На что похож октаэдр. Октаэдр и его применение в различных областях

Октаэдр – один из пяти правильных многогранников, имеющий 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин. Каждая его вершина является вершиной четырёх треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

В природе, в науке, в жизни этот многогранник встречается довольно часто: он находит применение в объяснении структуры и форм Вселенной, в строении ДНК и нанотехнологиях, в создании игр-головоломок.

Но чаще всего он встречается, пожалуй, в первом – в природе. А именно, в строении кристаллов. Форму октаэдра имеют кристаллы алмаза, перовскита, оливина, флюорита, шпинели, алюминиево-калиевых квасцов, медного купороса и даже хлорида натрия и золота!

Многогранники также используются в живописи. Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Корнилиса Эшера (1898-1972), голландского художника, родившегося в Леувардене. Мауриц Эшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии, т.е. те законы, которые властвуют над кристаллами, определяя и их внешнюю форму, и их атомную структуру, и их физические свойства.

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.

Рис. 7. Гравюра «Звезды» Эшера

Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.

Заключение

В ходе данной работы было рассмотрено понятие правильных многогранников, мы узнали, что многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; 3) все его двугранные равны; 4) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.

Рассмотрев историю возникновения платоновых тел, мы узнали, что всего существуют пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их названия из Древней Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник".

Использованная литература и источники позволили более глубоко рассмотреть данную тему.

Проанализировав подробнее икосаэдр и октаэдр, а также их применение в различных областях, мы увидели, что изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр среди кристаллических форм не встречается, но его можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе о том, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников.

Список литературы

1. Александров А. Д. и др. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – 3-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 1992 – 464 с.

2. Атанасян Л.С и другие. Геометрия 10 - 11.- М.: Просвещение, 2003.

3. Василевский А.Б. Параллельные проекции.- Москва, 2012.

4. Волошинов А.В. Математика и искусство.- М.: Просвещение, 2002.

5. Гончар В. В. Модели многогранников. – М.: Аким, 1997. – 64 с.

6. Дитяткин В.Г. Леонардо да Винчи.- М.: Москва, 2002.

7. Евклид. Начала.- В 3 т. М.; Л.; 1948 – 1950.

8. Математика: Школьная энциклопедия / гл. ред. Никольский С. М. – М.: Научное изд. «Большая Российская энциклопедия», 1996

9. Пидоу Д. Геометрия и искусство. - Москва, 1999.

10. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985. – 352 с.

11. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия, 10-11 классы: Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни). – М.: Мнемозина, 2009

Приложение 1

Космологическая концепция правильных многогранников Платона

ОГОНЬ	ТЕТРАЭДР
ВОДА	ИКОСАЭДР
ВОЗДУХ	ОКТАЭДР
ЗЕМЛЯ	ГЕКСАЭДР
ВСЕЛЕННАЯ	ДОДЕКАЭДР

САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

В природе, в науке, в жизни этот многогранник встречается довольно часто: он находит применение в объяснении структуры и форм Вселенной, в строении ДНК и нанотехнологиях… Но чаще всего он встречается, пожалуй, в первом - в природе. А именно, в строении кристаллов (http://kk.docdat.com) .

ОКТАЭДР - объёмная геометрическая фигура - правильный восьмигранник. Наиболее распространённая форма кристаллов природного алмаза.

СИММЕТРИИ

Морфологические особенности строения поверхности Земли подчиняются и более общим закономерностям. В их основе лежит принцип дисимметрии, введённый в науку ещё П.Кюри и развитый для Земли, вначале В.И. Вернадским, а затем Б.Л.Личковым, И.И.Шафрановским и др.

Речь идет о том, что симметрию океанов и симметрию материков можно представить в виде двух тетраэдров кубической сингонии с одинаково развитыми соответственно чёрными и белыми гранями.

Рис. Октаэдрическая модель симметрии Земли.
Белые грани изображают сушу; чёрные - океаны (по И.Шафрановскому, 1968).

Речь идёт не о том, что Земля кристалл и, в частности, октаэдр , а о том, что её поверхностная симметрия напоминает симметрию октаэдрического типа. Октаэдр - это лишь прототип теоретической правильности устройства поверхности нашей планеты . Эта игра в теоретический прототип даёт очень много для понимания устройства Земли как планеты .

