Что такое математика. История математики
Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом… … Энциклопедия Кольера
История науки … Википедия
Данная статья часть обзора История математики. Содержание 1 Древность и средневековье 2 XVII век 3 … Википедия
Учение о сущности математического знания и о базовых принципах математических доказательств, раздел философии науки; её можно также назвать «метаматематикой». Содержание 1 Возможность оснований математики 2 Литература … Википедия
Данная статья часть обзора История математики. Научные достижения индийской математики широки и многообразны. Уже в древние времена учёные Индии на своём, во многом оригинальном пути развития достигли высокого уровня математических знаний.… … Википедия
Научно исследовательский институт математики и механики имени академика В. И. Смирнова (НИИММ СПбГУ) структурное подразделение Санкт Петербургского государственного университета. Выполняет организационную роль, является материальной базой для… … Википедия
Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия
Дискретная математика область математики, занимающаяся изучением дискретных структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в её приложениях. К числу таких структур могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Анализ. Математический анализ совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей… … Википедия
Способ построения теории, при к ром в ее основу кладутся нек рые ее положения – аксиомы или постулаты, – из к рых все остальные положения теории (теоремы) выводятся путем рассуждений, называемых д о к а з а т е л ь с т в а м и. Правила, по к рым… … Философская энциклопедия
Книги
- Специальные разделы математики. Практикум , В. А. Крамарь, В. А. Карапетьян, В. В. Альчаков. Рассмотрены специальные разделы математики, которые используются при изучении ряда специализированных дисциплин по направлению&171;Управление в технических системах&187;. Приведены основные…
- Вероятностные разделы математики: Учебник для бакалавров технических направлений (под общ. ред. Максимова Ю. Д.) , Амосова Н.Н., Куклин Б.А., Макарова С.Б. и др.. …
Математика – наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика - фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.
История математики .
Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:
1. Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
2. Период элементарной математики, начинающийся в VI-V веках до н. э. завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);
3. Период математики переменных величин, охватывающий XVII-XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;
4. Период современной математики - математики XIX-XX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».
Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция - числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, - качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика:сложение, вычитание, умножение и деление чисел.
Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Инкская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.
Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.
Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики - создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика - обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.
Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, - то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику - количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде - одно из главных направлений математического творчества.
Рассмотрим роль математики в химии, медицине и шахматах.
Роль математики в химии
Химия широко использует в своих целях достижения других наук, в первую очередь, физики и математики.
Химики обычно определяют математику упрощенно – как науку о числах. Числами выражаются многие свойства веществ и характеристики химических реакций. Для описания веществ и реакций используют физические теории, в которых роль математики настолько велика, что иногда трудно понять, где физика, а где математика. Отсюда следует, что и химия немыслима без математики.
Математика для химиков – это, в первую очередь, полезный инструмент решения многих химических задач. Очень трудно найти какой-либо раздел математики, который совсем не используется в химии. Функциональный анализ и теория групп широко применяются в квантовой химии, теория вероятностей составляет основу статистической термодинамики, теория графов используется в органической химии для предсказания свойств сложных органических молекул, дифференциальные уравнения – основной инструмент химической кинетики, методы топологии и дифференциальной геометрии применяются в химической термодинамике.
Выражение «математическая химия» прочно вошло в лексикон химиков. Многие статьи в серьезных химических журналах не содержат ни одной химической формулы, зато изобилуют математическими уравнениями.
Симметрия – одно из основных понятий в современной науке. Она лежит в основе фундаментальных законов природы, таких как закон сохранения энергии. Симметрия – очень распространенное явление в химии: практически все известные молекулы либо сами обладают симметрией какого-либо рода, либо содержат симметричные фрагменты. Так что, пожалуй, в химии труднее обнаружить несимметричную молекулу, чем симметричную.
Взаимодействие химиков и математиков не ограничивается решением только химических задач. Иногда и в химии возникают абстрактные задачи, которые приводят даже к появлению новых областей математики
Роль математики в медицине
Недаром многие люди называли математику царицей наук, так как применений этой науки можно найти в любой сфере деятельности человека. Однако ценность математики в таких менее строгих науках как «медицина и биология» – нередко ставится под сомнение. Так как шанс добиться наиболее точных результатов анализов или экспериментов равен нулю. Этот фактор можно объяснить тем, что наш мир в целом очень изменчив, и сложно предугадать, что будет с тем или иным предметом анализа.
