График производной егэ профильный. Сбор и использование персональной информации
ВНЕАУДИТОРНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2
Преобразование графиков функций.
Цель
Постройте графики функций, используя различные преобразования, ответьте на вопрос задачи.
Выполнение работы
Методические указания
Работа рассчитана на 10 вариантов, номер варианта совпадает с последней цифрой порядкового номере в списке. Например, 1, 11, 21, 31 …выполняют 1 вариант, 2,12, 22 … - 2 вариант, и т.д.
Работа состоит из двух частей: первая часть задания 1 – 5, это задания которые обязательно нужно выполнить, чтобы получить зачет, если эти задания выполнены с ошибкой, необходимо их исправить и снова сдать работу на проверку. Вторая часть, содержит задания, выполнив которые, вы можете заработать дополнительную оценку: основная часть +2 задания – «4», основная часть +3 задания – «5».
Задание 1. Графиком линейной функции является прямая, для ее построения достаточно двух точек. (значения аргумента х берем произвольно, а значение функции у, считаем подставляя в формулу).
Чтобы проверить проходит ли график функции через указанную точку нужно координаты точки подставить вместо х и у, если получили верное равенство, то прямая проходит через указанную точку, в противном случае – не проходит.
Задание 2, 3, 4. Графики указанных функций получаются из графиков функций , используя сдвиг вдоль оси х или у.
, сначала строим график функции
или
, затем сдвигаем его на «а» единиц вправо или влево (+а – влево, - а вправо), затем сдвигаем на «в» единиц вверх или вниз (+в – вверх, -в – вниз)
Аналогично с другими функциями:
Задание 5 Чтобы построить график функции: , нужно: 1) построить график функции , 2) часть графика которая находится выше оси х оставить без изменения, 3) часть графика, которая находится ниже оси х зеркально отобразить.
Задачи для самостоятельного решения.
Обязательная часть
Задание 1. Постройте график линейной функции, определите, проходит ли график функции через указанную точку:
Задание 2. Постройте график квадратичной функции, укажите множество значений данной функции.
Задание 3. Постройте график функции, определите, возрастает или убывает указанная функция.
Задание 4. Постройте график функции, ответьте на вопрос задачи.
Задание 5. Постройте график функции, содержащей знак модуля.
Задачи на дополнительную оценку.
Задание 6. Постройте график функции, заданной кусочно, определите, есть ли точка разрыва у данной функции:
Задание 7. Определите, сколько решений имеет система уравнений, отвеет обоснуйте. Сделайте выводы, ответив на вопросы.
Графики каких функций вы строили в данной работе?
Как называется график линейной функции?
Как называется график квадратичной функции?
Какие преобразования графиков вы знаете?
Как в системе координат располагается график четной функции? График нечетной функции?
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5">
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-1;17). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. f (x)
0 на промежутке, то функция f(x)" title="На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6 и х 7 те точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек. Если f (x) > 0 на промежутке, то функция f(x)" class="link_thumb"> 8 На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6 и х 7 те точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек. Если f (x) > 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке Ответ: 2 0 на промежутке, то функция f(x)"> 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке Ответ: 2"> 0 на промежутке, то функция f(x)" title="На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6 и х 7 те точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек. Если f (x) > 0 на промежутке, то функция f(x)"> title="На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6 и х 7 те точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек. Если f (x) > 0 на промежутке, то функция f(x)">
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-9; 2). В какой точке отрезка -8; -4 функция f(x) принимает наибольшее значение? На отрезке -8; -4 f (x)
Функция y = f(x) определена на интервале (-5; 6). На рисунке изображен график функции y = f(x). Найдите среди точек х 1, х 2, …, х 7 те точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек. Ответ: 3 Точки х 1, х 4, х 6 и х 7 – точки экстремума. В точке х 4 не существует f (x)
Литература 4 Алгебра и начала анализа класс. Учебник для общеобразовательных учреждений базовый уровень / Ш. А. Алимов и другие, - М.: Просвещение, Семенов А. Л. ЕГЭ: 3000 задач по математике. – М.: Издательство «Экзамен», Генденштейн Л. Э., Ершова А. П., Ершова А. С. Наглядный справочник по алгебре и началам анализа с примерами для 7-11 классов. – М.: Илекса, Электронный ресурс Открытый банк заданий ЕГЭ.
Применение производной в формате ЕГЭ .
