Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор; Для.

«Вектором называется» - Векторы. Сложение векторов Правило параллелограмма. Второе понятие вектора. Равенство векторов. Противоположно направленные вектора. Построение: Коллинеарные вектора имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами. Вычитание векторов. Коллинеарные вектора. Конец вектора.

«Векторы на плоскости» - Дана точка и вектор. Уравнения в отрезках. Исследование общего уравнения плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Векторы компланарны. Рассмотрим текущую точку прямой тогда вектор лежит на данной прямой. Аналитическая геометрия. Уравнение прямой проходящей через две точки М1 и М2.

«Правила сложения и вычитания векторов» - Правило «Многоугольника». Правило «Треугольника». Оглавление. Вычитание векторов. Какое правило сложения было использовано в предыдущем слайде? Умножение вектора на число. (Для коллинеарных векторов). Правило «Параллелограмма». Действия с векторами. Сложение векторов. Попробуйте выполнить вычитание, используя сложение по правилу «Параллелограмма».

«Как найти скалярное произведение векторов» - Квадрат. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Заполните таблицу. Вставьте пропущенное слово. Ав = вс = ас = 2. Найдите скалярное произведение векторов. Стороны треугольника. Выберите правильный ответ. Скалярное произведение. Ав = вс = ас. Найдите стороны и углы треугольника. ABCD - квадрат.

«Типы векторов» - Назови вектора и запиши их обозначения. Равенство векторов. Вычитание векторов. Укажите длину. Умножение вектора. Векторы. Соноправленные вектора. Коллинеарные вектора. Назови вектора. Назовите противоположно направленные вектора. Вариант. Сумма нескольких векторов. Назовите соноправленные вектора. Укажите длину векторов.

«Координаты вектора» - 1. Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат. Координаты вектора. A(3; 2). 2. Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат. 1. Координаты вектора. 2. Свойства координат вектора.

Всего в теме 29 презентаций

Произведение вектора на число

Цели : ввести понятие умножения вектора на число; рассмотреть основные свойства умножения вектора на число.

Ход урока

I. Изучение нового материала (лекция).

1. Целесообразно в начале лекции привести пример, подводящий к определению произведения вектора на число, в частности такой:

Автомобиль движется прямолинейно со скоростью . Его обгоняет второй автомобиль, двигающийся со скоростью, вдвое большей. Навстречу им движется третий автомобиль, у которого величина скорости такая же, как у второго автомобиля. Как выразить скорости второго и третьего автомобилей через скорость первого автомобиля и как изобразить с помощью векторов эти скорости?

2. Определение произведения вектора на число, его обозначение: (рис. 260).

3. Записать в тетрадях:

1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2) для любого числа k и любого вектора векторы и коллинеарны.

4. Основные свойства умножения вектора на число:

Для любых чисел k, l и любых векторов справедливы равенства:

1°. (сочетательный закон) (рис. 261);

2°. (первый распределительный закон) (рис. 262);

3°. (второй распределительный закон) (рис. 263).

Примечание. Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях.

Умножение вектора на число Произведением нулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна, причем векторы и соноправлены при и противоположно направлены при. Произведением нулвого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведением нулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна, причем векторы и соноправлены при и противоположно направлены при. Произведением нулвого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора на число обозначается так: Произведение вектора на число обозначается так: Для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны. Для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Для любых векторов, и любых чисел, справедливы равенства: Для любых векторов, и любых чисел, справедливы равенства: (сочетательный закон) (сочетательный закон) (первый распределительный закон) (первый распределительный закон) (второй распределительный закон) (второй распределительный закон)

(-1) является вектором, противоположным вектору, т.е. (-1) =-. Длины векторов (-1) и равны:. (-1) является вектором, противоположным вектору, т.е. (-1) =-. Длины векторов (-1) и равны:. Если вектор ненулевой, то векторы (-1) и противоположно направлены. Если вектор ненулевой, то векторы (-1) и противоположно направлены. В ПЛАНИМЕТРИИ В ПЛАНИМЕТРИИ Если векторы и коллинеарны и, то существует число такое, что. Если векторы и коллинеарны и, то существует число такое, что.

Компланарные векторы Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

На рисунке изображен параллепипед. На рисунке изображен параллепипед. Векторы, и компланарны, так как если отложить от точки О вектор, равный Векторы, и компланарны, так как если отложить от точки О вектор, равный, то получится вектор, а векторы, то получится вектор, а векторы, и лежат в одной плоскости ОСЕ. Векторы, и не компланарны, так как вектор не лежит в плоскости ОАВ. и лежат в одной плоскости ОСЕ. Векторы, и не компланарны, так как вектор не лежит в плоскости ОАВ.

Доказательство признака Векторы и не коллинеарны (если векторы и коллинеарны, то компланарность векторов, и очевидна). Отложим от произвольной точки О векторы и (рис.). Векторы и лежат в плоскости ОАВ. В этой же плоскости лежат векторы, Векторы и не коллинеарны (если векторы и коллинеарны, то компланарность векторов, и очевидна). Отложим от произвольной точки О векторы и (рис.). Векторы и лежат в плоскости ОАВ. В этой же плоскости лежат векторы, а следовательно, и их сумма-вектор, а следовательно, и их сумма-вектор, равный вектору. Векторы равный вектору. Векторы лежат в одной плоскости, т.е. векторы, и лежат в одной плоскости, т.е. векторы, и компланарны. компланарны.

Если векторы, и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам Если векторы, и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и (т.е. представить в виде), и (т.е. представить в виде), причем коэффициенты разложения (т.е. числа и в формуле) определяются единственным образом. причем коэффициенты разложения (т.е. числа и в формуле) определяются единственным образом.