Математика в медицине наиболее чаще используется в вопросах моделирования как метод научного анализа. Однако этот метод начал использоваться ещё в древности в таких отраслях как: архитектура, астрономия, физика, биология, и вот с недавних лет – медицина. В настоящее время накоплен очень богатый запас знаний по поводу инфекционных болезней, не только симптоматика, но и течение болезни, результаты фундаментальных анализов, касающиеся механизма взаимодействия антигенов и антител на различном уровне детализации: макроскопическом, микроскопическом, вплоть до генетического уровня. Эти методы исследований позволили подойти к построению математических моделей иммунных процессов.
На этом математика в медицине не останавливается, она также используется в таких узких специальностях как педиатрия, акушерство.
А сколько методов подсчёта существует в ходе употребления антибиотиков. В фармацевтике особенно важна математика. Ведь нужно точно рассчитать, сколько нужно ввести препарата определенному человеку в зависимости от его личных характеристик, и даже сам состав лекарственного вещества нужно рассчитывать, чтобы нигде не ошибиться. Врачи фармацевты ломают себе головы, чтобы найти тот или наиболее выгодный компонент для цепочки формулы любого лекарства.
Роль математики в медицине бесценна, без этой науки (в целом) ничего невозможно, недаром она считается «царицей». Сейчас даже многие авторы пишут книги по поводу математики, о том какой неоценимый вклад был ею сделан.
Роль математики в шахматах
У шахмат и математики много родственного. Выдающийся математик Годфри Харальд Харди заметил однажды, что решение проблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а сама игра - насвистывание математических мелодий. Формы мышления математика и шахматиста очень близки, и не случайно математики часто бывают способными шахматистами.
Среди крупных ученых, специалистов в области точных наук, известно немало сильных шахматистов, например, математик академик А. А. Марков, механик академик А. Ю. Ишлинский, физик академик, лауреат Нобелевской премии П. Л. Капица.
Шахматы постоянно используются для иллюстрации различных математических понятий и идей. Шахматные примеры и термины можно встретить в литературе, теории игр и т. д. Важ.
Шахматная математика - один из самых популярных жанров занимательной математики, логических игр и развлечений. Впрочем, некоторые шахматно-математические головоломки так сложны, что видные математики разрабатывали для них специальный математический аппарат.
Почти в каждом сборнике олимпиадных математических задач или книге головоломок и математических досугов можно найти красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур. Многие из них имеют интересную историю, привлекали к себе внимание известных ученых.
Шахматы постоянно используются для иллюстрации различных математических понятий и идей. Шахматные примеры и термины можно встретить в литературе, теории игр и т. д. Важное место занимают шахматы в «компьютерной науке».
Без знаний математики невозможно решить многие задачи на шахматной доске. Не усвоив математических знаний трудно понять, что совершается в области математики теперь, в области других наук. Так что роль математики в жизни общества возрастает с каждым днем.
Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом , либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом, первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики .
Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук , и как часть математических наук; механика - и физика , и математика; информатика , компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии , так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики.
Этимология
Слово «математика» произошло от др.-греч. μάθημα , что означает изучение , знание , наука , и др.-греч. μαθηματικός , первоначально означающего восприимчивый, успевающий , позднее относящийся к изучению , впоследствии относящийся к математике . В частности, μαθηματικὴ τέχνη , на латыни ars mathematica , означает искусство математики . Термин др.-греч. μᾰθημᾰτικά в современном значении этого слова «математика» встречается уже в трудах Аристотеля (IV век до н. э.). По мнению Фасмера в русский язык слово пришло либо через польск. matematyka , либо через лат. mathematica .
Определения
Одно из первых определений предмета математики дал Декарт :
К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.
В советское время классическим считалось определение из БСЭ , данное А. Н. Колмогоровым :
Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, - именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм - математических структур.
Разделы математики
1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику , изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:
- элементарная геометрия : планиметрия и стереометрия
- теория элементарных функций и элементы анализа
4. Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification . Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия - это MSC 2010 . Предыдущая версия - MSC 2000 .
Обозначения
Поскольку математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений в ней также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также потребностей возникших позднее разделов математики - математического анализа , математической логики , теории множеств и др. Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов .
Краткая история
Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки , не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу . Существовало множество различных систем счисления . Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса , созданном египтянами Среднего царства . Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления , включающую концепцию нуля .
Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур , пространств и изменений.
Философия математики
Цели и методы
Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики - создать математическую модель , достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика - обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.
Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, - то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику - количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде - одно из главных направлений математического творчества.