Выполнили: Плачковская Катерина, Леонова Юлия 11Б класс Научный руководитель: Солуян Надежда Николаева, учитель математики, «Почетный работник общего образования Российской Федерации»
Введение
Производная-это одна из сложнейших тем в математике, при ее помощи решаются задачи по физике, химии, биологии и даже географии. Многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют их решать. Изучение производной продиктовано еще и тем, что многие задания ЕГЭ содержат применение производной.
Поэтому мы решили изучить эту тему более подробно.
Цель работы : сделать классификацию задач на применение производной в материалах ЕГЭ и рассмотреть способы их решения.
Задачи:
- поиск исторических фактов
- сбор информации о задачах на применение производной в материалах ЕГЭ
- анализ взаимосвязи задач со способами их решения
- изучить основные типы задач на применение производной
- решить задачи включенные в материалы ЕГЭ
- провести статистическое исследование.
История производной
Задачи на нахождения экстремума, проведение касательных к кривым и вычисление скорости постоянно возникали в практической деятельности.
В древности и в средние века такие задачи решались геометрическими и механическими способами. Позже было обнаружено, что все эти задачи можно решить единым методом, используя бесконечно малые величины. Развитие этого метода в трудах Ньютона и Лейбница привело к созданию математического анализа, появление которого широко раздвинуло границы применения математики.
Теоретические сведения
Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращённому аргументу, при последнем стремящемся к нулю.
Физический смысл производной
Если тело движется прямолинейно по закону y=S’(t) , то мгновенная скорость (U) есть производная пути по времени.
U=S’(t)
Ускорение - есть производная скорости a=U’ (t)
Геометрический смысл производной
Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент касательной), проведенный к графику функции y=f(x) в точке x 0 равен производной функции y=f"(x) в этой точке:
Производная сложной функции
Функция, заданная в виде y=f(g(x)) ,называется сложной, составленной из функций g и f . (функция, аргументом которой служит функция, называется сложной)
элементарная функция сложная функция
аргумент
Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке
1. Найти область определения функции
2. Найти производную f’(x)
3. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка (y’=0)
4. Вычислить значения функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет y наим)
Алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы
1. Найти область определения
2. Найти производную f’(x)
3. Найти стационарные (f’(x)=0) и критические (f’(x) не существует) точки функции y=f(x)
4. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках
5. Сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума
Статистическое исследование.
1 этап работы:
Проанализировав результаты опроса 11-ых классов, выявила темы, вызывающие наибольшие затруднения у учеников:
Тригонометрические уравнения - техника дифференцирования - Задачи на физический и геометрический смысл производной -Исследование функций при помощи производной - Текстовые задачи - Решение задач на определение площадей - Иррациональные уравнения и выражения - Рациональные уравнения и выражения.
Вывод: тема «Применение производной» содержится в первых 3-х темах, значит, она вызывает наибольшее затруднения.
2 этап работы :
изучение основных видов задач по теме «Применение производной в заданиях единого государственного экзамена»
Применение производной формате в
формате ЕГЭ
Геометрический смысл
Аналитический смысл
Физический смысл
Задачи на применение физического смысла производной
Задача 1.
x(t) = (½)×t² - t – 4 . Определите в какой момент времени t -- скорость V = 6м/с.
Решение.
1) (x(t))‘ = ((½)×t² t - 4)’
2) V(t) = (s(t))’; (s(t))’ = (x(t))’;
V(t) = ((½)×t² – t – 4)’
V(t) = ((½)×t²)’– (t)’– (4)’
3) V(t) = 6м/с (по условию)
Ответ: 7 с.
Задача 2.
Материальная точка движется по закону
х(t) = 15 + 16×t – 3×t². Каким будет ускорение через 2 секунды после начала движения?
Решение .
V(t) = 15 + 16×t – 3×t²
(V(t))’ = (15 + 16×t – 3×t²)’
Т.к (V(t))’ = a (t)
a (t) = 16 – 6×t
a(t) = 16 – 6 ×2
a(t) = 4
Ответ: 4 м/с².
Задачи на применение геометрического смысла производной
Задача 1
Прямая y = 5 x − 3 параллельна касательной к графику функции y = x 2 + 2 x − 4. Найдите абсциссу точки касания.
