Как решать систему неравенств с двумя переменными. Урок «Неравенства с двумя переменными
Пусть f(x,y) и g(x, y) - два выражения с переменными х и у и областью определения Х . Тогда неравенства вида f(x, y) > g(x, y) или f(x, y) < g(x, y) называется неравенством с двумя переменными .
Значение переменных х, у из множества Х , при которых неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением и обозначается (x, y) . Решить неравенство - это значит найти множество таких пар.
Если каждой паре чисел (x, y) из множества решений неравенства поставить в соответствие точку М(x, y) , получим множество точек на плоскости, задаваемое этим неравенством. Его называют графиком данного неравенства . График неравенства обычно является областью на плоскости.
Чтобы изобразить множество решений неравенства f(x, y) > g(x, y) , поступают следующим образом. Сначала заменяют знак неравенства знаком равенства и находят линию, имеющую уравнение f(x,y) = g(x,y) . Эта линия делит плоскость на несколько частей. После этого достаточно взять в каждой части по одной точке и проверить, выполняется ли в этой точке неравенство f(x, y) > g(x, y) . Если оно выполняется в этой точке, то оно будет выполняться и во всей части, где лежит эта точка. Объединяя такие части, получаем множество решений.
Задача. y > x .
Решение. Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и построим в прямоугольной системе координат линию, имеющую уравнение y = x .
Эта линия делит плоскость на две части. После этого возьмем в каждой части по одной точке и проверим, выполняется ли в этой точке неравенство y > x .
Задача.
Решить графически неравенство
х
2 + у
2 £ 25.
|
Пусть даны два неравенства f 1(x, y) > g 1(x, y) и f 2(x, y) > g 2(x, y) .
Системы совокупностей неравенств с двумя переменными
Система неравенств представляет собой конъюнкцию этих неравенств. Решением системы является всякое значение (x, y) , которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.
Совокупность неравенств представляет собой дизъюнкцию этих неравенств. Решением совокупности является всякое значение (x, y) , которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности. Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.
Задача. Решить графически систему неравенств
Решение. у = х и х 2 + у 2 = 25. Решаем каждое неравенство системы.
Графиком системы будет множество точек плоскости, являющихся пересечением (двойная штриховка) множеств решений первого и второго неравенств.
Задача. Решить графически совокупность неравенств
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решите графически неравенства: а) у > 2x ; б) у < 2x + 3;
в) x 2 + y 2 > 9; г) x 2 + y 2 £ 4.
2. Решите графически системы неравенств:
а) в)
Видеоурок «Неравенства с двумя переменными» предназначен для обучения алгебре по данной теме в 9 классе общеобразовательной школы. Видеоурок содержит описание теоретических основ решения неравенств, подробно описывает процесс решения неравенств графическим способом, его особенности, демонстрирует примеры решения заданий по теме. Задача данного видеоурока - при помощи наглядного представления информации облегчить понимание материала, способствовать формированию умений в решении задач с применением изученных математических методов.
Основными инструментами видеоурока являются использование анимации в представлении графиков и теоретических сведений, выделение понятий, особенностей, важных для понимания и запоминания материала, цветом и другими графическими способами, голосовое сопровождение объяснения с целью более легкого запоминания информации и формирования умения использования математического языка.
Видеоурок начинается и представления темы и примера, демонстрирующего понятие решения неравенства. Для формирования понимания смысла понятия решения представлено неравенство 3х 2 -у<10, в которое подставляется пара значений х=2 и у=6. Демонстрируется, как после подстановки данных значений неравенство становится верным. Понятие решения данного неравенства как пары значений (2;6) выведено на экран, подчеркивая его важность. Затем представляется определение рассмотренного понятия для запоминания его учениками или записи в тетрадь.
