Числовые последовательности. Предел сходящейся и ограниченной последовательности

Рассмотрим некоторое множество (класс) множеств , каждое из которых содержит по одному элементу. Любое натуральное число – это характеристика класса равносильных конечных множеств, тогда поставим в соответствие этому классу натуральное число «единица» и обозначим его символом «1». Выберем из данного класса любое «единичное» множество, пусть , и добавим в это множество еще один элемент, получим новое множество . Если образовать класс конечных множеств, равносильных множеству , то новому классу поставим в соответствие натуральное число «два» и обозначим его символом «2». Дальнейшее продолжение этого бесконечного процесса образования новых конечных множеств и соответствующих им классов приводит к образованию двух бесконечных последовательностей:

(а) бесконечной последовательности множеств (1); каждое из этих множеств служит представителем соответствующего класса;

(b) бесконечной последовательности натуральных чисел 1;2;3;…r …(2), каждое из этих чисел являются характеристикой соответствующего класса.

Сравнение последовательностей (1) и (2) приводит к следующим выводам:

1). В (1) есть начальный элемент и в (2) есть начальный элемент 1;

2). В (1) за каждым множеством непосредственно следует единственное множество, в котором на один элемент больше, чем в множестве предыдущего класса, поэтому в (2) за каждым натуральным числом непосредственно следует только одно натуральное число, большее предыдущего на единицу.

3). В (1) каждый класс, кроме начального, непосредственно следует только за одним классом, поэтому в (2) каждое натуральное число, кроме единицы, непосредственно следует только за одним натуральным числом.

4). В (1) каждое множество данного класса является либо подмножеством любого множества следующего за ним класса, либо равносильно подмножеству любого множества следующего за ним класса, поэтому в (2) натуральные числа расположены так, что каждое из них меньше любого, следующего за ним: 1<2<3<…..<n <n+ 1<… (3).

Опираясь нам основные положения метода математической индукции, можно утверждать, что (2) – это последовательность натуральных чисел.

3. Использование последовательности натуральных чисел для определения численности конечного множества.

Определить численность конечного множества – это значит сосчитать количество элементов в этом множестве, для такого подсчета используется понятие отрезка .

Опр. 4. Отрезком последовательности (2) называется множество первых натуральных чисел последовательности (2), не превосходящих числа «n ».

Пример . .

Для определение численности, например, множества приведем последовательность его элементов во взаимно однозначное соответствие с элементами отрезка :

. Так как , то множеству К можно поставить в соответствие число «6», это число называют числом элементов множества K: n(K)=6, говорят, что число «6» выражает численность множества К.

Опр . 5. Счетом элементов множества называется процесс приведения во взаимно однозначное соответствие элементов множества К с элементами отрезка натурального ряда .

При пересчете элементов конечного множества натурального ряда чисел выясняется не только количество элементов множества, но и определяется порядок расположения элементов в множестве. В первом случае натуральное число «n» показывает, сколько элементов содержит множество, «n» - называется количественным числом. Во втором случае натуральное число «n» представляет собой порядковый номер некоторого элемента множества, оно называется порядковым числом.

4. Операция сложения чисел в множестве N .

В множестве N натуральных чисел, кроме отношений равенства и неравенства, вводятся ряд операций. Каждую из операций можно ввести теорию на основе теории множеств.

Опр .6 . Суммой двух данных натуральных чисел

называется натуральное число , где .

5) , - свойство монотонности суммы (при сложении неравных чисел получаем неравные числа того же смысла).

Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.

Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».

Что такое последовательности и где их предел?

Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.

Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:

х 1 , х 2 , х 3 , …х n …

Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.

Как строится числовая последовательность?

Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…

В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:

х 1 — первый член последовательности;

х 2 — второй член последовательности;

х 3 — третий член;

х n — энный член.

В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:

Х n =3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:

Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.

Арифметическая прогрессия как часть последовательностей

Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.

Задача: «Пусть а 1 =15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»

Решение: а 1 = 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).

а 2 = 15+4=19 — второй член прогрессии.

а 3 =19+4=23 — третий член.

а 4 =23+4=27 — четвёртый член.

Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а 125. . Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: а n =a 1 +d(n-1). В данном случае а 125 =15+4(125-1)=511.

Виды последовательностей

Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой а n =(-1) n . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.

Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: а n = (n+1)!

Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:

а 2 = 1х2х3 = 6;

а 3 = 1х2х3х4 =24 и т. д.

Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1

а 3 = - 1/8 и т. д.

Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, а n =6 состоит из бесконечного множества шестёрок.

