Стохастические сетевые модели. Стохастические минимаксные модели Применение стохастических уравнений

ВВЕДЕНИЕ

Математические модели и методы моделирования экономических объектов являются необходимыми для управления экономическими объектами. Моделирование экономических систем актуально для специалистов по управлению экономическими объектами, особенно для тех, кто связан с созданием автоматизированных систем управления экономическими объектами.

Объектами исследования моделирования экономических систем являются любые экономические объекты. Математические модели экономических систем должны удовлетворять требованиям: адекватности, универсальности, полноты и простоты, должны соответствовать расчетным практическим формулам. Требованиям, предъявляемым к математическим моделям, наиболее соответствуют детерминированные, динамические, полные, теоретические непрерывные и дискретные модели.

История моделирования экономических систе м – это история имитационных математических моделей, которые лишь частично удовлетворяют предъявляемым требованиям и не обладают познавательными функциями. Неудовлетворенность степенью выполнения предъявляемых требований составляет основную проблему моделирования экономики. Решение этой проблемы моделирования экономики связано с развитием и использованием функциональных математических моделей и методов моделирования экономических объектов. Особенностью функционального моделирования является то, что оно основано на фундаментальных законах функционирования экономики, а преимуществом – то, что функциональные модели в полной степени удовлетворяют предъявляемым требованиям и обладают высокими познавательными функциями. Поэтому в истории моделирования экономики можно выделить следующие этапы:

Этап формирования и применения имитационных математических моделей экономических объектов на основе отдельных закономерностей экономики;

Этап формирования и применения функциональных математических моделей экономических объектов на основе законов экономических систем.

Современные представления функционального моделирования экономических объектов выражены в законах функционирования, функциональных моделях и методами моделирования экономических систем. Овладение функциональн ым моделировани ем обеспечивает формирование у специалистов теоретических основ моделирования экономических систем, которые способствуют повышению качества моделирования поведения экономических объектов, создания автоматизированных систем управления экономическими объектами и повышению эффективности управления экономическими объектами.

Цель работы - ознакомление с математическими моделями и методами моделирования экономических систем, развитие умений применять эти знания на практике.

Задачи работы :

Рассмотреть стохастические модели в экономике ;

Рассмотреть практическое применение стохастических моделей в экономике ;

- развитие умений применять модели и метод ы моделирования экономических систем на практике .

1 СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

В процессе исследования объекта часто бывает нецелесообразно или даже невозможно иметь дело непосредственно с этим объектом. Удобнее бывает заменить его другим объектом, подобным данному в тех аспектах, которые важны в данном исследовании. В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием . Например, модель самолета продувают в аэродинамической трубе, вместо того, чтобы испытывать настоящий самолет – это дешевле. При теоретическом исследовании атомного ядра физики представляют его в виде капли жидкости, имеющей поверхностное натяжение, вязкость и т.п. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процесса), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.

Модель – это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

Подобие между моделируемым объектом и моделью может быть физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное и геометрическое. При физическом подобии объект и модель имеет одинаковую или сходную физическую природу. Структурное подобие предполагает наличие сходства между структурой объекта и структурой модели. При выполнении объектом и моделью под определенным воздействием сходных функций наблюдается функциональное подобие. При наблюдении за последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели отмечается динамическое подобие. Вероятностное подобие отмечается при наличии сходства между процессами вероятностного характера в объекте и модели. Геометрическое подобие имеет место при сходстве пространственных характеристик объекта и модели.

На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы моделей.

Словесная или монографическая модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень часто она выражается в виде определения, правила, теоремы, закона или их совокупности.

Графическая модель создается в виде рисунка, географической карты или чертежа. Например, зависимость между ценой и спросом может быть выражена в виде графика, на оси ординат, которого отложен спрос (D ), а на оси абсцисс – цена (Р ). Кривая нам наглядно иллюстрирует, что с ростом цены спрос падает, и наоборот.

Физические или вещественные модели создаются для конструирования пока еще несуществующих объектов. Создать модель самолета или ракеты для проверки ее аэродинамических свойств значительно проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах.