Другое направление, наряду с абстрагированием - обобщение . Например, обобщая понятие «пространство » до пространства n-измерений. «Пространство R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , при n > 3 {\displaystyle n>3} является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях ».
Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода : сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом , а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы , в совокупности образующие математическую модель.
Основания
Интуиционизм
Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику , более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного , многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств - бессмысленными (неформализуемыми).
Конструктивная математика
Конструктивная математика - близкое к интуиционизму течение в математике, изучающее конструктивные построения [прояснить ] . Согласно критерию конструктивности - «существовать - значит быть построенным ». Критерий конструктивности - более сильное требование, чем критерий непротиворечивости.
Основные темы
Количество
Основной раздел, рассматривающий абстракцию количества - алгебра . Понятие «число» первоначально зародилось из арифметических представлений и относилось к натуральным числам . В дальнейшем оно, с помощью алгебры , было постепенно распространено на целые , рациональные , действительные , комплексные и другие числа.
|
|||||||||
| 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … {\displaystyle 1,\;-1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots } | Вещественные числа | ||||||||
Преобразования
Явления преобразований и изменений в самом общем виде рассматривает анализ .
| 36 ÷ 9 = 4 {\displaystyle 36\div 9=4} | ∫ 1 S d μ = μ (S) {\displaystyle \int 1_{S}\,d\mu =\mu (S)} | ||
| Арифметика | Дифференциальное и интегральное исчисление | Векторный анализ | Анализ |
| d 2 d x 2 y = d d x y + c {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y={\frac {d}{dx}}y+c} | |||
| Дифференциальные уравнения | Динамические системы | Теория хаоса |
Структуры
Пространственные отношения
Основы пространственных отношений рассматривает геометрия . Тригонометрия рассматривает свойства тригонометрических функций . Изучением геометрических объектов посредством математического анализа занимается дифференциальная геометрия . Свойства пространств, остающихся неизменными при непрерывных деформациях и само явление непрерывности изучает топология .
 |
 |
 |
 |
||
| Геометрия | Тригонометрия | Дифференциальная геометрия | Топология | Фракталы | Теория меры |
Дискретная математика
| ∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) {\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x"))} |  |
 |
 |
Диссертации - кандидатская и магистерская, дипломные и курсовые работы, решение задач по специальности код ВАК 01.01.00 математика
Высшая математика
Математический анализ
Дифференциальные уравнения
Математическая физика
Геометрия и топология
Теория вероятностей и математическая статистика
Математическая логика, алгебра и теория чисел
Вычислительная математика
Дискретная математика и математическая кибернетика
Математическое обеспечение вычислительных машин и систем
Системный анализ и автоматическое управление
Д иссертации - магистерская, кандидатская, НИР помощь на заказ. Консультации бесплатно!
Вы можете писать диссертацию самостоятельно или выбрать компанию, которая оказывает помощь в подготовки диссертационной работы по математике . Если у Вас еще не сформулирована тема диссертационного исследования, то на начальном этапом сотрудничества с нашей компанией являться подбор оптимальный темы для Вашей кандидатской или магистерской диссертации, научной статьи или НИР по математике
Только после согласования темы мы приступаем к подготовки плана диссертации, который необходимо согласовать с Вашим научным руководителем диссертации. Важно понимать, что в будущем формулировки плана возможно будет меняться, уточняться, но стратегия работы должна оставаться неизменной в рамках Вашего исследования, что поможет выполнить все необходимые поправки, исправления и дополнения.
При подготовки диссертации по математике на заказ происходит отдельными этапами, каждый из которых проверяется и согласовывается с Вашим научным руководителем.
Мы предлагаем Вам помощь и консультирование в написании диссертации и гарантируем ее высокое качество, актуальность и практическую значимость работы.
Каждая работа уникальна. Каждая работа пишется исключительно под заказ определенного единственного клиента.
Дипломная работа или проект по математике, алгебре, геометрии,
диплома с расчетами
На студента во время учебы возлагается не малая нагрузка, именно поэтому вы сможете воспользоваться нашей услугой, заказать помощь в подготовке дипломной работы по математике . С помощью наших специалистов вы получите уникальную и грамотно выстроенную дипломную работу по математике с учетом всех требований вашего ВУЗа и пожеланий научного руководителя. Постигать математику в ВУЗе – нелегкая задача даже для самого продвинутого студента.
Матема́тика в переводе с древнегреческого означает - изучение, наука. Это наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившихся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы предмета или объекта. Математические объекты основываются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке.