Важной частью умения решать неравенства является умение изобразить на координатной плоскости множество его решений. Формирование такого умения в данном уроке начинается с демонстрации нахождения множества решений линейных неравенств ax+by
Примером такого неравенства является х+3у>6. Чтобы преобразовать неравенство в равносильное неравенство, отражающее зависимость значений у от значений х, обе части неравенства делятся на 3, у остается в одной части уравнения, а х переносится в другую. Произвольно выбирается значение х=3 для подстановки в неравенство. Отмечается, что данное значение х подставить в неравенство и заменить знак неравенства знаком равенства, можно найти соответствующее значение у=1. Пара (3;1) будет являться решением уравнения у=-(1/3)х+2. Если же подставлять любые значения у, большие 1, то неравенство с данным значением х будет верно: (3;2), (3;8) и др. Аналогично данному процессу нахождения решения рассматривается общий случай для поиска множества решений данного неравенства. Поиск множества решений неравенства начинается с подстановки некоторого значения х 0 . В правой части неравенства получается выражение -(1/3)х 0 +2. Некоторая пара чисел (х 0 ;у 0) является решением уравнения у=-(1/3)х+2. Соответственно решениями неравенства у>-(1/3)х 0 +2 будут соответствующие пары значений с х 0 , где у больше значений у 0 . То есть решениями этого неравенства будут пары значений (х 0 ;у).
Чтобы найти на координатной плоскости множество решений неравенства х+3у>6, на ней демонстрируется построение прямой, соответствующей уравнению у=-(1/3)х+2. На данной прямой отмечается точка М с координатами (х 0 ;у 0). При этом отмечается, что все точки К(х 0 ;у) с ординатами у>у 0 , то есть расположенные выше данной прямой, будут удовлетворять условиям неравенства у>-(1/3)х+2. Из анализа делается вывод о том, что данным неравенство задается множество точек, которые располагаются выше прямой у=-(1/3)х+2. Это множество точек составляют полуплоскость над данной прямой. Так как неравенство строгое, сама прямая не входит в число решений. На рисунке данный факт отмечен пунктирным обозначением.
Обобщая данные, полученные в результате описания решения неравенства х+3у>6, можно говорить о том, что прямая х+3у=6 разбивается плоскость на две полуплоскости, при этом расположенная выше полуплоскость отражает множество значений удовлетворяющих неравенству х+3у>6, а распложенная ниже прямой - решение неравенства х+3у<6. Данный вывод является важным для понимания, каким образом решаются неравенства, поэтому выведен на экран отдельно в рамке.
Далее рассматривается пример решения нестрогого неравенства второй степени у>=(х-3) 2 . Для определения множества решений рядом на рисунке строится парабола у=(х-3) 2 . На параболе отмечается точка М(х 0 ;у 0), значения которой будут решениями уравнения у=(х-3) 2 . В данной точке строится перпендикуляр, на котором выше параболы отмечается точка К(х 0 ;у), которая будет решением неравенства у>(х-3) 2 . Можно сделать вывод о том, что исходному неравенству удовлетворяют координаты точек, расположенных на данной параболе у=(х-3) 2 и выше ее. На рисунке данную область решений отмечают штрихованием.
Следующим примером, демонстрирующим положение на плоскости точек, являющихся решением неравенства второй степени, является описание решения неравенства х 2 +у 2 <=9. На координатной плоскости строится окружность радиусом 3 с центром в начале координат. Отмечается, что решениями уравнения будут точки, сумма квадратов координат которых не превышает квадрата радиуса. Также отмечается, что окружность х 2 +у 2 =9 разбивает плоскость на области внутри окружности и вне круга. Очевидно, что множество точек внутренней части круга удовлетворяют неравенству х 2 +у 2 <9, а внешняя часть - неравенству х 2 +у 2 >9. Соответственно, решением исходного неравенства будет множество точек окружности и области внутри ее.
Далее рассматривается решение уравнения ху>8. На координатной плоскости рядом с заданием строится гипербола, удовлетворяющая уравнению ху=8. Отмечается точка М(х 0 ;у 0), принадлежащая гиперболе и К(х 0 ;у) выше ее параллельно оси у. Очевидно, что координаты точки К соответствуют неравенству ху>8, так как произведение координат данной точки превосходит 8. Указывается, что таким же способом доказывается соответствие точек, принадлежащих области В, неравенству ху<8. Следовательно, решением неравенства ху>8 будет множество точек, лежащих в областях А и С.
Видеоурок «Неравенства с двумя переменными» может послужить наглядным пособием учителю на уроке. Также материал поможет ученику, самостоятельно осваивающему материал. Полезно использование видеоурока при дистанционном обучении.
Готовые работы
ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ
Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге
КУРСОВЫЕ РАБОТЫ
Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге
МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге
ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ
После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.
Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся
«Портфолио»
Уравнения и неравенства с двумя переменными
и их геометрическое решение.
Федорович Юлия
ученица 10 класса
МОУ СОШ №26
Руководитель:
Кульпина Е.В.
учитель математики
МОУ СОШ №26
г.Зима, 2007г.
Введение.
2. Уравнения с двумя переменными, их геометрическое решение и применение.
2.1 Системы уравнений.
2.2 Примеры решения уравнений с двумя переменными.
2.3. Примеры решения систем уравнений с двумя переменными.
3. Неравенства и их геометрическое решение.
3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными
4. Графический метод решения задач с параметрами.
5.Заключение.
6.Список использованной литературы.
1.Введение
Я взяла работу на эту тему, потому что изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики, и свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Также графический метод решения уравнений позволяет определить число корней уравнения, значения корня, найти приближенные, а иногда точные значения корней.
В технике и физике часто используются именно графическим способом задания функций. Ученый- сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследовавший больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности: изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер – радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. Количество таких примеров легко увеличить. Более того, по мере развития математики растет проникновение графического метода в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике. Значит, растет и важность изучения рассматриваемого раздела математики в школе, в вузе, и особенно- важность самостоятельной работы над ним.
С развитием вычислительной техники, с ее прекрасными графическими средствами и высокими скоростями выполнения операций, работа с графиками функций стала значительно интересней, наглядней, увлекательней. Имея аналитическое представление некоторой зависимости, можно построить график быстро, в нужном масштабе и цвете, используя для этого различные программные средства.
Уравнения с двумя переменными и их геометрическое решение.
Уравнение вида f (x ; y )=0 называется уравнением с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел (α, β), при подстановке которой (α – вместо х, β – вместо у) в уравнении имеет смысл выражение f (α; β)=0
Например, для уравнения ((х
+1)) 2 + у
2
=0 упорядоченная пара чисел (0;0) есть его решение, так как выражение ((0+1)
) 2 +0 2 имеет смысл и равно нулю, но упорядоченная пара чисел (-1;0) не является решением, так как не определен
и поэтому выражение ((-1+1)) 2 +0 2 не имеет смысла.
Решить уравнение – значит найти множество всех его решений.
Уравнения с двумя переменными может:
а) иметь одно решение. Например, уравнение х 2 +у 2 =0 имеет одно решение (0;0);
б) иметь несколько решений. Например, данное уравнение (│х │- 1) 2 +(│у │- 2) 2 имеет четыре решения: (1;2),(-1;2),(1;-2),(-1;-2);
в) не иметь решений. Например уравнение х 2 +у 2 + 1=0 не имеет решений;
г) иметь бесконечно много решений. Например, такое уравнение, как х-у+1=0 имеет бесконечно много решений
Иногда бывает полезной геометрическая интерпретация уравнения f (x ; y )= g (x ; y ) . На координатной плоскости хОу множество всех решений – некоторое множество точек. В ряде случаев это множество точек есть некоторая линия, и в этом случае говорят, что уравнение f (x ; y )= g (x ; y ) есть уравнение этой линии, например:
рис.1 рис.2 рис.3
рис.4 рис.5 рис.6
2.1 Системы уравнений
Пусть заданы два уравнения с неизвестными х и у
F 1 (x ; y )=0 и F 2 (x ; y )=0
Будем считать, что первое из этих уравнений задаёт на плоскости переменных х и у линию Г 1 , а второе - линию Г 2 . Чтобы найти точки пересечения этих линий, надо найти все пары чисел (α, β), такие, что при замене в данных уравнениях неизвестной х на число α и неизвестной у на число β, получаются верные числовые равенства. Если поставлена задача об отыскании всех таких пар чисел, то говорят, что требуется решить систему уравнений и записывают эту систему с помощью фигурной скобки в следующем виде
Решением системы называется такая пара чисел (α, β), которая является решением как первого, так и второго уравнений данной системы.
Решить систему – значить найти множество всех ее решений, или доказать, что решений нет.
В ряде случаев геометрическая интерпретация каждого уравнения системы, ибо решения системы соответствуют точкам пересечения линий, задаваемых каждым уравнением системы. Часто геометрическая интерпретация позволяет лишь догадаться о числе решений.