Решение
Прямая параллельная касательной имеет одинаковый с ней угол наклона к оси абсцисс. Т.е., угловой коэффициент касательной (он же тангенс угла наклона) равен 5, как у заданной прямой. С другой стороны, мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания. Найдем производную: y "(x ) = (x 2 + 2 x − 4)" = 2 x + 2. Составим уравнение, подставив в выражение для производной неизвестную абсциссу точки касания x 0 . 2 x 0 + 2 = 5 2 x 0 = 5 − 2 = 3 x 0 = 3/2 = 1,5.
Ответ: 1,5
Задача 2. На рисунке 1 изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (-10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение
Производная функции положительна
на тех участках, где функция возрастает.
По рисунку видно, что это промежутки
(−10,5;−7,6), (−1;8,2) и (15,7;19). Перечис-
лим целые точки внутри этих интервалов:
"−10","−9", "−8","0", "1","2", "3","4", "5","6",
"7","8", "16","17", "18". Всего 15 точек.
Ответ: 15
Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (-11;23). Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке . Решение На указанном отрезке мы видим 2 точки экстремума. Максимум функции достигается в точке x 1 = 4, минимум в точке x 2 = 8. x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12. Ответ: 12
Аналитический способ решения
Задача 1.
Найдите значение производной функции в точке x0=2
Решение а) Найдем значение производной функции:
б) Найдем значение производной функции в точке x0:
Ответ: 31
Задача 2.
Найти значение производной функции F(x)=(3x+1)2 -3 в точке x=2/3.
Решение.
Найдём производную сложной функции: F’(x)=6(x+1)=6x+6;
Найдём значение производной функции в точке x=2/3:
F’(2/3)=6(2/3)+6=10
Ответ:10
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: повторение и обобщение.
Форма урока: урок-консультация.
Цели урока:
- обучающая : повторить и обобщить теоретические знания по темам: “Геометрический смысл производной” и “Применение производной к исследованию функций”; рассмотреть все типы задач В8, встречающиеся на ЕГЭ по математике; предоставить обучающимся возможность проверить свои знания при самостоятельном решении задач; научить заполнять экзаменационный бланк ответов;
- развивающая : способствовать развитию общения как метода научного познания, смысловой памяти и произвольного внимания; формированию таких ключевых компетенций, как сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов, способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости, контролировать и оценивать свою деятельность, находить и устранять причины возникших трудностей;
- воспитательная : развивать у обучающихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах); способствовать развитию потребности к самообразованию.
Технологии: развивающего обучения, ИКТ.
Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.
Формы работы: индивидуальная, фронтальная, групповая.
Учебно-методическое обеспечение:
1. Алгебра и начала математического анализа.11 класс: учеб. Для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. уровни / (Ю. М. Колягин, М.В.Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин); под редакцией А. Б. Жижченко. – 4-е изд. – М. : Просвещение, 2011.
2. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / А.Л. Семёнов, И.В. Ященко и др. ; под редакцией А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М.: Издательство “Экзамен”, 2011.
3. Открытый банк заданий.
Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, ПК для каждого ученика с установленной на него презентацией, для всех обучающихся распечатка памятки (Приложение 1) и оценочный лист (Приложение 2) .
Предварительная подготовка к уроку: в качестве домашнего задания обучающимся предлагается повторить по учебнику теоретический материал по темам: “Геометрический смысл производной”, “Применение производной к исследованию функций”; класс разбивается на группы (по 4 человека), в каждой из которых обучающиеся разных уровней.
Пояснение к уроку: данный урок проводится в 11 классе на этапе повторения и подготовки к ЕГЭ. Урок нацелен на повторение и обобщение теоретического материала, на применение его при решении экзаменационных задач. Продолжительность урока - 1,5 часа.
Данный урок не прикреплён к учебнику, поэтому может проводиться при работе по любому УМК. Также этот урок можно разбить на два отдельных и провести их как итоговые уроки по рассматриваемым темам.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Постановка целей урок.
III. Повторение по теме “Геометрический смысл производной”.
Устная фронтальная работа с использованием проектора (слайды №3-7)
Работа в группах: решение задач с подсказками, ответами, с консультацией учителя (слайды №8-17)
IV. Самостоятельная работа 1.
Обучающиеся работают индивидуально на ПК (слайды№18-26), свои ответы заносят в оценочный лист. Если необходимо, можно взять консультацию учителя, но в этом случае ученик потеряет 0,5 балла. Если ученик справится с работой раньше, то он может выбрать для решения дополнительные задания из сборника , стр.242, 306-324 (дополнительные задания оцениваются отдельно).