При моделировании используется аналогия между объектом –оригиналом и его моделью. Аналогии бывают следующими:

1. внешняя аналогия (модель самолета, корабля, микрорайона, выкройка);
2. структурная аналогия (водопроводная сеть и электросеть моделируются с помощью графов, отражающих все связи и пересечения, но не длины отдельных трубопроводов);
3. динамическая аналогия (по поведению системы) - маятник моделирует электрический колебательный контур.

Математические модели относятся ко второму и третьему типу. Смысл математического моделирования заключается в том, что эксперименты проводятся не с реальной физической моделью объекта, а с его описанием. Для них свойственно то, что они реализуются с использованием информационных технологий. Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим. "Экономико-математическая модель представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме" (академик В.С. Немчинов).

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей также не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.

По степени агрегирования объектов моделирования различают модели:

• микроэкономические;
• одно-, двухсекторные (одно-, двухпродуктовые);
• многосекторные (многопродуктовые);
• макроэкономические;
• глобальные.

По учету фактора времени модели подразделяются на:

• статические;
• динамические.

В статических моделях экономическая система описана в статике, применительно к одному определенному моменту времени. Это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени. Динамические модели описывают экономическую систему в развитии.

По цели создания и применения различают модели:

• балансовые;
• эконометрические;
• оптимизационные;
• сетевые;
• систем массового обслуживания;
• имитационные (экспертные).

По учету фактора неопределенности модели подразделяются на:

• детерминированные (с однозначно определенными результатами);
• стохастические (с различными, вероятностными результатами).

По типу математического аппарата различают модели:

• линейного и нелинейного программирования;
• корреляционно-регрессионные;
• матричные;
• сетевые;
• теории игр;
• теории массового обслуживания и т.д.

Стохастическая модель – такая экономико-математическая модель , в которой параметры , условия функционирования и характеристики состояния моделируемого объекта представлены случайными величинами и связаны стохастическими (т. е. случайными, нерегулярными) зависимостями, либо исходная информация также представлена случайными величинами. Следовательно, характеристики состояния в модели определяются не однозначно, а через законы распределения их вероятностей . Моделируются, например, стохастические процессы в теории массового обслуживания , в сетевом планировании и управлении и в других областях. При построении стохастической модели применяются методы корреляционного и регрессионного анализов , другие статистические методы. Другие названия стохастической модели – недетерминированная, вероятностная модель.

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) - дифференциальное уравнение , в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический процесс (другое название - случайный процесс). Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ - уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако, существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс .

История

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения , сделанными независимо Марианом Смолуховским ( г.) и Альбертом Эйнштейном ( г.). Однако, СДУ были использованы чуть ранее ( г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее, он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

Терминология

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена , хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум . Вторая распространенная форма - уравнение Фоккера-Планка , которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записано с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Стохастическое исчисление

Пусть T > 0 {\displaystyle T>0} , и пусть

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях

имеет единственное (в смысле «почти наверное») и t {\displaystyle t} -непрерывное решение (t , ω) ∣ → X t (ω) {\displaystyle (t,\omega)\shortmid \!\to X_{t}(\omega)} , такое что X {\displaystyle X} - адаптированный процесс к фильтрации F t Z {\displaystyle F_{t}^{Z}} , генерируемое Z {\displaystyle Z} и B s {\displaystyle B_{s}} , s ≤ t {\displaystyle s\leq t} , и

Применение стохастических уравнений

Физика

В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:

где x = { x i | 1 ≤ i ≤ k } {\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{i}|1\leq i\leq k\}} - набор неизвестных, f i {\displaystyle f_{i}} и - произвольные функции, а η m {\displaystyle \eta _{m}} - случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если g i {\displaystyle g_{i}} - константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда g (x) ∝ x {\displaystyle g(x)\propto x} . Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум - проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа . В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.

В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразованием первоначального уравнения в уравнение Фоккера-Планка . Уравнение Фоккера-Планка - дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло . Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям , эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.

Ссылки

• Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Литература

• Adomian, George. Stochastic systems (неопр.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Mathematics in Science and Engineering (169)).
• Adomian, George. Nonlinear stochastic operator equations (неопр.) . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
• Adomian, George. Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics (англ.) . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1989. - (Mathematics and its Applications (46)). (англ.)