Вычитание векторов

Сложение векторов

Вектора можно складывать. Результирующий вектор является суммой обоих векторов и определяет расстояние и направление. Например, вы проживаете в Киеве и решили проведать старых друзей в Москве, а оттуда сделать визит к любимой теще во Львов. Насколько далеко вы будете находиться от родного дома, гостюя у мамы жены?

Для ответа на этот вопрос вам надо начертить вектор от исходной точки путешествия (Киев) и до конечной (Львов). Новый вектор определяют результат всего путешествия от начала и до конца.

• Вектор А - Киев-Москва
• Вектор В - Москва-Львов
• Вектор С - Киев-Львов

С = А+В , где С - сумма векторов или результирующий вектор

В начало страницы

Вектора можно не только складывать, но и вычитать! Для этого надо совместить основания вычитаемого и вычитающего векторов и соединить их концы со стрелками:

• Вектор А = С-В
• Вектор В = С-А

23вопрос:

Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости. Векторы обычно обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками. Сверху обычно ставят чёрточку.

Например, вектор, направленный из точки A к точке B , можно обозначить a ,

Нулевой вектор 0 или 0 -это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, т.e. A = B .Отсюда, 0 = – 0.

Длина (модуль) вектора a - это длина отображающего его отрезка AB, обозначается | a | . В частности, | 0 | = 0.

Векторы называются коллинеарными , если их направленные отрезки лежат на параллельных прямых. Коллинеарные векторы a и b обозначаются a || b .

Три и более векторов называются компланарными , если они лежат в одной плоскости.

Сложение векторов. Так как векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически .(Алгебраическое сложение векторов изложено ниже, в пункте «Единичные ортогональные векторы»). Предположим, что

a = AB and b = CD ,

тогда вектор __ __

a + b = AB + CD

есть результат выполнения двух операций:

a ) параллельного переноса одногоиз векторов таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой второго вектора;

б ) геометрического сложения , т.е.построения результирующего вектора, идущего от начальной точки неподвижного вектора к конечной точке перенесённого вектора.

Вычитание векторов. Эта операция сводится к предыдущей путём замены вычитаемого вектора на противоположный: a – b = a + (– b ) .

Законы сложения.

I. a + b = b + a (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон).

II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (С о ч е т а т е л ь н ы й закон).

III. a + 0= a .

IV. a + (– a ) = 0 .

Законы умножения вектора на число.

I. 1 · a = a ,0 · a = 0 , m · 0 = 0 , (– 1) · a = – a .

II. m a = a m , | m a | = | m | · | a | .

III. m (n a) = (m n) a . (С о ч е т а т е л ь н ы й

закон умножения на число ).

IV. (m + n ) a = m a + n a , (Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й

m (a + b )= m a + m b . закон умножения на число ).

Скалярное произведение векторов. __ __

Угол между ненулевыми векторами AB и CD – это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек A и C. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением равно нулю:

( a , 0) = (0 , b ) = 0 .

Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

Скалярное произведение (a , a ), равное | a | 2, называется скалярным квадратом. Длина вектора a и его скалярный квадрат связаны соотношением:

Скалярное произведение двух векторов:

- положительно , если угол между векторами острый ;

- отрицательно, если угол между векторами тупой .

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):

Свойства скалярного произведения. Для любых векторов a , b , c и любого числа m справедливы следующие соотношения:

I. (a , b ) = ( b , a ) . (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон)

II. (m a , b ) = m ( a , b ) .

III. (a + b , c ) = (a , c ) + (b , c ). (Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует также, произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Геометрия 11 класс

«Площадь плоских фигур» - Задание. Площади изображенных фигур. Применить формулу вычисления площади. Вычисление площадей плоских фигур. Прямые. Правильные ответы. Алгоритм нахождения площади. Неравенство. Площадь фигуры. Площади фигур.

«Понятие центральной симметрии» - Центральная симметрия является движением. Точки М и М1 называются симметричными. Фигура называется симметричной. Мы знакомились с движениями плоскости. Движение пространства. Движения. Свойство. Задача. Отображение пространства на себя. Центральная симметрия является частным случаем поворота. Центральная симметрия.

«Задачи в координатах» - Как найти координаты вектора. Расстояние между точками А и В. Простейшие задачи в координатах. Как вычислить скалярное произведение векторов по их координатам. М – середина отрезка АВ. Найти расстояние между точками А и В. Формирование умений выполнять обобщение. Воспитание интереса и любви к предмету. Угол между векторами. Как вычислить расстояние между точками. Как вычислить длину вектора по его координатам.

«Определение вектора в пространстве» - Разность двух векторов. Правило трех точек. Понятие вектора в пространстве. Векторы в пространстве. Скалярное произведение. Противоположно направленные векторы. Вектор, проведенный в центроид треугольника. Коэффициенты разложения определяются единственным образом. Решение. Вектор, проведенный в середину отрезка. Коллинеарные векторы. Доказательство теоремы. Доказательство. Доказательство признака коллинеарности.

«Вычислить объём тела вращения» - Куб. Конус. Определение конуса. Объём V конуса. Цилиндрический сосуд. Цилиндр. Найдите объём. Цилиндр и конус. Радиусы. Фигура. Определение цилиндра. Цилиндры вокруг нас. Объём конуса. Виды тел вращения. Шар. Объёмы тел вращения. Сфера.

«Элементы правильных многогранников» - Начала Евклида. Гексаэдр. Нахождение в природе. Радиус вписанной сферы. Простейшее животное. Многогранник. Архимедовы тела. Царская гробница. Полуправильные многогранники. Объем октаэдра. Площадь поверхности куба. Додекаэдр. Теорема о единстве правильных многогранников. Историческая справка. Египетские пирамиды. Рассказать о правильных многогранниках. Площадь поверхности. Земля. Удивительные создания.