Определение предела последовательности

Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции:

1. Все пределы обозначаются сокращённо lim.
2. Запись предела состоит из сокращения lim, какой-либо переменной, стремящейся к определённому числу, нулю или бесконечности, а также из самой функции.

Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: а x = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом.

5, 9, 13, 17, 21…x …

Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так:

Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим:

А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять.

Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий.

Общее обозначение предела последовательностей

Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре.

Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств?

∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п.

∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел.

Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п.

Для закрепления материала прочитайте формулу вслух.

Неопределённость и определённость предела

Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции:

Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь:

Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев.

Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х 1 .

Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1.

Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х 1 .

Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски:

Получается следующее выражение:

Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя.

Что такое окрестность?

Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются.

Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями.

Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно.

Теперь зададим некоторую последовательность х n и положим, что десятый член последовательности (x 10) входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке?

Допустим, х 10 находится правее от точки а, тогда расстояние х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |x n - a|< ε.

С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ.

Теоремы

Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства:

1. Единственность предела последовательности. Предел у любой последовательности может быть только один или не быть вовсе. Тот же пример с очередью, у которой может быть только один конец.
2. Если ряд чисел имеет предел, то последовательность этих чисел ограничена.
3. Предел суммы (разности, произведения) последовательностей равен сумме (разности, произведению) их пределов.
4. Предел частного от деления двух последовательностей равен частному пределов тогда и только тогда, когда знаменатель не обращается в ноль.

Доказательство последовательностей

Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере.

Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю.

По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности.

На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» - числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе.

Откуда получается, что n > -3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать.

Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания.

А может, его нет?

Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела.

Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка (0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения.

Монотонная последовательность

Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью».

Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство x n < x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n > x n +1.

Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, x n ≤ x n +1 (неубывающая последовательность) и x n ≥ x n +1 (невозрастающая последовательность).

Но легче понимать подобное на примерах.

Последовательность, заданная формулой х n = 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность.

А если взять x n =1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность.

Предел сходящейся и ограниченной последовательности

Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел.

Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один.

Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность.

Предел монотонной последовательности

Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела.

Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного).

Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся.

Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль).

Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся.

Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей - также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено!

Различные действия с пределами

Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции.

Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов.

Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно.

Свойства величин последовательностей

Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем:

1. Сумма любого количества сколько угодно малых величин будет также малой величиной.
2. Сумма любого количества больших величин будет бесконечно большой величиной.
3. Произведение сколь угодно малых величин бесконечно мало.
4. Произведение сколько угодно больших чисел — величина бесконечно большая.
5. Если исходная последовательность стремится к бесконечно большому числу, то величина, ей обратная, будет бесконечно малой и стремиться к нулю.

На самом деле вычислить предел последовательности - не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин.

Последовательность

Последовательность - это набор элементов некоторого множества:

• для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
• для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.

Последовательность по своей природе - отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.

В математике рассматривается множество различных последовательностей:

• временные ряды как числовой, так и не числовой природы;
• последовательности элементов метрического пространства
• последовательности элементов функционального пространства
• последовательности состояний систем управления и автоматов.

Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

Определение

Пусть задано некоторое множество элементов произвольной природы. | Всякое отображение множества натуральных чисел в заданное множество называется последовательностью (элементов множества ).

Образ натурального числа , а именно, элемент , называется -ым членом или элементом последовательности , а порядковый номер члена последовательности - её индексом.

Связанные определения

• Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.

Комментарии

• В математическом анализе важным понятием является предел числовой последовательности .

Обозначения

Последовательности вида

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

или

иногда используются фигурные скобки:

Допуская некоторую вольность речи, можно рассматривать и конечные последовательности вида

,

которые представляют собой образ начального отрезка последовательности натуральных чисел.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Последовательность" в других словарях:

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. У И. В. Киреевского в статье «Девятнадцатый век» (1830) читаем: «От самого падения Римской империи до наших времен просвещение Европы представляется нам в постепенном развитии и в беспрерывной последовательности» (т. 1, с.… … История слов

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, последовательности, мн. нет, жен. (книжн.). отвлеч. сущ. к последовательный. Последовательность каких нибудь явлений. Последовательность в смене приливов и отливов. Последовательность в рассуждениях. Толковый словарь Ушакова.… … Толковый словарь Ушакова

Постоянство, преемственность, логичность; ряд, прогрессия, вывод, серия, вереница, череда, цепь, цепочка, каскад, эстафета; упорство, обоснованность, набор, методичность, расстановка, стройность, упорность, подпоследовательность, связь, очередь,… … Словарь синонимов

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, числа или элементы, расположенные в организованном порядке. Последовательности могут быть конечными (имеющие ограниченное число элементов) или бесконечными, как полная последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4 ....… … Научно-технический энциклопедический словарь