V. Взаимопроверка.
Обучающиеся обмениваются оценочными листами, проверяют работу товарища, выставляют баллы (слайд №27)
VI. Коррекция знаний.
VII. Повторение по теме “Применение производной к исследованию функций”
Устная фронтальная работа с использованием проектора (слайды №28-30)
Работа в группах: решение задач с подсказками, ответами, с консультацией учителя (слайды № 31-33)
VIII. Самостоятельная работа 2.
Обучающиеся работают индивидуально на ПК (слайды №34-46), свои ответы заносят в бланк ответов. Если необходимо, можно взять консультацию учителя, но в этом случае ученик потеряет 0,5 балла. Если ученик справится с работой раньше, то он может выбрать для решения дополнительные задания из сборника , стр.243-305 (дополнительные задания оцениваются отдельно).
IX. Взаимопроверка.
Обучающиеся обмениваются оценочными листами, проверяют работу товарища, выставляют баллы (слайд № 47).
X. Коррекция знаний.
Обучающиеся снова работают в своих группах, обсуждают решение, исправляют ошибки.
XI. Подведение итогов.
Каждый ученик подсчитывает свои баллы и выставляет в оценочный лист оценку.
Обучающиеся сдают учителю оценочный лист и решение дополнительных задач.
Каждый ученик получает памятку (слайд №53-54).
XII. Рефлексия.
Обучающимся предлагается оценить свои знания, выбрав одну из фраз:
- У меня всё получилось!!!
- Надо решить ещё пару примеров.
- Ну кто придумал эту математику!
XIII. Домашнее задание.
Для домашней работы учащимся предлагается выбрать для решения задания из сборника , стр. 242-334, а также из открытого банка заданий.
Здравствуйте! Ударим по приближающемуся ЕГЭ качественной систематической подготовкой, и упорством в измельчении гранита науки!!! В конце поста имеется конкурсная задача, будьте первым! В одной из статей данной рубрики мы с вами , в которых был дан график функции, и ставились различные вопросы, касающиеся экстремумов, промежутков возрастания (убывания) и прочие.
В этой статье рассмотрим задачи входящие в ЕГЭ по математике, в которых дан график производной функции, и ставятся следующие вопросы:
1. В какой точке заданного отрезка функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение.
2. Найти количество точек максимума (или минимума) функции, принадлежащих заданному отрезку.
3. Найти количество точек экстремума функции, принадлежащих заданному отрезку.
4. Найти точку экстремума функции, принадлежащую заданному отрезку.
5. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции и в ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
6. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции. В ответе указать длину наибольшего из этих промежутков.
7. Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой вида у = kx + b или совпадает с ней.
8. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Могут стоять и другие вопросы, но они не вызовут у вас затруднений, если вы поняли и (ссылки указаны на статьи, в которых представлена необходимая для решения информация, рекомендую повторить).
Основная информация (кратко):
1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак.
Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.
2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак.
Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.
3. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой же точке.
4. В точках экстремума (максимума-минимума) функции производная равна нулю. Касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ох.
Это нужно чётко уяснить и помнить!!!
Многих график производной «смущает». Некоторые по невнимательности принимают его за график самой функции. Поэтому в таких зданиях, где видите, что дан график, сразу же акцентируйте своё внимание в условии на том, что дано: график функции или график производной функции?
Если это график производной функции, то относитесь к нему как бы к «отражению» самой функции, которое просто даёт вам информацию об этой функции.
Рассмотрим задание:
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–2;21).
Ответим на следующие вопросы:
1. В какой точке отрезка функция f (х) принимает наибольшее значение.
На заданном отрезке производная функции отрицательна, значит функция на этом отрезке убывает (она убывает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке 7.
Ответ: 7
2. В какой точке отрезка функция f (х)
По данному графику производной можем сказать следующее. На заданном отрезке производная функции положительна, значит функция на этом отрезке возрастает (она возрастает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, то есть в точке х = 3.
Ответ: 3
3. Найдите количество точек максимума функции f (х)
Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. Рассмотрим, где таким образом меняется знак.
На отрезке (3;6) производная положительна, на отрезке (6;16) отрицательна.
На отрезке (16;18) производная положительна, на отрезке (18;20) отрицательна.
Таким образом, на заданном отрезке функция имеет две точки максимума х = 6 и х = 18.
Ответ: 2
4. Найдите количество точек минимума функции f (х) , принадлежащих отрезку .
Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. У нас на интервале (0;3) производная отрицательна, на интервале (3;4) положительна.
Таким образом, на отрезке функция имеет только одну точку минимума х = 3.
*Будьте внимательны при записи ответа – записывается количество точек, а не значение х, такую ошибку можно допустит из-за невнимательности.
Ответ: 1
5. Найдите количество точек экстремума функции f (х) , принадлежащих отрезку .
Обратите внимание, что необходимо найти количество точек экстремума (это и точки максимума и точки минимума).
Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной (с положительного на отрицательный или наоборот). На данном в условии графике это нули функции. Производная обращается в нуль в точках 3, 6, 16, 18.
Таким образом, на отрезке функция имеет 4 точки экстремума.
Ответ: 4
6. Найдите промежутки возрастания функции f (х)
Промежутки возрастания данной функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (3;6) и (16;18). Обратите внимание, что границы интервала не входят в него (круглые скобки – границы не включены в интервал, квадратные – включены). Данные интервалы содержат целые точки 4, 5, 17. Их сумма равна: 4 + 5 + 17 = 26
Ответ: 26
7. Найдите промежутки убывания функции f (х) на заданном интервале. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Промежутки убывания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. В данной задаче это интервалы (–2;3), (6;16), (18;21).
Данные интервалы содержат следующие целые точки: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Их сумма равна:
(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +
11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140
Ответ: 140
*Обращайте внимание в условии: включены ли границы в интервал или нет. Если границы будут включены, то и в рассматриваемых в процессе решения интервалах эти границы также необходимо учитывать.
8. Найдите промежутки возрастания функции f (х)
Промежутки возрастания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна. Мы уже указывали их: (3;6) и (16;18). Наибольшим из них является интервал (3;6), его длина равна 3.
Ответ: 3
9. Найдите промежутки убывания функции f (х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.
Промежутки убывания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. Мы уже указывали их, это интервалы (–2;3), (6;16), (18;21), их длины соответственно равны 5, 10, 3.
Длина наибольшего равна 10.
Ответ: 10
10. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (х) параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Так как касательная параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней, то их угловые коэффициенты равны 2. Значит, необходимо найти количество точек, в которых у′(х 0) = 2. Геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой у = 2. На данном интервале таких точек 4.
Ответ: 4
11. Найдите точку экстремума функции f (х) , принадлежащую отрезку .
Точка экстремума функции это такая точка, в которой её производная равна нулю, при чём в окрестности этой точки производная меняет знак (с положительного на отрицательный или наоборот). На отрезке график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с отрицательного на положительный. Следовательно, точка х = 3 является точкой экстремума.
Ответ: 3
12. Найдите абсциссы точек, в которых касательные к графику у = f (x) параллельны оси абсцисс или совпадают с ней. В ответе укажите наибольшую из них.
Касательная к графику у = f (x) может быть параллельна оси абсцисс или совпадать с ней, только в точках, где производная равна нулю (это могут быть точки экстремума или стационарные точки, в окрестностях которых производная свой знак не меняет). По данному графику видно, что производная равна нулю в точках 3, 6, 16,18. Наибольшая равна 18.
Можно построить рассуждение таким образом:
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, её угловой коэффициент равен 0 (действительно тангенс угла в ноль градусов равен нулю). Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс, а это точки 3, 6, 16,18.
Ответ: 18
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–8;4). В какой точке отрезка [–7;–3] функция f (х) принимает наименьшее значение.
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–7;14). Найдите количество точек максимума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–6;9].
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–18;6). Найдите количество точек минимума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–13;1].
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–11; –11). Найдите количество точек экстремума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–10; –10].
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–7;4). Найдите промежутки возрастания функции f (х) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–5;7). Найдите промежутки убывания функции f (х) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–11;3). Найдите промежутки возрастания функции f (х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.
F На рисунке изображен график
Условие задачи то же (которую мы рассматривали). Найдите сумму трёх чисел:
1. Сумма квадратов экстремумов функции f (х).
2. Разность квадратов суммы точек максимума и суммы точек минимума функции f (х).
3. Количество касательных к f (х), параллельных прямой у = –3х + 5.
Первый, кто даст верный ответ, получит поощрительный приз – 150 рублей. Ответы пишите в комментариях. Если это ваш первый комментарий на блоге, то сразу он не появится, чуть позже (не беспокойтесь, время написания комментария регистрируется).
Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицих.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.