Сложение и вычитание действительных чисел. Арифметические операции над действительными числами

Главная

По литературе

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II

§ 46 Сложение действительных чисел

Пока что мы умеем складывать друг с другом лишь рациональные числа. Как мы знаем,

А вот какой смысл вкладывается в сумму двух чисел, из которых хотя бы одно иррационально, этого мы еще не знаем. Нам предстоит сейчас дать определение того, что понимается под суммой α + β двух произвольных действительных чисел α и β .

Для примера рассмотрим числа 1 / 3 и √2 . Представим их в виде бесконечных десятичных дробей

1 / 3 = 0,33333...;

√2 =1,41421... .

Сначала сложим соответственные десятичные приближения данных чисел с недостатком. Эти приближения, как отмечалось в конце предыдущего параграфа, представляют собой рациональные числа. А складывать такие числа мы уже умеем:

0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................

Затем сложим соответственные десятичные приближения данных чисел с избытком:

1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................

Можно доказать*, что существует и притом единственное действительное число γ , которое больше всех сумм десятичных приближений чисел 1 / 3 и √2 с недостатком, но меньше всех сумм десятичных приближений этих чисел с избытком:

* Строгое доказательство этого факта выходит за пределы нашей программы и потому здесь не приводится.

1 < γ < 3

1,7 < γ < 1,9

1,74 < γ < 1,76

1,747 < γ < 1,749

1,7475 < γ < 1,7477

1,74754 < γ < 1,74756

По определению это число γ и принимается за сумму чисел 1 / 3 и √2 :

γ = 1 / 3 + √2

Очевидно, что γ = 1,7475....

Аналогично может быть определена и сумма любых других положительных действительных чисел, из которых хотя бы одно иррационально. Суть дела не изменится и в том случае, если одно из слагаемых, а может быть, и оба будут отрицательными.

Итак, если числа α и β рациональны, то сумма их находится по правилу сложения рациональных чисел (см. § 36).

Если же хотя бы одно из них иррационально, то суммой α + β называется такое действительное число, которое больше всех сумм соответственных десятичных приближений этих чисел с недостатком, но меньше всех сумм соответственных десятичных приближений этих чисел с избытком .

Определенное таким образом действие сложения подчиняется следующим двум законам:

1) коммутативному закону:

α + β = β + α

2) ассоциативному закону:

(α + β ) + γ = α + (β + γ ).

Доказывать этого мы не будем. Учащиеся могут сделать это самостоятельно. Отметим лишь, что при доказательстве придется использовать уже известный нам факт: сложение рациональных чисел подчинено коммутативному и ассоциативному законам (см. § 36).

Упражнения

327. Данные суммы представить в виде десятичных дробей, указав не менее трех верных знаков после занятой:

а) √2 +√3 ; г) √2 + (- √3 ) ж) 3 / 4 + (-√5 );

б) √2 + 5 / 8 ; д) (- 1 / 3) + √5 з) 1 / 3 + √2 + √3 .

в) (-√2 ) + √3 ; е) 11 / 9 + (- √5 );

328. Найти несколько первых десятичных приближении (с недостатком и с избытком) для действительных чисел:

а) 1 / 2 + √7 б) √3 + √7 в) √3 + (-√7 )

329. Исходя из определения суммы действительных чисел, доказать, что для любого числа α

α + (- α ) = 0.

330. Всегда ли сумма двух бесконечных непериодических дробей есть дробь непериодическая? Ответ пояснить примерами.

Пусть некоторое число х Î R + сначала изменили на а, а потом на в, причем число х настолько велико, что оба эти изменения не выводят из множестваR + . Назовем суммой чисел а и в действительное число, выражающее результирующее изменение. Например, если сначала сделать изменение на 4, а потом на 7, число 12 перейдет сначала в 16, а потом 16 перейдет в 23. Но чтобы 12 перешло в 23, надо изменить его на 11, значит, 4 + 7 = 11, как и должно быть. Если же сначала сделать изменение на –4, а потом на –7, то 12 перейдет сначала в 8; а потом в 1. Но чтобы из 12 получить 1, надо изменить 12 на –11. Отсюда следует, что (–4) + (–7) = –11.