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2,..., xn,... или коротко {xi} … Современная энциклопедия

Одно из основных понятий математики. Последовательность образуется элементами любой природы, занумерованными натуральными числами 1, 2, ..., n, ..., и записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xn} … Большой Энциклопедический словарь

Последовательность - ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xi}. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. последовательный. 2. В математике: бесконечный упорядоченный набор чисел. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Англ. succession/sequence; нем. Konsequenz. 1. Порядок следования одного за другим. 2. Одно из основных понятий математики. 3. Качество правильного логического мышления, при к ром рассуждение свободно от внутренних противоречий по одному и тому… … Энциклопедия социологии

Последовательность - «функция, определенная на множестве натуральных чисел, множество значений которой может состоять из элементов любой природы: чисел, точек, функций, векторов, множеств, случайных величин и др., занумерованных натуральными числами … Экономико-математический словарь

Книги

• Выстраиваем последовательность. Котята. 2-3 года , . Игра "Котята" . Выстраиваем последовательность. 1 уровень. Серия" Дошкольное образование" . Весёлые котята решили позагорать на пляже! Но никак не могут поделить места. Помоги им…

Натуральное число является количественной характеристикой одного неизменного множества, однако, на практике количество предметов постоянно меняется, например, поголовье скота в некотором хозяйстве. Более того, простейшая, но и важнейшая последовательность сразу же возникает в процессе счёта – это последовательность натуральных чисел: 1, 2, 3, ….

Если изменение количества предметов в некоторой совокупности зафиксировано в виде некоторой последовательности натуральных чисел (членов последовательности), тут же естественным образом возникает ещё одна последовательность – последовательность номеров, например

В связи с этим возникает проблема обозначения членов последовательности. Обозначение каждого члена особой буквой крайне неудобно по следующим причинам. Во-первых, последовательность может содержать очень большое, или даже бесконечное число членов. Во-вторых, разные буквы скрывают тот факт, что члены последовательности относятся к одной совокупности, хотя и меняющей количество элементов. Наконец, в этом случае не будут отражены номера членов в последовательности.

Эти причины заставляют обозначать члены последовательности одной буквой и различать их по индексу. Например, последовательность, состоящую из десяти членов, можно обозначить буквой а : а 1 , а 2 , а 3 , …, а 10 . Тот факт, что последовательность является бесконечной, выражается многоточием, как бы неограниченно продлевающим эту последовательность: а 1 , а 2 , а 3 , … Иногда последовательность начинают нумеровать с нуля: : а 0 , а 1 , а 2 , а 3 , …

Некоторые последовательности могут восприниматься как случайные наборы чисел, поскольку не известен, или вообще отсутствует, закон формирования членов последовательности. Однако особое внимание привлекают последовательности, для которых такой закон известен.

Для указания закона формирования членов последовательности чаще всего используются два способа. Первый из них состоит в следующем. Задается первый член, а затем указывается способ, согласно которому с помощью последнего, уже известного члена получается следующий. Для записи закона используется член последовательности с неопределённым номером, например, а k и следующий за ним член а k +1 , после чего записывается связывающая их формула.

Наиболее известными и важными примерами могут послужить арифметическая и геометрическая прогрессии. Арифметическая прогрессия определяется формулой а k +1 = а k + r (либо а k +1 = а k – r ). Члены арифметической прогрессии либо равномерно растут (лесенкой), либо равномерно убывают (тоже лесенкой). Величина r называется разностью прогрессии, поскольку а k +1 – а k = r . Примерами арифметических прогрессий с натуральными членами являются

а) натуральные числа (а 1 = 1 ;а k +1 = а k + 1 );

б) бесконечная последовательность 1, 3, 5, 7, … (а 1 = 1 ;а k +1 = а k + 2 );

в) конечная последовательность 15, 12, 9, 6, 3 (а 1 = 15 ;а k +1 = а k –3 ).

Геометрическая прогрессия определяется формулой b k +1 = b k ∙q . Величина q называется знаменателем геометрической прогрессии, поскольку b k +1:b k = q . Геометрические прогрессии с натуральными членами и знаменателем, превосходящим единицу, растут и растут быстро, даже лавинообразно. Примерами геометрических прогрессий с натуральными членами являются

а) бесконечная последовательность 1, 2, 4, 8, … (b 1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2 );

б) бесконечная последовательность 3, 12, 48, 192, 768,… (b 1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4 ).

Второй способ указания закона определения членов последовательности состоит в указании формулы, позволяющей вычислить член последовательности с неопределённым номером (общий член), например, а k , с помощью номера k .