Стохастическая модель - это способ финансового моделирования, в котором одна или более переменных в модели имеют стохастическую природу, то есть представляют собой случайный процесс. Следовательно, решением уравнения также оказываются стохастические процессы. В основе стохастического уравнения лежит Броуновское движение.

Он широко используется для прогнозирования того, как фондовые рынки, облигации и свитки будет действовать в будущем. Статистическое моделирование является средством оценки вероятности исходов и предсказания условий в различных ситуациях. Используемые случайные величины, как правило, ограничены историческими данными, такими как последние рыночные доходы. К примеру, при использовании модели в оценке портфеля, несколько моделирований представления портфеля делаются на основе вероятностных распределений отдельных доходностей акций. Статистический анализ результатов может помочь определить вероятность того, что портфель будет предоставлять нужную производительность. Главная цель статистического исследования - узнать свойства популяции по свойствам выборки. Например, сделать прогноз - это значит узнать вероятностное распределение будущих наблюдений популяции по выборке значений из прошлого. Чтобы сделать это, нам необходимо уметь описывать стохастические процессы и временные ряды и знать классы стохастических моделей, пригодных для описания встречающихся на практике ситуаций. Сторонники стохастического моделирования утверждают, что случайность является фундаментальным характеристикой финансовых рынков.

Статистическое моделирование обеспечивает структурированный способ изучения портфеля, с учетом случайных факторов, таких как инфляция или терпимости к риску. Если моделирование показывает низкую вероятность достижения инвестиционных целей, фонд может быть диверсифицированы или уровни взносов изменены.

Статистическое моделирование представляет собой метод представления данных или прогнозирования результатов, учитывающий определенную степень случайности или непредсказуемости. Рынок страховых услуг, например, во многом зависит от стохастического моделирования для прогнозирования будущего состояния компании балансах, так как они могут зависеть от непредсказуемых событий, приводящих к оплате претензий. Многие другие отрасли и области исследования могут извлечь выгоду из стохастического моделирования, таких как статистика, фондовых инвестиций, биологии, лингвистики, и квантовой физики.

Особенно в мире страхования, стохастическое моделирование имеет решающее значение в определении того, какие можно ожидать результаты, и какие вряд ли могут произойти. Вместо того чтобы использовать фиксированные переменные, как в других математических моделях, стохастические включают в себя случайные изменения чтобы предсказать будущие условия и посмотреть, какими они могут быть. Конечно, возможность одного случайного изменения означает, что возможно много исходов. По этой причине, стохастические процессы работают не один раз, а сотни или даже тысячи раз. Большой сбор данных не только выражает возможные результаты, но и ожидаемые колебания.

Другой реальное применение стохастического моделирования, помимо страхования, является производство. Производство рассматривается как стохастический процесс из-за эффекта, как неизвестные или случайные величины могут влиять на конечный результат. Например, завод, который делает определенный продукт всегда знает, что небольшой процент из продуктов не выходят, как задумано, и не могут быть проданы. Это может быть связано с целым рядом факторов, таких как качество входов, рабочее состояние производственного оборудования, а также компетентности сотрудников, и многое другое. То, как эти факторы влияют на результаты, могут быть смоделированы, чтобы предсказать определенный коэффициент ошибок в производстве, для планировки производства.

Как уже говорилось выше, стохастические модели – это модели вероятностные. При этом в результате расчетов можно сказать с достаточной степенью вероятности, каково будет значение анализируемого показателя при изменении фактора. Самое частое применение стохастических моделей – прогнозирование.

Стохастическое моделирование является в определенной степени дополнением и углублением детерминированного факторного анализа. В факторном анализе эти модели используются по трем основным причинам:

• необходимо изучить влияние факторов, по которым нельзя построить жестко детерминированную факторную модель (например, уровень финансового левериджа);

• необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не поддаются объединению в одной и той же жестко детерминированной модели;
• необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не могут быть выражены одним количественным показателем (например, уровень научно-технического прогресса).

В отличие от жестко детерминированного стохастический подход для реализации требует ряда предпосылок:

1. наличие совокупности;
2. достаточный объем наблюдений;
3. случайность и независимость наблюдений;
4. однородность;
5. наличие распределения признаков, близкого к нормальному;
6. наличие специального математического аппарата.