Её верхняя грань изображает Северный Ледовитый океан (а). Вид сверху (б) обозначает положение трёх обобщенных континентальных структур:

Северной и Южной Америк, Евроафрики и Азии (белые грани).

Перегруппировав эту игрушку (в), мы увидим Антарктиду (белый треугольник) и три обрамляющих океана.

Известно, что октаэдры могут быть оформлены в виде двух тетраэдров кубической сингонии , когда грани одного развивается по вершинам другого. Совокупность этих тетраэдров, одна из тройных осей которого совпадала бы с осью вращения Земли , даёт чёрно-белый октаэдр.

Рис. Сочетание чёрного и белого тетраэдров кубической сингонии.

Благодаря орбитальному телескопу Хаббл и другим новым телескопам вне атмосферы Земли удалось получить намного более детальные и чёткие фотографии, чем сделанные с помощью телескопов, размещённых на Земле . Поэтому, начиная с 2000 года, появилась возможность сделать новую карту небес - галактик , кластеров галактик и суперкластеров галактик . Измерения радиоволн, рентгеновских лучей и так далее выявили множество невидимых галактик.

Полученные данные объединились, и оказалось, что известные супергалактики группируются вдоль линий и в точках пересечения, образуя, по крайней мере, 4 локальных определённых октаэдра , соединённых вершинами в виде кристаллического паттерна. Между и внутри октаэдров находятся относительные пустоты магнитных полей и галактик , хотя там может быть много тёмной материи. Это самая большая наблюдаемая структура во Вселенной.
( h t t p : / / o k o _ p l a n e t . s u / phenomen / phenomenscience / 1 1 4 7 3 _ k r u g i _ n a _ p o l y a x _ mezhgalakticheskij _ yazyk . html )

ЗВЁЗДЧАТЫЙ ОКТАЭДР

Был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт И.Кеплером, и назван им «стелла октангула» - звезда восьмиугольная. Отсюда октаэдр имеет и второе название «стелла октангула Кеплера».

У октаэдра есть только одна звёздчатая форма. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров. Она встречается и в природе: это так называемый двойной кристалл. (http://referat.yabotanik.ru)

ПРО ДНК. АНАЛИЗ ДНК

Британские физики придумали простой способ превращать гибкие биомолекулы ДНК в жёсткие многогранники.

Известно, что в обычных органических синтезах, как правило, сложные реакции протекают с намного меньшей результативностью. То же касается попыток собрать из ДНК в многогранники. В 2004 году исследователи смогли предъявить первый октаэдр из ДНК, синтез которого, однако, потребовал больших усилий (http://lenta.ru , Наука и техника).

Фракталы в кремнии: от микро до нано. Всё начинается с крошечного октаэдра . Потом в его вершинах вырастают другие, ещё меньше (http://www. popmech.ru/technologies/14275_ fraktaly _ v _ kremnii _ ot _ mikro _ do _ nano/) .

Октаэдры также могут послужить «клетками для клеток»: помещённые в них биологические клетки помогут исследователям лучше понять особенности межклеточных «взаимоотношений». А как поведёт себя свет в таком фрактале? Здесь тоже открывается простор для дальнейших исследований. Собирать такую структуру из отдельных элементов трудоёмкая задача (www.popmech.ru) .

Белый мышьяк, в минералогии (мышьяковые цветы, арсенид, арсенолит) — минерал, кристаллизующийся в мелких октаэдрах правильной системы; встречается в виде кристаллической коры или в форме волосистых, хлопковидных и землистых налетов.

Форму октаэдра имеют межатомные пустоты (поры) в плотно упакованных структурах чистых металлов (никеле, меди, магнии, титане, лантане и многих других).

Другие минералы тоже имеют форму октаэдра , например куприт (красная медная руда). Так же октаэдр можно найти среди других руд: самородная медь, малахит, лимонит. Такие минералы, как хлорид натрия (поваренная соль), оливин, перовскит, шпинель, флюорит тоже имеют форму этой геометрической фигуры.