Члены арифметической и геометрической прогрессий можно вычислять и этим способом. Поскольку арифметическая прогрессия определяется формулой а k +1 = а k + r , легко понять, как выражается член а k с помощью номера k :

а 1 – определён произвольно;

а 2 = а 1 + r= а 1 + 1∙r ;

а 3 = а 2 + r = а 1 + r + r = а 1 + 2∙r ;

а 4 = а 3 + r = а 1 + 2∙r + r = а 1 + 3∙r ;

…………………………………

а k = а 1 + (k –1)∙r – итоговая формула.

Для геометрической прогрессии аналогичным способом выводится формула общего члена: b k = b 1 ∙ q k –1 .

Кроме арифметической и геометрической прогрессий таким же способом можно определить другие последовательности, имеющие особый характер изменения. В качестве примера приведём последовательность квадратов натуральных чисел: s k = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…

Существуют более сложные способы образования последовательностей, например, одна строится с помощью другой. Особое значение для арифметики имеет геометрическая прогрессия, определяемая параметрами b 1 = 1, q = 10, то есть последовательность степеней десятки: 1 = 10 0 , 10 = 10 1 , 10 2 , 10 3 , …, 10 k , … Она используется для представления натуральных чисел в позиционной системе счисления. При этом для каждого натурального числа n возникает последовательность, состоящая из цифр, с помощью которых записывается данное число: а n а n – 1 … а 2 а 1 а 0 . Цифра а k указывает сколько слагаемых типа 10 k содержит число n .

Понятие последовательности подводит к важнейшим для математики понятиям величины и функции. Величина – это изменяющаяся числовая характеристика какого-то предмета или явления. Её изменение воспринимается как последовательность чисел. Существование зависимости между самими членами и их номерами, а также её выражение с помощью формул вплотную подводит к понятию функции.

10. Десятичная система счисления.

Важнейшим математическим открытием, которое используется практически каждым членом достаточно развитого общества, является позиционная система счисления. Она позволила решить основную проблему счёта, состоящую в умении называть все новые и новые числа, используя обозначения (цифры) только для нескольких первых чисел.

Позиционная система счисления традиционно связана с числом десять, но на тех же принципах можно построить и иные системы, например, двоичную. При построении десятичной позиционной системы счисления вводятся десять арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью может быть записано число, выражающее количество предметов любого конечного множества. Для этой цели используется специальный алгоритм, то есть чётко определённая последовательность элементарных действий.

Пересчитываемые предметы объединяются в группы по десять, что соответствует делению на десять с остатком. В результате образуются два множества – единиц и десятков. Десятки снова группируются по десять в сотни. Ясно, что число десятков (обозначим его через а 1 ) обязательно меньше десяти, и, значит, а 1 можно обозначить цифрой. Далее сотни группируются в тысячи, тысячи – в десятки тысяч и т. д. пока все предметы не будут сгруппированы. Построение числа завершается тем, что слева направо записываются полученные цифры от больших индексов к меньшим. Цифре а k соответствуют количество групп предметов по 10 k . Итоговая запись числа состоит из конечной последовательности цифр а n а n – 1 … а 2 а 1 а 0 . Соответствующее число равно выражению

а n ·10 n + а n – 1 ·10 n – 1 + … + а 2 ·10 2 + а 1 ·10 1 + а 0 ·10 0 .

Слово «позиционная» в названии системы счисления связано с тем, что цифра меняет свой смысл в зависимости от своей позиции в записи числа. Последняя цифра задаёт число единиц, предпоследняя – число десятков и т. д.

Отметим, что алгоритм для получения записи чисел в системе счисления с любым основанием N : состоит в последовательной группировке предметов по N штук. При записи числа необходимо использовать N цифр.

Функция a n =f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.

Числа a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…

Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, следовательно, a 1 — первый член последовательности;

a 2 - второй член последовательности;

a 3 - третий член последовательности;

a 4 - четвертый член последовательности и т.д.

Кратко числовую последовательность записывают так: a n =f (n) или {a n }.

Существуют следующие способы задания числовой последовательности:

1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.

Пример 1 . Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.

Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным способом.

Решение. Замечаем, что 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.

2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: a n =f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: a k = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . Ответ: a k =2k-1.

3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности {a n },

если a 1 =7; a n+1 = 5+a n .

a 2 =5+a 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... .

Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности {b n },

если b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Ответ: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;… .

Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.

Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; a n). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n .

Получаем: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).

Следовательно, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7.

Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.

Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).

Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.

Числовую последовательность называют возрастающей , если ее члены возрастают (a n+1 >a n) и убывающей, если ее члены убывают (a n+1

Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными .