Применение производной к решению задач ЕГЭ Скоро ЕГЭ! Но еще есть время подготовиться! Применение производной в заданиях егэ.
Применение производной в формате ЕГЭ .
Выполнили: Плачковская Катерина, Леонова Юлия 11Б класс Научный руководитель: Солуян Надежда Николаева, учитель математики, «Почетный работник общего образования Российской Федерации»
Введение
Производная-это одна из сложнейших тем в математике, при ее помощи решаются задачи по физике, химии, биологии и даже географии. Многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют их решать. Изучение производной продиктовано еще и тем, что многие задания ЕГЭ содержат применение производной.
Поэтому мы решили изучить эту тему более подробно.
Цель работы : сделать классификацию задач на применение производной в материалах ЕГЭ и рассмотреть способы их решения.
Задачи:
- поиск исторических фактов
- сбор информации о задачах на применение производной в материалах ЕГЭ
- анализ взаимосвязи задач со способами их решения
- изучить основные типы задач на применение производной
- решить задачи включенные в материалы ЕГЭ
- провести статистическое исследование.
История производной
Задачи на нахождения экстремума, проведение касательных к кривым и вычисление скорости постоянно возникали в практической деятельности.
В древности и в средние века такие задачи решались геометрическими и механическими способами. Позже было обнаружено, что все эти задачи можно решить единым методом, используя бесконечно малые величины. Развитие этого метода в трудах Ньютона и Лейбница привело к созданию математического анализа, появление которого широко раздвинуло границы применения математики.
Теоретические сведения
Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращённому аргументу, при последнем стремящемся к нулю.
Физический смысл производной
Если тело движется прямолинейно по закону y=S’(t) , то мгновенная скорость (U) есть производная пути по времени.
U=S’(t)
Ускорение - есть производная скорости a=U’ (t)
Геометрический смысл производной
Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент касательной), проведенный к графику функции y=f(x) в точке x 0 равен производной функции y=f"(x) в этой точке:
Производная сложной функции
Функция, заданная в виде y=f(g(x)) ,называется сложной, составленной из функций g и f . (функция, аргументом которой служит функция, называется сложной)
элементарная функция сложная функция
аргумент
Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке
1. Найти область определения функции
2. Найти производную f’(x)
3. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка (y’=0)
4. Вычислить значения функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет y наим)
Алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы
1. Найти область определения
2. Найти производную f’(x)
3. Найти стационарные (f’(x)=0) и критические (f’(x) не существует) точки функции y=f(x)
4. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках
5. Сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума
Статистическое исследование.
1 этап работы:
Проанализировав результаты опроса 11-ых классов, выявила темы, вызывающие наибольшие затруднения у учеников:
Тригонометрические уравнения - техника дифференцирования - Задачи на физический и геометрический смысл производной -Исследование функций при помощи производной - Текстовые задачи - Решение задач на определение площадей - Иррациональные уравнения и выражения - Рациональные уравнения и выражения.
Вывод: тема «Применение производной» содержится в первых 3-х темах, значит, она вызывает наибольшее затруднения.
2 этап работы :
изучение основных видов задач по теме «Применение производной в заданиях единого государственного экзамена»
Применение производной формате в
формате ЕГЭ
Геометрический смысл
Аналитический смысл
Физический смысл
Задачи на применение физического смысла производной
Задача 1.
x(t) = (½)×t² - t – 4 . Определите в какой момент времени t -- скорость V = 6м/с.
Решение.
1) (x(t))‘ = ((½)×t² t - 4)’
2) V(t) = (s(t))’; (s(t))’ = (x(t))’;
V(t) = ((½)×t² – t – 4)’
V(t) = ((½)×t²)’– (t)’– (4)’
3) V(t) = 6м/с (по условию)
Ответ: 7 с.
Задача 2.
Материальная точка движется по закону
х(t) = 15 + 16×t – 3×t². Каким будет ускорение через 2 секунды после начала движения?
Решение .
V(t) = 15 + 16×t – 3×t²
(V(t))’ = (15 + 16×t – 3×t²)’
Т.к (V(t))’ = a (t)
a (t) = 16 – 6×t
a(t) = 16 – 6 ×2
a(t) = 4
Ответ: 4 м/с².
Задачи на применение геометрического смысла производной
Задача 1
Прямая y = 5 x − 3 параллельна касательной к графику функции y = x 2 + 2 x − 4. Найдите абсциссу точки касания.
Решение
Прямая параллельная касательной имеет одинаковый с ней угол наклона к оси абсцисс. Т.е., угловой коэффициент касательной (он же тангенс угла наклона) равен 5, как у заданной прямой. С другой стороны, мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания. Найдем производную: y "(x ) = (x 2 + 2 x − 4)" = 2 x + 2. Составим уравнение, подставив в выражение для производной неизвестную абсциссу точки касания x 0 . 2 x 0 + 2 = 5 2 x 0 = 5 − 2 = 3 x 0 = 3/2 = 1,5.
Ответ: 1,5
Задача 2. На рисунке 1 изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (-10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение
Производная функции положительна
на тех участках, где функция возрастает.
По рисунку видно, что это промежутки
(−10,5;−7,6), (−1;8,2) и (15,7;19). Перечис-
лим целые точки внутри этих интервалов:
"−10","−9", "−8","0", "1","2", "3","4", "5","6",
"7","8", "16","17", "18". Всего 15 точек.
Ответ: 15
Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (-11;23). Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке . Решение На указанном отрезке мы видим 2 точки экстремума. Максимум функции достигается в точке x 1 = 4, минимум в точке x 2 = 8. x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12. Ответ: 12
Аналитический способ решения
Задача 1.
Найдите значение производной функции в точке x0=2
Решение а) Найдем значение производной функции:
б) Найдем значение производной функции в точке x0:
Ответ: 31
Задача 2.
Найти значение производной функции F(x)=(3x+1)2 -3 в точке x=2/3.
Решение.
Найдём производную сложной функции: F’(x)=6(x+1)=6x+6;
Найдём значение производной функции в точке x=2/3:
F’(2/3)=6(2/3)+6=10
Ответ:10
Геометрический смысл производной Х У 0 касательная α k – угловой коэффициент прямой (касательной) Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной, т.е. Поскольку, то верно равенство Уравнение прямой
Х у Если α 0. Если α > 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k title="х у Если α 0. Если α > 90°, то k
Х у Задание 1. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f(x) в точке х =
Y x x0x На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х 0. Ответ: -0,25
На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-6;6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. В =…