Построение стохастической модели проводится в несколько этапов:

• качественный анализ (постановка цели анализа, определение совокупности, определение результативных и факторных признаков, выбор периода, за который проводится анализ, выбор метода анализа);
• предварительный анализ моделируемой совокупности (проверка однородности совокупности, исключение аномальных наблюдений, уточнение необходимого объема выборки, установление законов распределения изучаемых показателей);
• построение стохастической (регрессионной) модели (уточнение перечня факторов, расчет оценок параметров уравнения регрессии, перебор конкурирующих вариантов моделей);
• оценка адекватности модели (проверка статистической существенности уравнения в целом и его отдельных параметров, проверка соответствия формальных свойств оценок задачам исследования);
• экономическая интерпретация и практическое использование модели (определение пространственно-временной устойчивости построенной зависимости, оценка практических свойств модели).

Основные понятия корреляционного и регрессионного анализа

Корреляционный анализ - совокупность методов математической статистики, позволяющих оценивать коэффициенты, характеризующие корреляцию между случайными величинами, и проверять гипотезы об их значениях на основе расчета их выборочных аналогов.

Корреляционным анализом называется метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции) между переменными.

Корреляционная связь (которую также называют неполной, или статистической) проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому – сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют неучтенные случайные величины. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев. При корреляционной связи каждому значению аргумента соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения функции .

В наиболее общем виде задача статистики (и, соответственно, экономического анализа) в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая – регрессионный анализ. В то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционно-регрессионный анализ, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительных процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов и др.

Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком смысле – когда всесторонне характеризуется взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле – когда исследуется сила связи – и регрессионный анализ, в ходе которого оцениваются ее форма и воздействие одних факторов на другие.

Задачи собственнокорреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачирегрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной.

Решение названных задач опирается на соответствующие приемы, алгоритмы, показатели, что дает основание говорить о статистическом изучении взаимосвязей.

Следует заметить, что традиционные методы корреляции и регрессии широко представлены в разного рода статистических пакетах программ для ЭВМ. Исследователю остается только правильно подготовить информацию, выбрать удовлетворяющий требованиям анализа пакет программ и быть готовым к интерпретации полученных результатов. Алгоритмов вычисления параметров связи существует множество, и в настоящее время вряд ли целесообразно проводить такой сложный вид анализа вручную. Вычислительные процедуры представляют самостоятельный интерес, но знание принципов изучения взаимосвязей, возможностей и ограничений тех или иных методов интерпретации результатов является обязательным условием исследования.

Методы оценки тесноты связи подразделяются на корреляционные (параметрические) и непараметрические. Параметрические методы основаны на использовании, как правило, оценок нормального распределения и применяются в случаях, когда изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. На практике это положение чаще всего принимается априори. Собственно, эти методы – параметрические – и принято называть корреляционными.

Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин. Их преимуществом является и простота вычислений.

Автокорреляция - статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса - со сдвигом по времени.

Парная корреляция

Простейшим приемом выявления связи между двумя признаками является построение корреляционной таблицы:

В основу группировки положены два изучаемых во взаимосвязи признака – Х и У. Частоты f ij показывают количество соответствующих сочетаний Х и У.

Если f ij расположены в таблице беспорядочно, можно говорить об отсутствии связи между переменными. В случае образования какого-либо характерного сочетания f ij допустимо утверждать о связи между Х и У. При этом, если f ij концентрируется около одной из двух диагоналей, имеет место прямая или обратная линейная связь.

Наглядным изображением корреляционной таблице служит корреляционное поле. Оно представляет собой график, где на оси абсцисс откладывают значения Х, по оси ординат – У, а точками показывается сочетание Х и У. По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличии связи.

Корреляционным полем называется множество точек {X i , Y i } на плоскости XY (рисунки 6.1 - 6.2).

Если точки корреляционного поля образуют эллипс, главная диагональ которого имеет положительный угол наклона (/), то имеет место положительная корреляция (пример подобной ситуации можно видеть на рисунке 6.1).

Если точки корреляционного поля образуют эллипс, главная диагональ которого имеет отрицательный угол наклона (\), то имеет место отрицательная корреляция (пример изображен на рисунке 6.2).

Если же в расположении точек нет какой-либо закономерности, то говорят, что в этом случае наблюдается нулевая корреляция.

В итогах корреляционной таблицы по строкам и столбцам приводятся два распределения – одно по X, другое по У. Рассчитаем для каждого Х i среднее значение У, т.е. , как

Последовательность точек (X i , ) дает график, который иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака У от факторного X, – эмпирическую линию регрессии, наглядно показывающую, как изменяется У по мере изменения X.

По существу, и корреляционная таблица, и корреляционное поле, и эмпирическая линия регрессии предварительно уже характеризуют взаимосвязь, когда выбраны факторный и результативный признаки и требуется сформулировать предположения о форме и направленности связи. В то же время количественная оценка тесноты связи требует дополнительных расчетов.

3.1. Математические модели случайных процессов

При проведении научных исследований в производстве и в быту часто встречаются события, которые многократно появляются при одних и тех же условиях, но отличающиеся каждый раз друг от друга. Например, измеряя значение напряжения в сети переменного тока с помощью одного и того же прибора с одинаковой тщательностью, никогда не получим одинаковых данных. Наблюдается случайное рассеивание. Для оценки величины рассеивания вводится вероятность, как мера измерения.

Закономерность рассеивания, выраженная функцией распределения вероятностей, носит общий характер.

Если входные параметры объекта, смена состояний объекта или его выходные параметры описываются случайными распределениями вероятностей, то эти объекты относятся к классу стохастических. При моделировании поведения данных объектов применяется аппарат теории вероятностей, а для идентификации параметров моделей применяется аппарат математической статистики. Рассмотрим виды моделей, которые могут быть применены для описания стохастических объектов.

3.1.1. Распределение случайных событий . Массовые явления или процессы характеризуются многократным повторением при постоянных условиях некоторых опытов (операций и прочее). Абстрагируясь от специальных свойств этих опытов, в теории вероятностей вводится понятие испытания (опыта). Испытанием называется осуществление определенного комплекса условий, который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз. Явления, происходящие при реализации этого комплекса условий (в результате испытания), называются событиями .

Положительное число в отрезке , представляющее собой количественную меру возможности реализации случайного события в испытании, называется его вероятностью. Вероятность появления события А обозначают символом Р(А) , причем 0£Р(А)£ 1. Вероятность понимается как идеальная мера возможности появления события.

Случайная величина рассматривается как функция, аргументом которой служит элементарное случайное событие. Дискретной случайной величиной называется такая, которая может принимать конечное или бесконечное счетное множество значений, например возможны значения x 1 , x 2 , …, x n , … Для каждого события x i определены вероятности P(x i) . Распределение вероятностей дискретной случайной величины, представленное на рис. 3.1, рассматривают как точечное распределение вероятностей.

При непрерывном распределении случайной величины вероятности распределены сплошной полосой по всей оси x или по некоторым ее участкам с определенной плотностью.

Распределение вероятностей носит название теоретического распределения случайной величины.

Интегральная функция распределения вероятностей определяет вероятность того, что случайная величина X меньше значения x

. (3.1)

Пример задания интегральной функции распределения вероятностей приведен на рис. 3.2.

Дифференциальная функция распределения вероятностей (плотность распределения вероятностей) определяет вероятность того, что случайная величина X меньше значения x

. (3.2)

Пример задания дифференциальной функции распределения вероятностей приведен на рис. 3.3.

Совокупность случайных величин X(Q) аргумента Q , образует случайный процесс. Течение случайного процесса описывают некоторой функцией X(Q) , где Q - аргумент функции со значениями из множества Q . Функцию X(Q) , наблюдаемую в некотором опыте, соблюдая определенный комплекс условий, называют выборочной функцией или реализацией случайного процесса.

Если множество Q произвольно, то вместо термина «случайный процесс» применяют термин «случайная функция». Название «случайный процесс» применимо в тех случаях, когда параметр Q интерпретируется как время. Если аргумент случайной функции является пространственной переменной, то функцию называют случайным полем.