Математика не является естественной наукой, но обширно применяется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов.
Математика - фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и содействует определению самых общих законов мироздания. Эта наука связана с множеством расчетов, формул, уравнениями и терминами. Постигая математику, очень сложно не заблудиться во всех этих нескончаемых цифрах и вычисления. Сложность данной науки заключается также в ее многогранности, ведь она включает в себя множество разделов:
Алгебра
Алгебра логики
Вариационная статистика и вариационное исчисление
Интегральное и дифференциальное исчисление
Теория вероятностей
Высшая математика
Дискретная математика
Теория игр
Комбинаторика
Логика высказываний
Аналитическая геометрия
Математическая логика
Математическая статистика
Матричная алгебра
Теория множеств
Традиционно математика делится:
*теоретическая, которая выполняет углублённый анализ внутриматематических структур,
*прикладная, которая предоставляет свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, при этом некоторые из них занимают пограничное с математикой положение.
Например, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук, а механика - и физика, и математика, так же информатику, компьютерные технологии и алгоритмика можно отнести как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д.
Помощь в выполнении дипломной работы нашими профессиональными авторами предусматривает написание грамотной, актуальной и хорошо структурированной работы, которая будет выгодно отличаться от остальных дипломных по математике. иплом по математике , алгебре или геометрии , а так же другим математическим дисциплинам будет написан с высоким уровнем уникальности, оформлением литературных источников и практической части в соответствии с ГОСТом. Все заказанные в нашей компании материалы проходят проверку в системе «аниплагиат».
При подборе материала и выполнении дипломной работы по высшей математике наши авторы точно соблюдают сроки сдачи дипломного исследования, потому что заботятся о личном времени заказчика. Мы сами были студентами и понимаем всю волнительность данного момента! Только поэтому прежде, чем купить диплом по математике , необходимо четко и максимально ясно изложить свои требования и пожелания к дипломному проекту. Стоимость работы в нашей компании вполне демократична.
Делая заказ дипломного проекта у наших специалистов в итоге вы получите обстоятельно раскрытую тему в теоретической части, которая дополнена множеством вычислений в практической части, а в заключении сделаны правильные выводы. Готовый диплом по математике будет содержать все необходимые приложения и сопроводительные документы. Так же подготовка материала и выполнение дипломной работы на заказ по вашему требованию будет иметь речью для выступления во время защиты.
Услуги помощь в подготовки дипломных работ – наша работа, которую мы для вас выполним со всей ответственность и пониманием того, что дипломная работа решающий момент вашей жизни. Цена дипломного проекта по высшей математике вас приятно удивят, она одна из самых дешевых в Москве и России. Мечтаете об успешном окончании ВУЗа?
Оптимизируйте учебный процесс и заручитесь поддержкой профессионалов!
Сейчас на просторах интернета можно найти великое множество курсовых работ по всем дисциплинам и на множество темы. Но большое количество таких курсовых работ просто выполнено с грамматическими ошибками или оформлены не по ГОСТу, а за частую в них просто не раскрыта тема курсовой работы . Поэтому наша команда рекомендует вам заказать помощь в подготовке работы у профессиональных авторов, которые многие годы оказывают помощь в выполнении курсовые работы по алгебре , геометрии и математике на любые темы, любого объема, с обязательной проверкой в системе «антиплагиат». Вы можете абсолютно не сомневаться в том, что курсовое исследование с нашей помощью на заказ удовлетворит все требования вашего научного руководителя, и вы сможете получить высокую оценку.
Если вы решили купить помощь в выполнении курсовую работу с расчетами по следующим математическим дисциплинам: алгебра, алгебра логики, вариационная статистика и вариационное исчисление, интегральное и дифференциальное исчисление, теория вероятностей, высшая математика, дискретная математика, теория игр, комбинаторика, логика высказываний, аналитическая геометрия, математическая логика, математическая статистика, матричная алгебра, теория множеств, то вы в нужное время и в нужном месте.
Вы получите быстрый результат за доступную цену. Для того, чтобы ваша курсовая работа по геометрии , алгебре, математике получила отличную оценку, она должна касаться интересной темы. Тема также должна быть в какой-то мере уникальной. Если тема курсовой работы по математике будет редкой, тогда и работа будет сложнее писаться, но и лучше оцениваться. Вы же понимаете, что поощряется интерес студента к сложным темам. Но стоит отметить тот факт, что если купить помощь в выполнении курсовой работы на интересную и более сложную тему, придется платить немного больше обычного, но это стоит того. Ваша курсовая может стать продолжением вашего дипломного проекта. Помощь студентам – наша работа!