Вообще, если а и в – положительные действительные числа и
х > а + в, то при изменении на –в число х – а переходит в (x – а) – в, т.е. в х –(а + в ). Но чтобы получить х – (а + в ),надо изменить х на
–(а + в ). Это показывает, что (–а ) + (–в ) = – (а + в ).

Рассмотрим теперь сложение чисел противоположных знаков. Начнем со случая, когда слагаемые – противоположные числа. Очевидно, что если изменить число х сначала на а , а потом на –а, то получим снова х. Иными словами, х + (а + (–а )) = х. Так как, с другой стороны, и х + 0 = х, то надо положить а + (–а ) = 0. Итак, сумма противоположных чисел равна нулю.

Теперь найдем сумму а + (–в ) в общем случае (мы считаем, что а и в – положительные числа, а потому –в отрицательно). Если а > в, то
а = (а – в ) + в, и потому а + (–в ) = (а – в )+ в + (–в ). Но последовательные изменения числа х на а – в, в и –в можно заменить изменением на а – в (изменения на в и –в взаимно уничтожаются). Поэтому положим а + (–в ) = а – в, если а > в. Очевидно, что при а > в и (–в ) + а = а – в.

Пусть теперь а < в. В этом случае мы имеем –в = (–а )+ (–(в – а )), и потому а + (–в ) = а + (–а ) + (–(в – а )) = – (в – а ). Значит, при a < в надо положить а + (–в ) = – (в – а ). Тот же результат получится при сложении –в и а : (–в ) + а = –(в – а ).

Полученные правила сложения действительных чисел можно сформулировать в виде следующего определения.

Определение. При сложении двух действительных чисел одного и того же знака получится число того же знака, модуль которого равен сумме модулей слагаемых. При сложении чисел различного знака получается число, знак которого совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль, а модуль равен разности большего и меньшего модулей слагаемых. Сумма противоположных чисел равна нулю, а сложение с нулем не меняет числа.

Легко проверить, что сложение в R обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и сократимости. Из данного выше определения видно, что нуль – нейтральный элемент относительно сложения, т.е.

а + 0= а.

Вычитание в множестве R определяется как операция, обратная сложению. Поскольку каждое число в в R имеет противоположное ему число –в, такое, что в + (–в ) = 0, то вычитание числа в равносильно сложению с числом –в: а – в = а + (–в ).

В самом деле, для любых а и в имеем:

(а + (–в )) + в = а + ((–в ) + в ) = а, а это и означает, что а – в = а + (–в ).

Для положительных чисел а и в , таких, что а > в, их разность
а – в была изменением, при котором в переходит в а. По аналогии с этим назовем для любых действительных чисел а и в число а – в изменением, переводящим в в а . Оно переводит точку 0 в точку а – в. Как и для положительных действительных чисел это изменение геометрически изображается направленным отрезком, идущим из точки в в точку а. Его длина равна расстоянию от начала отсчета до точки
а – в, т.е. модулю числа а – в. Мы доказали следующее важное утверждение:

Длина отрезка, идущего из точки в в точку а, равна |а – в |.

Введем в множество R отношение порядка. Будем считать, что
а > в в том и только в том случае, когда разность а – в положительна. Легко доказать, что это отношение антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением строгого порядка. При этом для любых а и в из R справедливо одно и только одно из отношений: а = в , а < в, в < а, т.е. отношение порядка в R линейно. Поскольку а – 0 = а, то а > 0, если a Î R + , и а < 0, еслиа Î R – .

Нетрудно доказать, что если а > в, то для любого с Î R имеем
а + с > в + с.

Урок №2.

Тема урока. Действительные числа.

Цель урока. Ввести понятие действительного числа. Действия с действительными числами.

Ход урока.

I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

II . Повторение пройденного материала.

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения знаний (самостоятельная работа).

1 вариант. 2 вариант.

1. Найдите значения выражений:

1) ; 2) ; 3) 1) 2) 3)

2. Вычислить:

1) 2) 1) 2)

3) 4) 3) ; 4)

III . Изучение нового материала.