Например, выясним, сколько решений имеет система уравнений
Первое из уравнений системы задает окружность радиусом R=
c центром (0;0), а второе – параболу, вершина которой находится в той же точке. Теперь ясно, что имеются две точки пересечения этих линий. Следовательно, система имеет два решения – это (1;1) и (-1;1)
Примеры решения уравнений с двумя переменными
Изобразите все точки с координатами (х;у), для которых выполняется равенство.
1. (х-1)(2у-3)=0
Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
Каждое из полученных уравнений определяет на координатной плоскости прямую.
2. (х-у)(х 2 -4)=0
Решением данного уравнения является множество точек плоскости, координаты, которых удовлетворяют совокупности уравнений
На координатной плоскости решение будет выглядеть так
3.
=х
2
Решение: Воспользуемся определением абсолютной величины и заменим данное уравнение равносильной совокупностью двух систем
у=х 2 +2х у = -х 2 +2х
х 2 +2х=0 х в =1 у в =1
х(х+2)=0
х в =-1 у в =1-2=-1
Примеры решения систем.
Решить систему графическим способом:
1)
В каждом уравнении выразим переменную у через х и построим графики соответствующих функций:
у =
+1
а) построим график функции у=
График функции у =+1 получается из графика у = путем сдвига на две единицы вправо и на одну единицу вверх:
у = - 0,5х+2 - это линейная функция, графиком которой является прямая
Решением данной системы являются координаты точки пересечения графиков функций.
Ответ (2;1)
3.Неравенства и их геометрическое решение.
Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f (x ; y ) >0, где Z = f (x ; y ) – функция двух аргументов х и у . Если мы рассмотрим уравнение f (x ; y ) = 0, то можно построить его геометрическое изображение, т.е. множество точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению. В каждой из областей функция f сохраняет знак, остается выбрать те из них, в которых f (x ;у) >0.
Рассмотрим линейное неравенство ax + by + c >0. Если один из коэффициентов a или b отличен от нуля, то уравнение ax + by + c =0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них будет сохраняться знак функции z = ax + by + c . Для определения знака можно взять любую точку полуплоскости и вычислить значение функции z в этой точке.
Например:
3х – 2у +6 >0.
f (x ;у) = 3х- 2у +6,
f (-3;0) = -3 <0,
f (0;0) = 6>0.
Решением неравенства является множество точек правой полуплоскости (закрашенной на рисунке 1)
Рис. 1
Неравенству │y│+0,5 ≤
удовлетворяет множество точек плоскости (х;у),
заштрихованной на рисунке 2. Для построения данной области воспользуемся определением абсолютной величины и способами построения графика функции с помощью параллельного переноса графика функции по оси ОХ или ОУ
Р
ис.2
f
(x
;
y
) =
f (0;0) = -1,5<0
f (2;2)= 2,1>0
3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными.
Изобразите множество решений неравенства
а)
у=х 2 -2х
у=|х 2 -2х|
|у|=|х 2 -2х|
f
(x
;
y
)=
f (1;0)=-1<0
f (3;0) = -3<0
f (1;2) =1>0
f (-2;-2) = -6<0
f (1;-2)=1>0
Решением неравенства является закрашенная область на рисунке 3. Для построения данной области применялись способы построения графика с модулем
Рис. 3
1)
2)
<0
f(2;0)=3>0
f(0;2)=-1<0
f(-2;0)=1>0
f(0;-2)=3>0
Для решения данного неравенства воспользуемся определением абсолютной величины
3.2. Примеры решения систем неравенств.
Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости
а)
б)
4. Графический метод решения задач с параметрами
Задачами с параметрами называют задачи, в которых участвуют фактически функции нескольких переменных, из которых одна переменная х выбрана в качестве независимой переменной, а оставшиеся играют роль параметров. При решении таких задач особенно эффективны графические методы. Приведем примеры
По рисунку видно, что прямая у=4
пересекает график функции у=
в трех точках. Значит, исходное уравнение имеет три решения при а=
4.
Найти все значения параметра а , при которых уравнение х 2 -6|х|+5=а имеет ровно три различных корня.
