллелепипед - это параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны основанию. Однако в основании прямого параллелепипеда в общем случае лежит параллелограмм. А вот в основании прямоугольного параллелепипеда - обязательно прямоугольник. Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, т.е. все грани которого – квадраты. Квадрат диагонали куба = 3*А (в квадрате), А – измерение куба. Построение: Построить параллелепипед можно с помощью обычной и треугольной линейки. Суть построений заключается в параллельном проведении всех линий геометрической фигуры; Чтобы построить куб во всех этих положениях, достаточно построить переднюю грань, провести линии из четырех углов в точку схода, отложить на этих линиях верхние и нижние ребра и соединить их между собой.

Пирамида. Основные элементы. Правильная пирамида, её свойства. Построение изображения пирамиды.

Пирамида - многогранник, одна грань которого плоский многоугольник (основание пирамиды), а остальные грани (боковые грани) - треугольники с общей вершиной, а их общая вершина - вершина пирамиды.

Высота - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, а также длина этого перпендикуляра.

Пирамида называется правильной , если её основание - правильный многоугольник и высота проходит через центр этого многоугольника.

Высота боковой грани правильной пирамиды - апофема .

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания - диагональное сечение пирамиды.

Свойства правильной пирамиды:

1. Апофемы равны.

2. Высота проходит через центр основания.

3. Боковые ребра равны между собой

4. все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

5.площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

6. все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы

7. все высоты боковых граней равны между собой

Чтобы изобразить правильную пирамиду , сначала чертят правильный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок OS, изображающий высоту пирамиды. Точку S соединяют со всеми вершинами основания.

Формула площади боковой поверхности для правильной пирамиды: ½ h * P основания

Нам хорошо известны великие египетские пирамиды, каждый может представить себе, как они выглядят. Это представление и поможет нам разобраться в особенностях такой геометрической фигуры, как пирамида.

Пирамида – это многогранник, состоящий из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания. Отрезки, которые соединяют вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами. На рис. 1 изображена пирамида SABCD. Четырёхугольник ABCD – основание пирамиды, точка S – вершина пирамиды, отрезки SA, SB, SC и SD – рёбра пирамиды.

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. На рис. 1 SO – высота пирамиды.

Пирамида называется n-угольной, если её основанием является n-угольник. На рисунке 1 изображена четырёхугольная пирамида. Треугольная пирамида называется тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Боковые рёбра у правильной пирамиды равны, а, следовательно, боковые грани являются равнобедренными треугольниками. В правильной пирамиде высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, называется апофемой.

Пирамида обладает рядом свойств.

Все диагонали пирамиды принадлежат её граням.

Если все боковые ребра равны, то:

• около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, и, наоборот, если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Рассмотрим формулы для нахождения объёма, площади поверхности пирамиды.

Объём пирамиды можно вычислить по следующей формуле:

где S – площадь основания, а h – высота.

Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, необходимо воспользоваться формулой:

S p = S b + S o ,

где S p – площадь полной поверхности, S b – площадь боковой поверхности, S o – площадь основания.

Усечённой пирамида – это многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Грани усечённой пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усечённой пирамиды, остальные грани называются боковыми гранями. Основаниями усечённой пирамиды являются подобные многоугольники, боковыми гранями – трапеции. Усечённая пирамида, которая получается из правильной пирамиды, называется правильной усечённой пирамидой. Боковые грани правильной усечённой трапеции представляют собой равные равнобокие трапеции, их высоты называются апофемами.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

§ 114. ПИРАМИДА.

1. Определения.

Пирамидой называется геометрическое тело, ограниченное многоугольником, называемым основанием пирамиды, и треугольниками с общей вершиной, которые называются боковыми гранями.

Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на её основание (черт. 426).

Пирамида, у которой основанием служит правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания, называется правильной. Боковые грани правильной пирамиды - равные между собой равнобедренные треугольники.

Выcота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из вершины на сторону основания, называется апофемой пирамиды.

На чертежах 427, 428, 429 даны изображения и развёртки правильных пирамид: треугольной, четырёхугольной и шестиугольной. На чертеже 430 изображены египетские пирамиды.

Упражнения.

Сделать развёртки правильных пирамид, изображённых на чертежах 427, 428, 429, и изготовить из них модели пирамид.

2. Площадь поверхности пирамиды.

Чтобы определить площадь боковой поверхности пирамиды, надо найти сумму площадей всех её боковых граней.

Если к площади боковой поверхности пирамиды прибавить площадь её основания, получится площадь полной поверхности пирамиды.

Для краткости говорят: боковая поверхность пирамиды и полная поверхность пирамиды, опуская слово «площадь».

Упражнения.

1. В основании правильной пирамиды - треугольник со стороной в 12 см. Апофема пирамиды - 20 см.

Вычислить:
а) площадь основания,
б) боковую поверхность,
в) полную поверхность этой пирамиды.

2. Боковые грани правильной треугольной пирамиды - равносторонние треугольники. Сторона основания равна а см. Вычислить боковую и полную поверхность этой пирамиды (черт. 431).

3. Решить вторично эту задачу, расположив грани пирамиды в виде параллелограмма (черт. 432).

3. Объём пирамиды.

В старших классах средней школы доказывается, что объём пирамиды составляет 1 / 3 объёма призмы, имеющей одинаковое основание с пирамидой и одну и ту же высоту (черт. 433).

Следовательно, объём пирамиды вычисляется по формуле:

где V-объём пирамиды, S - площадь основания, H - высота пирамиды.

Для иллюстрации этой формулы рекомендуется сделать из картона прямую четырёхугольную призму и четырёхугольную пирамиду, имеющие равные основания и равные высоты. Если эту пирамиду заполнить, например, песком и затем пересыпать этот песок в сделанную призму, то песок заполнит только 1 / 3 вместимости призмы. Чтобы заполнить призму песком, необходимо трижды пересыпать в неё песок из заполненной пирамиды (черт. 434).

Упражнения.

По указанной выше формуле решить ряд задач по данным, помещённым в нижеследующей таблице.

Пирамида — это многогранник , у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды . Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр. Четырехугольная — пятигранник и т.д.

Пирамида , Усеченная Пирамида

Правильная пирамида

Если основание пирамиды — правильный многоугольник , а высота опускается в центр основания, то — пирамида правильная. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется — апофема правильной пирамиды .

Усеченная пирамида

Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида . Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, была правильной. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды .

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.