Решение задач по высшей математике, помощь в выполнении на заказ
Не у всех студентов и учащихся все в порядке с математикой, эта научная дисциплина очень многогранна и сложна для восприятия. Если склад ума у вас не математический, а гуманитарный, будет лучше заказать помощь в решении задач по высшей математике, что позволит высвободить время для более важных для занятий. Это могут быть самые разнообразные задания:
Интегралы
Производные
Сотрудничайте с нами - мы готовы к самым сложным заказам!Математика - одна из отраслей наук. Термин математика произошел от древнегреческого глагола manthano (я изучаю). Ясно, что он недостаточен для характеристики математики в качестве особой отрасли науки. Но, как очевидно, именно этот вопрос представляет первостепенный интерес. Чтобы приблизиться к его разрешению, целесообразно обратить внимание на те науки, которые входят в состав математики: теория категорий, топология, алгебра, теория чисел и численный анализ, геометрия, математический анализ и анализ функций, теория вероятностей, математическая статистика, исследование операций, компьютерная математика.
Приведенный список содержит всего десять наук. Разумеется, нельзя утверждать, что он исчерпывает весь перечень математических наук, но в первом приближении представляет его в достаточно полном виде.
Многое относительно природы математических наук разъясняет учет истории развития математики. В своем первоначальном античном варианте математика была представлена всего двумя науками, а именно арифметикой и геометрией. Увеличение числа математических наук стало результатом многовекового развития. Причем в этом процессе ярко проявлялись следующие четыре тенденции. Во-первых, происходило обобщение математического знания, результатом которого стало появление алгебры, топологии, а затем и теории категорий. Во-вторых, видоизменялись сами арифметика и геометрия. В ее нынешнем виде арифметика входит в состав теории чисел, которая в свою очередь стоит у истоков анализа и функционального анализа, равно как и теории вероятностей. В-третьих, возникли математические дисциплины, инициированные не столько внутри математики, сколько ее окружением. К этим наукам относятся исследование операций и компьютерная
математика. В-четвертых, выявились многочисленные связи между математическими науками. Надо полагать, что в рамках математики интернаучные связи свидетельствуют о ее единстве (сравните: алгебраическая геометрия, геометрия чисел, алгебраическая теория чисел и т.п.). Указанные тенденции позволяют представить строение современной математики следующим образом (рис. 1.1).
Рис. ,1.1. Современная математика
К нам по поводу рисунка могут быть предъявлены многие претензии (указаны, мол, далеко не все интернаучные связи, относительно скромно изображена правая ветвь рисунка и т.д.). Нам было важно дать некоторый графический образ, который представил бы направление развития математического знания в основном, без учета тех тонкостей, которые нет смысла обсуждать в самом начале исследования. В частности, подчеркнем, что алгебра является обобщением теории чисел. Сходную роль по отношению к геометрии играет топология. В свою очередь теория категорий предстает как обобщение алгебры и топологии. Воспользуемся этим обстоятельством для характеристики специфики математических наук.
Очевидно, что для реализации желания дать предельно лаконичную характеристику математических наук необходимо обратиться к самой общей теории - теории категорий. В противном случае мы рискуем заблудиться в частностях. Математическая категория - это совокупность однотипных математических объектов и отображений (морфизмов) между ними. Итак, необходимо различать класс объектов и класс морфизмов. Крайне существенно, что эти два класса не равнозначны. Дело в том, что не морфизмы каким-то образом извлекаются из объектов, а последние характеризуются посредством морфизмов. Можно выразиться так: морфизмы задают специфику (смысл) объектов. Вполне правомерно утверждать, что математика является наукой о морфизмах. Этим сказано главное. Но приведенное определение математики недостаточно, если руководствоваться негласно установленной нормой, согласно которой при определении специфики той или иной науки непременно нужно характеризовать ее объекты (индивиды). С учетом этой нормы кажется, что можно определить математику следующим образом. Математика - это наука об объектах, изучаемых с точностью до морфизмов. Но это определение уже ошибочно. Дело в том, что математика изучает именно морфизмы, все остальное выходит за область ее компетенции. Выражение «с точностью до морфизмов» предполагает, что за морфизмами есть нечто такое, от чего математики абстрагируются. Математики действительно не изучают все то, что входит в состав других наук. Им нет необходимости абстрагироваться от других наук, вроде бы как «отхватывая» от них лакомый кусочек под названием морфизмы. Математика - самостоятельная наука, а изучает она морфизмы.