1.Рациональных чисел недостаточно для решения задач измерения. Так диагональ квадрата с единичной стороной не может быть измерена, если использовать только рациональные числа(2,5т.л. до н.э.)

Для задач измерения можно выбрать стандартную величину - длину отрезка и задать числа геометрически – отрезками, а точнее их отношениями к выбранному единичному отрезку (единице масштаба). Если назвать числом отношение отрезка к единичному, то возникает задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения.

Измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый

единичный отрезок и получим число 1. В остатке будем откладывать деся-

тую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок

длины, меньшей . Получим десятичную дробь 1,4. Затем делим

снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем

результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличива-

ющимся количеством знаков после запятой: 1; 1.4; 1,41; 1,414; 1,4142;… .

Эту последовательность удобно представить в виде одной беско-

нечной десятичной дроби 1,414213562373095…, которую и можно считать

числом. Итак, по определению действительное число – это бесконечная

непериодическая десятичная дробь.

2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное

Дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется

конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится – некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз.

Например:

Если у некоторой несократимой дроби в знаменателе есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться.

Например:

3. Иррациональные числа – это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Например: .

Объединение множества рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел R . ( ).

4 . Зачем понадобились действительные числа, и хватает ли их для решения задач?

Добавление к рациональным числам иррациональных чисел было вызвано необходимостью измерения длины любых отрезков. С помощью так построенных действительных чисел можно измерять многие другие величины, которые были названы скалярными .

5 . Почему диагональ квадрата со стороной, равной единице, нельзя измерить рациональным числом?

6. Действия над действительными числами.

Бесконечная десятичная дробь – это последовательность приближений конечными десятичными дробями к данному действительному числу. Для выполнения арифметических операций над ними эти операции делаются с конечными десятичными дробями.

Например: . Получим:

Аналогично (с помощью калькулятора).

Действительные числа можно изобразить точками на числовой оси. Если два числа b изображены точками на числовой оси, то расстояние между А и В равно модулю разности чисел a u b : Свойства:

I v . Закрепление пройденного материала.

1. Ответить на вопросы.

1) Всякое ли целое число является рациональным? (Да)

2) Является ли число иррациональным? (Нет)

3) Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? (Нет. Сумма периодических дробей.)

4) Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? (Нет)

5) Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом? (Нет)

6) Всегда ли квадрат иррационального числа является рациональным числом? (Нет. ).

2. Решение примеров.

1) Приведите примеры рациональных и иррациональных чисел.

2) Укажите рациональные и иррациональные числа:

3) Верно ли, что: а) . б)

В данной статье собраны основные сведения про действительные числа . Сначала дано определение действительных чисел и приведем примеры. Дальше показано положение действительных чисел на координатной прямой. А в заключение разобрано, как действительные числа задаются в виде числовых выражений.

Навигация по странице.

Определение и примеры действительных чисел

Действительные числа в виде выражений

Из определения действительных чисел понятно, что действительными числами являются:

любое натуральное число ;
любое целое число ;
любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная);
любое смешанное число;
любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая).

Но очень часто действительные числа можно видеть в виде , и т.п. Более того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа (смотрите действия с действительными числами ). К примеру, - это действительные числа.

А если пойти дальше, то из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций и т.п. можно составлять всевозможные числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений и есть действительные числа.

В заключение этой статьи заметим, что следующим этапом расширения понятия числа является переход от действительных чисел к комплексным числам .

Список литературы.

Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Действительные числа

Множество действительных чисел состоит из множества рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел R. Так же множество действительных чисел можно обозначить промежутком (-?; +?)

Замечание 1

Вспомним, что любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби, а любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби, значит будет верно следующее утверждение:

Множество конечных и бесконечных десятичных дробей составляют множество действительных чисел.

Геометрическая модель действительных чисел

Геометрической моделью действительных чисел является координатная прямая. Это связано с тем, что каждая точка числовой имеет координату, которая будет являться действительным числом.