Вторым «кирпичиком», который входит в кристаллические решётки глинистых минералов, является октаэдр — восьмигранник, имеющий 6 вершин. Грани октаэдров имеют форму равносторонних треугольников. В вершинах октаэдров находятся гидроксильные группы и (или) ионы кислорода, в центре — различные катионы (рис. 1.3.). Октаэдры , сочленяясь в пространстве через 2 общие вершины, т. е. через общие рёбра, также дают двумерную структуру — гексагональную октаэдрическую сетку. Октаэдрические сетки являются вторым крупным блоком, входящим в структуру большинства глинистых минералов. Группы Al-OH октаэдров, выходящие на поверхность, называются алюминольными.
( http :// polyera . ru / glinistye _ m i n e r a l y / 2 1 9 5 _ e l e m e n t y _ stroeniya _ kristallicheskih _ reshetok _ glinistyh _ mineralov _ chast _1. html ) .

МАРАКАНСКИЕ ОКТАЭДРЫ

Уникальные образования непонятного назначения, найденные в Вени-Бушер, Марокко. Это графитовые кристаллы, имеющие форму октаэдра . Дело в том, что обычно так кристаллизуются алмазы, а графит никогда не принимает подобную конфигурацию. Учёные предположили, что найденные октаэдры - бывшие алмазы, претерпевшие трансформацию под влиянием неведомого фактора. Одной из возможных причин называлось даже потёкшее на какой-то период вспять время... Подлинная природа графитовых кристаллов не установлена (http://www.bibliotekar.ru) .

НОВЫЙ КОМПОЗИТ ПРОЯВИЛ НЕОБЫЧНЫЕ СВОЙСТВА

В Массачусетском технологическом институте созданы быстро собираемые и разбираемые структуры, которые так и хочется назвать новым шагом в использовании композитов в качестве конструкционных материалов.

Кубическая структура, составленная из октаэдров , показала высокую жёсткость при очень малом весе.

Вода - уникальное явление во вселенной . Вода, имеющая полноценное эфирное тело, имеет идеальную кристаллическую структуру - октаэдр или (реже) додекаэдр (http://oim.ru / - Научный интернет-журнал).

Все вирусы, в зависимости от того, какая рибонуклеиновая кислота у них имеется, разделяяются на две большие группы: РНК и ДНК-содержащие.

Октаэдр - одна из форм структурной организации вирусов (бактериофагов), вирионы которых представляют собой правильный многогранник с 8 гранями и 6 вершинами («Микробиология: словарь терминов», Фирсов Н.Н., М: Дрофа, 2006 г.).

Творческий коллектив газеты «Духовный старт».

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.

Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии

Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название "многогранники". Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.

Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:

1. Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
2. Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
3. Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Многогранники можно условно разделить на:

1. Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название - Архимедовы тела).
2. Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Призма и её свойства

Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

1. Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
2. имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
3. характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
4. Правильная призма характеризуется основаниями в виде с равными боковыми гранями.

Основные свойства призмы:

• Конгруэнтные основания.
• Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
• Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке - вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник - это , четырёхугольник - четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды - это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

1. имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
2. Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

Свойства пирамиды:

• В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
• Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

1. Тетраэдр.
2. Гексаэдр.
3. Октаэдр.
4. Додекаэдр.
5. Икосаэдр.

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству - симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.

Гексаэдр и его свойства

В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:

1. Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
2. Все грани - конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
3. Все межгранные углы равны 90.
4. Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
5. Куб имеет 9 которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Тетраэдр

Тетраэдр - это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Свойства правильного тетраэдра:

1. Все грани тетраэда - это из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
2. Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
3. Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
4. Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.

Октаэдр и его свойства

Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.

Свойства октаэдра:

1. Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
2. Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.

Додекаэдр

Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр - фигура из 12 многоугольников.

Свойства додекаэдра:

1. В каждой вершине пересекаются по три грани.
2. Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
3. У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Икосаэдр

Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:

1. Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.
2. В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
3. Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.

Полуправильные многоугольники

Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники. Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:

1. Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например, усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 - шестиугольной.
2. Все углы одной вершины конгруэнтны.

Звёздчатые многогранники

Представители необъёмных видов геометрических тел - звёздчатые многогранники, грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.

Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.