Если две прямые в пространстве имеют общую точку, то говорят, что эти две прямые пересекаются. На следующем рисунке, прямые a иb пересекаются в точке A. Прямые а и с не пересекаются.

Любые, две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Параллельные прямые

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и при этом не пересекаются. Для обозначения параллельных прямых используют специальный значок - ||.

Запись a||b означает, что прямая а параллельна прямой b. На рисунке представленном выше, прямые а и с параллельны.

Теорема о параллельных прямых

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и притом только одна.

Скрещивающиеся прямые

Две прямые, которые лежат в одной плоскости, могут либо пересекаться либо быть параллельными. Но в пространстве две прямые не обязательно должны принадлежать оной плоскости. Они могут быть расположены в двух разных плоскостях.

Очевидно, что прямые расположенные в разных плоскостях не пересекаются и не являются параллельными прямыми. Две прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающими прямыми .

На следующем рисунке показаны две скрещивающиеся прямые a и b, которые лежат в разных плоскостях.

Признак и теорема о скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Теорема о скрещивающихся прямых : через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи взаимного расположения прямых в пространстве. Их всего три.

1. Прямые пересекаются. (То есть они имеют лишь одну общую точку.)

2. Прямые параллельны. (То есть они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости.)

3. Прямые скрещиваются. (То есть они расположены в разных плоскостях.)

прямые l1 и l2 называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Пусть а и b - направляющие векторы этих прямых, а точки M1 и M2 принадлежат соответственно прямым и l1 и l2

Тогда векторы а, b, M1M2> не компланарны, и поэтому их смешанное произведение не равно нулю, т. е. (а, b, M1M2>) =/= 0.Верно и обратное утверждение:если (а, b, M1M2>) =/= 0, то векторы а, b, M1M2> не компланарны, и, следовательно, прямые l1 и l2 не лежат в одной плоскости, т. е. скрещиваются.Таким образом, две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда выполнено условие(а, b, M1M2>) =/= 0, где а и b - направляющие векторы прямых, а M1 и M2 - точки, принадлежащие соответственно данным прямым. Условие(а, b, M1M2>) = 0 является необходимым и достаточным условием того, что прямые лежат в одной плоскости. Если прямые заданы своими каноническими уравнениями

то а = (а1; а2; а3), b = (b1; b2;b3), М1 (x1; у1; z1), М2(х2; у2; z2) и условие (2) записывается следующим образом:

Расстояние между скрещивающимися прямыми

это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

26.Определение эллипса, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фокусированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная.При этом не исключается совпадение фокусов эллипсиса.Если вокусы совпадают то эллипсис представляет собой окружность.Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.

Если же в правой части стоит единица со знаком минус, то получившееся уравнение:

описывает мнимый эллипс. Изобразить такой эллипс в действительной плоскости невозможно.Обозначим фокусы через F1 и F2,а расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произ­вольной точки эллипса до фокусов - через 2а

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты:иПусть М(х;у) - произвольная точка эллипса. Тогда, согласно опре­делению эллипса, т. е.

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

27.Определение гиперболы, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которой абсолютная величина разности расстояния до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF 1 – MF 2 |=2a или MF 1 – MF 2 =±2a,

28.Определение параболы, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства . Параболой называется ГМТ плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости. F – фокус параболы; фиксированная прямая – директриса параболы. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4;y 2 =2px;

Свойства : 1.Парабола имеет ось симметрии(ось параболы); 2.Вся

парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Oxy при p>0, и в левой

если p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

АГ.40. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

В координатах

ФМП.3. ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ

функции нескольких переменных - приращение, приобретаемое функцией, когда все аргументы получают (вообще говоря, ненулевые) приращения. Точнее, пусть функция f определена в окрестности точки

n-мерного пространства переменных х 1 , . . ., х п. Приращение

функции f в точке x (0) , где

наз. полным приращением, если оно рассматривается как функция n всевозможных приращений Dx 1 , . . ., Dx n аргументов х 1 , . . ., х п, подчиненных только условию, что точка x (0) +Dx принадлежит области определения функции f. Наряду с П. п. функции рассматриваются частные приращения Dx k f функции f в точке х (0) по переменной х k , т. е. такие приращения Df, для к-рых Dx уj =0, j=1, 2, . . ., k- 1, k+1, . . ., п, k - фиксировано (k=1, 2, . . ., п).

ФМП.4. О: Частным приращением функции z = (х, у) по х называется разность частным приращением по

О: Частной производной по х от функции z = (x, у) называется предел отношения частного приращения к приращению Ах при стремлении последнего к нулю:

Другие обозначения: Аналогично и для перемен-

ной у.

Заметив, что определяется при неизменном у, а - при неизменном х, можно сформулировать правило: частная производная по х от функции z = (х, у) есть обычная производная по х, вычисленная в предположении, что у = const. Аналогично для вычисления частной производной по у надо считать х = const. Таким образом, правила вычисления частных производных те же, что и в случае функции одной переменной.

ФМП.5. Непрерывность функций. Определение непрерывности функции

Функция , называется непрерывной в точке , если выполняется одно из эквивалентных условий:

2) для произвольной последовательности (x n ) значений , сходящейся при n → ∞ к точке x 0 , соответствующая последовательность (f (x n )) значений функции сходится при n → ∞ к f (x 0);

3) или f (x ) - f (x 0) → 0 при x - x 0 → 0;

4) такое, что или, что то же самое,

f : ]x 0 - δ , x 0 + δ [ → ]f (x 0) - ε , f (x 0) + ε [.

Из определения непрерывности функции f в точке x 0 следует, что

Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a , b [, то функция f называется непрерывной на этом интервале .

ФМП.6. В математическом анализе, частная производная - одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:

График функции z = x ² + xy + y ². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz .

Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1

Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где d x f - частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции f в точке по координате x k равна производной по направлению , где единица стоит на k -ом месте.

ЛА 76) Сист. ур-ний наз-ся крамеровской, если число уравнений равно числу неизвестных.

ЛА 77-78) Сист. наз-ся совместной, если у нее есть хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

ЛА 79-80) Совместная сист. наз-ся определенной, если у нее только одно решение, и неопределенной в противном случае.

ЛА 81) …определитель крамеровской системы был отличен от нуля

ЛА 169) Для того чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу расширенной матрицы = .

ЛА 170) Если определитель крамеровской системы отличен от нуля, то система определена, и ее решение может быть найдено по формулам

ЛА 171) 1. Найдем решение крамеровской системы уравнений матричным способом; 2.. Запишем систему в матричном виде ; 3.Вычислим определитель системы, используя его свойства: 4. Затем записывает обратную матрицу А-1 ; 5. Поэтому

ЛА 172) Однородная система линейных уравнений AX = 0. Однородная система всегда совместна, поскольку имеет, по крайней мере, одно решение

ЛА 173) Если хотя бы один из определителей , , не равен нулю, то все решения системы (1) будут определяться по формулам , , , где t - произвольное число. Каждое отдельное решение получается при каком-либо определенном значении t.

ЛА 174) Совокупность решений однород. системы наз-ся фундаментальной системой решений, если: 1) линейно независимы; 2) любое решение системы является линейной комбинацией решений .

АГ118 . Общее уравнение плоскости имеет вид…

Уравнение плоскости вида называется общим уравнением плоскости .

АГ119 .Если плоскость a описывается уравнением Ax+D=0,то...

ПР 10 .Что такое бесконечно малая величина и каковы ее основные свойства?

ПР 11 . Какая величина называется бесконечно большой? Какова ее связь

с бесконечно малой?

ПР12.К акое предельное соотношение называется первым замечательны пределом? Под первым замечательным пределом понимается предельное соотношение

ПР 13 Какое предельное соотношение называется вторым замечательным пределом?

ПР 14 Какие пары эквивалентных функций Вы знаете?

ЧР64 Какой ряд называется гармоническим? При каком условии он сходиться?

Ряд вида называется гармоническим.

ЧР 65 .Чему равна сумма бесконечной убывающей прогрессии?

ЧР66. Какое утверждение понимается под первой теоремой сравнения?

Пусть даны два положительных ряда

Если, хотя бы с некоторого места (скажем, для ), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда или – что то же – из расходимости ряда следует расходимость ряда .

ЧР67 . Какое утверждение понимается под второй теоремой сравнения?

Предположим, что . Если существует предел

то при оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

ЧР 45 Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд имеет конечную сумму, то его называют сходящимся.

ЧР 29 Гармонический ряд это ряд вида…. Он сходится, когда

Ряд вида называется гармоническим. Таким образом, гармонический ряд сходится при и расходится при .

АГ 6. Упорядоченная система линейно независимых векторов, лежащих на данной прямой (в данной плоскости, в пространстве), называется базисом на этой прямой (на этой плоскости, в пространстве), если любой вектор, лежащий на данной прямой (в данной плоскости, пространстве) представим в виде линейной комбинации векторов этой линейно независимой системы.

Любая пара неколлинеарных векторов, лежащих в данной плоскости, образует базис на этой плоскости.

АГ 7. Упорядоченная система линейно независимых векторов, лежащих на данной прямой (в данной плоскости, в пространстве), называется базисом на этой прямой (на этой плоскости, в пространстве), если любой вектор, лежащий на данной прямой (в данной плоскости, пространстве) представим в виде линейной комбинации векторов этой линейно независимой системы.

Любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.

АГ 8, Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Для того чтобы найти координаты вектора с заданными началом и концом, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала: если , , то .

АГ 9.а) Построим вектор (вектор, с началом в точке и концом в точке , называется радиус-вектором точки ).

АГ 10. Нет, т.к. радианная мера угла между двумя векторами всегда заключена между и

АГ 11. Скаляр- это любое действительное число.Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

АГ 12. мы можем вычислить расстояние между точками, базисные векторы, угол между векторами.

АГ 13. Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор который обладает следующими свойствами:

Его длина равна

Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Вам уже известны два случая взаимного расположения прямых в пространстве:

1.пересекающиеся прямые;

2.параллельные прямые.

Вспомним их определения.

Определение. Прямые в пространстве называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку

Определение. Прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Общим для этих определений является то, что прямые лежат в одной плоскости.

В пространстве так бывает не всегда. Мы можем иметь дело с несколькими плоскостями, и не всякие две прямые будут лежать в одной плоскости.

Например, ребра куба ABCDA1B1C1D1

AB и A1D1 лежат в разных плоскостях.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если не существует такой плоскости, которая б проходила через эти прямые. Из определения понятно, что данные прямые не пересекаются и не параллельны.

Докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема (признак скрещивающихся прямых).

Если одна из прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке не принадлежащей этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Прямая AB лежит в плоскости α. Прямая CD пересекает плоскость α в точке С, не принадлежащей прямой АВ.

Доказать, что прямые AB и DC - скрещиваются.

Доказательство

Доказательство будем вести методом от противного.

Допустим, АВ и CD лежат в одной плоскости, обозначим ее β.

Тогда плоскость β проходит через прямую AB и точку C.

По следствию из аксиом, через прямую AB и не лежащую на ней точку C можно провести плоскость, и притом только одну.

Но у нас уже есть такая плоскость - плоскость α.

Следовательно, плоскости β и α совпадают.

Но это невозможно, т.к. прямая CD пересекает α, а не лежит в ней.

Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно. AB и CD лежат в

разных плоскостях и являются скрещивающимися.

Теорема доказана.

Итак, возможны три способа взаимного расположения прямых в пространстве:

А) Прямые пересекаются, т.е имеют только одну общую точку.

Б) Прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

В) Прямые скрещиваются, т.е. не лежат в одной плоскости.

Рассмотрим еще одну теорему о скрещивающихся прямых

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

АВ и CD - скрещивающиеся прямые

Доказать, что существует плоскость α такая, что прямая AB лежит в плоскости α, а прямая CD параллельна плоскости α.

Доказательство

Докажем существование такой плоскости.

1) Через точку A проведем прямую AE параллельно CD.

2) Так как прямые AE и АВ пересекаются, то через них можно провести плоскость. Обозначим ее через α.

3) Так как прямая CD параллельна AE, а AE лежит в плоскости α, то прямая CD ∥ плоскости α (по теореме о перпендикулярности прямой и плоскости).

Плоскость α - искомая плоскость.

Докажем, что плоскость α - единственная, удовлетворяющая условию.

Любая другая плоскость, проходящая через прямую АВ, будет пересекать AE, а значит и параллельную ей прямую CD. Т.е., любая другая плоскость, проходящая через AB пересекается с прямой CD, поэтому не является ей параллельной.

Следовательно, плоскость α - единственная. Теорема доказана.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.

Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые.

Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.

В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).

ПРИМЕР:

ЗАДАЧА 434 В плоскости лежит треугольник ABC, a

В плоскости лежит треугольник ABC, a точка D не находится в этой плоскости. Точки М, N и K соответсвенно серединные точки отрезков DA, DB и DC

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

На рис. 26 прямая a лежит в плоскости, а прямая с пересекает в точке N. Прямые a и с — скрещивающиеся.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость a (альфа) || b (в плоскости B (бета) указана прямая a1 || b).

Теорема 3.2.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых.

Доказательство

Пусть прямые a и b одновременно параллельны прямой c . Допустим, что a не параллельна b , тогда прямая a пересекается с прямой b в некоторой точке A , не лежащей на прямой c по условию. Следовательно, мы имеем две прямые a и b , проходящие через точку A , не лежащую на данной прямой c , и одновременно параллельные ей. Это противоречит аксиоме 3.1. Теорема доказана.

Теорема 3.3.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Доказательство

Пусть (AB ) данная прямая, C – точка, не лежащая на ней. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости. Точка B лежит в одной из них. В соответствии с аксиомой 3.2 можно от луча С A отложить угол (ACD ), равный углу (CAB ), в другую полуплоскость. ACD и CAB – равные внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей (AC ) Тогда в силу теоремы 3.1 (AB ) || (CD ). С учетом аксиомы 3.1. Теорема доказана.

Свойство параллельных прямых задается следующей теоремой, обратной к теореме 3.1.

Теорема 3.4.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Доказательство

Пусть (AB ) || (CD ). Предположим, что ACD ≠ BAC . Через точку A проведем прямую AE так, что EAC = ACD . Но тогда по теореме 3.1 (AE ) || (CD ), а по условию – (AB ) || (CD ). В соответствии с теоремой 3.2 (AE ) || (AB ). Это противоречит теореме 3.3, по которой через точку A , не лежащую на прямой CD , можно провести единственную прямую, параллельную ей. Теорема доказана.

Рисунок 3.3.1.

На основании этой теоремы легко обосновываются следующие свойства.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Следствие 3.2.

Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Понятие параллельности позволяет ввести следующее новое понятие, которое в дальнейшем понадобится в 11-й главе.

Два луча называются одинаково направленными , если существует такая прямая, что, во-первых, они перпендикулярны этой прямой, во-вторых, лучи лежат в одной полуплоскости относительно этой прямой.

Два луча называются противоположно направленными , если каждый из них одинаково направлен с лучом, дополнительным к другому.

Одинаково направленные лучи AB и CD будем обозначать: а противоположно направленные лучи AB и CD –

Рисунок 3.3.2.

Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Случаи взаимного расположения прямых в пространстве.

1. Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

   
   

   – прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

   – прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

   – прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

   – прямые совпадают.

   
   

   Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

   
   
   где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через вектор, соединяющий заданные точки.
   
   

   Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:

   
   

   – прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;

   
   

   – прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;

   
   

   – прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;

   
   

   – прямые и совпадают векторы коллинеарны.

   
   

   Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

   
   
   и пересекаются определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е.
   

   – прямые и параллельные вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. а первые две строки не пропорциональны, т.е.

   
   

   – прямые и совпадают все строки определителя пропорциональны, т.е.

Доказательство признака скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.

Доказательство

Пусть a принадлежит α, b пересекается α = A, A не принадлежит a (чертеж 2.1.2). Допустим, что прямые a и b не скрещивающиеся, то есть они пересекаются. Тогда существует плоскость β, которой принадлежат прямые a и b. В этой плоскости β лежат прямая a и точка A. Поскольку прямая a и точка A вне ее определяют единственную плоскость, то β = α. Но b водит β и b не принадлежит α, следовательно, равенство β = α невозможно.