Определение. Моделью случайного процесса называют случайную функцию X(Q) , заданную на множестве Q , принимающую действительные значения и описываемую семейством распределений :

, QiÎQ, i=1,2,...,n, n=1,2,...,

которое удовлетворяет условиям согласованности

,

= ,

где i 1 , i 2 ,…, i n , - любая перестановка индексов 1 , 2 ,..., n .

Набор функций называется конечномерными распределениями случайной функции или интегральной функции распределения вероятностей многомерной случайной величины. При n =1 получим одномерное распределение (3.1). Модель многомерного распределения необходима для моделирования многопараметрической случайной величины.

При решении многих задач моделирования приходится оперировать с несколькими случайными функциями. Для того чтобы над ними производить математические операции, недостаточно, чтобы каждая из этих случайных функций была задана в отдельности. Последовательность функций X 1 (Q), X 2 (Q),…, X n (Q) возможно заменить векторной функцией x(Q) , компонентами которой служат случайные функции X i (Q), (i=1,2,…,n) .

Явные выражения для конечномерных функций распределения случайного процесса бывают сложными и неудобными для применения. Поэтому в ряде случаев предпочитают задавать конечномерные распределения их плотностями (дифференциальной функцией распределения вероятностей многомерной случайной величины) или характеристическими функциями.

Если - плотность функций распределения , то

=

= .

Связь интегральной функции распределения вероятностей одномерной случайной величины и ее дифференциальной функцией распределения вероятностей показана формулой

.

Модель системы может быть задана также в виде характеристической функции конечномерного распределения последовательности

X 1 (Q),X 2 (Q), …, X n (Q), Qi³0 >, i=1,n, n=1,2,...,

которая определяется формулой

где M - символ математического ожидания, u 1 ,u 2 ,...,u k - вещественные числа.

Если существует плотность конечномерного распределения, то модель в виде характеристической функции является преобразованием Фурье плотности распределения. Для одномерной случайной величины характеристическая функция определится по формуле

.

3.1.2. Корреляционные функции. Исчерпывающую характеристику модели стохастического объекта в виде случайной функции в широком смысле дает семейство конечномерных распределений. Однако решение многих теоретико-вероятностных задач зависит только от небольшого числа параметров, характеризующих входящие в задачу распределения. Наиболее важными числовыми характеристиками распределений являются их моменты. В теории случайных функций роль моментов распределений играют моментные функции. Рассмотрим модели в виде моментных функций для одномерной случайной величины.

Момент k –го порядка дискретной случайной величины определяется по формуле

.

Для непрерывной случайной величины моментная функция k

.

Рассмотрим модели в виде моментных функций для многомерной случайной величины.

Определение . Модель случайной функции X(Q i), Q i ÎQ в виде моментной функции задается отношением

если математическое ожидание в правой части равенства имеет смысл при всех QiÎQ, i=1,n . Величина q=j 1 +j 2 +...+j n называется порядком моментной функции.

Если известны характеристические функции конечномерного распределения, то моментные функции с целочисленными индексами могут быть найдены с помощью дифференцирования

при u 1 =u 1 =…=u n =0 .

Кроме моментных функций в качестве моделей часто рассматривают центральные моменты функции. Центрированной случайной величиной называется случайная величина . Для непрерывной случайной величины центральная моментная функция k –го порядка определяется по формуле

.

Для многомерной случайной величины центральные моменты функции определятся по формуле

которые являются моментными функциями центрированной случайной функции многих параметров.

Среди моментных функций особое значение имеют функции первых двух порядков, которые могут иметь обозначения:

m(Q)=m 1 (Q 1)=MX(Q),

R 1 (Q 1 ,Q 2)=m 1 (Q 1 ,Q 2)=M{}.

Функции m(Q) называются средним значением или математическим ожиданием, а R 1 (Q 1 ,Q 2) - корреляционной функцией. При Q 1 =Q 2 =Q корреляционная функция дает дисперсию s(Q) величины e(Q), R 1 (Q 1 ,Q 2)=s 2 (Q) .

Величину

называют коэффициентом корреляции случайных величин X(Q 1) и X(Q 2) .