Греческое слово morphe означает вид. Имея дело с отображениями, математика изучает объекты одинакового вида. Только и всего. Науки о морфизмах принято называть формальными. Определенные морфизмы изучает не только математика, но и логика. Но она имеет дело не с математическими, а логическими морфизмами. Итак, математика - это наука об особых классах морфизмов. В последующем тексте мы еще не раз вернемся к этому определению. В данном же месте лишь подчеркнем, что все математические объекты, будь то числа, фигуры, кольца, поля, тензоры, векторы, определяются посредством морфизмов.
До сих пор мы рассуждали о математике. Но предметом нашего особого интереса является философия математики. Есть ли в ней необходимость? Если да, то почему?
История развития наук показывает, что до определенной поры они развиваются без философского сопровождения. Час философии науки пробивает лишь после встречи с существенными затруднениями, например парадоксами, которые никак не удается преодолеть. Физики стали философствовать в связи с необходимостью осмыслить проблемы специальной теории относительности и квантовой механики. Философия должна способствовать преодолению затора на пути научной мысли. Объектом изучения становится сама теория. А это означает, что философия науки конституируется как метанаука. Греческая приставка meta означает, что философия науки идет за, после науки. Науку, которая является объектом метанауки, принято называть субнаукой (от лат. sub - под). Если не использовать приставки meta и sub, то наука отождествляется с субнаукой, что неправомерно. Философия математики является наукой в неменьшей степени, чем субматематика. Математика - это единство суб- и метаматематики. Философия математики является наукой о субматематике.
Обратимся к метаморфозам математики, которые в конечном счете как раз и привели к конституированию философии математики.
В III в. до н.э. Евклид изобрел аксиоматическую геометрию. Это изобретение стало рубежом между квазинаучной и научной математикой. Опора на дедукцию позволяла считать геометрические доказательства достоверными, неопровержимыми. До такого рода доказательств не доходила математика Вавилонии и Древнего Египта.
Явный математический успех древних греков вызвал к жизни клубок сложнейших проблем. Что такое точка, прямая, плоскость? Уходят ли непересекающиеся линии в бесконечность? Изобретая весьма необычные математические объекты, греки всегда стремились представить их себе в форме наглядных аналогов. Аналогом геометрической точки является тело маленьких размеров. Тут вроде бы все более или менее ясно. Но что является аналогом параллельных прямых, уходящих в безбрежную даль? На этот вопрос грекам было сложно найти ответ. Понятие математической бесконечности им было чуждо уже постольку, поскольку оно не иллюстрируемо.
Скандал по поводу геометрической бесконечности хорошо известен в связи с дебатами вокруг пятой аксиомы евклидовой геометрии, которую в наши дни связывают с возможностью проведения через точку, находящуюся вне данной прямой, только одной прямой, параллельной исходной (обе прямые должны лежать в одной плоскости). Все попытки вывести пятую аксиому евклидовой геометрии из девяти других заканчивались безрезультатно. Это обстоятельство.рано или поздно должно было навести на мысль, что через точку, находящуюся вне данной прямой, можно провести либо более чем одну, либо вообще ни одной прямой, параллельной исходной линии.
Исторически первая разновидность неевклидовой геометрии была придумана Н.И. Лобачевским (1826). Среди изобретателей неевклидовых геометрий значатся также венгр Я. Больяи и немцы К. Гаусс и
Б. Риман. Открытия геометров вызвали в стане математиков явное замешательство. К. Гаусс, опасаясь окриков коллег, вообще не опубликовал результаты своих изысканий. Почему существует несколько геометрий? Геометрия - наука о пространстве, но оно вроде бы существует в единственном экземпляре. Если одно и то же пространство описывается несколькими геометриями, то какая из них истинна? Н.И. Лобачевский, рассуждая о «воображаемой геометрии», нашел изящный выход из затруднительной ситуации: «Некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой геометрии...». Этот вывод во времена Н.И. Лобачевского не мог быть подтвержден экспериментально. К тому же он имеет не математический, а физический статус. Речь же должна идти о математических аргументах. Математики извлекли ведь свои выводы не из физических экспериментов. Не имея возможности опереться на данные наук о природе, математикам пришлось признать, что геометрия - конструкция чисто математическая. Наиболее последовательно эту идею защищал Г. Грассман (1844).