Сравнение действительных чисел

Для того чтобы сравнить действительные числа , можно воспользоваться или геометрической моделью действительных чисел или провести сравнение аналитически.Рассмотрим данные способы.

Для того чтоюы сравнить два действительных числа, достаточно найти разность этих чисел и сравнить ее с нулем. Если разность будет положительна, то первое число(уменьшаемое разности) будет больше второго числа(вычитаемого разности); если же разность будет отрицательна, то наоборот

Пример 1

Сравнить числа $\frac{18}{5}$ и $4$.

Решение. Для сравнения этих чисел составим и вычислим их разность

$\frac{18}{5} - 4 =\ \frac{18}{5}-\ \frac{20}{5}=-\frac{2}{5}$

для вычисления разности мы приводили данные числа к общему знаменателю, в данном случае общий знаменатель равен $5$. После этого используя правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем мы вычли из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставили прежним.

Теперь обратим вниманеи, что разность этих чисел получилась отрицательна, значит первое число(уменьшаемое) меньше второго(вычитаемого), т. е.

$\frac{18}{5}$ ‹ 4

Для того чтобы сравнить числа с помощью числовой прямой, надо определить местоположение точек, координаты которых будут соответствовать сравниваемым действительным числам. То число, которое больше будет располагаться на координатной прямой правее, то, которое меньше левее

Пример 2

Сравнить числа $\frac{18}{5}$ и 4 с помощью координатной прямой

Решение. Для сравнения этих чисел сначала определим местоположение точек, координаты которых будут соответствовать сравниваемым действительным числам, т е числам $\frac{18}{5}$ и $4$.

Для этого сначала преобразуем неправильную дробь $\frac{18}{5}$ путем выделения целой части, тогда получим

\[\frac{18}{5}=3\frac{3}{5}\]

Теперь на координатной прямой отметим точки, координаты которых будут соответственно равны $3\frac{3}{5}$ и $4$.

Рисунок 1.

Теперь становится очевидно, что точка с координатой 4 лежит правее чем точка с координатой $3\frac{3}{5}$ , значит число 4 больше чем $3\frac{3}{5}$ .

Мы видим, что вне зависимости от выбранного способа сравнения результат получен одинаковый.

С действительными числами можно осуществлять все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. На практике часто, для того чтобы не допустить ошибку перед тем, как производить действия надо определить знаки исходных чисел, т.е. определить положительными или отрицательным является каждое из чисел

Сложение действительных чисел

Для того чтобы найти сумму действительных чисел с одинаковыми знаками, надо сложить модули этих чисел и перед полученной суммой поставить из общий знак.

Например, найдем сумму чисел $375$ и $863$. Очевидно, что оба числа положительны, тогда $375+863=/375/+/863/=1238$.Полученная сумма будет иметь знак $«+»$, т к оба числа имели этот общий знак, т.е. были положительны

Теперь найдем сумму чисел $-375$ и $-863$. Оба числа отрицательны, значит сумма будет так же иметь знак $«-»$

$-375+(-863)= - (/375/+/863/)= -1238$

Для того чтобы найти сумму чисел с разными знаками, надо из числа большего по модуля вычесть число меньшее по модулю и перед получившейся разностью поставить знак числа большего по модулю.

Например, найдем сумму чисел $-657$ и $343$. Сначала вычислим модули данных чисел

Теперь согласно правилу произведем дальнейший расчет

$657-343=314$, тогда

$-657+ 343= - 314$

При вычисления произведения чисел необходимо придерживаться следующих правил:

при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным

Например, найдем произведение $\sqrt{13}\cdot \sqrt{7}$

Оба числа положительны, значит и произведение этих чисел будет положительным. Действительно $\sqrt{13}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{91}$

при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным

Например, найдем произведение $-\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{6}{8}\right)=\frac{18}{32}=\frac{9}{16}$

при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Вычислим частное $\frac{16}{5}$ и $(-4)$

$\frac{16}{5}$ : (-4)= = $\frac{16}{5\cdot 4}=-\frac{4}{5}$

Разделы