Решение: Построим график функции у=х 2 -6х+5 для х ≥0 и отражаем его зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс у=а , пересекает график в трех точках при а =5
3. Найти все значения а,
при которых неравенство
имеет хотя бы одно положительное решение.
Множество точек координатной плоскости, значения координаты х и параметра а которых удовлетворяют данному неравенству, представляют собой объединение двух областей, ограниченных параболами. Решением данного задания является множество точек, расположенных в правой полуплоскости при
х+а+х<2
Решение неравенства с двумя переменными , а тем более системы неравенств с двумя переменными , представляется достаточно сложной задачей. Однако есть простой алгоритм, который помогает легко и без особых усилий решать на первый взгляд очень сложные задачи такого рода. Попробуем в нем разобраться.
Пусть мы имеем неравенство с двумя переменными одного из следующих видов:
y > f(x); y ≥ f(x); y < f(x); y ≤ f(x).
Для изображения множества решений такого неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:
1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.
2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.
3.
Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.
А теперь рассмотрим несколько задач на эту тему.
Задача 1.
Какое множество точек задается неравенством x · y ≤ 4?
Решение.
1) Строим график уравнения x · y = 4. Для этого сначала преобразуем его. Очевидно, что x в данном случае не обращается в 0, так как иначе мы бы имели 0 · y = 4, что неверно. Значит, можем разделить наше уравнение на x. Получим: y = 4/x. Графиком данной функции является гипербола. Она разбивает всю плоскость на две области: ту, что между двумя ветвями гиперболы и ту, что снаружи их.
2) Выберем из первой области произвольную точку, пусть это будет точка (4; 2).
Проверяем неравенство: 4 · 2 ≤ 4 – неверно.
Значит, точки данной области не удовлетворяют исходному неравенству. Тогда можем сделать вывод о том, что множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.
3) Так как неравенство нестрогое, то граничные точки, то есть точки графика функции y = 4/x, рисуем сплошной линией.
Закрасим множество точек, которое задает исходное неравенство, желтым цветом (рис. 1).
Задача 2.
Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой
{ y > x 2 + 2;
{y + x > 1;
{ x 2 + y 2 ≤ 9.
Решение.
Строим для начала графики следующих функций (рис. 2) :
y = x 2 + 2 – парабола,
y + x = 1 – прямая
x 2 + y 2 = 9 – окружность.
1) y > x 2 + 2.
Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 5 > 0 2 + 2 – верно.
Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы y = x 2 + 2, удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.
2) y + x > 1.
Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 3 + 0 > 1 – верно.
Следовательно, все точки, лежащие выше прямой y + x = 1, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.
3) x 2 + y 2 ≤ 9.
Берем точку (0; -4), которая лежит вне окружности x 2 + y 2 = 9.
Проверяем неравенство: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неверно.
Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x 2 + y 2 = 9, не удовлетворяют третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности x 2 + y 2 = 9, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.
Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром. Получаем следующую картинку (рис. 3) .
(рис. 4) .
Задача 3.
Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой:
{x 2 + y 2 ≤ 16;
{x ≥ -y;
{x 2 + y 2 ≥ 4.
Решение.
Строим для начала графики следующих функций:
x 2 + y 2 = 16 – окружность,
x = -y – прямая
x 2 + y 2 = 4 – окружность (рис. 5) .
Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.
1) x 2 + y 2 ≤ 16.
Берем точку (0; 0), которая лежит внутри окружности x 2 + y 2 = 16.
Проверяем неравенство: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – верно.
Следовательно, все точки, лежащие внутри окружности x 2 + y 2 = 16, удовлетворяют первому неравенству системы.
Закрасим их красной штриховкой.
Берем точку (1; 1), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 1 ≥ -1 – верно.
Следовательно, все точки, лежащие выше прямой x = -y, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их синей штриховкой.
3) x 2 + y 2 ≥ 4.
Берем точку (0; 5), которая лежит вне окружности x 2 + y 2 = 4.
Проверяем неравенство: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – верно.
Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x 2 + y 2 = 4, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их голубым цветом.
В данной задаче все неравенства нестрогие, значит, все границы рисуем сплошной линией. Получаем следующую картинку (рис. 6) .
Искомая область – это область, где все три раскрашенных области пересекаются друг с другом (рис 7) .
Остались вопросы? Не знаете, как решить систему неравенств с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.