Создание неевклидовых геометрий, во-первых, способствовало развенчанию эмпиризма в математике. Она, мол, извлекается не из эксперимента, а является продуктом творческого концептуального воображения людей. Во-вторых, благодаря неевклидовым геометриям в математике был создан плацдарм для математического плюрализма. В-третьих, неевклидовы геометрии в яркой форме представили один из типов математического обобщения. Развитие математического познания часто связано с обобщениями. В этой связи полезно вспомнить о расширении понятия числа: натуральные - дробные - отрицательные - рациональные - иррациональные - комплексные числа.
Рассмотрим еще одну линию математического обобщения, истоки которой находятся не в геометрии, а в арифметике. Ее обобщение привело к алгебре, в которой широко используются буквенные обозначения, облегчающие анализ различных числовых систем. Так называемые алгебраические операции сходны со сложением и умножением чисел. Использование в геометрии алгебраических методов превратило ее в аналитическую геометрию. Союз арифметики, алгебры и геометрии в XVII в. кульминировал в концептах переменной (вначале говорили только о переменных величинах), функции, дифференциала, производной. Так возник математический анализ с его ядром, дифференциальным и интегральным исчислением, о достоинствах которого наслышан каждый.
Ь актуальности математического анализа мало кто сомневался, но его основания привели к острейшим разногласиям в стане математиков. Особенно острые споры разразились вокруг статуса так называемых малых зеличин (постоянно напоминала о себе и проблема бесконечности, особенно в связи с расходящимися рядами). Основатели математического анализа Г. Лейбниц и И. Ньютон считали дифференциалы то нулями, то конечными величинами. Споры о природе бесконечно малых величин шли весь XVIII в. Наконец, разгул эклектического плюрализма был прерван идеями О. Коши в двадцатых годах XIX в., которые в конце того же столетия получили дальнейшее развитие в работах Б. Больцано и особенно К. Вейерштрасса.
О. Коши прославился разработкой концепта предела (некоторая переменная в процессе ее изменения неограниченно приближается к какому-то постоянному значению). Как выяснилось, основные понятия математического анализа, в том числе непрерывность, производная, интеграл, определяются посредством концепта предела.
Теория пределов имела важнейшее значение для развития философских. вопросов математики. Во-первых, теория пределов посрамила огромную армию метафизиков, которые пытались разрешить проблемы математического анализа без вхождения в его тонкости. Во-вторых, она продемонстрировала, что сами математики порой с большим трудом находят путь к новым концептам, явно нагруженным философскими моментами. Так, работы О. Коши показали, что в математическом анализе величины являются бесконечно малыми не актуально, а потенциально. В наши дни этот вывод уточнен: надо проводить различие между актуально и потенциально существующими бесконечно малыми величинами. В-третьих, теория пределов опрокинула программу эмпиризма в Математике еще более решительно, чем евклидовы геометрии. Никакой эксперимент не позволяет продемонстрировать, каким образом та или иная переменная достигает своего предела.
. При всех ее достижениях теория пределов в том виде, в каком она существовала в XIX в., обладала и недостатками. Так, при определении предела О. Коши опирался на понятие действительного числа. Но с другой етороны, иррациональные числа, а они, как известно, являются действительными числами, понимались как пределы последовательностей рациональных чисел. Налицо логический круг.
Тесзрия пределов в известной степени справилась с трудностями, связанными со статусом бесконечно малых величин. Но ее недостатки особенно четко выявились при анализе расходящихся рядов с бесконечно большим числом членов. Выяснилось, что при доказательстве теорем в математическом анализе некритически используется понятие актуальной бесконечности. Это и другие обстоятельства укрепили немецкого математика Г. Кантора в необходимости разработать теорию не только конечных, но и бесконечных множеств.
В качестве основателя теоретико-множественного подхода Кантор добился впечатляющих успехов, в частности, разработал понятие мощности множества и доказал несчетность множества всех действительных чисел, т. е. невозможность привести его во взаимнооднозначное соответствие с множеством целых положительных чисел. Таким образом, было установлено существование бесконечных множеств, имеющих разные мощности.
Но рост влияния теории множеств на развитие математики сопровождался нежелательными неожиданностями. Введение таких, казалось бы, очевидных понятий, как «мощность множества всех множеств» сопровождалось появлением парадоксов, число которых множилось. Математики оказались в весьма затруднительном положении: их любимое дитя явно капризничало.
В данном случае нет необходимости рассматривать все парадоксы теории множеств. Обратим внимание лишь на самый знаменитый парадокс, который обнаружил Б. Рассел. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, называются собственными. Множества, включающие себя в качестве элемента, называются несобственными. Примером собственного множества является множество (класс) звезд, которое не является звездой. А вот каталог каталогов является каталогом, следовательно, он образует несобственное множество. Пусть А- множество всех множеств, не содержащее себя в качестве своего элемента. Тогда, если Ане принадлежит А, то, по определению А, Апринадлежит А; если же Апринадлежит А, то, по определению А, А не принадлежит А.
Популярной иллюстрацией парадокса Рассела является история с деревенским брадобреем, который объявил, что он бреет всех, кто не бреет себя сам. Если он не бреет себя сам, то ему надлежит брить себя, что противоречит его объявлению. Но если он бреет себя сам, то он противоречит собственному условию: брить только тех, кто сам себя не бреет. Брадобрей находится в безвыходном положении: брея себя, как и не брея себя, он противоречит своему объявлению.
Парадокс Б. Рассела поставил под сомнение сам концепт множества, именно поэтому он был воспринят математиками крайне нервозно. Следует отметить, что парадоксы теорий множеств в существенной степени стимулировали развитие философии математики. Никогда ранее в математике не ощущалась столь остро потребность в философии.
Ситуация начала XX в. в математике по философской насыщенности напоминает положение дел в квантовой физике, сложившееся в 1920- 1930-х гг. В том и другом случае философствовать были вынуждены даже те, кто этого не желал делать.
Многочисленные пути преодоления парадоксов теории множеств в случае их концептуальной классификации можно считать относящимися по крайней мере к четырем направлениям: логицизму, формализму, интуиционизму и теоретико-множественному подходу. Сторонникам этих четырех направлений так и не удалось прийти к единству мнений. В результате математика стала плюралистичной. В данном случае речь идет не об эклектическом плюрализме, часто предшествующем стадии установления рафинированной теории, а о плюрализме, в рамках которого различие подходов неустранимо.
В качестве заключения к данному параграфу, имея в виду многовековой путь развития философии математики, выделим его важнейшие этапы. Изобретение в III в. до н.э. аксиоматического метода (геометрия Евклида). Достаточно хорошо известно, что это изобретение было подготовлено трудами древнегреческих философов от Фалеса до Аристотеля. Придание алгебре самостоятельного статуса арабскими математиками (Ал-Хорезми и др.) в IX-XI вв. Оно привело к тому, что средневековая алгебра стала обобщением арифметики. Исследования арабских алгебраистов сохраняли тесную преемственность с логическими исследованиями их философского кумира Аристотеля. Именно из его логики арабы позаимствовали традицию оперирования с буквенными обозначениями. Создание философом и математиком Р. Декартом аналитической геометрии и введение им в математику переменных величин (XVII в.). Существует тесная преемственность между философией Декарта с его пристрастием к концепции протяженной субстанции и развитым им вариантом аналитической геометрии. Изобретение Г. Лейбницем и И. Ньютоном дифференциального исчисления (XVII в.). Существует определенный параллелизм между монадологией Лейбница и его математическим анализом. Создание неевклидовых геометрий во второй четверти XIX в. Н.И. Лобачевским, Я. Болъяи, К. Гауссом и Б. Риманом. Лобачевский и Гаусс в философском обосновании своих геометрических прозрений исходили из обусловленности свойств пространства материальными взаимодействиями объектов. Эта идея восходит к работам Лейбница и Аристотеля. Разработка О. Коши концепта предела (1820-е гг.). Чисто философские истоки этого понятия можно обнаружить у Аристотеля, а также у Н. Кузанского. Создание теории актуальных бесконечных множеств (Г. Кантор и др., последняя четверть XIX в.). Ее создатель руководствовался философией Платона. Разработка логицизма как философско-математического направления (Б. Рассел и др.). Расселовский логицизм является продолжением традиций британского эмпиризма с его приверженностью к номинализму. Создание интуиционистского направления в математике (Я. Брауэр, А. Рейтинг и др.). В философском отношении математический интуитивизм восходит к идеям Декарта, Паскаля и Канга. Развитие программы формализма Д. Гильбертом. В творчестве Гильберта отчетливо просматриваются философские идеи Канта. Переход на позиции философско-математического плюрализма. В этом отношении весьма показательно творчество Г. Вейля, умело сочетавшего возможности различных математических подходов1. В наши дни вряд ли вообще возможно найти выдающегося математика, который оставался бы в пределах лишь одного философско-математического направления.
Разумеется, перечисленные выше этапы дают самое общее представление о перипетиях, приведших к развитию философии математики.